Slides de Cálculo Financeiro_Capitulo_02_RC_2023_24.pdf

Ana Paula Lopes, Manuel Mendes Monteiro, Mário Nuno Fernandes
Licenciatura em Contabilidade e Administração
2023/2024
1
Cálculo Financeiro
Capítulo 2 – Regime Composto

2. Regime Composto
2.1. Capitalização
2.2. Taxas de juro
2.3. Atualização
2.4. Taxa Anual de Encargos Efetiva Global (T.A.E.G.)
Regime Composto

2. Regime Composto
2.1 Capitalização
Regime de Capitalização Composta
Valor acumulado em Regime Composto
Fórmula Fundamental do Juro Composto
2.2. Taxas de juro
2.3. Atualização
2.4. Taxa Anual de Encargos Efetiva Global (T.A.E.G.)
Regime Composto

Regime de Capitalização Composta
Este regime carateriza-se pelo facto de existirem juros de juros,
isto é, os juros produzidos em cada período da capitalização
são adicionados ao capital inicial e passam também eles as
vencer juros nos períodos seguintes.
O juro de cada período k é igual ao produto do capital no
início do período Ck-1, pela taxa de juro:
Regime Composto - Capitalização
1
−
= k
j C i

Ana Paula Lopes, Manuel Mendes Monteiro, Mário Nuno Fernandes 5
Representação Gráfica
Reta do tempo com unidade igual ao período da taxa de juro i
Capitalização
Cn Capitais
n Tempo
Períodos de capitalização
…
C0
0
C1= C0+C0i
1
C2= C1+C1i
2
C3= C2+C2i
3 …
Capitalização Capitalização

Valor Acumulado em Regime Composto
Exemplo 1
Considere uma aplicação de 100 000,00 €, durante 10 anos, à
taxa de juro composto anual de 10%.

Exemplo 1 (continuação)
( )
( ) ( )
( ) ( )
=
= +  
 =  + =
= +  
 =  + =  + =
= +  
 =  + =  + =
0
1
1
2
2
2
3
3
3
10
C 100 000
C 100 000 100 000 0,1
C 100 000 1 0,1 110 000
C 110 000 110 000 0,1
C 110 000 1 0,1 100 000 1 0,1 121000
C 121000 121000 0,1
C 121000 1 0,1 100 000 1 0,1 133 100
C ( )
=  + =
10
100 000 1 0,1 259 374,25

Generalizando
Consideremos na época zero um capital C0.
Capitalizando C0 durante n períodos de uma taxa i obtemos:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
1 0 1 0 0 0
2
2 1 2 1 1 1 0 0
2 3
3 2 3 2 2 2 0 0
2 1
1 2 1 2 2 2 0 0
1 1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
− −
− − − − − −
− −
=
= + = + = +
= + = + = + = + + = +
= + = + = + = + + = +
= + = +  =  + =  +  + =  +
= + = +
n n
n n n n n n
n n n n n
C C
C C j C C i C ( i)
C C j C C i C ( i) C ( i)( i) C ( i)
C C j C C i C ( i) C ( i) ( i) C ( i)
...
C C j C C i C i C i i C i
C C j C C ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 0 0
1 1 1 1
−
− −
 =  + =  +  + =  +
n n
n
i C i C i i C i

Tem-se, então, a Fórmula Fundamental do Valor Acumulado
em regime composto:
em que:
C0 - representa o capital inicial
n - representa o prazo (número de períodos da capitalização)
i - representa a taxa de juro
( )
0 1
=  +
n
n
C C i

Em relação à fórmula fundamental do valor acumulado
podemos afirmar que:
• É válida para um único capital e pressupõe taxa fixa;
• Pressupõe a existência de concordância temporal entre o
n e o i;
• O valor acumulado em regime composto é diretamente
proporcional ao capital (C0), mas não ao número de
períodos da capitalização (ou seja, ao prazo) (n).
• Ao longo dos sucessivos períodos de capitalização, o valor
acumulado em regime composto varia em progressão
geométrica de razão igual a (1+i).

A fórmula do valor acumulado em regime composto, nos termos
definidos só é válida para um único capital e pressupõe taxa fixa.
Analisemos, alguns casos em que isso não se verifica.
1º Caso - Um capital e várias taxas (taxa variável)
Exemplo 2
Considere uma aplicação de 20 000,00€, durante 10 anos, em que
nos primeiros seis vigorou a taxa anual de juro composto de 1% e no
restante prazo a taxa anual de 2%. Calcule o valor acumulado obtido
no final do prazo.

Exemplo 2
Resposta: 22 980,47€
( ) ( )
=  +  + =
6 4
10
C 20 000 1 0,01 1 0,02 22 980,47
C6

2º Caso - Vários capitais e uma taxa (taxa fixa)
Exemplo 3
Numa conta bancária, remunerada à taxa anual de 1%, foram
efetuados dois depósitos: o primeiro de 20 000,00€ e o segundo, 2
anos depois, de 10 000,00€. Calcule o valor acumulado (regime
composto) obtido 10 anos depois do primeiro depósito.
( ) ( )
=  + +  + =
10 8
10
C 20 000 1 0,01 10 000 1 0,01 32 921,01

3º Caso - Vários capitais e várias taxas
Exemplo 4
Numa conta bancária foram efetuados dois depósitos: um de
20 000,00€ e outro, 2 anos depois, de 10 000,00€. Sabendo que 4
anos após o segundo depósito a taxa de juro anual que remunera a
conta passou de 1% para 2%, calcule o valor acumulado (regime
composto) obtido 4 anos depois da referida alteração.

Valor acumulado em regime composto
Exemplo 4
Ou
( ) ( ) ( )
 
=  + +  +  + =
 
6 4 4
10
C 20 000 1 0,01 10 000 1 0,01 1 0,02 34 244,3
C6
( ) ( ) ( ) ( )
=  +  + +  +  + 
 =
6 4 4 4
10
10
C 20 000 1 0,01 1 0,02 10 000 1 0,01 1 0,02
C 34 244,3

Fórmula Fundamental do Juro Composto
Juro periódico (jk)
Como se viu, o juro de um qualquer período (k) é sempre
calculado a partir do valor acumulado no período
imediatamente anterior (k-1).
Assim,
( )
1
1 0 1
−
−
=   =  + 
k
k k k
j C i j C i i

Fórmula fundamental do Juro Composto
Juro Composto
O juro total ou rendimento, obtido ao fim de n períodos de
capitalização pode ser obtido:
A expressão do Juro Composto ou Juro total na época k:
17
0
0 0
0
1
1 1
= −
= + −
 
= + −
 
n
n n
n
C
n
Jt C C
C ( i) C
C ( i)
0 1 1
 
= + −
 
k
k
Jt C ( i)

Juro composto (Jtn)
O juro composto corresponde à soma de todas as parcelas de
juro periódicas que se vencem ao longo de uma capitalização.
Assim,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−
−
−
= + + + + 
 =  +  +  + +  
 =  +  +  +  +  + +  +  
 
 =   + + + + + + +
 
n 1 2 3 n
n 0 1 2 n 1
2 n 1
n 0 0 0 0
2 n 1
n 0
Jt j j j ... j
Jt C i C i C i ... C i
Jt C i C 1 i i C 1 i i ... C 1 i i
Jt C i 1 1 i 1 i ... 1 i
Soma de n termos variáveis em progressão
geométrica de razão igual a (1+i)

Assim, aplicando a fórmula da soma dos termos de uma
progressão geométrica, vem:
Tem-se, então, a fórmula fundamental do juro composto:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
−
 
=   + + + + + + + 
 
+ −
 =  
+ −
 
 =  + −
 
2 n 1
n 0
n
n 0
n
n 0
Jt C i 1 1 i 1 i ... 1 i
1 i 1
Jt C i
1 i 1
Jt C 1 i 1
( )
 
=  + −
 
n
n 0
Jt C 1 i 1

Em relação à fórmula fundamental do juro composto
podemos afirmar que:
• É válida para um único capital e pressupõe taxa fixa.
n e o i.
• O juro composto é diretamente proporcional ao capital (C0),
mas não ao número de períodos da capitalização (ou seja,
ao prazo) (n).

A fórmula fundamental do juro composto, nos termos
definidos, só é válida para um único capital e pressupõe taxa
fixa.
Analisemos, alguns casos em que isso não se verifica.
Exemplo 5
Considere uma aplicação de 20 000,00€, durante 10 anos, em que
nos primeiros seis vigorou a taxa anual de juro composto de 1% e no
restante prazo a taxa anual de 2%. Calcule o juro obtido no final do
prazo.

Exemplo 5
( ) ( )
 
=  +  + − =
 
6 4
10
J 20 000 1 0,01 1 0,02 1 2 980,47

2º Caso - Vários capitais e uma taxa (taxa fixa)
Exemplo 6
Numa conta bancária, remunerada à taxa anual de 1%, foram
efetuados dois depósitos: o primeiro de 20 000,00 € e o segundo, 2
anos depois, de 10 000,00 €. Calcule o juro total (regime composto)
obtido 10 anos depois do primeiro depósito.
( ) ( )
   
=  + − +  + − =
   
10 8
n
Jt 20 000 1 0,01 1 10 000 1 0,01 1 2 921
,01

Exemplo 7
Numa conta bancária foram efetuados dois depósitos: um de
20 000,00 € e outro, 2 anos depois, de 10 000,00€. Sabendo que 4
anos após o segundo depósito a taxa de juro anual que remunera a
conta passou de 1% para 2%, calcule o juro total (regime composto)
obtido 4 anos depois da referida alteração.

Exemplo 7 (Continuação)
Ou
( ) ( )
( ) ( )
 
=  +  + − +
 
 
+  +  + −
 
 =
6 4
4 4
J 20 000 1 0,01 1 0,02 1
10 000 1 0,01 1 0,02 1
J 4 244,3
( ) ( )
( ) ( )
=  +  + +
+  +  + − −
 =
6 4
4 4
J 20 000 1 0,01 1 0,02
10 000 1 0,01 1 0,02 20 000 10 000
J 4 244,3

Fórmula fundamental do Juro Composto - Aplicações
Exercício 1
Numa conta bancária foram efetuados dois movimentos: um
depósito de 30 000,00 € e um levantamento, 4 anos depois, de
8 000,00 €.
a) Sabendo que a conta é remunerada à taxa de juro composto
anual de 3%, calcule o seu saldo 6 anos depois do último
movimento.
b) Admitindo que não foi feito o levantamento, calcule o total de
juros de juros.
c) Sabendo que 2 anos após o segundo movimento a taxa de
juro composto anual que remunera a conta passou de 3% para
4%, calcule:
c1) o saldo da conta 6 anos depois do último movimento.
c2) o juro produzido no segundo triénio.

Aplicações (Continuação)
Exercício 1 (Resolução)
a)
( ) ( )
=  + −  +  =
10 6
n n
C 30 000 1 0,03 8 000 1 0,03 C 30 765,07

b)
( )
 
=  + − −   =
 
10
JJ 30 000 1 0,03 1 30 000 10 0,03 1317,49
Juro Composto Juro Simples

c)

c1) O saldo da conta 6 anos
depois do último movimento.
Ou
( ) ( ) ( ) ( )
=  +  + −  +  + 
 =
6 4 2 4
n
n
C 30 000 1 0,03 1 0,04 8 000 1 0,03 1 0,04
C 31977,35
( ) ( ) ( )
 
=  + −  +  + 
 
 =
6 2 4
n
n
C 30 000 1 0,03 8 000 1 0,03 1 0,04
C 31977,35
C6

c2) O juro produzido no segundo triénio.
Resposta: 2 552,56 €
( ) ( )
( ) ( )
= + +  =  +  +  
 
 =   +  −  +
 
 
+  −   
 
 =
4 5 6 3 4 5
3 4
5
J j j j J C 0,03 C 0,03 C 0,03
J 30 000 1
,03 0,03 30 000 1
,03 8 000 0,03
30 000 1
,03 8 000 1
,03 0,03
J 2 552,56

Exercício 2
Numa conta bancária foi efetuado um depósito de 20 000,00 €.
Sabendo que 2 semestres depois do referido depósito a taxa de juro
composto semestral que remunera a conta passou de 5% para 2% e
que no final do prazo a conta apresentava um saldo de 23 867,63 €,
determine o prazo da aplicação.

Resposta: 6 semestres (ou 3 anos)
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
−
− −
 +  + = 
 + =  + =
 +
 −  + =  − = 
 − =  =
2 n 2
n 2 n 2
2
20 000 1 0,05 1 0,02 23 867,63
23 867,63
1 0,02 ln 1 0,02 ln 1
,082431746
20 000 1 0,05
ln 1
,082431746
n 2 ln 1 0,02 ln 1
,082431746 n 2
ln 1
,02
n 2 4 n 6

Exercício 3
O Sr. C fez, no mesmo dia, dois investimentos em produtos
financeiros distintos. O primeiro de 41 000,00 €, em regime
composto, à taxa semestral de 1%, e o segundo em regime simples,
à mesma taxa.
a) Sabendo que ao fim de doze semestres o total de juros obtido com
o primeiro corresponde ao dobro do total de juros obtido com o
segundo, determine o valor do segundo investimento.
b) Sabendo que ao fim de doze semestres o valor acumulado obtido
com o primeiro corresponde a metade do valor acumulado obtido
com o segundo, determine o valor do segundo investimento.

a)
b)
( )
 
 + − =     =
 
12
41000 1 0,01 1 2 Y 12 0,01 Y 21665,94
( ) ( )
 + =   +   =
12 1
41000 1 0,01 Y 1 12 0,01 Y 82 499,69
2
Juro Composto Juro Simples
Valor acumulado
composto
Valor acumulado
simples

2. Regime Composto
2.2. Taxas de juro
Taxas equivalentes
Concordância temporal
Taxas nominais
2.3. Atualização
2.4. Taxa anual de encargos efetiva global (T.A.E.G.)
Regime Composto

2.2. Taxas de juro
Taxas equivalentes
Exemplo 8
Considere uma aplicação de 10 000,00 €, durante 1 ano, à taxa
de juro anual de 21%.
Se esta aplicação fosse feita a uma taxa semestral, qual
deveria ser o seu valor de modo a que o valor acumulado
obtido, em regime composto, fosse igual?
Regime Composto – Taxas de juro

Taxas equivalentes (Continuação)
0 1 2
Semestres
i `= 10,5% a.s.
10 000 10 000. (1+0,105)2 = 12 210,25
C0 C1
Anos
i = 21% a.a.
10 000 10 000. (1+0,21) = 12 100
C`0 C`1 C`2
0 1
10 000. (1+0,105) = 11 050

Como se verifica, os valores acumulados em regime composto
obtidos são diferentes quando se utiliza a taxa anual de 21%
ou a taxa semestral que lhe é proporcional, 10,5%.
Qual deverá ser, então, a taxa semestral (i`) de modo a que o
valor acumulado obtido (em regime composto) seja igual ao
que se obteve quando se utiliza a taxa anual de 21%?
Diz-se, assim, que a taxa de juro anual de 21% e a taxa de juro
semestral de 10% são equivalentes (em regime composto).
( ) ( )
2
2 1
C` C 10 000 1 i` 10 000 1 0,21 i` 10%
=   + =  +  =

Assim, pode-se, pois, definir taxas equivalentes (em regime
composto) do seguinte modo:
Antes de definirmos a fórmula que nos permite relacionar duas
taxas de períodos diferentes, impõe-se estabelecer a notação
que vamos passar a usar:
“Duas taxas de períodos diferentes dizem-se equivalentes
(em regime composto) quando aplicadas alternativamente
ao mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo,
originam valores acumulados em regime composto (bem
como os respetivos juros compostos) iguais.”

Notação
Taxa Período
i →Taxa anual 1 ano
i2 →Taxa semestral 1/2 ano
i3 →Taxa quadrimestral 1/3 ano
i4 →Taxa trimestral 1/4 ano
i6 →Taxa bimestral 1/6 ano
i12 →Taxa mensal 1/12 ano

Considere-se, então, as duas taxas efetivas seguintes:
ip 1/p ano
ik 1/k ano
Então, de acordo com a definição, para que estas duas taxas
sejam equivalentes é necessário que:
Em suma:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p p
k k
p k 0 p 0 k p k
p k k k
p p p p
p k p k p k
C C` C 1 i C 1 i 1 i 1 i
1 i 1 i 1 i 1 i i 1 i 1
=   + =  +  + = +
 + = +  + = +  = + −
( )
= + −
k
p
p k
i 1 i 1

Exemplo 9
Considere uma taxa trimestral de 5%
Qual a taxa semestral que lhe é equivalente? E a bimestral?
Uma vez que i2 é equivalente a i4 e i6 também é equivalente a
i4, então as taxas i2 e i6 são também elas equivalentes.
( ) ( )
( ) ( )
=
= + −  = + −  = =
= + −  = + −   =
4
4 2
2
2 4 2 2
4 4
6 6
6 4 2 6
Taxa trimestral i 0,05
Taxa semestral equivalente
i 1 i 1 i 1 0,05 1 i 0,1025 10,25%
Taxa bimestral equivalente
i 1 i 1 i 1 0,05 1 i 0,0330616 3,30616%

A concordância temporal
Como se disse, a Concordância Temporal significa que as
variáveis prazo (n) e taxa de juro (i) têm que ter o mesmo
período de referência, isto é, têm de estar expressas na
mesma unidade de tempo.
Quando tal não acontece, veremos que é indiferente:
• encontrar a taxa de juro i’ com o mesmo período em que está
expresso o prazo n;
ou
• converter o prazo n no mesmo período da taxa de juro i.

A concordância temporal (Continuação)
Exemplo 10
Considere uma aplicação de 40 000,00€, durante 9 meses, à
taxa de juro composto semestral de 3%. Calcule o valor
acumulado obtido.
Sugestão de resolução - Alternativa 1
Considerar n = 9 (meses) e utilizar uma taxa mensal (i12)
equivalente à taxa semestral (i2) de 3%.
Assim,
( ) ( )
=  + =  + =
9 9
n 12
C 40 000 1 i 40 000 1 0,00493862 41607,02
( )
= + −  = =
2
12
12 12
i 1 0,03 1 i 0,00493862 0,493862%

Utilizar a taxa semestral (i2) de 3% e converter o prazo (n) de 9
meses para o mesmo período da taxa, isto é, semestres.
Então,
( ) ( ) ( )
 +
= = +
+ 
9
2
2
1
1
12 2
n 2
C 40 000 1 1 i
i 1 i
( )
 
=   =  + 
 
 
=  =
+
 +
9
18
12
6
2
12
2
n n
9
n
C 40 000 C 40 000 (1 0,03)
C 40 000 (1 0,03) 41607,02
1 i

Utilizar uma unidade de tempo diferente do mês e do semestre.
Considere-se, por exemplo, o ano:
Então,
Sem surpresa, verifica-se que, independentemente da
alternativa utilizada, o valor acumulado obtido é sempre o
mesmo.
( ) ( ) ( )
=  +  = + −  = + − =
9
2 2
12
n 2
C 40 000 1 i i 1 i 1 i 1 0,03 1 0,0609
( )
=  + =
9
12
n
C 40 000 1 0,0609 41607,02

Taxas nominais
• Quando se fala em “taxas nominais” pressupõe-se que se está em
regime composto.
• Em termos teórico, as taxas nominais podem ser de qualquer
período (mensal, bimestral,…, anual). Contudo, na prática, quando
se fala em “taxas nominais” admite-se que o período é anual. Assim,
pode ler-se “taxa anual nominal”.
• Em regime composto, não se efetua cálculo de juros com taxas
nominais, apenas com taxas efetivas.
Neste sentido, quando somos confrontados com uma taxa nominal é
necessário obter, a partir dela, uma taxa efetiva. O modo como se obtém
essa taxa efetiva remete para a regra da proporcionalidade, que vimos no
regime simples.
O período da taxa efetiva vai depender da frequência da taxa nominal, isto
é, quantas vezes é capitalizável durante um ano.

Taxas nominais (Continuação)
Seja,
i(k): a taxa (anual) nominal de frequência k ou capitalizável
k vezes por ano.
ik : a taxa efetiva de período igual a 1/k do ano.
Então, diz-se que uma taxa (anual) nominal i(k) é a taxa
proporcional à taxa efetiva ik, de período k vezes superior.
Assim,
( )
( )
=   =
k k
i k
i k k i i
k

Exemplo 11
Considere-se uma taxa anual nominal de frequência 3, isto é,
capitalizável 3 vezes ao ano.
( )
( )
( )
( )
( )
3
k
k
p
p k
3
4
4 3
i 3 9%
0,09
i 3%
3
i
i k
i k
i
k
i 1 i 1 i 1 2,241
1 67%
=
= =
= + − 
=
= + −
Taxas
proporcionais
Taxas
equivalentes

Exemplo 12
Considere uma aplicação feita à taxa i(4)=4%. Se tivesse sido feita a
uma taxa i(3), isto é, a uma taxa nominal capitalizável
quadrimestralmente, qual deveria ser o seu valor de modo a que o
juro composto obtido ao fim de n anos fosse o mesmo?
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
4
4 4
3 3
3 4
4
3
3
i 4 0,04
i 4 0,04
i 0,01
4 4
i 1 i 1 1 0,01 1
i 3 3 i 3 1 0,01 1 4,006652%
=
= = =
= + − = + −
 
=  =  + − 
 
Taxas
proporcionais
Taxas
equivalentes
Taxas
proporcionais

Ideias a reter:
•Em regime composto, o cálculo de juros deve ser feito apenas com
taxas efetivas. Nunca com taxas nominais.
•Em regime composto, quando se pretende calcular a partir de uma
taxa efetiva de um dado período uma taxa efetiva de um período
diferente deve recorrer-se à fórmula das taxas equivalentes.
•A fórmula das taxas equivalentes só é válida para taxas efetivas.
Nunca para taxas nominais.
•Quando somos confrontados com uma taxa nominal é a frequência
dessa taxa que determina o período da taxa efetiva a qual se obtém
pela regra da proporcionalidade. Qualquer taxa efetiva de outro
período deve ser calculada a partir da regra (fórmula) das taxas
equivalentes.

Aplicações
Exercício 4
Admita que fez uma aplicação a uma taxa (anual) nominal de
6%. O que é preferível, que esta taxa seja capitalizável
bimestralmente ou capitalizável quadrimestralmente?
Sugestão de resolução
O que está aqui em causa é saber qual das taxas é preferível:
Ora, quando se está perante duas taxas nominais de igual valor,
aquela que apresenta uma frequência maior é a que origina um juro
composto (e, por conseguinte, um valor acumulado) maior.
( ) ( )
= =
i 6 6% ou i 3 6%

Exercício 4 (Resolução - Continuação)
Esta conclusão decorre do seguinte:
Resposta: A taxa i(6)=6% é preferível.
( )
( )
( )
( )
3
3
6
6
6
6
3
3
i 3 0,06
i 6 0,
0
06
0,06
i 0,01
6
i' 1 0,
,0
01 1
0,0
6
i 0,02
201
3
i' 1 0,02 1
0,00995 0,995%
2,01%
=
= =
= + −
 =
=
= =
= + −
= =
Taxas
proporcionais
Taxas
equivalentes

Exercício 5
O Sr. C fez um investimento de 50 000,00 €, por um prazo de cinco
anos. Nos dois primeiros anos vigorou a taxa i(2)=2% e no restante
prazo a taxa i(4)=3%.
Qual a taxa anual efetiva (i) deste investimento?

A taxa anual efetiva (i) deste investimento deve ser tal, de modo a que
quando aplicada ao capital de 50 000,00€, durante os 5 anos, permita obter
um valor acumulado em regime composto (ou um juro composto) igual
àquele que se obtém quando se aplica as taxas i(2)=2% (durante 2 anos) e
i(4)=3% (durante 3 anos) ao mesmo capital (50 000,00€).

Exercício 5 (Resolução - Continuação)
Em primeiro lugar, é necessário calcular as taxas efetivas que
derivam das taxas nominais dadas. Assim,
Pretende-se, então, que:
Logo,
Resposta: 2,6231%
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
 =  +  +

 + = +  +

=  +


4 12
5 4 12
5 2 4
5
5
C 50 000 1 i 1 i
1 i 1 0,01 1 0,0075
C 50 000 1 i
( ) ( )
 
=  − =
 
1
5
4 12
i 1
,01 1
,0075 1 0,026231
= =  = =
2 4
0,02 0,03
i 0,01 i 0,0075
2 4

2. Regime Composto
2.2. Taxas de juro
2.3. Atualização
Introdução
Valor Atual e Desconto por Dentro
Valor Atual e Desconto por Fora
Regime Composto - Atualização

Introdução
Capital diferido
É um capital que se vence numa data futura.
Valor nominal do capital diferido (C)
É o valor que um capital assume na época (data) do seu
vencimento.
Diferimento (n)
É o intervalo de tempo que decorre entre a época em que se
pretende calcular o valor atual de um capital (V) e a época de
vencimento desse capital (C).

Introdução (Continuação)
Valor atual de um capital diferido (V)
É o valor que se deve atribuir a um capital numa época (data)
anterior ao seu vencimento.
Atualização
É o processo através do qual se atribui valor a um capital para
uma época (data) anterior ao seu vencimento.
Desconto
É o decréscimo de valor sofrido pelo capital C. É, portanto, a
diferença entre o valor nominal do capital (C) e o seu valor
atual (V).

Valor Atual e Desconto por Dentro
Exemplo 13
Um indivíduo tem na sua posse um cheque pré-datado, que se vence
daqui a nove meses, no valor de 5 468,43€. Qual o valor que deveria
receber hoje, admitindo uma taxa de juro composto mensal de 1%?
( )
 
 + − =
 
9
5 000+5 000 1 0,01 1 5 468,43
Juro composto
V V C

Valor Atual e Desconto por Dentro (Continuação)
O Valor Atual por Dentro em Regime Composto (V) é o valor
que capitalizado em regime composto durante um intervalo de
tempo igual ao diferimento e à mesma taxa de juro a que foi
feita a atualização produz um valor acumulado igual ao valor
nominal do capital (C).

Assim, nos termos definidos, vem:
Tem-se, então, a Fórmula do Valor Atual por Dentro em
Regime Composto:
( ) ( )
( )
n n
n
C
V V 1 i 1 C V. 1 i C V
1 i
 
+  + − =  + =  =
  +
( )
−
=  +
n
V C 1 i

Em relação à Fórmula do Valor Atual por Dentro em Regime
Composto podemos afirmar que:
•É válida para um único capital e pressupõe uma taxa única.
•Pressupõe a existência de concordância temporal entre o
n e o i.
(Quando a concordância temporal não se verifica, deve-se proceder da
maneira que vimos para o caso da capitalização.)
•O valor atual (V) é diretamente proporcional ao valor
nominal do capital (C), mas não ao diferimento (n).
Regime Composto

Exemplo 14
O Sr. F tem de pagar daqui a 4 e 9 meses, respetivamente, as
quantias de 8 000,00€ e 12 000,00€. Se estas quantias fossem
pagas de imediato, qual deveria ser o valor a pagar (VP),
admitindo que o desconto é feito por dentro à taxa de juro
composto anual de 6%?
Regime Composto
( ) ( )
− −
=  +  + =
4 9
12 12
VP 8 000 1 0,06 +12 000 1 0,06 19 332,99

Exemplo 15
O Sr. F tem de pagar daqui a 4 e 9 meses, respetivamente, as
quantias de 8 000,00€ e 12 000,00€. Se estas quantias fossem
pagas daqui a 6 meses, qual deveria ser o valor a pagar
admitindo que os cálculos são feitos à taxa de juro simples
anual de 6%?
Regime Composto
( ) ( )
−
=  +  + =
2 3
12 12
VP 8 000 1 0,06 +12 000 1 0,06 19 904,53

Exemplo 16
A empresa Beta vendeu a um cliente uma máquina no valor de
50 000,00 €, tendo aquele aceitado para seu pagamento duas
letras de igual valor nominal com vencimentos a 6 e 10 meses.
a) Sabendo que os valores nominais das letras foram
calculados de modo a incluírem juros compostos calculados à
taxa anual de 9%, determine o valor nominal de cada letra.
b) Se o cliente tivesse aceitado apenas uma letra, com
vencimento a 6 meses, qual deveria o seu valor nominal,
admitindo que os juros tinham sido calculados nos termos
referidos anteriormente?
Regime Composto

a)
b)
Regime Composto
( ) ( )
− −
=  +  + =
6 10
12 12
50 000 C 1 0,09 +C 1 0,09 26 475,62
V1 =25 359,05. V2 =24 640,95.
( )
−
=  + =
6
12
50 000 C 1 0,09 47 891
,31

O desconto por dentro em regime composto ou desconto
racional (d) é, por definição, a diferença entre o valor nominal
do capital (C) e o seu valor atual em regime composto (V).
Assim,
Daqui, vem:
Tem-se, então, a Fórmula do Desconto por Dentro em
Regime Composto (ou Desconto Racional):
Regime Composto
( )
n
d C V V C 1 i
−
= −  =  +
( ) ( )
n n
d C C 1 i d C 1 1 i
− −
 
= −  +  =  − +
 
( )
−
 
=  − +
 
n
d C 1 1 i

Pode-se, no entanto, exprimir o desconto por dentro em regime
composto em função do valor atual. Com efeito, o desconto por
dentro em regime composto corresponde ao juro composto
produzido pelo valor atual quando capitalizado à mesma taxa a
que foi feito o desconto e por um prazo igual ao diferimento.
Assim,
Daqui vem:
Regime Composto
( ) ( )
n n
d C 1 1 i C V 1 i
−
 
=  − +  =  +
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n n
d V 1 i 1 1 i
d V 1 i V 1 i 1 i d V 1 i 1
−
−
 
=  +  − + 
 
 
 =  + −  +  +  =  + −
 

Em suma:
Três aspetos que estão subjacentes a esta fórmula:
•Pressupõe a existência de concordância temporal entre o n e o i.
•O desconto por dentro (d) é diretamente proporcional ao valor nominal
do capital (C), mas não ao diferimento (n).
Regime Composto
( )
−
 
=  − +
 
n
d C 1 1 i ( )
 
=  + −
 
n
d V 1 i 1

Exemplo 17
Uma empresa tinha em carteira as duas letras seguintes:
- a primeira, diferida de 3 meses, de valor nominal 10 000,00€;
- a segunda, diferida de 10 meses, de valor nominal 8 000,00€.
Na data de vencimento da primeira, a empresa procedeu à sua
cobrança e descontou a segunda à taxa de juro composto
anual de 6%.
a) Determine o valor recebido pela empresa.
b) Se a letra tivesse sido descontada um mês antes do seu
vencimento, qual seria o valor do produto liquido de desconto
recebido pela empresa?
Regime Composto

a) Determine o valor recebido pela empresa.
b) Se a letra tivesse sido descontada um mês antes do seu
vencimento, qual seria o valor do produto liquido de desconto
recebido pela empresa?
Regime Composto
( )
−
= +  + =
7
12
VR 10 000 8 000 1 0,06 17 732,65
( )
−
=  + =
1
12
PLD 8 000 1 0,06 7 961
,25

Valor Atual e Desconto por Fora
No Capítulo 1, vimos que é possível estabelecer a relação
entre a taxa de juro (i) e a taxa de desconto (θ), ou seja:
Se considerarmos um diferimento de um período da taxa de
juro (θ), isto é, n=1, vem:
Por outro lado, sabe-se que o valor atual por dentro em regime
composto pode obter-se do seguinte modo:
Regime Composto
θ
i
1 n θ
=
− 
( )
n
V C 1 i
−
=  +
θ
i
1 θ
=
−

Valor Atual e Desconto por Fora (Continuação)
Então, como
Tem-se, então, a Fórmula do Valor Atual por Fora em
Regime Composto:
Regime Composto
( )
( ) ( )
−
−
− −
−
−
=  +  =
−
 
 =  + 
 
−
 
− +
   
 =   =  
   
− −
   
 
 =  −  =  −
 
n
n
n n
n
1 n
θ
V C 1 i i
1 θ
θ
V C 1
1 θ
1 θ θ 1
V C V C
1 θ 1 θ
V C 1 θ V C 1 θ
( )
=  −
n
V C 1 θ

Três aspetos que estão subjacentes a esta fórmula:
•Pressupõe a existência de concordância temporal entre o
n e o θ.
•O valor atual (V) é diretamente proporcional ao valor
Regime Composto

Valor atual e desconto por fora (Continuação)
O desconto por fora em regime composto (D) é, por
definição, a diferença entre o valor nominal do capital (C) e o
seu valor atual em regime composto (V).
Assim,
Daqui, vem:
Tem-se, então, a Fórmula do Desconto por Fora em Regime
Composto:
Regime Composto
( )
n
D C V V C 1 θ
= −  =  −
( ) ( )
n n
D C C 1 θ D C 1 1 θ
 
= −  −  =  − −
 
( )
 
=  − −
 
n
D C 1 1 θ

Três aspetos que estão subjacentes àquela fórmula:
• É válida para um único capital e pressupõe uma taxa única.
n e o θ.
• O desconto por fora (D) é diretamente proporcional ao valor
Regime Composto

Aplicações
Exercício 6
O Sr. A contraiu um empréstimo de 20 000,00 €, à taxa
i(12)=12%, que deverá liquidar através de três pagamentos
mensais, os dois primeiros de igual valor e o último o dobro
daqueles.
a) Sabendo que o primeiro pagamento ocorreu meio ano após
a contração do empréstimo, determine o valor do último
pagamento.
b) Se aquela taxa fosse uma taxa de desconto, qual seria o
valor do último pagamento.
Regime Composto

a) Sabendo que o primeiro pagamento ocorreu meio ano após a contração
do empréstimo, determine o valor do último pagamento.
Resposta: O último pagamento será de 10 747,70€.
b) Se aquela taxa fosse uma taxa de desconto, qual seria o valor do último
pagamento.
Resposta: O último pagamento seria de 10 755,48€.
Regime Composto
( ) ( ) ( )
=  − +  − +  −
 =
6 7 8
20 000 Y 1 0,01 Y 1 0,01 2.Y 1 0,01
Y 5 377,74
( ) ( ) ( )
− − −
=  + +  + +  +
 =
6 7 8
20 000 Y 1 0,01 Y 1 0,01 2.Y 1 0,01
Y 5 373,85

Exercício 7
O Sr. A descontou hoje duas letras:
- a primeira, de valor nominal 6 000,00 € e diferida de 5 meses,
à taxa de desconto composto anual de 10%; e
- a segunda, diferida de 11 meses, à taxa i(2)=9%.
a) Calcule o valor nominal da segunda letra.
b) Se a segunda letra fosse descontada daqui a 5 meses, à
mesma taxa de desconto da primeira, qual seria o valor do
desconto?
Regime Composto

a) Calcule o valor nominal da segunda letra.
Resposta: 8 951,71€.
b) Se a segunda letra fosse descontada daqui a 5 meses, à mesma taxa de
desconto da primeira, qual seria o valor do desconto?
Resposta: 459,37€.
Regime Composto
( ) ( )
−
= =
=  − +  +  =
2
5 11
12 6
0,09
i 0,045
2
14 000 6 000 1 0,1 Y 1 0,045 Y 8 951
,71
( )
 
=  − −  =
 
 
6
12
D 8 951
,71 1 1 0,1 D 459,37

2. Regime Composto
2.2. Taxas de juro
2.3. Atualização
Regime Composto

Taxa Anual de Encargos Efetiva Global (T.A.E.G.)
Exemplo 18
O Sr. B contraiu um empréstimo de 10 000,00 €, à taxa i(2),
que vai liquidar, através de um pagamento de 11 576,25 €, um
ano e meio depois.
a) Determine i(2).
b) Determine a taxa anual efetiva deste empréstimo.
c) Admita que na data da contração do empréstimo foi cobrada
uma comissão de abertura de crédito de 100,00 €.
Determine a T.A.E.G. do empréstimo.
Regime Composto

Exemplo 18
a) Determine i(2).
Então,
Resposta: i(2) é igual a 10%.
Regime Composto
( ) ( )
( )
− −
−
=  +  = + 
 
 + =  =
 
 
3 3
2 2
1
3
2 2
10 000
10 000 11576,25 1 i 1 i
11576,25
10 000
1 i i 0,05
11576,25
( ) ( ) ( )
=   =   =
2
i 2 2 i i 2 2 0,05 i 2 0,1

b) Determine a taxa anual efetiva deste empréstimo.
Pode-se calcular a taxa anual efetiva (i) de outra maneira.
Com efeito, uma vez que se sabe que a taxa semestral efetiva é
igual a 5%, bastava recorrer à regra das taxas equivalentes:
Resposta: A taxa anual efetiva é de 10,25%.
Regime Composto
( ) ( )
( )
− −
−
=  +  = + 
 
 + =  =
 
 
1,5 1,5
1
1,5
10 000
10 000 11576,25 1 i 1 i
11576,25
10 000
1 i i 0,1025
11576,25
( ) ( )
= + −  = + −  =
2 2
2
i 1 i 1 i 1 0,05 1 i 0,1025

c) Admita que na data da contração do empréstimo foi cobrada uma
comissão de abertura de crédito de 100,00 €.
Determine a T.A.E.G. do empréstimo.
No cálculo da T.A.E.G. deve incluir-se não apenas o encargo
suportado com os juros, mas também os demais encargos
relacionados com o empréstimo.
A T.A.E.G. – que sublinhe-se, não é uma taxa de juro – é a taxa que
faz com que o valor atual dos cash inflows seja igual ao valor atual
dos cash outflows.
Regime Composto

c)
Resposta: A T.A.E.G. é de 10,99118%.
Conclusão:
TAEG > TAE (i) > TAN [i(k)]
Regime Composto
( ) ( )
( )
− −
−
= +  +  = + 
 
 + =  
 
 
1,5 1,5
1
1,5
9 900
10 000 100 11576,25 1 TAEG 1 TAEG
11576,25
9 900
1 TAEG TAEG 0,1099118
11576,25
Cash
inflow
Cash
outflow
Cash
outflow

Exemplo 19
O Sr. B contraiu um empréstimo de 20 000,00 €, à taxa i(2)=10%,
que vai liquidar através de dois pagamentos semestrais de igual
valor, o primeiro dos quais seis meses depois da contração do
empréstimo.
Com este empréstimo, o mutuário suportou ainda os seguintes
encargos: comissão de processamento da prestação de 2,60 € (a
pagar na data de cada semestralidade) e comissão de abertura de
crédito (paga na data da contração do empréstimo). Determine:
a) O valor de cada prestação semestral.
b) O valor da comissão de abertura de crédito, sabendo que a TAEG
do empréstimo é de 11,7869%.
Regime Composto

a) O valor de cada prestação semestral.
Resposta: 10 756,10 €
Regime Composto
( ) ( )
− −
= =
=  + +  +  =
2
1 2
0,1
i 0,05
2
20 000 Y 1 0,05 Y 1 0,05 Y 10 756,1

Regime Composto
( ) ( ) ( ) ( )
− −
= + +  + + +  +
1
1
2
20 000 y 10 756,1 2,6 1 TAEG 10 756,1 2,6 1 TAEG
b) O valor da comissão de abertura de crédito, sabendo que a TAEG
do empréstimo é de 11,7869%.
Resposta: 200,00€
Cash
inflow
Cash
outflows
Cash
outflows
( ) ( )
− −
= −  + −  + 
 =
1 1
2
y 20 000 10 758,7 1 0,117869 10 758,7 1 0,117869
y 200

FIM
do
Capítulo 2
Regime Composto

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