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1. Teoria dos Conjuntos

2. Sumário
• Conceitos básicos
• Relações entre conjuntos
• Conjuntos de conjuntos
• Operações em conjuntos
• Identidades envolvendo conjuntos
• Conjuntos contáveis e não contáveis

3. Definições Intuitivas
• Um conjunto é uma coleção de objetos
‣ os elementos de um conjunto podem ser
determinados por alguma propriedade
‣ não existe uma ordem entre os objetos

4. Exemplo
• Seja C o conjunto dos números naturais
menores que 7
‣ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
‣ 2 ∈ C
‣ 8 ∉ C

5. Igualdade
• Dois conjuntos são iguais se eles contêm
os mesmos elementos
• A = B significa
‣ (∀x) [(x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A)]

6. Descrevendo um Conjunto
• Listar (ou listar parcialmente) os elementos
‣ C = {2, 4, 6, 8, 10, ...}
• Usar uma definição recorrente
‣ 2 ∈ C;
‣ Se x ∈ C, então x+2 ∈ C.
• Definir uma propriedade que caracteriza os
elementos
‣ C = {x | P(x)}, P(x): x é um inteiro positivo par

7. ConjuntoVazio
• O conjunto vazio é o conjunto que não
possui elementos.
‣ Símbolo do conjunto vazio: ∅
‣ ∅ = {}
‣ ∅ ≠ {∅}

8. Exemplos
• A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] }
• B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) }
• C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) }

9. Exemplos
• A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] }
• B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) }
• C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) }
‣ A = {0, 1, 8}

10. Exemplos
• A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] }
• B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) }
• C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) }
‣ A = {0, 1, 8}
‣ B = ℕ

11. Exemplos
• A = {x | (∃y)[ y ∈ {0,1,2} e x = y3 ] }
• B = {x | x ∈ ℕ e (∃y)(y ∈ ℕ e x ≤ y) }
• C = {x | x ∈ ℕ e (∀y)(y ∈ ℕ → x ≤ y) }
‣ A = {0, 1, 8}
‣ B = ℕ
‣ C = {0}

12. Relações entre Conjuntos
• A é um subconjunto de B se todo elemento
de A é também um elemento de B.
‣ A ⊆ B se (∀x)(x ∈ A → x ∈ B)
• A é um subconjunto próprio de B se A é
subconjunto de B, mas existe pelo menos
um elemento de B que não pertence a A.
‣ A ⊂ B se [(∀x)(x ∈ A→x ∈ B)∧(∃y)((y ∈ B)∧(y ∉ A))]

13. Exemplos
• Sejam os conjuntos R={7,9} e S={7,9,15,20}
‣ R ⊆ S
‣ R ⊂ S
‣ ∅ ⊆ R
‣ 15 ∈ S
‣ {15} ⊆ S
‣ {7,9} ⊆ R

14. Exemplo
• Considere os conjuntos A e B a seguir:
‣ A = {x | x ∈ ℝ e x2 - 4x + 3 = 0}
‣ B = {x | x ∈ ℕ e 1 ≤ x ≤ 4}
• Prove que A ⊂ B.

15. Conjuntos de Conjuntos
• Dado um conjunto S, o conjunto das partes
de S, denotado por ℘(S), é o conjunto
formado pelos subconjuntos de S.
‣ os elementos de ℘(S) são conjuntos
‣ se S tem n elementos, então ℘(S) tem 2n
• Seja S = {0, 1}, então
‣ ℘(S) = { ∅, {0}, {1}, {0, 1}}

16. Tipos de Operações
• Binárias
‣ envolve exatamente dois operandos
• Unárias
‣ envolve um único operando

17. Operação Binária
• ⊚ é uma operação binária em um conjunto S
se x⊚y existe, é único e pertence a S
‣ para todo par ordenado (x,y) de elementos de S
‣ ⊚ é bem definida se x⊚y existe e é único
‣ S é fechado em relação a ⊚ se x⊚y pertence a S

18. Exemplos
• A adição (+) é uma operação binária em ℤ
‣ x+y existe, é único e pertence a ℤ, ∀ x,y ∈ ℤ
• A conjunção (∧) é uma operação binária no
conjunto das FBFs proposicionais.
• A subtração (-) não é uma operação binária
em ℕ
‣ ℕ não é fechada em relação a - (3-5 ∉ ℕ)

19. Operação Unária
• ⊚ é uma operação unária em um conjunto S
se ⊚x existe, é único e pertence a S
‣ para todo elemento x de S
‣ ⊚ é bem definida se ⊚x existe e é único
‣ S é fechado em relação a ⊚ se ⊚x pertence a S

20. Exemplos
• O negação lógica (′) é uma operação unária
no conjunto das FBFs proposicionais
• O oposto de um número (-) é uma
operação unária ℤ, mas não em ℕ
‣ ℕ não é fechado em relação a -

21. Operações em
Conjuntos
• Dada um conjunto arbitrário S, podemos
definir operações no conjunto ℘(S) então
denominado conjunto universo
‣ União
‣ Interseção
‣ Complemento
‣ Diferença
‣ Produto Cartesiano

22. União
• Sejam A, B ∈ ℘(S).A união de A e B,
denotada por A ∪ B, é {x | x ∈ A ou x ∈ B}
• Exemplo:
‣ Sejam S = ℕ;A = {1,2,5}; B = {1,3,9};A,B ∈ ℘(ℕ)
‣ A ∪ B = {1,2,3,5,9}

23. Interseção
• Sejam A, B ∈ ℘(S).A interseção de A e B,
denotada por A ∩ B, é {x | x ∈ A e x ∈ B}
• Exemplo:
‣ Sejam S=ℕ;A = {1,2,5}; B = {1,3,5,8};A,B ∈ ℘(ℕ)
‣ A ∩ B = {1,5}

24. Complemento
• Dado um conjunto A ∈ ℘(S), o complemento
do conjunto A, denotado por A′, é o
conjunto {x | x ∈ S e x ∉ A}

25. Diferença
• Dados os conjuntos A, B ∈ ℘(S).A
diferença entre A e B, denotada por A - B, é
o conjunto {x | x ∈ A e x ∉ B}
• Exemplo:
‣ Sejam S=ℕ;A = {1,2,5,8}; B = {1,3,5};A,B ∈ ℘(ℕ)
‣ A - B = {2,8}

26. Diagramas deVenn
• Representação gráfica de propriedades e
operações envolvendo conjuntos

27. Produto Cartesiano
• Sejam A, B subconjuntos de S. O produto
cartesiano de A e B, denotado por A×B, é o
conjunto {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}
• Exemplo:
‣ Sejam A={1,2} e B={3,4}
‣ A×B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

28. Exemplo
• Considere os seguintes conjuntos
‣ A = {1,2,3,5,10}
‣ B={2,4,7,8,9}
‣ C={5,8,10}
‣ subconjuntos de S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
• Determine A∪B,A-C e B′∩(A∪C)

29. Identidades entre Conjuntos
A∪B = B∪A A∩B = B∩A Comutatividade
(A∪B)∪C = A∪(B∪C) (A∩B)∩C = A∩(B∩C) Associatividade
A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C) Distributividade
A∪∅ = A A∩S = A Existência de
elemento neutro
A∪A´=S A∩A´=∅ Propriedades do
complemento

30. Exemplo
• Prove que
‣ [A∪(B∩C)] ∩ [(A´∪(B∩C)) ∩ (B∩C)´] = ∅

31. Dica
• Para provar que A = B, mostre que:
‣ A ⊆ B e B ⊆ A

32. Conjuntos Enumeráveis
• Enumerar os elementos de um conjunto
consiste em designar um elemento do
conjunto como sendo o primeiro
elemento, s1, um outro elemento como
sendo o segundo, s2, e assim por diante.
• Para provar que um conjunto é enumerável
basta exibir um modo de enumerar todos
os seus elementos.

33. Conjuntos Finitos
• Os conjuntos finitos são enumeráveis
• Para um conjunto S finito com k
elementos, podemos enumerar os
elementos em uma determinada ordem
‣ s1, s2, ... , sk
‣ k é a cardinalidade do conjunto

34. Conjuntos Infinitos
• Alguns conjuntos infinitos são enumeráveis.
• Podemos determinar uma forma de
enumerar os elementos de um conjunto
infinito
‣ s1, s2, s3, ...

35. Conjuntos Infinitos
• Exemplos de conjuntos infinitos
enumeráveis:
‣ Podemos enumerar os elementos de ℕ
definindo uma seqüência recorrente: 0, 1, 2, 3, ...
‣ Podemos enumerar os elementos de ℚ+
*

36. Conjuntos Contáveis
• São os conjuntos finitos e os conjuntos
infinitos enumeráveis.
• Ser contável não significa que podemos
determinar o número total de elementos
do conjunto.
‣ significa que podemos determinar a posição de
qualquer elemento

37. Existem conjuntos infinitos não-enumeráveis!
Exemplo: o conjunto dos números
reais entre 0 e 1.

38. Exemplos
• Prove que o cojunto dos números inteiros
positivos pares é enumerável.
• Prove que o conjunto do números
racionais positivos é enumerável.
• Prove que o conjunto de todos os números
reais entre 0 e 1 não é enumerável.