O documento apresenta os conceitos fundamentais da trigonometria, incluindo o teorema fundamental da trigonometria, relações trigonométricas no triângulo retângulo, gráficos das funções trigonométricas e aplicações em problemas geométricos e de mecânica.

1. Teorema Fundamental da Trigonometria

2. Demonstração ... sen 1 sen θ 1 cos 0 -1 cos θ -1 · θ )θ

3. Continuação... sen 1 1 sen θ )θ 0 1 cos -1 cos θ -1

4. Continuação... 1 sen θ )θ cos θ Utilizando o teorema de Pitágorash2 = c2 + c2, temos :

5. Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo )θ Cateto Adjacente Cateto Oposto Hipotenusa

6. Continuação ... Relação no Triângulo Retângulo Ente Trigonométrico Seno de θ Cosseno de θ Tangente de θ Cossecante de θ Secante de θ Cotangente de θ

7. Na Circunferência Trigonométrica tg θ sen θ cos θ sen tg · )θ cos 0

8. Continuação ... cotg cotg θ cossec θ secante θ · )θ 0

9. sen tg 90° 120° 135° 150° 0°/360° 180° 0 cos 210° 330° 225° 315° 300° 240° 270° Arcos Notáveis 60° 45° 30°

10. Tabela de Entes Trigonométricos ...

11. Vamos pensar . . .

12. Que tal fazermos um teste para verificação do que foi apresentado? Observem a figura ao lado 1) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o sen a vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b

13. 2) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que o cos a vale: a) b/c b) a/c c) c/b d) c/a e) a/b

14. 3) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que a tg a vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c

15. 4) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que a cotg a vale: a) b/a b) b/c c) c/b d) a/b e) a/c

16. 5) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que tg a .cotg a vale: a) 1/a b) 1/c c) 1/b d) 0 e) 1

17. 6) Se a = 3b, podemos dizer então, que sen2a + cos2avale: a) b2 / a2 b) 9c2 / b2 c) 0 d) 1 e) (c2 + b2) / 9a2 Pelo teorema fundamental da trigonometria, temos que: sen2q + cos2q = 1 portanto,

18. 7) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que sec2a - 1 vale: a) tg2a b) cotg2a c) - 1 d) 0 e) 1

19. 8) Em relação ao ângulo a, podemos dizer que cossec2a - 1 vale: a) tg2a b) cotg2a c) - 1 d) 0 e) 1

20. 9) Se sen a = b/c, então, calculando o valor de chegaremos a: a) a/c b) b/c c) a/b d) b/a e) 1

21. Voltando a parte teórica

22. Lei dos Senos C a b ( ) B A c Seja um triângulo ABC qualquer temos :

23. C a b c ( ) B A Lei dos Cossenos Seja um triângulo ABC qualquer temos :

24. Continuação ... Curiosidade : Quando um dos ângulos do triângulo é reto, por exemplo, Â= 90°, temos : Sabe-se que cos 90° = 0, logo ... Temos, portanto ... Teorema de Pitágoras

25. Gráficos das funções trigonométricas y 1 • • 270° 630° -90° -180° • • • • • • x 0° 540° 720° 360° 180° 90° 450° • • • -1 senx

26. Continuação ... y 1 • • • 180° 540° -180° • • • • • x 0° 720° 630° -90° 450° 90° 270° 360° • • • -1 cosx

27. Continuação ... y 450° 630° -90° • • • • • • • • • 270° 90° x 0° 180° 360° 540° tg x

28. Continuação ... y cossecx 1 270° 630° -90° -180° • x 0° 540° 720° 360° 180° 90° 450° -1 • • • • • • • • • •

29. Continuação ... y secx 1 • • • 180° 540° -180° x • • • • • 0° 720° 630° -90° 450° 90° 270° 360° • • • -1

30. Continuação ... y cotg x 450° 630° 270° 90° • • • • • • • • • x 360° 540° 180° 0° 720°

31. TRIGONOMETRIA APLICADA • Modelo matemático que indica ao número de horas do dia, com luz solar, de uma determinada cidade norte americana, “t” dias após 1º de janeiro. Fonte : J.Stewart – Cálculo vol. I – Pág. 34

32. Trigonometria Algumas Aplicações

33. Parte Prática O exemplo clássico da Sombra Para que possamos medir (aproximadamente) a altura de um prédio, sem a necessidade de subir ao terraço, ou utilizar equipamentos sofisticados, seria necessário somente 2 elementos. São eles: uma distância um ângulo Observe a seguir . . .

34. Conhecendo a distância d que vale 50 metros e o ângulo a que vale 30°, podemos dizer então que: temos que: portanto:

35. Exemplo 1 A inclinação de uma rampa

36. Uma rampa com inclinação constante, (como a que existe em Brasília) tem 6 metros de altura na sua parte mais elevada. Um engenheiro começou a subir, e nota que após ter caminhado 16,4 metros sobre a rampa está a 2,0 metros de altura em relação ao solo. Será que este engenheiro somente com esses dados e uma calculadora científica conseguiria determinar o comprimento total dessa rampa e sua inclinação em relação ao solo?

37. Como poderíamos resolver essa situação? Como sugestão, faremos um “desenho” do que representa essa situação. Observemos: Comprimento total da rampa 6 metros 16,4 metros 2 metros q solo

38. Observemos o triângulo retângulo em destaque . . . Temos em relação ao ângulo q: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 16,4 metros hip c.o. q 2 metros c.a.

39. Como: hip = 16,4 metros c.o. = 2 metros 16,4 metros hip c.o. q 2 metros c.a. Obs.: quando dizemos que arcsen a = 1/2 , podemos transformar essa igualdade em uma pergunta: “qual é o arco, cujo seno vale 1/2?”, a resposta seria dizer que a = 30°.

40. Em nosso exercício, chegamos a conclusão que: sen q = 0,121951219512, logo podemos encontrar o ângulo q, com o auxílio da calculadora que normalmente utiliza as funções ASIN ou SIN-1, então, devemos digitar 0,121951219512 e a opção acima de sua calculadora. Se o processo foi realizado corretamente, deverá ser encontrado o valor 7,00472640907, que iremos considerar como aproximadamente 7°. Encontramos assim, a inclinação da rampa!

41. Notamos que os triângulos abaixo são semelhantes, portanto, podemos dizer que q é válido para ambos 16,4 metros hip c.o. 6 metros q 2 metros c.a. q = 7° Como: Chegamos a conclusão que o comprimento total da rampa é 49,2 metros

42. Exemplo 2 Mecânica Geral ou Trigonometria?

43. Os conceitos trigonométricos aparecem com muita freqüência no estudo da Física, Topografia, Astronomia e de muitos outros assuntos.Observemos os exemplos a seguir:Em relação ao sistema de forças representado na figura, onde F1 = 20N, F2 = 100N, F3 = 40N e F4 = 10N, você seria capaz de determinar a intensidade da resultante do sistema e o ângulo que essa resultante forma com o eixo das abscissas (x)?

50. Desafio !

51. Um alpinista muito ágil, percorre um trajeto passando pelos pontos A e B. Não se sabe ao certo o que ocorreu, mas ele conseguiu com o material apropriado chegar a conclusão das medidas abaixo mencionadas. Quando chega até a árvore ele percebe que o único caminho que o levará até o ponto C é escalando-a. (a altura da árvore é representada por h - despreze a largura do tronco) Se sua velocidade média é de 0,2 m/s, quantos minutos ele demorou para sair do ponto A e chegar ao ponto C? ( )

52. Solução: Resumidamente, temos o triângulo ao lado que representa nosso desafio.

53. Igualando o h das equações ( I ) e (II) Como

54. Agora com o valor das medidas temos condição de determinar quanto ele percorreu do ponto A até o ponto C, observe: v = 0,2 m/s 17 metros para subir a árvore 17 metros para descer da árvore 30 metros De A até C ele percorreu 30 + 17 + 17 = 64 metros

55. Obrigado pela participação de todos!!! Prof. Luciano Ribeiro