O documento apresenta informações sobre geometria plana, incluindo conceitos básicos como ponto, reta e plano, tipos de ângulos, propriedades de figuras geométricas como triângulos, quadriláteros e polígonos. Também fornece detalhes sobre autores do material didático.
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5. 1
EM_V_MAT_026
O curso de geometria plana começa com três
conceitos primitivos (conceitos sem definição): ponto,
reta e plano, que nos leva a uma melhor compreen-
são no estudo dos ângulos e têm grande utilidade
no dia-a-dia.
Ponto, reta e plano
A
S
(α)
PONTO RETA PLANO
Numa reta há infinitos pontos. Num plano,
há infinitas retas e, consequentemente, infinitos
pontos.
Semirreta
Se tomarmos um ponto O de uma reta r, forma-
remos duas semirretas, com origem no ponto O.
O
r
Segmento de reta
Se tomarmos dois pontos distintos A e B de uma
reta r, o pedaço da reta que vai de um ponto ao outro
é chamado de segmento de reta AB.
A B
Ângulos
Se traçarmos duas semirretas de mesma origem,
as regiões formadas no plano que as contém serão
chamadas de ângulos.
0
Tipos de ângulos
Agudo
É todo ângulo α, tal que 0° < α < 90°.
0 α
Reto
É todo ângulo α, tal que α = 90°.
Símbolo
Ângulos e
polígonos
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6. 2
EM_V_MAT_026
Muitas vezes o desenho induz ao erro, pois o
ângulo só será considerado reto se tiver o símbolo
ou vier escrito.
Obtuso
É todo ângulo α, tal que 90°< α < 180°.
α
0
Raso
É todo ângulo α, tal que α = 180°.
α
0
Reentrantes
É todo ângulo α, tal que 180° < α < 360°.
α
0
Comparação de dois ou mais
ângulos
Consecutivos
Possuem o mesmo vértice e um lado em comum.
A
B
C
AÔB e AÔC
O
Adjacentes
Possuem o mesmo vértice e um lado comum
entre eles.
A
B
C
AÔB e BÔC
O
Todo ângulo adjacente é consecutivo, mas nem
todo ângulo consecutivo é adjacente.
Complementares
São dois ângulos cuja soma é igual a 90°.
α + β = 90°A
B
C
α
0
β
α é o complemento de β
ou
β é o complemento de α
Suplementares
São dois ângulos cuja soma é igual a 180°.
α
0
β
α + β = 180°
α é o suplemento de β
ou
β é o suplemento de α
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7. 3
EM_V_MAT_026
Replementares
São dois ângulos cuja soma é igual a 360°.
α
0
β
α + β = 360°
B
A
α é o replemento de β
ou
β é o replemento de α
Opostos pelo vértice
São dois ângulos de mesma medida, tais que os
lados de um são as respectivas semirretas opostas
aos lados do outro.
α β α = β
Bissetriz de um ângulo
É a semirreta de origem no vértice que divide o
ângulo em duas partes com a mesma medida.
OR é bissetriz de AÔB
α
α
A
R
BO
Retas paralelas cortadas
por uma transversal
a b
d c
e f
gh
(r//s)
t
r
s
Alternos
Internos: c – e; d – f
Externos: a – g; b – h
Todos os ângulos alternos são congruentes.
Colaterais
Internos: c – f; d – e
Externos: a – h; b – g
Todos os ângulos colaterais são suplementares.
Correspondentes
São os ângulos que se superpõem quando
deslocamos a reta s para cima da reta r, logo, são
congruentes.
a – e; b – f; d – h; c – g
u
s
β
θ
α
α
t
r
θ
α + β + θ = 180º. A soma dos ângulos externos
de qualquer triângulo vale 180º.
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8. 4
EM_V_MAT_026
Polígonos
As figuras poligonais geralmente são usadas
para delimitar uma região em destaque, assim poden-
do calcular a área de seu interior de acordo com seus
ângulos internos. Muito utilizado na idade média
quando as igrejas eram construídas com mosaicos
e vitrais em suas decorações interiores, atualmente
vemos duas dessas formas poligonais (pentágono e
hexágono) nos gomos da bola de futebol.
O polígono é a união de n segmentos de retas
consecutivas (n > 3).
V1
V3
V2
V4
V5
Vn
V1
∪V2
∪V2
V3
∪V3
V4
∪...∪Vn
∪V1
Classificação
Convexo
É o polígono no qual quaisquer pontos interiores
unidos formam um segmento de reta completamente
contido no polígono.
D C
BA
E
Côncavo
É o polígono no qual existem pontos interiores
que, unidos, formam um segmento de reta que não
está completamente contido no polígono.
C D
B
A
E
F
Equilátero
É todo polígono que tem lados congruentes.
D
C
B
A
CD
BA
Losango Quadrado
Equiângulo
É todo polígono que tem ângulos congruentes.
D C
BA
D C
BA
QuadradoRetângulo
Regular
É todo polígono equilátero e equiângulo.
CD
BA
D C
B
A
E
D
C
BA
F
E
Quadrado Pentágono
regular
Hexágono
regular
Gênero
É todo número de lados (ou vértices) de um
polígono.
3 lados – triângulo••
4 lados – quadrado••
5 lados – pentágono••
6 lados – hexágono••
7 lados – heptágono••
8 lados – octógono••
9 lados – eneágono••
10 lados – decágono••
11 lados – undecágono••
12 lados – dodecágono••
20 lados – icoságono••
Para os demais dizemos polígonos de n lados.••
Número de diagonais
Diagonal
É o segmento de reta que une dois vértices não
adjacentes.
(n lados)
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9. 5
EM_V_MAT_026
Diagonais de cada vértice
Como podemos observar, de cada vértice sai
(n – 3) diagonais, pois não pode sair diagonal para os
vértices adjacentes e nem para o próprio vértice.
Logo, se o polígono tem n lados ele terá n vér-
tices, o que nos leva a pensar errado que o número
de diagonais é igual a n (n – 3).
Total de diagonais
Como podemos observar, cada diagonal é con-
tada duas vezes, então a relação correta do número
de diagonais é:
n(n 3)
2
−
Pentágono
n(n 3)
nd
2
−
=
5(5 3)
nd 5
2
−
= =
Somente em polígonos regulares de gênero par
podemos afirmar que o número de diagonais que
passam pelo centro é igual à metade do número
de lados n
2
.
Ângulos internos (ai
) e
ângulos externos (ae
)
Em cada vértice temos um ângulo interno e um
ângulo externo adjacente.
An
A1
ae1
ai1
ai2
ae2
A3
A4
A2
Soma dos ângulos internos
(Sai
)
ai
≠ ae
= 180º
V1
V3
V2
V4
V5
Vn
n lados
Como podemos observar, temos n lados nos
dando n triângulos, assim concluímos que a soma
dos ângulos internos será:
Sai
= 180° (n – 2)
Soma dos ângulos externos
(Sae
)
Consideremos, como exemplo, o polígono da
figura a seguir:
Tracemos, pelo ponto p, paralelas aos lados do
polígono. Os ângulos formados em torno do ponto
p são congruentes, respectivamente, aos ângulos
externos do polígono.
Logo, é fácil concluir que:
ae1
+ ae2
+ ae3
+ae4
+ae5
= 360°
ae1
ae2
ae3
ae5
ae4
ae3
ae2
ae1
ae4
ae5
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10. 6
EM_V_MAT_026
A soma dos ângulos externos de um polígono
convexo é dada por:
Sae
= 360°
Para todo polígono regular podemos afirmar
que:
Ângulo interno =
soma dos ângulos internos
o número de ângulos internos
a
n
n
i =
° −180 2( )
Ângulo externo =
soma dos ângulos externos
o número de ângulos externos
a
n
e =
°360
Quadriláteros
É a figura plana determinada por quatro seg-
mentos de reta consecutivos (polígono de quatro
lados).
A
B
C
D
x
A
B
D
C z
^
^
^
^
w
y
^A, ^B , ^C e ^D são ângulos internos.
x, y, z, w são ângulos externos.
^A + ^B + ^C + ^D = 360°
x + y + z + w = 360°
AC e BD são diagonais.
Classificação
Paralelogramo
É todo quadrilátero que possui os lados opostos
paralelos.
A B
CD
AB // CD e AD // BC
Propriedades``
Os lados e os ângulos opostos são congruentes, as
diagonais cortam-se mutuamente ao meio e os ângulos
consecutivos são suplementares.
O paralelogramo, de acordo com sua forma, cria algumas
propriedades, formando, assim, retângulos, losangos e
quadrados.
Retângulo
É todo paralelogramo que possui os quatro
ângulos congruentes.
A B
CD
O
•
Propriedades``
As diagonais são congruentes e cortam-se ao meio.
Losango
É todo paralelogramo que possui os quatro lados
congruentes.
B
A
C
D
O
•
Propriedades``
As diagonais são perpendiculares entre si bissetrizes dos
ângulos internos e se cortam ao meio.
Quadrado
É todo paralelogramo que possui os quatro lados
e os quatro ângulos congruentes.
A B
C D
O
•
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11. 7
EM_V_MAT_026
Propriedades``
As diagonais são congruentes, perpendiculares entre si,
bissetrizes dos ângulos internos e se cortam ao meio.
É interessante observarmos que, ao destacar-
mos uma das partes do retângulo dividido por sua
diagonal, teremos um triângulo retângulo e deste
tiramos algumas propriedades:
A B
C D
x O x
x x
x
O
xx
A
C D
A mediana relativa à hipotenusa de um triân-
gulo mede a metade da hipotenusa.
Por consequência, teremos dois triângulos
isósceles, AOC e COD.
Trapézio
É todo quadrilátero que possui somente um par
de lados paralelos, chamados bases.
A B
CD
AB // CD
O trapézio, de acordo com sua forma, é subdivi-
dido em três: escaleno, isósceles e retângulo.
Escaleno
Os lados não-paralelos não são congruentes.
A B
CD
AD ≠ BC
Isósceles
Os lados não-paralelos são congruentes.
A B
C
D
AD // BC
AC // BD
Os ângulos pertencentes à mesma base são
congruentes.
Retângulo
Um dos lados não-paralelos é perpendicular às
bases (possui dois ângulos retos).
A B
CD
AD // AB
AD // CD
O trapézio retângulo é também escaleno.
Base média e mediana de
Euler
Agora vamos estudar como se calcula a base
média e a mediana de Euler do trapézio, para isso
temos:
Base média do triângulo
A
B C
NM
MN // BC
MN =
BC
2
M e N são pontos médios de AB e AC respec-
tivamente.
MN é a base média do triângulo.
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12. 8
EM_V_MAT_026
Base média do trapézio
NM
D
A B
C
MN // AB
MN // CD
MN = AB + CD
2
M e N são pontos médios de AD e BC respec-
tivamente.
MN é a base média do trapézio.
Mediana de Euler
D
A B
C
P Q
M N
PQ // AB
PQ // CD
PQ = CD – AB
2
M e N são pontos médios de AD e BC respec-
tivamente.
MN é a base média do trapézio.
PQ é a mediana de Euler.
Trapezoide
É todo quadrilátero que não possui lados pa-
ralelos.
D C
A
B
Polígonos inscritos
Como já foi estudado anteriormente, um po-
lígono convexo é regular se seus lados e ângulos
são congruentes.
A grande importância dos polígonos regulares
na geometria plana é tirada pela inscrição e circuns-
crição das figuras.
Vamos estudar os três principais polígonos re-
gulares: triângulo equilátero, quadrado e hexágono
regular, calculando os lados e os apótemas em função
dos raios das circunferências inscritas e circunscritas
(os apótemas são as distâncias do centro da circun-
ferência aos pontos médios dos lados).
Triângulo equilátero
a = R
2
=R 3
Demonstração:``
2a = R a= R
2
hTE
= 3
2
3a=
3
2
2
3R
=
3
2 =
3R
3
= R 3
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13. 9
EM_V_MAT_026
Quadrado
a= 2
2
R
=R 2
Demonstração:``
d= 2
2a=
2R= 2
2a=R 2
2
2R
=
a=
2
R 2
=R 2
Hexágono regular
a= 3R
2
= R
Demonstração:``
=
=
TE
3
h
2
R 3
a
2
Polígonos circunscritos
Triângulo equilátero
a = R
=2 3 R
Demonstração:``
a=R
a = R
=2R
=
=
TE
3
h
2
3
3a
2
=
=
3
3R
2
6R
3
= 2 3R
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14. 10
EM_V_MAT_026
Quadrado
a = R
= 2a
= 2R
Demonstração:``
Hexágono regular
=
=
a R
2R 3
3
Demonstração:``
a=R
=
=
TE
3
h
2
3
a
2
=
=
3
R
2
2R
3
=
2R 3
3
Um ângulo é igual a1.
5
4
do seu suplemento. Calcule o
replemento do dobro desse ângulo.
Solução:``
= ° −
° −
=
= ° −
5
x (180 x )
4
900 5x
x
4
4x 900 5x
= °
= °
9x 900
x 100
° − =
° − = °
Log o :
( 360 2x ) ?
360 2.100 160
Determine o menor ângulo formado pelas bissetrizes de2.
dois ângulos adjacentes e suplementares.
β/2
α/2
α/2
β/2
β
α
r
B
s
CA
O
Solução``
α + β = °
α β
= +
α + β °
= = = °
180
RÔS
2 2
180
RÔS 90
2 2
Na figura, calcule α se r//s.3.
160º
2α
r
30°
40°
s
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15. 11
EM_V_MAT_026
20°
10°
160°
160°
10°
30°
30°
30°
2α = 20°+ 10°
2α = 30°
α = 15°
Um raio de luz é refletido por três espelhos planos,4.
dois dos quais são paralelos, como mostra a figura.
Lembrando que o raio de luz é refletido por um espelho
segundo o seu ângulo de incidência, ou seja, o ângulo
de reflexão é igual ao ângulo de incidência, o valor do
ângulo α é, em graus:
45°
110°
α
90ºa)
85ºb)
80ºc)
75ºd)
65ºe)
Solução:`` B
110°
70°
25°
25°
45° 45°
45° 45°α
αα + 70° + 25 = 180°
α = 85°
Determine o polígono convexo, cujo número de diago-5.
nais é o triplo do número de lados.
Solução:``
=
−
=
−
=
nd 3n
n( n 3 )
nd
2
n( n 3 )
3n
2
2
2
6n n 3n
n 9n 0
n 9 eneágono
= −
− =
= →
Em um polígono regular, o ângulo interno é o quádruplo6.
do ângulo externo. Calcule a soma dos ângulos internos
desse polígono.
Solução:``
=
+ = °
+ = °
= °
= °
i e
i e
e e
e
e
a 4a
a a 180
4a a 180
5a 180
a 36
°
= °
°
=
°
=
360
36
n
360
n
36
n 10
ai
ai
ai
ai
S 180 ( n 2 )
S 180 (10 2 )
S 180 .8
S 1 440
= ° −
= ° −
= °
= °
Determine o número de diagonais que não passam7.
pelo centro de um polígono regular cujo ângulo externo
vale 45°.
Solução:``
e
360
a
n
360
45
n
360
n
45
n 8
°
=
°
° =
°
=
°
=
−
= = =
= = =
= −
= − =
pc
npc pc
npc
8(8 3 ) 8.5
nd 20
2 2
n 8
nd 4
2 2
nd nd nd
nd 20 4 16
Na construção civil, é muito comum a utilização de8.
ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o
revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são
todas as combinações de polígonos que se prestam a
pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou
superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras.
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16. 12
EM_V_MAT_026
Num trapézio isósceles, a base menor é igual a um dos9.
lados não-paralelos. Prove que as diagonais são bisse-
trizes dos ângulos agudos.
Solução:``
D
A B
C
α α
αα
α α
Se B^DC = α, então A^BD = α, como AB = AD, A^BD =
A^DB = α, assim, a diagonal também é bissetriz do vértice
D analogamente com AC.
Na figura, ABCD é um quadrado e CDE um triângulo10.
equilátero, calcule α.
α
A B
D C
E
Solução:``
α
α
30º
60º
EA B
D C
Como CD é lado do triângulo e do quadrado, temos CE
= BC = α, logo BCE é um triângulo isósceles, assim
ααα + αα + 30º = 180º 2α αα = 150º α = 75º.
No trapézio ABCD da figura, E e F são pontos médios. De11.
AD e BC, respectivamente. Sabendo-se que DC = 4cm
e MN= 3cm, calcule a diferença entre os perímetros dos
trapézios ABFE e EFCD.
A B
E F
D C
M N
Figura1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano.
Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam
o plano (há falhas ou superposição).
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares,
com as respectivas medidas de seus ângulos internos.
Nome Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono Eneágono
Figura
Ângulo
interno
60° 90° 108º 120º 135º 140º
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois
tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela,
sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá
ter a forma de um:
triângulo.a)
quadrado.b)
pentágono.c)
hexágono.d)
eneágono.e)
Solução:`` B
135º
135º α
α + 135° + 135° = 360°
α = 90º, logo é ângulo interno de um quadrado.
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17. 13
EM_V_MAT_026
Solução:``
A B
E F
D C
M N
b = 4
y
y
x
x
B = ?
3
B – b
2
= 3 → B – 4 = 6 → B = 10
EF =
10+4
2
= 7
2PABFE
= 10 + x + y + 7 = 17 + x + y
2PCDEF
= 4 + x + y + 7 = 11 + x + y
2PABFE
- 2PCDEF
= 6
E
A
C
B
F
DD
A B
C
Figura 1 Figura 2 Figura 3
A B
D C
Origamiéaartejaponesadasdobradurasdepapel.Observe12.
asfigurasanteriores,ondeestãodescritosospassosiniciais
para fazer um passarinho: comece marcando uma das dia-
gonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faça
coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada, de
modo que o vértice A e C se encontrem. Considerando-se
o quadrilátero BEDF da figura 3, pode-se concluir que o
ângulo BED mede:
100ºa)
112º 30’b)
115ºc)
125º 30’d)
135ºe)
Solução:`` B
67,5º
45º45º
22,5º
B
F
E
C
D
BED = 45º + 67,5º = 112,5º = 112º30’
Calcule o perímetro do triângulo equilátero inscrito numa13.
circunferência com 12cm de diâmetro.
Solução:``
A
B C
2R = 12 R = 6cm
= R 3
= 6 3cm
2PABC
= 3 = 18 3cm
Ache a razão entre o lado do quadrado inscrito e o14.
lado do quadrado circunscrito a uma mesma circun-
ferência.
Solução:``
2R
R
= R 2
Razão =
2
2R
R
=
L
=
2
2
Uma moeda tem em seu interior um hexágono regular15.
inscrito. Se o raio mede 1cm, calcule o perímetro do
hexágono inscrito na moeda.
Solução:``
Como = R = 1cm, temos 2p = 6 = 6cm
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18. 14
EM_V_MAT_026
Um ângulo mede a metade do seu complemento. Então1.
esse ângulo vale:
30°a)
60ºb)
45°c)
80ºd)
90°e)
O ângulo igual a2.
5
4
do seu suplemento mede:
100°a)
144°b)
36°c)
72°d)
80°e)
Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10° e3.
x + 50°. Um deles mede:
20°a)
70ºb)
30°c)
45ºd)
80°e)
Calcule x e determine o valor dos ângulos adjacentes4.
da figura:
3x α 30º
xα +α 10º
–
120º e 60ºa)
105º e 75ºb)
100º e 80ºc)
90º e 90ºd)
110º e 70ºe)
A semirreta OC é exterior ao ângulo AÔB de bissetriz5.
OX. Se AÔC = 32° e BÔC = 108º, determine CÔX:
70°a)
64°b)
54°c)
66°d)
82°e)
Mostre que as bissetrizes de dois ângulos opostos pelo6.
vértice são colineares.
A medida da soma de dois ângulos é 125º e a metade de7.
um deles é igual à terça parte da medida do suplemento
do outro. Calcule a diferença entre esses ângulos.
Nas figuras a seguir, as retas r e s são paralelas. Encontre8.
a medida de cada caso.
a)
b)
c)
d)
Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes9.
e suplementares formam ângulo reto.
(UFF) Sabendo que o replemento do dobro de um ângu-10.
lo é igual ao suplemento do complemento desse mesmo
ângulo. Determine a quarta parte desse ângulo.
15ºa)
22,5ºb)
45ºc)
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19. 15
EM_V_MAT_026
60ºd)
67,5ºe)
(Unirio) A diferença entre o suplemento e o comple-11.
mento de um ângulo qualquer é:
um ângulo raso.a)
um ângulo agudo.b)
um ângulo reto.c)
um ângulo obtuso.d)
não pode ser determinada.e)
Calcular os valores dos ângulos internos e externos do12.
polígono regular convexo que possui 27 diagonais.
No polígono regular ABCD... da figura, as diagonais AC13.
e BD formam, entre si, um ângulo que mede 20º.
Determine o número de lados do polígono.
O número de diagonais do polígono convexo cuja soma14.
dos ângulos internos é 1 440° é:
20a)
27b)
35c)
44d)
48e)
Qual o gênero do polígono convexo em que a diagonal15.
AC faz com o lado BC um ângulo de 20º?
Qual o polígono convexo em que o número de diagonais16.
é o triplo do número de lados?
As mediatrizes de dois lados consecutivos de um po-17.
lígono regular formam um ângulo igual a 20°. Determine
o número de diagonais desse polígono.
De cada vértice de um polígono regular só podemos18.
traçar três diagonais, sendo que a maior mede T. O
perímetro desse polígono vale:
Ta)
2Tb)
3Tc)
6Td)
8Te)
Três polígonos convexos têm lados expressos por nú-19.
meros consecutivos. Sendo 2 700° a soma de todos os
ângulos internos dos três polígonos, determine o número
de diagonais de cada um deles.
Determine o número de lados de um polígono regular20.
ABCDE, sabendo que as bissetrizes de AP e CP, dos
ângulos A e C, formam um ângulo que vale 2/9 do seu
ângulo interno.
(UFJF) Em um pentágono convexo, os ângulos internos21.
formam uma progressão aritmética de razão r. O valor
de r tal que o maior ângulo desse pentágono meça
128° é:
10°a)
15ºb)
20°c)
27ºd)
36°e)
Na figura, ABCDE é um pentágono regular.22.
Determine a soma:
Assinaleaalternativaquecontémapropriedadediferencia-23.
da do quadrado em relação aos demais quadriláteros.
Todos os ângulos são retos.a)
Os lados são todos iguais.b)
As diagonais são iguais e perpendiculares entre si.c)
As diagonais se cortam ao meio.d)
Os lados opostos são paralelos e iguais.e)
Q, T, P, L, R e D denotam, respectivamente, o conjunto24.
dos quadriláteros, dos trapézios, dos paralelogramos,
dos losangos, dos retângulos e dos quadrados. De
acordo com a relação de inclusão entre esses conjuntos,
a alternativa verdadeira é:
Da) R L P
Db) L P Q
Qc) P L D
Td) P Q R D
Qe) T P R C
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20. 16
EM_V_MAT_026
Prove que a figura formada pelas bissetrizes internas de25.
um paralelogramo propriamente dito é um retângulo.
Na figura, os triângulos A26. ^BM e B^CP são equiláteros e
ABCD é um quadrado.
Calcule o ângulo .
24°a)
22°b)
15°c)
45°d)
30°e)
(Fuvest) No retângulo a seguir, o valor em graus de27.
+ é:
50°a)
90°b)
120°c)
130°d)
220°e)
A afirmativa “um quadrado foi subdividido em n quadra-28.
dos congruentes” acarreta que:
n pode ser 12.a)
n não pode ser par.b)
n não pode ser ímpar.c)
n pode ser 36.d)
n pode ser 29.e)
(UFMG) Sobre figuras planas, é correto afirmar que:29.
um quadrilátero convexo é um retângulo se os la-a)
dos opostos têm comprimentos iguais.
umquadriláteroquetemsuasdiagonaisperpendicub)
lares é um quadrado.
um trapézio que tem dois ângulos consecutivosc)
congruentes é isósceles.
um triângulo equilátero é também isósceles.d)
um triângulo retângulo é aquele cujos ângulos sãoe)
retos.
(PUC-SP) Sendo:30.
A = {x | x é quadrilátero}
B = {x | x é quadrado}
C = {x | x é retângulo}
D = {x | x é losango}
E = {x | x é trapézio}
F = {x | x é paralelogramo}
então vale a relação:
Aa) D E
Ab) F D B
Fc) D A
Ad) F B C
Be) D A E
Na figura, ABCD é um quadrado e AMB um triângulo31.
equilátero.
Determine a medida do ângulo A^MD.
75°a)
68°b)
60°c)
48°d)
50°e)
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21. 17
EM_V_MAT_026
(Cesgranrio) As bases32. MQ e np de um trapézio medem
42cm e 112cm, respectivamente.
Se o ângulo M^QP é o dobro do ângulo P^NM, então o
lado PQ mede:
154cma)
133cmb)
91cmc)
77cmd)
70cme)
Na figura33. ad = dc = cb e bd = ba
A medida do ângulo  do trapézio ABCD mede:
30°a)
36°b)
72°c)
48°d)
80°e)
Ligando-se os pontos médios dos lados de um quadri-34.
látero convexo de diagonais 6 e 8, obtém-se um outro
quadrilátero convexo de perímetro:
7a)
10b)
12c)
14d)
16e)
(UFRJ) Os ângulos internos de um quadrilátero convexo35.
estão em progressão aritmética de razão igual a 20°.
Determine o valor do maior ângulo desse quadrilátero.
Calcule o lado e o apótema do triângulo equilátero36.
inscrito num círculo de raio R.
Calcule o lado e o apótema do quadrado inscrito num37.
círculo de raio R.
Calcule o lado e o apótema do hexágono regular inscrito38.
num círculo de raio R.
Calcule o lado do triângulo equilátero circunscrito a um39.
círculo de raio R.
Calcule o lado do hexágono regular circunscrito a um40.
círculo de raio R.
Calcule a distância entre dois lados opostos de um41.
hexágono regular de 2cm de lado.
Calcule a razão entre os perímetros de dois hexágonos42.
regulares, o primeiro inscrito e o segundo circunscrito
a um mesmo círculo.
ABCDE é um polígono regular convexo de 2cm de43.
lado. As diagonais AC BDe formam um ângulo de 18º.
Calcule o perímetro do polígono.
(UFF) A razão entre o lado do quadrado inscrito e o44.
lado do quadrado circunscrito em uma circunferência
de raio R é:
1
3
a)
1
2
b)
3
3
c)
2
2
d)
2e)
(PUC) A45. 1
A2
... An
é um polígono regular convexo, de n
lados, inscrito em um círculo. Se o vértice A15
é diame-
tralmente oposto ao vértice A46
, o valor de n é:
62a)
60b)
58c)
56d)
54e)
(Unirio) Às 13 horas e 15 minutos, os ponteiros de um1.
relógio formam um ângulo de:
7°30’a)
17°30’b)
22°30’c)
37°d)
52°30’e)
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22. 18
EM_V_MAT_026
Nesta figura, as retas r e s são paralelas e t e u são2.
transversais.
O valor em graus de (2x + 3y) é:
64°a)
500°b)
520°c)
660°d)
580°e)
O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça3.
parte do seu suplemento aumentada da metade do
replemento do quádruplo desse ângulo. Determine o
valor do complemento desse ângulo.
4. e são, respectivamente, as bissetrizes dos ângu-
los adjacentes MÔN e NÔP. é a bissetriz do ângulo
QÔR. Calcule as medidas, em graus, dos ângulos MÔN
e NÔP, sabendo que MÔP = 100° e MÔT = 55°.
Sendo r//s na figura abaixo, o valor de5. a é:
6ºa)
10ºb)
15ºc)
20ºd)
30ºe)
(ITA) Entre 4 e 5 horas, o ponteiro das horas de um6.
relógio fica duas vezes em ângulo reto com o ponteiro
dos minutos. Os momentos dessas ocorrências serão:
4h 5a) min e 4h 38 min.
4h5b) min e 4h 38 min.
4hc) min e 4h 38 min.
4h 5d) min e 4h 38 min.
(UFRRJ) As semirretas consecutivas7. e
são tais que são colineares e BÔC = 72°.
Calcule a medida do ângulo PÔQ, sabendo-se que e
são as bissetrizes dos ângulos AÔB e DÔC.
36°a)
54°b)
90°c)
92°d)
126°e)
Pelo ponto C de uma reta AB traçam-se, num mesmo8.
semiplano dos determinados por AB, as semirretas
. O ângulo é o dobro do ângulo e o
ângulo é o dobro do ângulo . Calcule o ângulo
formado pelas bissetrizes dos ângulos e .
Na figura abaixo, calcule9. .
(OBM) Quantos ângulos retos são formados pelos10.
ponteiros (horas e minutos) de um relógio em um
dia completo que se inicia às 0:00 h?
48a)
40b)
44c)
96d)
(CMC) Na figura a seguir:11.
AÔC = 108°I.
ZÔB = 4°II.
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23. 19
EM_V_MAT_026
Sabendo-se que OX, OY e OZ são as bissetrizes de
AÔB, BÔC e XÔY, respectivamente, determine a medida
de AÔB.
Duas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos12.
de um polígono regular formam um ângulo dado por:
a)
b)
c)
d)
e)
(Cesgranrio) Na figura ABCDE é um polígono13. regular.
Determine a medida do ângulo CÂD.
(Consart) Se cada ângulo interno de um polígono não14.
excede , então o polígono tem, no máximo:
4 lados.a)
5 lados.b)
6 lados.c)
8 lados.d)
12 lados.e)
Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são15.
prolongados para formar uma estrela. O número de graus
em cada vértice da estrela é:
a)
b)
c)
d)
e)
O número de diagonais de um polígono16. regular de 2n
lados que não passam pelo centro da circunferência
circunscrita nesse polígono, é dado por:
2n (n – 2)a)
2n (n – 1)b)
2n (n – 3)c)
d)
2ne)
(UFF) A figura representa um triângulo equilátero FHN17.
de lado e um hexágono regular.
Sabendo que I é ponto médio do lado e pertence
ao segmento , assinale a alternativa que representa
o perímetro do quadrilátero FGLM.
7a)
6b)
5c)
4d)
3e)
Se a razão entre o número de diagonais e o número18.
de lados de um polígono é um número inteiro positivo,
então o número de lados do polígono é:
par.a)
ímpar.b)
múltiplo de 3.c)
não existe.d)
nenhuma das anteriores.e)
A soma dos (n–1) ângulos internos de um polígono19.
regular de n lados é 945º. Determine o número de lados
do polígono.
(FEI) O menor ângulo de um polígono convexo mede20.
139º, e os outros ângulos formam com o primeiro uma
progressão aritmética de razão 2. Determine o número
de lados do polígono.
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24. 20
EM_V_MAT_026
(Mackenzie) A medida em graus de um ângulo interno21.
de um polígono regular é um número inteiro. O número
de polígonos não semelhantes que possuem essa
propriedade é:
24a)
22b)
20c)
18d)
15e)
Um polígono P22. 1
tem 3 lados a mais e 30 diagonais a mais
que um polígono P2
. Quantas diagonais possui P1
?
(CN) O número de polígonos regulares, tais que quais-23.
quer duas de suas diagonais, que passam pelo seu
centro, formam entre si ângulo expresso em graus por
número inteiro, é:
17a)
18b)
21c)
23d)
24e)
O hexágono da figura abaixo é equiângulo e não equi-25.
látero. Determine o valor de X e Y.
ABCD é um quadrado cujas diagonais cortam-se no26.
ponto I. Constrói-se, exteriormente, um triângulo equi-
látero ABM.
Calcule o ângulo AÎJ, sabendo-se que J é o ponto médio
do lado am.
Observe a figura abaixo:27.
O trapézio ABCD é isósceles e o lado oblíquo BC tem
para o dobro da medida da base menor ab. O ponto M
é médio de bc e dm = dc
Se o ângulo A^DM mede 30°, calcule o valor da medida
do ângulo B^CD.
Na figura a seguir, A não pertence ao plano determi-28.
nado pelos pontos B, C, e D. Os pontos E, F, G e H são
os pontos médios dos segmentos ab, bc, cd E da
respectivamente.
Prove que EFGH é um paralelogramo.
(CEFET) Para ladrilhar o chão de uma varanda foram24.
usadas lajotas na forma de pentágonos regulares e
losangos, como mostra a figura.
Os ângulos agudos de cada losango medem:
36°a)
42°b)
48°c)
56°d)
72°e)
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25. 21
EM_V_MAT_026
Dado o triângulo acutângulo ABC da figura AH, tal29.
que ab = 8, bc = 12 e bh = 3, calcule o perímetro do
quadrilátero convexo MNPH, onde M, N e P são pontos
médios dos lados ab, ac e bc.
(Unificado) No quadrilátero ABCD da figura a seguir30.
são traçadas as bissetrizes cm e bn, que formam entre
si o ângulo .
A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero
corresponde a:
3a)
2b)
c)
2
d)
e)
4
Na figura, ABCD é um paralelogramo.31.
B
Considere:
ap1. bissetriz de Â, bp bissetriz de ^B e cq bissetriz
de ^C .
M e N pontos médios, respectivamente, de2. ab e
bc
pm3. = 5cm e qn = 3cm.
O perímetro do paralelogramo ABCD é igual a:
48cma)
46cmb)
40cmc)
36cmd)
32cme)
Um ponto A qualquer é considerado sobre o lado OX32.
do ângulo XÔY da figura.
Traçamos, então:
ab1. OY
aq2. // OY
opq3. tal que pq = 2oa
Se PÔB = 26°, XÔY mede:
61°a)
66°b)
72ºc)
78ºd)
80ºe)
No paralelogramo ABCD, as distâncias de A, B e C a33.
uma reta exterior que contém D são, respectivamente,
a, b e c.
Prove que b = a + c.
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26. 22
EM_V_MAT_026
Na figura, M é o ponto médio do lado34. bc, an bissetriz
do ângulo BÂC e bn perpendicular a an.
Se AB = 14 e ac = 20, calcule o comprimento do
segmento mn.
(Fuvest) Em um trapézio isósceles, a altura é igual à35.
base média. Determinar o ângulo que a diagonal forma
com a base.
No quadrilátero ABCD, temos AD =36. bc = 2 e o prolon-
gamento desses lados forma um ângulo de 60°.
Indicando por A, B, C e D, respectivamente, as me-a)
didas dos ângulos internos do quadrilátero de vér-
tice A, B, C e D, calcule A + B e C + D.
Sejam J o ponto médio deb) dc, M o ponto médio de
ac e N o ponto médio de bd. Calcule jm e jn.
Calcule a medida do ângulo Mc) ^J N.
Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero onde37. ad =
bc e DÂB + A^BC = 120º.
Calcule o perímetro do triângulo PQR. Sabendo que
P, Q e R são respectivamente os pontos médios dos
segmentos ac, bd E dc e que ad = 6m
Na figura abaixo, ABCD é um trapézio e M e N os pontos38.
médios dos lados não-paralelos.
Mostre que:
Os pontos P, M, N e Q são colineares.a)
O perímetro do trapézio ABCD vale o dobro dob)
segmento pq.
Ao montar um quebra-cabeça, Joãozinho montou o39.
retângulo abaixo de dimensões a e b, decomposto
em quatro quadrados.
a
b
Qual o valor da razão a/b?
5
3
a)
2
3
b)
2c)
3
2
d)
1
2
e)
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27. 23
EM_V_MAT_026
Na figura a seguir, calcule o ângulo40. , sabendo que
ABCDE é um pentágono onde B = D^ = 90º, ab = bc,
cd = de e que M é o ponto médio do lado ae.
Em uma circunferência de centro O e raio 2, têm-se41.
duas cordas paralelas, AB e CD, que são os lados do
quadrado e do hexágono regular convexo inscritos,
respectivamente.
A distância EF entre essas cordas é, aproximadamente,
igual a:
5a)
b)
6c)
2d)
π
2
e)
Na figura a seguir, AB e AC são, respectivamente, lados42.
do triângulo equilátero e do quadrado inscritos na cir-
cunferência de raio r. Com centro em A, traçam-se os
arcos de circunferências BB’ e CC’, que interceptam a
reta t em B’ e C’.
A medida que está mais próxima do comprimento do
segmento B’C’ é:
o perímetro do quadrado de lado AC.a)
o comprimento da semicircunferência de raio r.b)
o dobro do diâmetro da circunferência de raio r.c)
o semiperímetro do triângulo equilátero de ladod)
AB.
Calcule o perímetro do triângulo equilátero circunscrito43.
ao círculo que circunscreve um quadrado de 8 6 cm
de perímetro.
Calcule a distância entre dois lados opostos de um hexá-44.
gono regular inscrito num círculo inscrito num triângulo
equilátero de 6m de lado.
Calcule a razão entre os perímetros do triângulo45.
equilátero inscrito num círculo e do hexágono regular
circunscrito ao mesmo círculo.
Calcule o lado do octógono regular convexo inscrito num46.
círculo de raio igual a 2cm.
Calcule o lado do dodecágono regular convexo inscrito47.
num círculo de raio 3cm.
Calcule o comprimento da diagonal do pentágono re-48.
gular convexo, de lado = 2cm.
A razão entre os comprimentos das circunferências49.
circunscrita e inscrita a um quadrado é:
1
2
a)
2b)
3c)
2 2d)
2e)
(Unirio) Um carimbo com o símbolo de uma empre-50.
sa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado
por um triângulo equilátero que está inscrito numa
circunferência e que circunscreve um hexágono
regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve
medir 3cm, então a soma das medidas, em cm, do
lado do hexágono com a do diâmetro da circunfe-
rência deve ser:
7a)
2 3 1+b)
2 3c)
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28. 24
EM_V_MAT_026
Ache o lado do decágono regular inscrito em um círculo51.
de raio R.
3 1+d)
77
22
e)
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30. 26
EM_V_MAT_026
D29.
B30.
A31.
E32.
C33.
D34.
120°35.
R
R
3
2
e36.
R
R
2
2
2
e37.
R
R
e
3
2
38.
2 3R39.
2 3
3
R40.
2 3 cm41.
3
2
42.
40cm43.
D44.
A45.
E1.
B2.
45°3.
60° e 40°4.
B5.
B6.
E7.
30°8.
135°9.
C10.
62°11.
B12.
36º13.
D14.
B15.
A16.
D17.
B18.
D19.
12 lados.20.
B21.
35 diagonais.22.
A23.
A24.
x = 125.
y = 4
26. = 30°
27. = 70°
H e FG é um paralelogramo.28.
17cm.29.
B30.
E31.
D32.
Demonstração33.
Como34. an é bissetriz, temos dois triângulos congruentes
ABN e ANQ, logo aq = 14 e qc = 6.
No triângulo BCQ, N e M são pontos médios, assim
mn = 3.
45°, com as bases.35.
36.
120° e 240°a)
1b)
60°c)
9cm37.
38.
2a) + 2 = 180°
+ = 90°
2 + 2 = 180°
+ = 90
pqb) = pm + mn + nq
mn = B + b
2
pq = x + B + b
2
+ y
pq = 2x B + b + 2y
2
2PABCD
= 2x + B + b + 2y
2PABCD
= 2.pq
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32. 28
EM_V_MAT_026
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