O documento descreve conceitos de paralelismo e perpendicularidade entre retas e planos no espaço tridimensional. Define-se que duas retas são paralelas se seus vetores diretores forem colineares, e perpendiculares se seus vetores diretores forem ortogonais. Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem colineares, e perpendiculares se seus vetores normais forem ortogonais. A interseção de três planos pode resultar em um ponto, uma reta ou os planos podem ser coincidentes.

1. Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
1. Rectas Paralelas
r → ( x, y , z ) = ( x0 , y0 , zo ) + λ ( v1 , v2 , v3 ) , λ ∈ℜ
s → ( x, y , z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) , k ∈ℜ
Se as rectas são paralelas
r
v ( v1 , v2 , v3 ) os vectores directores são
colineares
r r
r v = ku
r u ( u1 , u2 , u3 ) ou seja:
s
v1 v2 v3
= =
u1 u2 u3
Jorge Freitas
ESAS 2006

2. Exemplo 1
r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ
s → ( x, y, z ) = ( 1, 0, 0 ) + k ( −6, −4, 2 ) , k ∈ℜ
• São paralelas porque os vectores
r r
v ( 3, 2, −1) e u ( −6, −4, 2 )
são colineares
r r 3 2 −1
u = −2v ⇔ = =
−6 −4 2
Jorge Freitas
ESAS 2006

3. Exemplo 2
r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ
x −3 y + 2 z −3
s → = =
−6 −4 2
• São paralelas porque os vectores
r r
v ( 3, 2, −1) e u ( −6, −4, 2 )
são colineares
r r 3 2 −1
u = −2v ⇔ = =
−6 −4 2
Jorge Freitas
ESAS 2006

4. Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
2. Rectas Perpendiculares
r → ( x, y , z ) = ( x0 , y0 , zo ) + λ ( v1 , v2 , v3 ) , λ ∈ℜ
s → ( x, y , z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + k ( u1 , u2 , u3 ) , k ∈ℜ
Se as rectas são perpendiculares
os vectores directores são
r
v ( v1 , v2 , v3 ) r perpendiculares
u ( u1 , u2 , u3 ) r r
v× =0
u
ou seja:
r v1u1 + v2u2 + v3u3 = 0
s
Jorge Freitas
ESAS 2006

5. Exemplo 1
r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ
s → ( x, y, z ) = ( 1, 0, 0 ) + k ( 1, 0,3) , k ∈ℜ
• São perpendiculares porque os vectores
r r
v ( 3, 2, −1) e u ( 1, 0,3)
são perpendiculares
r r
u ×v = 0 ⇔ 3 × 1 + 2 × 0 + ( −1) × 3 = 0
Jorge Freitas
ESAS 2006

6. Exemplo 2
r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 3, 2, −1) , λ ∈ℜ
x −3 z −3
 =
s → 2 6
 y = −3

• São perpendiculares porque os vectores
r r
v ( 3, 2, −1) e u ( 2, 0, −6 )
são perpendiculares
r r
u ×v = 0 ⇔ 3 × 2 + 2 × 0 + ( −1) × 6 = 0
Jorge Freitas
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7. Paralelismo e Perpendicularidade de Planos
1. Planos Paralelos
α → ax + by + cz + d = 0
β → a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0
r
v (a, b, c)
Se os planos são paralelos
α os vectores perpendiculares
aos planos são colineares
r r r
u (a′, b′, c′ ) v = ku
ou seja:
β
a b c
= =
a ′ b′ c ′
Jorge Freitas
ESAS 2006

8. Exemplo
α → x − 3y + 2z − 7 = 0
β → −2 x + 6 y − 4 z + 5 = 0
• São paralelos porque os vectores
r r
v ( 1, −3, 2 ) e u ( −2, 6, −4 )
são colineares
r r 1 −3 2
u = −2v ⇔ = =
−2 6 −4
Jorge Freitas
ESAS 2006

9. Paralelismo e Perpendicularidade de Planos
2. Planos Perpendiculares
α → ax + by + cz + d = 0
β → a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0
r Se os planos são perpendiculares
u (a′, b′, c′ ) os vectores perpendiculares aos
planos são perpendiculares entre si
r
v (a, b, c)
rr
v .u = 0
ou seja:
α
aa′ + bb′ + cc′ = 0
Jorge Freitas
β
ESAS 2006

10. Exemplo
α → x − 3y + 2z − 7 = 0
β → −2 x − 2 y − z + 5 = 0
• Os planos são perpendiculares porque os vectores
r r
v ( 1, −3, 2 ) e u ( −2, −2, −1)
são perpendiculares
r r
u ×v = 0 ⇔ 2 × ( −2 ) + ( −3) × ( −2 ) + 2 × ( −1) = 0 ⇔
r r
u ×v = 0 ⇔ −4 + 6 − 2 = 0
Jorge Freitas
ESAS 2006

11. Perpendicularidade de Rectas e Planos
α → ax + by + cz + d = 0
x − x1 y − y1 z − z1
r → = =
v1 v2 v3
Se a recta é perpendicular ao
plano, é paralela ao vector
r perpendicular ao plano
v (v1 , v2 , v3 ) r r r r r
u ( a , b, c ) v // u ou v = ku
ou seja:
v1 v2 v3
α = =
a b c
Jorge Freitas
r
ESAS 2006

12. Exemplo
α → x − 3y + 2z − 7 = 0
r → ( x, y, z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 2, −6, 4 ) , λ ∈ℜ
• A recta é perpendicular ao plano porque os vectores
r r
v ( 1, −3, 2 ) e u ( 2, −6, 4 )
são colineares (ou paralelos)
r r 1 −3 2
u = 2v ⇔ = =
2 −6 4
Jorge Freitas
ESAS 2006

13. Paralelismo de Rectas e Planos
α → ax + by + cz + d = 0
x − x1 y − y1 z − z1
r → = =
v1 v2 v3
Se a recta é paralela ao plano,
é perpendicular ao vector
r perpendicular ao plano
v (v1 , v2 , v3 ) r r r r r
u ( a , b, c ) v ⊥ u ou v × = 0
u
ou seja:
α aa′ + bb′ + cc′ = 0
EscolaJorge Freitas
Secundária Alberto Sampaio
Jorge Manuel 2006
ESAS Carneiro de Freitas
Março 2006

14. Exemplo
α → x − 3y + 2z − 7 = 0
r → ( x, y , z ) = ( −1, 0, 2 ) + λ ( 2, 2, 2 ) , λ ∈ℜ
• A recta é paralela ao plano porque os vectores
r r
v ( 1, −3, 2 ) e u ( 2, 2, 2 )
são perpendiculares
r r
u ×v = 0 ⇔ 1× 2 + ( −3) × 2 + 2 × 2 = 0 ⇔
r r
u ×v = 0 ⇔ 2 − 6 + 4 = 0
Jorge Freitas
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15. Intersecção de planos
Jorge Freitas
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16. Posição relativa de 3 planos
α → ax + by + cz + d = 0
β → a′x + b′y + c′z + d ′ = 0
γ → a′′x + b′′y + c′′z + d ′′ = 0 r
w (a′ , b′ , c′ )
r
v (a, b, c) γ
r
u (a′ , b′ , c′ )
α
Jorge Freitas
β
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17. A intersecção de três planos obtém-se
resolvendo o sistema:
ax + by + cz + d = 0

a ′x + b′y + c′z + d ′ = 0
a ′′x + b′′y + c′′z + d ′′ = 0

Jorge Freitas
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18. r r r
v, u e w
não são colineares
Sistema possível
e determinado. r
w (a′ , b′ , c′ )
γ
A
A solução é r
r v ( a , b, c )
(x0,y0,z0) u (a′, b′, c′ )
(coordenadas
do ponto A)
β α
Jorge Freitas
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19. Os 3 planos intersectam-se
num ponto. O sistema
é possível e determinado. 
w ( a ′ , b′ , c ′ )
A solução é γ
(x0,y0,z0) A

(coordenadas  u (a′, b′, c′ )
v (a, b, c)
do ponto A)
α
β
  
v, u e w
não são colineares
Jorge Freitas
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20. Exemplo
x + 2 y − z + 6 = 0

3 x + y + z = 4
x − 3y − 2z = 1

• Os três planos intersectam-se num ponto.
• O sistema tem solução
x = 1 Resolver o sistema:

 y = −2 • na calculadora
• método da substituição
z = 3
 • método da redução
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21.   
v, u e w
Os três planos não são colineares
intersectam-se segundo
uma recta. r
O sistema
é possível e γ 
 u ( a ′ , b′ , c ′ )
indeterminado. v ( a , b, c )

w ( a ′ , b′ , c ′ )
β
As soluções são
todos os pontos da recta r
α
Jorge Freitas
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22. Exemplo
 x + 2 y − 3z = −6

2 x − y − z = 3
 x + y − 2 z = −3

• Os três planos intersectam-se numa recta.
• O sistema é indeterminado
z = x x−0 y +3 z −0
 ⇔ x = y+3= z ⇔ = =
z = y + 3 1 1 1
Jorge Freitas
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23. Dois dos planos são  
coincidentes. u // w
O sistema
é possível e
indeterminado.  γ
w ( a ′ , b′ , c ′ )
r
As soluções 
u (a′, b′, c′ ) β
são as coordenadas
v (a, b, c)
de cada um dos
pontos da recta r
α
Jorge Freitas
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24. Exemplo
 x + 2 y − 3z = −6

2 x + 4 y − 6 z = −12
 x + y − 2 z = −3

• Dois dos planos são coincidentes
• Os três planos intersectam-se numa recta.
• O sistema é indeterminado
z = x x−0 y +3 z −0
 ⇔ x = y +3= z ⇔ = =
z = y + 3 1 1 1
Jorge Freitas
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25. Os 3 planos são   
coincidentes v // u // w
O sistema é
indeterminado

Qualquer ponto destes u (a′, b′, c′ )
planos é solução 
v ( a , b, c )
do sistema. β 
w ( a ′ , b′ , c ′ )
γ
α
Jorge Freitas
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26. Exemplo
 x + 2 y − 3z = −6

2 x + 4 y − 6 z = −12
− x − 2 y + 3 z = 6

• Os três planos são coincidentes
• Qualquer ponto de um dos planos pertence também
aos outros planos
• O sistema é indeterminado
Jorge Freitas
ESAS 2006

27.   
v // u // w
Os 3 planos são
estritamente 
w (a′ , b′ , c′ )
paralelos
γ

Os planos u (a′, b′, c′ )
não se intersectam
β
O sistema é
impossível 
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v ( a , b, c ) α

28. Exemplo
 x + 2 y − 3 z = −6

 x + 2 y − 3z = 0
 x + 2 y − 3z = 5

• Os três planos estritamente paralelos
• Os três planos nunca se interceptam
• O sistema é impossível
Jorge Freitas
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29.  
v // u
Dois dos planos são
estritamente γ
 
paralelos w ( a ′ , b′ , c ′ ) u (a′, b′, c′ )
β
Os 3 planos
não se
intersectam  α
v ( a , b, c )
O sistema é
impossível
Jorge Freitas
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30. Exemplo
 x + 2 y − 3 z = −6

− x − 2 y + 3 z = 0
2 x + y − 3 z = 2

• Dois dos planos são estritamente paralelos
• O terceiro plano intersecta-os segundo rectas
paralelas entre si
 − x + y = −8 y = x −8
 ⇔
x − y = 2 y = x − 2
• O sistema é impossível
Jorge Freitas
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31.   
v, u e w
Os 3 planos não são colineares
intersectam-se
2 a 2 segundo
rectas
estritamente
paralelas
 
u (a′, b′, c′ ) v ( a , b, c )
O sistema é

impossível w ( a ′ , b′ , c ′ )
α
γ β
Jorge Freitas
ESAS 2006

32. Exemplo
x + y + z = 6

2 x − y = −1
3 x + z = 2

• Os três planos não são paralelos
• Os planos intersetam-se dois a dois segundo
rectas paralelas
3 y + 2 z = −11

3 y + 2 z = 16 • O sistema é impossível
3 y + 2 z = 7

Jorge Freitas
ESAS 2006

33. F i m
Jorge Freitas
ESAS 2006