1. Ângulos
autor Antonio Carlos
O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS
Duas semi-retas que não estejam
contidas na mesma reta, e que tenham a
mesma origem, dividem o plano em duas
regiões: uma convexa e outra não-convexa.
Cada uma dessas regiões, junto com
as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as
duas semi-retas determinam dois ângulos:

2. Cont.

3. Definição.
 Todo ângulo possui dois lados e um
vértice. Os lados são as semi-retas que
determinam. O vértice é a origem
comum dessas semi-retas.
 O ângulo convexo, de vértice O e
lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.

5. Cont.
 Ângulos
 Observe agora dois casos em que as
semi-retas de mesma origem estão
contidas na mesma reta. Nesses casos,
formam-se também ângulos.
 As semi-retas coincidem. Temos aí o
ângulo nulo e o ângulo de uma volta.

6. As semi-retas não coincidem. ângulos
rasos ou de meia- volta.

7. Cont.

8. Ângulo é duas semi-retas que
têm a mesma origem.
 MEDIDA DE UM ÂNGULO
 A medida de um ângulo é dada pela
medida de sua abertura. A unidade padrão de
medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é
º.
 Tomando um ângulo raso ou de meia-
volta e dividindo-o em 180 partes iguais,
determinamos 180 ângulos de mesma medida.
Cada um desses ângulos representa um
ângulo de 1º grau (1º).

10. O transferidor
 Para medir ângulos utilizamos um
instrumento denominado transferidor. O
transferidor já vem graduado com
divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos
de transferidor: Transferidor de 180º e
de 360º.
 O grau compreende os submúltiplos

11. Unidades.
 O minuto corresponde a do grau. Indica-se um
minuto por 1'.
 1º=60'
 O segundo corresponde a do minuto. Indica-se
um segundo por 1''.
 1'=60''Logo, podemos
concluir que:
 1º = 60'.60 = 3.600''Quando um ângulo é
medido em graus, minutos e segundos,
estamos utilizando o sistema sexagesimal.

12. Ângulos.
 Como medir um ângulo, utilizando o
transferidor
 Observe a seqüência
 O centro O do transferidor deve ser colocado
sobre o vértice do ângulo.
 A linha horizontal que passa pelo centro deve
coincidir com uma das semi-retas do ângulo .
 Verificamos a medida da escala em que passa
a outra semi-reta .

13. Leitura de um Ângulo.
 Observe as seguintes indicações de ângulos e suas
respectivas leituras:
 15º (lê-se "15 graus'')
 45º50' (lê-se ''45 graus e 50
minutos'')
 30º48'36'' (lê-se ''30 graus, 48
minutos e 36 segundos'')
 Observações
 Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem
ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o
teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em
navegação.
 A representação da medida de um ângulo pode também ser
feita através de uma letra minúscula ou de um número.

14. Ângulo agudos

15. Determine a medida do ângulo AÔB
na figura:

16. Solução.
 Medida de AÔB = x
 Medida de BÔC = 105º
 Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo
raso, temos:
 m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)
 x + 105º = 180º
 x = 180º - 105º
 x = 75º
 Logo, a medida de AÔB é 75º.

17. Determine a medida do ângulo não-
convexo na figura:

18. Solução.
 Verificamos que o ângulo não-convexo na
figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam,
juntos, um ângulo de uma volta, que mede
360º. Assim:
 x + 50º = 360º
 x = 360º - 50º
 x = 310º
 Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.

19. Construção.
 Ângulos
 Como construir um ângulo utilizando
o transferidor
 Observe a seqüência utilizada na
construção de um ângulo de 50º:
 Traçamos uma semi-reta .

20.  Colocamos o centro do transferidor
sobre a origem da semi-reta (A).
 Identificamos no transferidor o ponto (C)
correspondente à medida de 50º.

21. Cont.

22. Cont.
 Traçamos a semi-reta , obtendo o
ângulo BÂC que mede 50º.
 Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º são
ângulos especiais.
 Eles podem ser desenhados com
esquadro.

23. TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES
 Como vimos, quando trabalhamos com medidas de
ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal.
 Observe nos exemplos como efetuar transformações
nesse sistema:
 Transforme 30º em minutos.
 Solução
 Sendo 1º = 60', temos:
 30º = 30 . 60'= 1.800
 'Logo, 30º = 1.800

24. Cont.
 Transforme 5º35' em minutos.
 Solução
 5º = 5 . 60' = 300'
 300' + 35'= 335'
 Logo, 5º35'= 335'.

25. Cont.
 transforme 8º em segundos.
 Solução
 Sendo 1º = 60', temos:
 8º = 8 . 60'= 480
 'Sendo 1'= 60'', temos:
 480'= 480 . 60'' = 28.800''
 Logo, 8º = 28.800''.

26. Cont.
 Transforme 3º35' em segundos.
 Solução
 3º = 3 . 60'= 180'
 180' + 35' = 215'
 215' . 60'' = 12.900''
 Logo, 3º35'= 12.900''

27. Cont.
 Transforme 2º20'40'' em segundos.
 Solução
 2º = 2 . 60' = 120'
 120' + 20' = 140'
 140'. 60''= 8.400''
 8.400'' + 40'' = 8.440''
 Logo, 2º20'40'' = 8.440''

28. Cont.
 Ângulos
 Transformando uma medida de
ângulo em número misto
 Transforme 130' em graus e minutos.
 Solução

29. Solução:

30. Transforme 150'' em minutos e
segundos.

31. Transforme 26.138'' em graus,
minutos e segundos

32. Medidas fracionárias de um
ângulo
 Transforme 24,5º em graus e minutos.
 solução
 0,5º = 0,5 . 60' = 30'
 24,5º= 24º + 0,5º = 24º30'
 Logo, 24,5º = 24º30'.
 Transforme 45º36' em graus.
 solução
 60' 1º
 36' x
 x = 0,6º (lê-se ''seis décimos de
grau'')
 Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º.

33. Transforme 5'54'' em minutos
 Solução
 60'' 1'
 54'' x
 x = 0,9'
( lê-se ''nove décimos de minuto'')
 Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9'

34. OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE
ÂNGULOS.

35. Cont.

36. Subtração

37. 90º - 35º49'46''

38. 80º48'30'' - 70º58'55''

39. Multiplicação por um número
natural

40. 5 . ( 12º36'40'')

41. Divisão por um número natural

42. ( 45º20' ) : 4

43. ( 50º17'30'' ) : 6

44. ÂNGULOS CONGRUENTES

45. Cont.

 Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma
medida. Eles são ângulos congruentes
e podemos fazer a seguinte indicação

46. Cont.
 Dois ângulos são
congruentes quando têm a mesma
medida.

47. ÂNGULOS CONSECUTIVOS

48. Os ângulos AÔC e CÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:

49. Os ângulos AÔC e AÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:

50. Os ângulos CÔB e AÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:

51. ÂNGULOS ADJACENTES
Os ângulos AÔC e CÔB não possuem pontos internos comuns

52. Cont.
Os ângulos AÔC e AÔB possuem pontos internos comuns

53. Cont.
Os ângulos CÔB e AÔB possuem pontos internos comuns

54. Definição:
 Dois ângulos são adjacentes quando
são consecutivos e não possuem pontos
internos comuns.

55. Duas retas concorrentes

56. BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

57. Cont.
 Verifique que a semi-reta divide o
ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e
CÔB ) congruentes.
 Nesse caso, a semi-reta é denominada
bissetriz do ângulo AÔB.

58. Definição.
 Bissetriz de um ângulo é a semi-reta
com origem no vértice desse ângulo e
que o divide em dois outros ângulos
congruentes.

59. Construção com o uso do compasso.
Centramos o compasso em O e com uma abertura
determinamos os pontos C e D sobre as semi-retas
,

60. Cont.

61. Cont.
 Centramos o compasso em C e D e com
uma abertura superior à metade da
distância de C a D traçamos arcos que
se cruzam em E. Em seguida
 Traçamos , determinando assim a
bissetriz de AÔB.

62. Ângulo agudo é o ângulo cuja
medida é menor que 90º. Exemplo

63. Ângulo obtuso é o ângulo cuja
medida é maior que 90º. Exemplo

64. Ângulo reto é o ângulo cuja
medida é 90º. Exemplo:

65. RETAS PERPENDICULARES

66. Duas retas concorrentes que não
formam ângulos retos entre si são
chamadas de oblíquos. Exemplo:

67. ÂNGULOS COMPLEMENTARES

68. Dois ângulos são complementares
quando a soma de suas medidas é 90º.
 Os ângulos que medem 42º e 48º são
complementares, pois 42º + 48º = 90º.
 Dizemos que o ângulo de 42º é o
complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.
 Para calcular a medida do complemento de
um ângulo, devemos determinar a diferença
entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.

69. Complemento.
 Para calcular a medida do complemento
de um ângulo, devemos determinar a
diferença entre 90º e a medida do
ângulo agudo dado.

70. Resolva.
 Qual a medida do complemento de um ângulo
de 75º?
 Solução
 Medida do complemento = 90º - medida do
ângulo
 Medida do complemento = 90º - 75º
 Medida do complemento = 15º
 Logo, a medida do complemento do ângulo de
75º é 15º.


71. Dizemos que esses ângulos são
adjacentes complementares

72. Observe os ângulos AÔB e BÔC na
figura abaixo: ÂNGULOS
SUPLEMENTARES

73. OPV.

74. Resolva.

75. Cont.
 x + 60º = 3x - 40º ângulos o.p.v
 x - 3x = - 40º - 60º
 -2x = - 100º
 x = 50º
 Logo, o valor de x é 50º

76. Antonio Carlos Carneiro Barroso
 Professor de Matemática
 Graduado pela UFBA
 Pós graduado em Metodologia e Didática
 Trabalho no Colégio Estadual Dinah
Gonçalves em Valéria Salvador –Bahia
 Meu blog
http://ensinodematemtica.blogspot.com
 Salvador 01/07/2009