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Teoria dos Conjuntos
Sumário
• Conceitos básicos
• Relações entre conjuntos
• Conjuntos de conjuntos
• Operações em conjuntos
• Identidades envolvendo conjuntos
• Conjuntos contáveis e não contáveis
Definições Intuitivas
• Um conjunto é uma coleção de objetos
‣ os elementos de um conjunto podem ser
determinados por alguma propriedade
‣ não existe uma ordem entre os objetos
Exemplo
• Seja C o conjunto dos números naturais
menores que 7
‣ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
‣ 2 ∈ C
‣ 8 ∉ C
Igualdade
• Dois conjuntos são iguais se eles contêm
os mesmos elementos
• A = B significa
‣ (∀x) [(x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A)]
Descrevendo um Conjunto
• Listar (ou listar parcialmente) os elementos
‣ C = {2, 4, 6, 8, 10, ...}
• Usar uma definição recorrente
‣ 2 ∈ C;
‣ Se x ∈ C, então x+2 ∈ C.
• Definir uma propriedade que caracteriza os
elementos
‣ C = {x | P(x)}, P(x): x é um inteiro positivo par
ConjuntoVazio
• O conjunto vazio é o conjunto que não
possui elementos.
‣ Símbolo do conjunto vazio: ∅
‣ ∅ = {}
‣ ∅ ≠ {∅}
Exemplos
• A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] }
• B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) }
• C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) }
Exemplos
• A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] }
• B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) }
• C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) }
‣ A = {0, 1, 8}
Exemplos
• A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] }
• B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) }
• C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) }
‣ A = {0, 1, 8}
‣ B = ℕ
Exemplos
• A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] }
• B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) }
• C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) }
‣ A = {0, 1, 8}
‣ B = ℕ
‣ C = {0}
Relações entre Conjuntos
• A é um subconjunto de B se todo elemento
de A é também um elemento de B.
‣ A ⊆ B se (∀x)(x ∈ A → x ∈ B)
• A é um subconjunto próprio de B se A é
subconjunto de B, mas existe pelo menos
um elemento de B que não pertence a A.
‣ A ⊂ B se [(∀x)(x ∈ A→x ∈ B)∧(∃y)((y ∈ B)∧(y ∉ A))]
Exemplos
• Sejam os conjuntos R={7,9} e S={7,9,15,20}
‣ R ⊆ S
‣ R ⊂ S
‣ ∅ ⊆ R
‣ 15 ∈ S
‣ {15} ⊆ S
‣ {7,9} ⊆ R
Exemplo
• Considere os conjuntos A e B a seguir:
‣ A = {x | x ∈ ℝ e x2 - 4x + 3 = 0}
‣ B = {x | x ∈ ℕ e 1 ≤ x ≤ 4}
• Prove que A ⊂ B.
Conjuntos de Conjuntos
• Dado um conjunto S, o conjunto das partes
de S, denotado por ℘(S), é o conjunto
formado pelos subconjuntos de S.
‣ os elementos de ℘(S) são conjuntos
‣ se S tem n elementos, então ℘(S) tem 2n
• Seja S = {0, 1}, então
‣ ℘(S) = { ∅, {0}, {1}, {0, 1}}
Tipos de Operações
• Binárias
‣ envolve exatamente dois operandos
• Unárias
‣ envolve um único operando
Operação Binária
• ⊚ é uma operação binária em um conjunto S
se x⊚y existe, é único e pertence a S
‣ para todo par ordenado (x,y) de elementos de S
‣ ⊚ é bem definida se x⊚y existe e é único
‣ S é fechado em relação a ⊚ se x⊚y pertence a S
Exemplos
• A adição (+) é uma operação binária em ℤ
‣ x+y existe, é único e pertence a ℤ, ∀ x,y ∈ ℤ
• A conjunção (∧) é uma operação binária no
conjunto das FBFs proposicionais.
• A subtração (-) não é uma operação binária
em ℕ
‣ ℕ não é fechada em relação a - (3-5 ∉ ℕ)
Operação Unária
• ⊚ é uma operação unária em um conjunto S
se ⊚x existe, é único e pertence a S
‣ para todo elemento x de S
‣ ⊚ é bem definida se ⊚x existe e é único
‣ S é fechado em relação a ⊚ se ⊚x pertence a S
Exemplos
• O negação lógica (′) é uma operação unária
no conjunto das FBFs proposicionais
• O oposto de um número (-) é uma
operação unária ℤ, mas não em ℕ
‣ ℕ não é fechado em relação a -
Operações em
Conjuntos
• Dada um conjunto arbitrário S, podemos
definir operações no conjunto ℘(S) então
denominado conjunto universo
‣ União
‣ Interseção
‣ Complemento
‣ Diferença
‣ Produto Cartesiano
União
• Sejam A, B ∈ ℘(S).A união de A e B,
denotada por A ∪ B, é {x | x ∈ A ou x ∈ B}
• Exemplo:
‣ Sejam S = ℕ;A = {1,2,5}; B = {1,3,9};A,B ∈ ℘(ℕ)
‣ A ∪ B = {1,2,3,5,9}
Interseção
• Sejam A, B ∈ ℘(S).A interseção de A e B,
denotada por A ∩ B, é {x | x ∈ A e x ∈ B}
• Exemplo:
‣ Sejam S=ℕ;A = {1,2,5}; B = {1,3,5,8};A,B ∈ ℘(ℕ)
‣ A ∩ B = {1,5}
Complemento
• Dado um conjunto A ∈ ℘(S), o complemento
do conjunto A, denotado por A′, é o
conjunto {x | x ∈ S e x ∉ A}
Diferença
• Dados os conjuntos A, B ∈ ℘(S).A
diferença entre A e B, denotada por A - B, é
o conjunto {x | x ∈ A e x ∉ B}
• Exemplo:
‣ Sejam S=ℕ;A = {1,2,5,8}; B = {1,3,5};A,B ∈ ℘(ℕ)
‣ A - B = {2,8}
Diagramas deVenn
• Representação gráfica de propriedades e
operações envolvendo conjuntos
Produto Cartesiano
• Sejam A, B subconjuntos de S. O produto
cartesiano de A e B, denotado por A×B, é o
conjunto {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}
• Exemplo:
‣ Sejam A={1,2} e B={3,4}
‣ A×B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
Exemplo
• Considere os seguintes conjuntos
‣ A = {1,2,3,5,10}
‣ B={2,4,7,8,9}
‣ C={5,8,10}
‣ subconjuntos de S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
• Determine A∪B,A-C e B′∩(A∪C)
Identidades entre Conjuntos
A∪B = B∪A A∩B = B∩A Comutatividade
(A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) Associatividade
A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C) Distributividade
A∪∅ = A A∩S = A Existência de
elemento neutro
A∪A´=S A∩A´=∅ Propriedades do
complemento
Exemplo
• Prove que
‣ [A∪(B∩C)] ∩ [(A´∪(B∩C)) ∩ (B∩C)´] = ∅
Dica
• Para provar que A = B, mostre que:
‣ A ⊆ B e B ⊆ A
Conjuntos Enumeráveis
• Enumerar os elementos de um conjunto
consiste em designar um elemento do
conjunto como sendo o primeiro
elemento, s1, um outro elemento como
sendo o segundo, s2, e assim por diante.
• Para provar que um conjunto é enumerável
basta exibir um modo de enumerar todos
os seus elementos.
Conjuntos Finitos
• Os conjuntos finitos são enumeráveis
• Para um conjunto S finito com k
elementos, podemos enumerar os
elementos em uma determinada ordem
‣ s1, s2, ... , sk
‣ k é a cardinalidade do conjunto
Conjuntos Infinitos
• Alguns conjuntos infinitos são enumeráveis.
• Podemos determinar uma forma de
enumerar os elementos de um conjunto
infinito
‣ s1, s2, s3, ...
Conjuntos Infinitos
• Exemplos de conjuntos infinitos
enumeráveis:
‣ Podemos enumerar os elementos de ℕ
definindo uma seqüência recorrente: 0, 1, 2, 3, ...
‣ Podemos enumerar os elementos de ℚ+
*
Conjuntos Contáveis
• São os conjuntos finitos e os conjuntos
infinitos enumeráveis.
• Ser contável não significa que podemos
determinar o número total de elementos
do conjunto.
‣ significa que podemos determinar a posição de
qualquer elemento
Existem conjuntos infinitos não-enumeráveis!
Exemplo: o conjunto dos números
reais entre 0 e 1.
Exemplos
• Prove que o cojunto dos números inteiros
positivos pares é enumerável.
• Prove que o conjunto do números
racionais positivos é enumerável.
• Prove que o conjunto de todos os números
reais entre 0 e 1 não é enumerável.

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  • 2. Sumário • Conceitos básicos • Relações entre conjuntos • Conjuntos de conjuntos • Operações em conjuntos • Identidades envolvendo conjuntos • Conjuntos contáveis e não contáveis
  • 3. Definições Intuitivas • Um conjunto é uma coleção de objetos ‣ os elementos de um conjunto podem ser determinados por alguma propriedade ‣ não existe uma ordem entre os objetos
  • 4. Exemplo • Seja C o conjunto dos números naturais menores que 7 ‣ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ‣ 2 ∈ C ‣ 8 ∉ C
  • 5. Igualdade • Dois conjuntos são iguais se eles contêm os mesmos elementos • A = B significa ‣ (∀x) [(x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A)]
  • 6. Descrevendo um Conjunto • Listar (ou listar parcialmente) os elementos ‣ C = {2, 4, 6, 8, 10, ...} • Usar uma definição recorrente ‣ 2 ∈ C; ‣ Se x ∈ C, então x+2 ∈ C. • Definir uma propriedade que caracteriza os elementos ‣ C = {x | P(x)}, P(x): x é um inteiro positivo par
  • 7. ConjuntoVazio • O conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos. ‣ Símbolo do conjunto vazio: ∅ ‣ ∅ = {} ‣ ∅ ≠ {∅}
  • 8. Exemplos • A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] } • B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) } • C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) }
  • 9. Exemplos • A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] } • B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) } • C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) } ‣ A = {0, 1, 8}
  • 10. Exemplos • A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] } • B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) } • C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) } ‣ A = {0, 1, 8} ‣ B = ℕ
  • 11. Exemplos • A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] } • B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) } • C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) } ‣ A = {0, 1, 8} ‣ B = ℕ ‣ C = {0}
  • 12. Relações entre Conjuntos • A é um subconjunto de B se todo elemento de A é também um elemento de B. ‣ A ⊆ B se (∀x)(x ∈ A → x ∈ B) • A é um subconjunto próprio de B se A é subconjunto de B, mas existe pelo menos um elemento de B que não pertence a A. ‣ A ⊂ B se [(∀x)(x ∈ A→x ∈ B)∧(∃y)((y ∈ B)∧(y ∉ A))]
  • 13. Exemplos • Sejam os conjuntos R={7,9} e S={7,9,15,20} ‣ R ⊆ S ‣ R ⊂ S ‣ ∅ ⊆ R ‣ 15 ∈ S ‣ {15} ⊆ S ‣ {7,9} ⊆ R
  • 14. Exemplo • Considere os conjuntos A e B a seguir: ‣ A = {x | x ∈ ℝ e x2 - 4x + 3 = 0} ‣ B = {x | x ∈ ℕ e 1 ≤ x ≤ 4} • Prove que A ⊂ B.
  • 15. Conjuntos de Conjuntos • Dado um conjunto S, o conjunto das partes de S, denotado por ℘(S), é o conjunto formado pelos subconjuntos de S. ‣ os elementos de ℘(S) são conjuntos ‣ se S tem n elementos, então ℘(S) tem 2n • Seja S = {0, 1}, então ‣ ℘(S) = { ∅, {0}, {1}, {0, 1}}
  • 16. Tipos de Operações • Binárias ‣ envolve exatamente dois operandos • Unárias ‣ envolve um único operando
  • 17. Operação Binária • ⊚ é uma operação binária em um conjunto S se x⊚y existe, é único e pertence a S ‣ para todo par ordenado (x,y) de elementos de S ‣ ⊚ é bem definida se x⊚y existe e é único ‣ S é fechado em relação a ⊚ se x⊚y pertence a S
  • 18. Exemplos • A adição (+) é uma operação binária em ℤ ‣ x+y existe, é único e pertence a ℤ, ∀ x,y ∈ ℤ • A conjunção (∧) é uma operação binária no conjunto das FBFs proposicionais. • A subtração (-) não é uma operação binária em ℕ ‣ ℕ não é fechada em relação a - (3-5 ∉ ℕ)
  • 19. Operação Unária • ⊚ é uma operação unária em um conjunto S se ⊚x existe, é único e pertence a S ‣ para todo elemento x de S ‣ ⊚ é bem definida se ⊚x existe e é único ‣ S é fechado em relação a ⊚ se ⊚x pertence a S
  • 20. Exemplos • O negação lógica (′) é uma operação unária no conjunto das FBFs proposicionais • O oposto de um número (-) é uma operação unária ℤ, mas não em ℕ ‣ ℕ não é fechado em relação a -
  • 21. Operações em Conjuntos • Dada um conjunto arbitrário S, podemos definir operações no conjunto ℘(S) então denominado conjunto universo ‣ União ‣ Interseção ‣ Complemento ‣ Diferença ‣ Produto Cartesiano
  • 22. União • Sejam A, B ∈ ℘(S).A união de A e B, denotada por A ∪ B, é {x | x ∈ A ou x ∈ B} • Exemplo: ‣ Sejam S = ℕ;A = {1,2,5}; B = {1,3,9};A,B ∈ ℘(ℕ) ‣ A ∪ B = {1,2,3,5,9}
  • 23. Interseção • Sejam A, B ∈ ℘(S).A interseção de A e B, denotada por A ∩ B, é {x | x ∈ A e x ∈ B} • Exemplo: ‣ Sejam S=ℕ;A = {1,2,5}; B = {1,3,5,8};A,B ∈ ℘(ℕ) ‣ A ∩ B = {1,5}
  • 24. Complemento • Dado um conjunto A ∈ ℘(S), o complemento do conjunto A, denotado por A′, é o conjunto {x | x ∈ S e x ∉ A}
  • 25. Diferença • Dados os conjuntos A, B ∈ ℘(S).A diferença entre A e B, denotada por A - B, é o conjunto {x | x ∈ A e x ∉ B} • Exemplo: ‣ Sejam S=ℕ;A = {1,2,5,8}; B = {1,3,5};A,B ∈ ℘(ℕ) ‣ A - B = {2,8}
  • 26. Diagramas deVenn • Representação gráfica de propriedades e operações envolvendo conjuntos
  • 27. Produto Cartesiano • Sejam A, B subconjuntos de S. O produto cartesiano de A e B, denotado por A×B, é o conjunto {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B} • Exemplo: ‣ Sejam A={1,2} e B={3,4} ‣ A×B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
  • 28. Exemplo • Considere os seguintes conjuntos ‣ A = {1,2,3,5,10} ‣ B={2,4,7,8,9} ‣ C={5,8,10} ‣ subconjuntos de S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} • Determine A∪B,A-C e B′∩(A∪C)
  • 29. Identidades entre Conjuntos A∪B = B∪A A∩B = B∩A Comutatividade (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) Associatividade A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C) Distributividade A∪∅ = A A∩S = A Existência de elemento neutro A∪A´=S A∩A´=∅ Propriedades do complemento
  • 30. Exemplo • Prove que ‣ [A∪(B∩C)] ∩ [(A´∪(B∩C)) ∩ (B∩C)´] = ∅
  • 31. Dica • Para provar que A = B, mostre que: ‣ A ⊆ B e B ⊆ A
  • 32. Conjuntos Enumeráveis • Enumerar os elementos de um conjunto consiste em designar um elemento do conjunto como sendo o primeiro elemento, s1, um outro elemento como sendo o segundo, s2, e assim por diante. • Para provar que um conjunto é enumerável basta exibir um modo de enumerar todos os seus elementos.
  • 33. Conjuntos Finitos • Os conjuntos finitos são enumeráveis • Para um conjunto S finito com k elementos, podemos enumerar os elementos em uma determinada ordem ‣ s1, s2, ... , sk ‣ k é a cardinalidade do conjunto
  • 34. Conjuntos Infinitos • Alguns conjuntos infinitos são enumeráveis. • Podemos determinar uma forma de enumerar os elementos de um conjunto infinito ‣ s1, s2, s3, ...
  • 35. Conjuntos Infinitos • Exemplos de conjuntos infinitos enumeráveis: ‣ Podemos enumerar os elementos de ℕ definindo uma seqüência recorrente: 0, 1, 2, 3, ... ‣ Podemos enumerar os elementos de ℚ+ *
  • 36. Conjuntos Contáveis • São os conjuntos finitos e os conjuntos infinitos enumeráveis. • Ser contável não significa que podemos determinar o número total de elementos do conjunto. ‣ significa que podemos determinar a posição de qualquer elemento
  • 37. Existem conjuntos infinitos não-enumeráveis! Exemplo: o conjunto dos números reais entre 0 e 1.
  • 38. Exemplos • Prove que o cojunto dos números inteiros positivos pares é enumerável. • Prove que o conjunto do números racionais positivos é enumerável. • Prove que o conjunto de todos os números reais entre 0 e 1 não é enumerável.