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<ul><li>Em geral, uma relação binária pode ser definida por uma descrição da relação, ao invés da lista dos pares ordenado...
<ul><li>De  Um para Um : se cada primeira ordenada e segunda ordenada aparecem apenas uma vez na relação. </li></ul><ul><l...
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Relaçõese ordem parcial cor

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Relaçõese ordem parcial cor

  1. 1. <ul><li>Se descobrimos que duas pessoas, Tales e Julia estão relacionados, entenderemos que existe alguma conexão entre elas. Ou seja o par (Tales, Julia) se diferencia de outros pares ordenados de pessoas porque existe uma relação que essas duas pessoas satisfazem (eles podem ser irmãos, primos, namorados, etc.). </li></ul><ul><li>Matematicamente podemos definir relações de forma análoga. </li></ul>
  2. 2. <ul><li>Dados dois conjuntos S e T, uma relação binária de S para T é um subconjunto de S x T (um conjunto de pares ordenados de elementos de S com elementos de T, respectivamente) . </li></ul><ul><li>Exemplo: S = {1,2,3} e T={2,4,7}. O conjunto R={(1,2),(2,4),(2,7)} é formado por elementos de SxT e, portanto, é uma relação binária de S em T. </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Dado um conjunto S, uma relação binária R em S é um subconjunto de S x S. </li></ul><ul><li>x R y se e somente se (x,y) pertencer a R. </li></ul><ul><li>Exemplo : S = {1,2,3} e x R y se e somente se </li></ul><ul><li>x = y ou x > y. </li></ul><ul><li>Então S x S = </li></ul><ul><li>{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)} </li></ul><ul><li>e R = {(1,1),(2,2),(3,3),(2,1),(3,1)(3,2)}. </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Considere a relação R definida sobre o conjunto IN e verifique quais pares ordenados pertencem a R. </li></ul><ul><li>a) xRy se só se x=y+1: (2,2), (2,3),(3,3),(3,2). </li></ul><ul><li>b) xRy se e só se x divide y : (2,4),(2,5),(2,1),(2,26). </li></ul><ul><li>c) xRy se e só se x é ímpar : (2,3),(3,4),(13,18),(23,0), (107,13). </li></ul><ul><li>d) xRy se e só se x > y 2 : (2,1),(1,2),(7,5),(5,13),(4,3). </li></ul><ul><li>e) xRy se e só se x + y é par: (2,3),(5,7),(1,0),(103,48),(65,77). </li></ul><ul><li>Ver exercícios 1, 2, 3 das pág. 209 e 210. </li></ul>
  5. 5. <ul><li>S={1,2} e x R y se e somente se x + y é par, então </li></ul><ul><li>S x S = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} e </li></ul><ul><li>R = {(1,1),(2,2)}. </li></ul><ul><li>Diz-se que </li></ul><ul><li>1 se relaciona com 1 </li></ul><ul><li>2 se relaciona com 2. </li></ul>
  6. 6. <ul><li>Em geral, uma relação binária pode ser definida por uma descrição da relação, ao invés da lista dos pares ordenados. A descrição fornece uma caracterização dos elementos pertencentes à relação. </li></ul><ul><li>Exemplo: S = {Maria, José, Carlos} e Maria tem 10 anos, José, 11 e Carlos, 9. </li></ul><ul><li>x R y se e somente se x é mais novo que y. </li></ul><ul><li>O par (Maria,Maria) está na relação? </li></ul><ul><li>Carlos se relaciona com José? </li></ul><ul><li>José se relaciona com alguém? </li></ul>
  7. 7. <ul><li>De Um para Um : se cada primeira ordenada e segunda ordenada aparecem apenas uma vez na relação. </li></ul><ul><li>De Um para Muitos : se alguma primeira ordenada aparece mais de uma vez. </li></ul><ul><li>De Muitos para Um : se alguma segunda ordenada aparece em mais de um par. </li></ul><ul><li>De Muitos para Muitos : se alguma primeira ordenada aparece em mais de um par e alguma segunda ordenada aparece em mais de um par. </li></ul>
  8. 8. <ul><li>Exemplo: S = {1,2} e R1={(1,1),(2,2)} é uma relação binária de um para um . </li></ul><ul><li>R2={(1,1),(1,2)} não é. </li></ul><ul><li>R2 é uma relação de um para muitos . </li></ul><ul><li>Classifique as relações vistas nos exemplos anteriores. </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Seja R uma relação binária em um conjunto S. Então: </li></ul><ul><li>R é reflexiva quando para todo x de S </li></ul><ul><li>(x,x) pertencer a R. </li></ul><ul><li>R é simétrica quando para todo x,y de S </li></ul><ul><li>(x,y) pertencer a R implicar em (y,x) pertencer a R. </li></ul><ul><li>R é transitiva quando para todo x, y, z de S </li></ul><ul><li>(x,y) e (y,z) pertencer a R implicar em </li></ul><ul><li>(x,z) pertencer a R. </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Uma relação que seja reflexiva, simétrica e transitiva é dita relação de equivalência . </li></ul><ul><li>R é anti-simétrica quando para todo x,y de S </li></ul><ul><li>(x,y)  R e (y,x)  R implicar em x=y. </li></ul>
  11. 11. <ul><li>Que propriedades as relações abaixo satisfazem? </li></ul><ul><li>1) S={1,2} e x R y se e somente se x + y é par. </li></ul><ul><li>2) Exemplo: S = {Maria, José, Carlos} e </li></ul><ul><li>Maria tem 10 anos, José,11 e Carlos, 9. </li></ul><ul><li>x R y se e somente se x é mais novo que y. </li></ul><ul><li>3) S = {1,2,3} e x R y se e somente se x = y ou x >y. </li></ul><ul><li>4) S={aluno da turma de matemática discreta} e </li></ul><ul><li>xRy se e somente se x e y estão na mesma fila. </li></ul><ul><li>Ver livro Fundamentos Matemáticos, pág. 209, 210, 211, 212. </li></ul>
  12. 12. <ul><li>As relações de equivalência dividem o conjunto sobre o qual ela é definida em classes de equivalência . Nelas, todos os elementos se relacionam e não há relação com nenhum outro de fora da classe. </li></ul><ul><li>Ex.: IN e xRy se x+y for par. </li></ul><ul><li>Nesse caso temos duas classes, a dos pares e a dos ímpares. </li></ul><ul><li>Ex.: S é o conjunto de alunos de uma sala e xRy se e só se x e y estiverem na mesma fila. Como são as classes nesse caso? </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Uma relação em um conjunto S que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada de ordem parcial em S. </li></ul><ul><li>Exemplo 1: S = IN e xRy se e só se x ≤ y </li></ul><ul><li>É reflexiva, pois x ≤ x. </li></ul><ul><li>É anti-simétrica, pois x ≤ y e y ≤ x implica em </li></ul><ul><li>x=y. </li></ul><ul><li>É transitiva, pois x ≤ y e y ≤ z implica em x ≤ z. </li></ul>
  14. 14. <ul><li>Def.: Se R é uma relação de ordem parcial sobre o conjunto S, então o par ordenado (S,R) é chamado conjunto parcialmente ordenado . </li></ul><ul><li>Verifique quais os pares (S,R) abaixo são conjuntos parcialmente ordenados: </li></ul><ul><li>Exercício 1: S={1,2,3,4,5,6} e </li></ul><ul><li>xRy se e só se x divide y. </li></ul><ul><li>Exercício 2: S é o conj. de pessoas de Recife </li></ul><ul><li>xRy se e só se x é pelo menos tão alto quanto y. </li></ul><ul><li>Exercício 3: S é o conjunto de retas do plano e xRy se e só se x e y forem retas paralelas </li></ul>
  15. 15. <ul><li>Sendo S um conjunto finito podemos representar visualmente um conjunto parcialmente ordenado (S,R) por um diagrama de Hasse . </li></ul><ul><li>Cada elemento de S é representado por um ponto, denominado nó ou vértice do diagrama. </li></ul><ul><li>Predecessor de um número: Se xRy, dada a relação R, então temos duas opções: </li></ul><ul><li>x = y ou x ≠ y. </li></ul><ul><li>Se x ≠ y, dizemos que x é um predecessor de y, ou que y é um sucessor de x. </li></ul>
  16. 16. <ul><li>Se y é um sucessor de x e não existe nenhum outro predecessor entre x e y, então dizemos que x é um predecessor imediato de x. </li></ul><ul><li>Considere S = {1,2,3,6,12,18} e </li></ul><ul><li>xRy se x divide y. </li></ul><ul><li>Determine os pares da relação, escreva todos os predecessores de todos os elementos e os imediatos de 6. </li></ul><ul><li>Ver ex. 10, pág. 203. </li></ul>
  17. 17. <ul><li>Cada elemento de S é representado por um ponto no diagrama. Se x é um predecessor imediato de y, o nó que representa y é colocado acima do nó que representa x e os dois nós são conectados por um segmento de reta. </li></ul><ul><li>Agora, represente o exemplo citado anteriormente, através do seu diagrama de Hasse. </li></ul><ul><li>Ex. 20, 21, 23, 24, 25 da pág. 212 e 213. </li></ul>

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