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  1. 1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICASProf. Carlos Alberto G. de AlmeidaDEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB14 de maio de 2013Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  2. 2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSINTRODUÇÃONeste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:Expressões polinomiais;Expressões racionais;Radiciação.Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre oassunto descrito acima, porém, é interessante que você estudeantes a teoria no Nos livros indicados na Bibliografia.BOM ESTUDO!Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  3. 3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSIDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃOQaundo temos soma ou diferença de termos semelhantes,podemos usar a propriedade distributiva. Assim, temos asidentidades:19x3− 34x3= (19 − 34) · x3= −15x35x9+ 12x9= (5 + 12) · x9= 17x94x5y6− 6x5y6= (4 − 6) · x5y6= −2x5y6O ideal é evitar a igualdade internediária nos cálculos acima,ou seja, escrever diretamente o último membro.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  4. 4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSIDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃOAs identidades a seguir envolvem termos não-semelhantes. Ocuidado a ser tomado é considerar os termos semelhantes, eefetuar as operações sobre eles.1 (6x3+2x2−3x +1)+(2x3−4x2+2x −2) = 8x3−2x2−x −1.2 (3x4 − 2x2 + x − 1) + (x4 − x3 + 5x − 12) =4x4 − x3 − 2x2 + 6x − 13.3 (x5 − 3x2 + 2) − (4x5 + x3 − 4x2 + 2) =x5 − 3x2 + 2 − 4x5 − x3 + 4x2 − 2 = −3x5 − x3 + x2.4 23x5 − 3x2 + 7y − y3 + 3 + 9y − 4y3 + x5 = 23x5 + x5 −3x2 + 7y + 9y − y3 − 4y3 + 3 = 24x5 − 3x2 + 16y − 5y3 + 3.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  5. 5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSIDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃOEXERCÍCIOS: Simplifique a expressão, em cada caso:1 (5x − 3x2) + (4 − 5x) − (6x2 − 4x − 5) + (4 − 4x)2 −6(x − 1 + x2) − (5x2 + x − 2) − 63 8x2 − (10 − 5x + x2) − 3[x − (2 + x2)]4 4u + 3[u − (2v + 3u) − 3v] − 6vProf. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  6. 6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSIDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTOExemplos:3t2(4t3−12t+3) = 3t2·4t3+3t2·(−12t)+3t2·3 = 12t5−36t3+9t2(4a + b)(9a − 7b + 2) = 4a · (9a − 7b + 2) + b · (9a − 7b + 2) == 4a · 9a + 4a · (−7b) + 4a · 2 + b · 9a + b · (−7b) + b · 2 == 36a2− 28ab + 8a + 9ab − 7b2+ 2b == 36a2− 19ab − 7b2+ 8a + 2b.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  7. 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSIDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTOVocê pode, se preferir, dispor os cálculos como umamultiplicação entre números, como segue:3t2·(4t3−12t+3) = 3t2·4t3+3t2·(−12t)+3t2·3 = 12t5−36t3+9t24t3 − 12t + 33t212t5 − 36t3 + 9t2Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  8. 8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSIDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTO(4a + b) · (9a − 7b + 2)9a − 7b + 24a + b36a2 − 28ab + 8a9ab − 7b2 + 2b36a2 − 19ab − 7b2 + 8a + 2bProf. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  9. 9. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSIDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃOO teorema que fala sobre a divisão de inteiros positivos é oseguinte:Dados os inteiros positivos a e b, existe um único par ordenado,(q, r) de núumeros inteiros tal que a = bq + r, com 0 r < b.q e r são chamados quociente e resto, respectivamente, dadivisão euclidiana de a por b. Neste contexto, a e b sãochamados dividendo e divisor, respectivamente.Exemplo:Se dividirmos 23 por 4 obteremos quociente 5, e resto 3, pois23 = 4 · 5 + 3. Da igualdade anterior resulta234= 5 +34Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  10. 10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSIDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃOEm geral,dividendodivisor= quociente +restodivisorExiste um teorema análogo que diz respeito à divisão de umaexpressão polinomial por outra.Exemplo: 2x3 − 3x − 2 tem grau 3, x4 − 1 tem grau 4. Umaexpressão polinomial constante, isto é, formada apenas pelotermo constante, tem grau 0.Existe um algoritmo para efetuar a divisão de duas expressõespolinomiais, análogo ao da divisão de números.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  11. 11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSIDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃOExemplo:8x4 − 2x3 − x2 + 16x − 21 2x2 + x − 3−8x4 − 4x3 + 12x2 4x2 − 3x + 70 − 6x3 + 11x2 + 16x − 216x3 + 3x2 − 9x0 14x2 + 7x − 21− 14x2 − 7x + 210De acordo com o resultado acima, podemos escrever aidentidade em R8x4− 2x3− x2+ 16x − 21 = (2x2+ x − 3)(4x2− 3x + 7) + 0Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  12. 12. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSIDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃOExemplo:5x3 + 0x2 − 3x + 4 x2 − x + 1−5x3 + 5x2 − 5x 5x + 50 + 5x2 − 8x + 4− 5x2 + 5x − 50 − 3x − 1Como a expressão obtida −3x − 1 tem grau 1, menor que ograu 2 do divisor x2 − x + 1, devemos parar aqui. Portanto, oquociente é 5x + 5 e o resto é −3x − 1. Então,5x3 − 3x + 4x2 − x + 1= (5x + 5) +−3x − 1x2 − x + 1Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  13. 13. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOSDivida (isto é, dê o quociente e o resto)1 4x2 − 3x + 6 por x + 22 x4 + x3 + 2x + 15 por 2x2 − 6x + 43 64x6 − 16x3 + 1 por 4x2 − 4x + 14 11x4 + 3x5 + 7x + 9 − 15x2 por x2 + 2x − 15 x3 − 3 por x2 + x − 3Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  14. 14. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXPRESSÕES RACIONAISExemplo: Efetue 2x2−1− 5x4x2+2x+1Inicialmente, tentamos fatorar os denominadores:x2− 1 = (x − 1)(x + 1) x2+ 2x + 1 = (x + 1)2Daí,2x2 − 1−5x4x2 + 2x + 1=2(x + 1)(x − 1)(x + 1)2−5x4(x − 1)(x − 1)(x + 1)2==2(x + 1) − 5x4(x − 1)(x − 1)(x + 1)2=2x + 2 − 5x5 + 5x4(x − 1)(x + 1)2.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  15. 15. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXPRESSÕES RACIONAISExemplos: Efetue 2x + 1x2 − xx3−2x2 + 3x2−2xFatorando denominadores a expressão fica:2x + 1x2 − xx2(x−2)+ 3x(x−2)O mmc dos denominadores é: x2(x − 2). Portanto, temos que2x+1x2−xx2(x − 2)+3x(x − 2)==2x(x − 2)x2(x − 2)+1(x − 2)x2(x − 2)−xx2(x − 2)+3xx2(x − 2)==2x2 − 4xx2(x − 2)+x − 2x2(x − 2)−xx2(x − 2)+3xx2(x − 2)==2x2 − 4x + x − 2 − x + 3xx2(x − 2)=2x2 − x − 2x2(x − 2).Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  16. 16. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTEExemplos:12x − 1x2 + 1·xx + 1=(2x − 1)x(x2 + 1)(x + 1)22x − 1x2 + 1xx + 1=2x − 1x2 + 1·x + 1x=(2x − 1)(x + 1)(x2 + 1)xOBSERVAÇÃO: A identidade em 1 é em R − {1}, e a identidadeem 2 é em R − {0}.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  17. 17. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTEVamos aproveitar a ocasião para exercitarmos mais emfatoração. Exemplo:Efetue e simplifiquex2 − 16x2 + 2x + 1·x + 1x2 − 5x + 4==(x − 4)::::::(x + 4)(x + 1)2:::::::·x + 1:::::(x − 1)(x − 4)::::::=x + 4(x + 1)(x − 1)Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  18. 18. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTEExemplo: Efetue e simplifiquex3 − 1x2 + 1x2 − 1x4 + 2x2 + 1=x3 − 1x2 + 1·x4 + 2x2 + 1x2 − 1=(x − 1)(x2 + x + 1)x2 + 1·(x2 + 1)2(x − 1)(x + 1)=(x2 + x + 1)(x2 + 1)x + 1Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  19. 19. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOSEfetue e simplifique:1x − 5x2 + 5x·x225 − 5x24x − 8x + 73x2 − 122x2 − 983xx + 3+x2x2 − 942x − 1−3x + 1+5 − x1 − x252x − 6x2 − x − 2−x + 2x2 + 4x + 3++x − 1x2 + x − 66xx2 − 4−2x2 − 5x + 6Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  20. 20. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSRADICIAÇÃOPropriedadesValem as seguintes propriedades, para n, p, m inteiros, n > 1,m > 1:1n√ab = n√a n√b2 nab=n√an√b(b = 0)3 ( n√a)m = n√am4p n√a = pn√aExemplos:1 3 7√5 + 2 7√5 − 7√5 = (3 + 2 − 1) 7√5 = 4 7√5.25√4 · 5√6 = 5√4 · 6 =5√24.37√367√6= 7 366= 7√6.4 ( 9√8)2 =9√82 = 9√64.53 4√2 =12√2.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  21. 21. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSRADICIAÇÃOATENÇÃO. Muitos gostariam de acrescentar às propriedadesacima o seguinte:n√a + b = n√a +n√bVeja:√9 + 16 =√25 = 5 e√9 = 3,√16 = 4. Claramente,√9 + 16 =√9 +√16.3√1 +3√1 = 1 + 1 = 2 e 3√1 + 1 =3√2. Claramente 2 =3√2, ouseja,3√1 +3√1 = 3√1 + 1.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  22. 22. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSRADICIAÇÃO: RADICIAÇÃOPara facilitar cálculos, às vezes quer-se eliminar radicais queaparecem no denominador de uma fração. Esta operação éconhecida como RACIONALIZAÇÃO.Para racionalizar 1/√2, multiplicamos numerador edenominador por√2:1√2=1√2·√2√2=√2(√2)2=√22Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  23. 23. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSRADICIAÇÃO: RADICIAÇÃOPara racionalizar 1/(√11 +√5), multiplicamos numeradore denominador por 1/(√11 −√5), chamado de conjugadode 1/(√11 +√5). Lembrando quea2 − b2 = (a − b)(a + b), vem:1√11 +√5=1√11 +√5·√11 −√5√11 −√5=√11 −√5(√11)2 − (√5)2==√11 −√511 − 5=√11 −√56.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  24. 24. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSRADICIAÇÃO: POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONALVamos definir ar como sendo q√ap, ou seja,apq =q√aponde a > 0 é um número real, e r um racional. Destacamos ocaso particular em que r = 1/n, n > 1, inteiro:a1n = n√aExemplos: 27/8 =8√27, 31/5 = 5√3, 74/20 = 71/5 = 5√7.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  25. 25. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSRADICIAÇÃO: POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONALExemplos:4√x · 4x · 5√x · x−2/3 = x1/4 · 4x · x1/5 · x−2/3 =4x(1/4+1+1/5−2/3) = 4x47/609√x2 + 57√x35√x4=x2/9 + 5x3/7x4/5=x2/9x4/5+5x3/7x4/5=x(2/9−4/5) + 5x(3/7−4/5) = x(−26/45) + 5x(−13/35)(4√2)1/8 = (21/4)1/8 = 2(1/4)·(1/8) = 21/32 =32√2( 8√x · 5y2)40 = (x1/8 · y2/5)40 = x(1/8)·40 · y(2/5)·40 =x40/8 · y80/5 = x5 · y16Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  26. 26. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSEXERCÍCIOSSimplifique:1 x 3√x + 4x4/3 − 53√x423√x2 ·√x3 − 2x2 6√x6√x1335√x · x2 · x1/3 − (15√x2)2 · x15√x194 ( 3√5 · a2/3)9543 3√33√3Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  27. 27. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSBIBLIOGRAFIA UTILIZADAFundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos,funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008.Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999.Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - SãoPaulo: MAKRON Books, 1999.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  28. 28. EXERCÍCIOS RESOLVIDOSOBSERVAÇÕES:Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.Sugerimos que estudem os conteúdos apresentadosnesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem nofórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las.O assunto exposto acima servirá de suporte durante todoo curso. Portanto aproveitem este material!BOM ESTUDO!Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPBCÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS

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