Conjunto2

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Exercícios resolvidos sobre conjuntos 2

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  1. 1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOSProf. Carlos Alberto G. de AlmeidaDEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB27 de abril de 2013Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  2. 2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSINTRODUÇÃONeste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:Conjunto dos números naturais;Conjunto dos números inteiros;Conjunto dos números racionais;Conjunto dos números reais.Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre osassuntos descritos acima, porém, é interessante que vocêestude antes a teoria no Livro de CÁLCULO.BOM ESTUDO!Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  3. 3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - NChama-se conjunto dos números naturais (N), o conjuntoformado pelos números 0, 1, 2, · · · .N = {0, 1, 2, 3, · · · }Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais, aadição e a multiplicação, que apresentam as seguintespropriedades:associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c), paratodos, a, b ∈ N.comutativa da adição: a + b = b + c, para todos, a, b ∈ N.elemento neutro da adição: a + 0 = a, para todo, a ∈ N.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  4. 4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - Nassociativa da multiplicação: (ab)c = a(bc), para todos,a, b, c ∈ N.comutatividade da multiplicação: ab = ba, para todos,a, b ∈ N.elemento neutro da multiplicação: a · 1 = a, para todo,a ∈ N.distributiva da multiplicação relativamente à adição:a(b + c) = ab + ac, para todos, a, b, c ∈ N.Veremos que os próximos conjuntos numéricos a seremapresentados são ampliações de N, isto é, contêm N, têm umaadição e uma multiplicação com as propriedades formais jáapresentadas e outras mais.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  5. 5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOS: Seja H o conjunto{n ∈ N | 2 n 40, n multiplo de 2, n nao multiplo de 3}. Qual éo número de elementos de H?SOLUÇÃO:múltiplos de 2:{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40}Então temos 20 múltiplos de 2 entre 2 e 40. Isto é:{multiplos de 2} = 20.não múltiplos de 3:{2, 4, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28,29, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40}Então temos 26 não múltiplos de 3 entre 2 e 40. Isto é:{nao multiplos de 3} = 26.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  6. 6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONTINUAÇÃOEntretanto estamos procurando números que sãosimultaneamente múltiplos de 2 e não múltiplos de 3. Logo,observando a descrição dos elementos acima, teremos:H = {2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34, 38, 40}Portanto,n(H) = 14Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  7. 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONJUNTO DO S NÚMEROS INTEIROS - ZChama-se conjunto dos números inteiros - símbolo Z - oseguinte conjunto:Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}No conjunto Z distinguimos três subconjuntos notáveis:Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = N(chamado conjunto dos inteiros não negativos)Z− = {..., −3, −2, −1, 0}(chamado conjunto dos inteiros não positivos)Z∗= {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}(chamado conjunto dos inteiros não nulos).Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  8. 8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSOPERAÇÕES EM ZNo conjunto Z são definidas também as operações de adição emultiplicação que apresentam, além de [A. 1], [A. 2], [A. 3],[M. 1], [M. 2], [M. 3] e [D] a propridade:[A.4] simétrico ou oposto para a adiçãoPara todo a ∈ Z existe − a ∈ Z tal quea + (−a) = 0.Devido à propriedade [A. 4], podemos definir em Z a operaçãode subtração, estabelecendo que a − b = a + (−b) para todosa, b ∈ Z.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  9. 9. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAISChama-se conjunto dos números racionais - símbolo Q - oconjunto dos pares ordenados (ou frações)ab, em que a ∈ Z eb ∈ Z∗, para os quais adotam-se as seguintes definições:1 igualdade:ab=cd⇐⇒ ad = bc2 adição:ab+cd=ad + bcbd3 multiplicação:ab·cd=acbdNo conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos:Q+ = conjunto dos racionais não negativosQ− = conjunto dos racionais não positivosQ∗ = conjunto dos racionais não nulosProf. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  10. 10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSREPRESENTAÇÃO DECIMALO número decimal tem uma quantidade finita de algarismos,diferentes de zero, isto é, é uma decimal exata.Exemplos:31= 3,12= 0, 5,120= 0, 05,271000= 0, 027O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismosque se repetem periodicamente, isto é, é uma dízimaperiódica.Exemplos:13= 0, 333... (período 3)27= 0, 285714285714... = 0, 285714 (período 285714)116= 1, 8333... (período 3)Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  11. 11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSREPRESENTAÇÃO DECIMALQuando a decimal é exata, podemos transformá-lo em umafração cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula ecujo denominador é o algorismo 1 seguido de tantos zerosquantas forem as casas decimais do numeral dado.Exemplos:0, 37 =371002, 631 =2631100063, 4598 =63459810000Quando a decimal é uma dízima periódica, devemos procurarsua geratriz. Damos a seguir um exemplo de como obter ageratriz de uma dízima periódicaExemplo: 0,777 ...x = 0, 777...10x = 7, 777...=⇒ 10x − x = 7 =⇒ x =79Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  12. 12. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - RChama-se conjunto dos números reais - em símbolos R -aquele formado por todos os números com representaçãodecimal, isto é, as decimais exatas ou periódicasProf. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  13. 13. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSBIBLIOGRAFIA UTILIZADAFundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos,funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008.Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999.Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - SãoPaulo: MAKRON Books, 1999.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  14. 14. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSOBSERVAÇÕES:Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.Sugerimos que estudem os conteúdos apresentadosnesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem nofórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las.O assunto exposto acima servirá de suporte durante todoo curso. Portanto aproveitem este material!BOM ESTUDO!Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

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