O documento descreve um problema de probabilidades proposto por Pascal ao Conde de Méré sobre a divisão de 60 pistolas em um jogo interrompido. Pascal interessou-se pelo problema e iniciou uma correspondência com Fermat para analisar a situação, marcando o início da Teoria das Probabilidades.
2. Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo)
viajava com Pascal ( homem que estudava religião
e Matemática – inventor da máquina de calcular)
e colocou-lhe a seguinte questão:
“ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma
mensagem urgente nos obrigou a interromper o
jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada
um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o
primeiro que obtivesse 3 vezes o número que
escolheu no lançamento de um dado. Eu tinha
escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já
tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha
escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”.
Como dividir as 60 pistolas?
3. Probabilidades 9º Ano
Pascal interessou-se por este problema e
iniciou uma correspondência com o seu
amigo Fermat para analisar a situação.
Essa correspondência marca o início da
Teoria das Probabilidades.
Blaise Pascal
Fermat
Vídeo: É uma banda desenhada
canadiana, com legendas em
português, e que de uma forma muito
interessante explica a área de estudo
das Probabilidades.
http://www.youtube.com/watch?v=tJz8sKHHisI
4. Probabilidades 9º Ano
Importância do estudo da Teoria das
Probabilidades
METEREOLOGIA
É pouco provável que chova durante esta semana.
SEGUROS
Porque é que um condutor com pouco tempo de carta
paga mais seguro?
JOGOS
Porque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?
5. Todos os dias somos confrontados com situações, que nos
conduzem a utilizar, intuitivamente, a noção de
probabilidade:
• Dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar o
totoloto;
• O político deseja saber qual a sua probabilidade de ganhar
as eleições;
• Dizemos que existe uma grande probabilidade de não
chover num dia de verão;
• O médico interroga-se sobre qual a probabilidade de um
doente, tratado com um novo medicamento sobreviver.
6. ATIVIDADE 1: A Matemática e os jogos de azar
Considera as seguintes situações:
• O boletim do totoloto que o Vítor preencheu está representado na figura
seguinte. Em qual das apostas terá maior probabilidade de ganhar?
• Um árbitro de futebol atirou uma moeda ao ar seis semanas seguidas e obteve
sempre face.
Vai atirá-la uma sétima vez. É mais provável sair face comum ou face nacional?
7. ATIVIDADE 2: Tipos de experiências
Considera as seguintes experiências:
Situação 1: Situação 2:
Abrir a mão e largar a moeda Lançar uma moeda e verificar se sai cara
Na primeira experiência já sabemos o que acontece mesmo antes de a realizar –
a moeda cai ao chão (trata-se de uma experiência determinista).
Na segunda experiência só é possível conhecer o resultado depois de a
realizarmos (trata-se de uma experiência aleatória).
Faz uma pequena reflexão sobre o que poderá acontecer em cada uma das situações.
8. Probabilidades 9º Ano
Termos e conceitos
Experiências
• Lançamento de uma moeda
• Lançamento de um dado
• Totoloto
• Estado do tempo para a
semana
• Extracção de uma carta
• Tempo que uma lâmpada irá
durar
• Furar um balão cheio
• Deixar cair um prego
num copo de água
• Calcular a área de
quadrado de lado 9 cm
À partida não sabemos o
resultado
À partida já conhecemos o
resultado
9. Probabilidades 9º Ano
Importância do estudo da Teoria das
Probabilidades
A Teoria da Probabilidade prende-se com o estudo de modelos
matemáticos especiais, a que chamamos modelos
probabilísticos, para descrever fenómenos aleatórios.
10. Atividade 3:
Para cada uma das situações seguintes indica o cartão que associavas à
frase:
i. A próxima semana tem oito dias
ii. O António estudou a matéria e vai tirar Muito Bom no teste.
iii. O Pedro jogou na lotaria e vai ganhar um prémio.
iv. Este ano tem 52 semanas.
v. Ao domingo há jogos de futebol.
Certo
ImpossívelProvável
Pouco
Provável
11. ATIVIDADE 4: Jogo do dado
Considera a experiência que consiste em lançar o dado uma vez e
anotar o número de pontos da face voltada para cima.
I. Quantos são os casos possíveis? Escreve todos os casos possíveis.
II. Quantos são os casos favoráveis ao acontecimento:
A: Sair número par
B: Sair um quadrado perfeito
III. Define e classifica os seguintes acontecimentos:
A: Sair divisor de 10
B: Sair um número par e primo
C: Sair o número 7
D: Sair um número menor do que 7.
12. Probabilidades 9º Ano
Termos e conceitos
Espaço de Resultados
Espaço de resultados é o conjunto de todos os resultados
possíveis de uma experiência aleatória.
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
Espaço de resultados = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol
Espaço de resultados = E = {Vitória, Empate, Derrota }
EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto
Espaço de resultados = E = {1, 2, 3, ... ,47, 48, 49 }
13. Probabilidades 9º Ano
Termos e conceitos
Acontecimento
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um rapa
Espaço de resultados = E = { R, T, D, P }
IMPOSSÍVEL CERTO
“ Sair a letra X ” “ Sair uma
consoante ”
PROVÁVEL
“ Sair a letra T ”
14. Probabilidades 9º Ano
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado
Espaço de resultados = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Acontecimento
ELEMENTAR COMPOSTO
A: “ Sair o nº 3 ”
A={ 3 }
Só tem um elemento
B: “ Sair um nº ímpar ”
B={ 1, 3, 5 }
Tem mais do que um elemento
Acontecimento
CERTO IMPOSSÍVEL
C: “ Sair um nº menor que 7 ”
C={1,2,3,4,5,6 }
Coincide com o espaço de resultados
D: “ Sair o nº 8 ”
D={ }
15. Probabilidades 9º Ano
PROBABILIDADE DE UM ACONTECIMENTO
Lei de LAPLACE
1749 - 1827
A primeira definição de probabilidade (definição
clássica de probabilidade) foi enunciada pelo
matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-
1827) e publicada num tratado, em 1812, designado
por "Théorie analytique des probabilités" (Teoria
Analítica das Probabilidades) e que unificou na
altura todos os seus trabalhos sobre probabilidades.
16. ATIVIDADE 5:
Antes de jogares, responde às seguintes questões:
I. Quem pensas que vai ganhar, o A ou o B? Têm ambos as mesmas
hipóteses de ganhar?
II. Qual a probabilidade de sair face com número primo?
17. Probabilidades 9º Ano
Lei de LAPLACE
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado
E = { 1,2,3,4,5,6 }O dado tem 6 faces:
Qual é a probabilidade de sair face com número primo?
possíveiscasosdeNúmero
favoráveiscasosdeNúmero
"º" primonsairP
Nº casos favoráveis = 3
Nº casos possíveis = 6
%505,0
2
1
6
3
primo"número" sairP
18. Probabilidades 9º Ano
Cálculo de Probabilidades
Calcula a probabilidade dos seguintes acontecimentos:
%1717,0
6
1
AP
A: “ Sair o número 3 “1)
2) B: “ Sair um número maior que 3 “
%505,0
2
1
BP
A probabilidade de um acontecimento pode ser representada sob
a forma de fracção, dízima ou de percentagem.
19. Probabilidades 9º Ano
Propriedades das probabilidades
1) A probabilidade de um acontecimento impossível é 0.
2) A probabilidade de um acontecimento certo é 1.
3) A probabilidade de um acontecimento varia sempre entre 0 e 1.
0"7º" nsairP
1"7quemenor" númerosairP
1)(0 AP
Acontecimento CertoAcontecimento Impossível
Acontecimento possível mas não certo
20. Probabilidades 9º Ano
Propriedades das probabilidades
4) Acontecimentos que não podem ocorrer em simultâneo.
Acontecimentos disjuntos ou mutuamente exclusivos
)()(Bu BpApoAP
Num saco em que existem 70 bolas amarelas, 65 azuis, 75
vermelhas, 65 verdes e 25 cor de rosa, qual a probabilidade,
numa extração, sair bola amarela ou verde?
21. Probabilidades 9º Ano
Propriedades das probabilidades
Num saco em que existem 70 bolas amarelas, 65 azuis, 75
vermelhas, 65 verdes e 25 cor de rosa, qual a probabilidade,
numa extração, não sair bola vermelha?
5) Acontecimento contrário.
Acontecimento complementar
1)( ApAP
22. Probabilidades 9º Ano
Problemas de contagem – Tabelas de Dupla entrada
EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
I. Quantos são os casos possíveis?
II. Qual é a probabilidade de sair dois números maiores que 3?
9 1
36 4
P
23. 9º Ano
Problemas de contagem– Diagramas de árvores
EXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante
Arroz de
frango
Bife grelhado
Lampreia
Sobremesa:
Fruta da época
Pudim
Prato:
Entrada
:
Sopa
Canja
1) Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um
prato e uma sobremesa?
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,P )
( S,L,F )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
12 refeições
diferentes!
24. 2) Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade
de comer bife ou fruta?
Cálculo de Probabilidades
9º Ano
25. 9º Ano
Cálculo de Probabilidades
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S
C
A
B
L
A
B
L
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,P )
( S,L,F )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
3
2
12
8
P
Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de comer bife ou fruta?
Resposta:
26. Probabilidades 9º Ano
Ténis Xadrez
3
610 6
25 - 3 = 22
16 + 12 = 28
Meio: 28 - 22 = 6
Só Ténis: 16 - 6 = 10
Só Xadrez: 12 - 6 = 6
Processo de Contagem – Diagrama de Venn
Numa turma de 25 alunos fez-se um inquérito e
após a análise dos seus desportos favoritos,
registaram-se as seguintes conclusões:
-16 alunos sabem jogar ténis;
-12 alunos sabem jogar xadrez;
-3 não sabem jogar ténis nem xadrez.
27. Probabilidades 9º Ano
c) jogar ténis?
Ténis Xadrez
3
610 6
P = 10
25
b) jogar só ténis?
= 2
5
P = 16
25
Escolhendo um aluno ao acaso
qual é a probabilidade de saber:
a) jogar ténis e xadrez?
P =
25
6
28. Face
Frequência
absoluta
Frequência relativa
Frequência
absoluta
Frequência relativa
Frequência
absoluta
Frequência relativa
Nacional 62 165 244
Comum 38 135 256
100 300 500
62
0,62 62%
100
165
0,55 55%
300
244
0,488 48,8%
500
38
0,38 38%
100
135
0,45 45%
300
256
0,512 51,2%
500
O João realizou 3 experiências ao lançar uma moeda ao ar: 100 vezes na
1ª experiência, 300 vezes na segunda e 500 vezes na terceira experiência.
Experiência 3Experiência 2Experiência 1
À medida que o número de lançamentos aumenta, compara a
frequência relativa de cada acontecimento com a sua
probabilidade. Que observas?
Frequência Relativa e Probabilidade