Tópico 09 - Integral

2.994 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
0 comentários
7 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.994
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
158
Comentários
0
Gostaram
7
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Tópico 09 - Integral

  1. 1. Matemática I Tópico 09– Integrais Ricardo Bruno N. dos Santos Professor Faculdade de Economia e do PPGE (Economia) UFPA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA FACULDADE DE ECONOMIA
  2. 2. Integração
  3. 3. 9 – Integração
  4. 4. 9 – Integração
  5. 5. 9 – Integração: A integral indefinida
  6. 6. Regras Básicas
  7. 7. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  8. 8. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  9. 9. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  10. 10. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  11. 11. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  12. 12. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  13. 13. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  14. 14. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  15. 15. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  16. 16. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  17. 17. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  18. 18. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  19. 19. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  20. 20. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  21. 21. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  22. 22. 9 – Integração: Regras básicas de integração Como escolher u e dv Escolha u e dv, tais que 1 – du é mais simples que u; 2 – dv é mais fácil de integrar
  23. 23. 9 – Integração: Regras básicas de integração
  24. 24. Integral: Exemplos no Geogebra Vamos verificar alguns comandos importantes para uso de integrais no Geogebra.
  25. 25. A Integral Definida
  26. 26. 9 – Integração: A Integral Definida ( )f t t 1,2 4 O produto irá dar 4,8 milhões de barris.
  27. 27. 9 – Integração: A Integral Definida x a x b ( )y f x
  28. 28. 9 – Integração: A Integral Definida
  29. 29. Essa respectiva área S é conhecida como área sob o gráfico de f no intervalo [a,b], ou de a a b. Vamos partir de um exemplo interativo que no final culminará com o uso do conceito da integral. Imagine que tenhamos o seguinte gráfico abaixo: 2 ( )f x x 9 – Integração: A Integral Definida
  30. 30. Vamos supor que queiramos calcular um valor de área até o ponto 2. É mais fácil fazer o cálculo de áreas retangulares, bem podemos dividir a área abaixo em áreas retangulares onde: 9 – Integração: A Integral Definida
  31. 31. Calculando a área teremos: 1 4 1 4 f 1 2 3 4 f 3 4 1 2 f 1 1 4 1 1 4 f 3 2 3 2 f 1f 3 2 4 f 3 2 4 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 3 1 1 2 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 2 4 4 1 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2,75 4 A f f f f f f f A f f f f f f f 9 – Integração: A Integral Definida
  32. 32. Continuando o calculo da área Ou aproximadamente 2,1875 unidade quadrada. Porém, podemos reduzir ainda mais o tamanho dessa área com o objetivo de melhorar a precisão do valor da área, uma forma de conseguirmos isso é reduzindo o tamanho do retângulo de ¼ para 1/8. Assim teríamos o gráfico: 2 2 2 2 2 2 21 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 2,75 4 0,25(0,0625 0,25 0,5625 1 1,5625 2,25 3,0625) 0,25(8,75) 2,1875 A 9 – Integração: A Integral Definida
  33. 33. Calculando a área teremos: 9 – Integração: A Integral Definida
  34. 34. 9 – Integração: A Integral Definida
  35. 35. 9 – Integração: A Integral Definida Agora vamos dar atenção ao estudo de limites de somas de Riemann envolvendo funções que não são necessariamente não-negativas. Tais limites surgem em muitas aplicações do cálculo. Por exemplo, o cálculo da distância percorrida por um corpo que se move ao longo de uma reta envolve a determinação de um limite dessa forma. O cálculo da receita total realizada por uma companhia num certo período, o cálculo da energia elétrica total consumida numa residência ao longo de 24 horas, a concentração média de uma droga num corpo ao longo de um certo intervalo de tempo, e o volume de um sólido – todos envolvem limites desse tipo. Vamos então a uma nova definição:
  36. 36. 9 – Integração: A Integral Definida
  37. 37. 9 – Integração: A Integral Definida
  38. 38. 9 – Integração: A Integral Definida
  39. 39. 9 – Integração: A Integral Definida
  40. 40. 9 – Integração: A Integral Definida O Teorema fundamental do cálculo E a partir da definição de integral definida que chegamos a um dos mais importantes teoremas da matemática, trata-se do teorema fundamental do cálculo. O teorema a seguir nos mostra como calcular a integral definida de uma função contínua, desde que possamos encontrar uma antiderivada desta função. Devido à sua importância em estabelecer a relação entre diferenciação e integração, este teorema, descoberto independentemente por sir Isaac Newton na Inglaterra e Gottfried Wilhelm Leibniz na Alemanha.
  41. 41. 9 – Integração: A Integral Definida
  42. 42. 9 – Integração: A Integral Definida
  43. 43. 9 – Integração: A Integral Definida
  44. 44. 9 – Integração: A Integral Definida
  45. 45. 9 – Integração: A Integral Definida
  46. 46. 9 – Integração: A Integral Definida
  47. 47. 9 – Integração: A Integral Definida A situação (5) pode ser retratada no gráfico acima.
  48. 48. 9 – Integração: A Integral Definida
  49. 49. 9 – Integração: A Integral Definida
  50. 50. 9 – Integração: A Integral Definida
  51. 51. 9 – Integração: A Integral Definida
  52. 52. 9 – Integração: Área entre duas curvas Suponha que em um certo país as projeções sejam de que o consumo de petróleo cresça à taxa de f(t) milhões de barris por ano, daqui a t anos, pelos próximos 5 anos. Então, o consumo total de petróleo daquele país durante o período em questão é dado pela área sob o gráfico de f no intervalo [0, 5]. Em seguida suponha que devida a implementação de certas medidas de economia de energia, a taxa de crescimento do consumo de petróleo seja ao invés de f(t), passa a ser g(t) milhões de barris de petróleo ano. Neste caso, o consumo total de petróleo projetado para o período de 5 anos é dado pela área sob o gráfico de g no intervalo [0, 5].
  53. 53. 9 – Integração: Área entre duas curvas
  54. 54. 9 – Integração y=f(t) y=g(t)
  55. 55. 9 – APLICAÇÕES DA INTEGRAL: O excedente do consumidor e do produtor
  56. 56. 9 – APLICAÇÕES DA INTEGRAL: O excedente do consumidor e do produtor
  57. 57. 9 – APLICAÇÕES DA INTEGRAL: O excedente do consumidor e do produtor Já o excedente do produtor parte da lógica de que se os ofertantes (produtores) estiverem dispostos a vender seus produtos a um preço mais baixo que o de mercado. Com isso, toda a área que estiver entre o preço praticado no mercado e o preço de oferta dos produtores será o excedente, podemos visualizar isso pelo gráfico a seguir:
  58. 58. 9 – APLICAÇÕES DA INTEGRAL: O excedente do consumidor e do produtor
  59. 59. 9 – APLICAÇÕES DA INTEGRAL: O excedente do consumidor e do produtor
  60. 60. Aplicação
  61. 61. FIM DO TÓPICO

×