Triângulos: classificação e propriedades

Volume 1 Sumário
Apresentação
01. Por que aprender matemática?
02. Árvores na solução de problemas
03. Números do nosso diaadia
04. Nosso sistema de numeração
05. Somar e diminuir
06. A conta de mais
07. A conta de menos
08. Somando "de cabeça"
09. Multiplicar e dividir
10. Multiplicando "de cabeça"
11. A conta de vezes
12. O que é medir?
13. A conta de dividir
14. Usando padrões para medir
15. As coisas têm área, volume e forma
16. Números com vírgula
17. Sistemas de medidas
18. Somar e diminuir números com vírgula
19. Multiplicar e dividir por 10, 100, 1.000
20. Dividir sem deixar resto
Gabaritos das perguntas e exercícios
Volume 2 Sumário
21. Usando a máquina de calcular
22. Múltiplos e divisores
23. Trabalhando com múltiplos
24. Frações
25. Frações diferentes, quantidades iguais
26. Quem é maior?
27. Fração ou número com vírgula
28. Quantos por cento?
29. Construindo o pensamento geométrico
30. Perpendiculares e paralelas
31. O que é ângulo
32. Um pouco mais sobre ângulos
33. Ângulos do triângulo
34. Tirando a média
35. Frações na música
36. Números menores que zero
37. Localizando um ponto no mapa
38. Somando números com sinais
39. Lucro e prejuízo
40. A máquina tem outros recursos
Gabaritos das perguntas e exercícios
As aulas 01 a 40 mais os gabaritos das perguntas e exercícios – Infelizmente não está disponível

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A U L A
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A U L A
Triângulos
Otriângulo é uma figura geométrica muito
utilizada em construções. Você já deve ter notado que existem vários tipos de
triângulo. Observe na armação do telhado os tipos diferentes que você pode
encontrar. Tente contar quantos triângulos existem nessa armação.
Você já sabe que o triângulo é uma figura geométrica de:
Para pensar
lado
lado
vértice
vértice
lado
vértice
®
ângulos
®
®
Nossa aula

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A U L APara falar desses elementos dos triângulos, a Matemática usa uma conven-
ção universal. Com letras maiúsculas representamos os vértices, pois eles são
pontos do plano. E assim temos, por exemplo:
l Os pontos A, B e C são os vérticesvérticesvérticesvérticesvértices.
l Os segmentos AB, BC e AC são os ladosladosladosladoslados.
l Â, B e C são os ângulosângulosângulosângulosângulos do triângulo.
Você também já viu, na 1ª fase de seu curso, que:
A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º.
Veja os exemplos abaixo:
Assim, se você conhece dois ângulos de um triângulo, pode sempre desco-
brir a medida do terceiro ângulo. Vejamos como seria resolvido esse problema
usando os mesmos exemplos acima.
45º
30º
60º 60º 60º
60º
90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º90º + 45º + 45º = 180º 90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º90º + 30º + 60º = 180º 60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º60º + 60º + 60º = 180º
45º
?
45º
30º
?
?
? ?
180º180º180º180º180º - (90º + 30º) =(90º + 30º) =(90º + 30º) =(90º + 30º) =(90º + 30º) =
= 180º= 180º= 180º= 180º= 180º - 120º =120º =120º =120º =120º =
= 60= 60= 60= 60= 60ººººº
180º180º180º180º180º - (90º + 45º) =(90º + 45º) =(90º + 45º) =(90º + 45º) =(90º + 45º) =
= 180º= 180º= 180º= 180º= 180º - 135º =135º =135º =135º =135º =
= 45º= 45º= 45º= 45º= 45º
O ângulo cuja medida é
desconhecida mede 45º, pois é
quanto falta à soma dos outros
dois para completar 180º.
O resultado é encontrado
subtraindo-se de 180º (total da
soma) a soma dos ângulos que
você já conhece.
Neste exemplo, você não
conhece nenhum dos três ângulos,
mas sabe que os três possuem
medidas iguais. Basta então divi-
dir o total por 3.
180º
3
= 60º
A B
C

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A U L A Classificação dos triângulos
Comoostriângulosnãosãotodosiguais,podemossepará-losemgruposque
tenham características comuns, ou seja, podemos classificá-los. Usam-se dois
tipos de classificação: pelos ângulos ou pelos lados.
Classificação quanto aos ângulos
Com um esquadro, verifique, nos exemplos acima, se os ângulos são agudos
(menores que o ângulo reto), retos ou obtusos (maiores que o ângulo reto). Veja:
l O triângulo acutânguloacutânguloacutânguloacutânguloacutângulo possui os 3 ângulos agudos.
l O triângulo retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo possui 1 ângulo reto e 2 ângulos agudos.
l O triângulo obtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusângulo possui 1 ângulo obtuso e 2 ângulos agudos.
Classificação quanto aos lados
Você pode confirmar com a régua as medidas dos lados destes triângulos:
l O triângulo equiláteroequiláteroequiláteroequiláteroequilátero possui os 3 lados com a mesma medida.
l O triângulo isóscelesisóscelesisóscelesisóscelesisósceles possui 2 lados com a mesma medida e o terceiro lado
com medida diferente.
l O triângulo escalenoescalenoescalenoescalenoescaleno possui os 3 lados com medidas diferentes.
acutânguloacutânguloacutânguloacutânguloacutângulo retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo obtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusânguloobtusângulo
A
A
A
B B B CCC
3 cm 3 cm
3 cm 3 cm
4 cm 4 cm 4 cm3,5 cm
3 cm

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A U L A
3 cm 3 cm
3 cm
60º
60º 60º
A
B C
65º 65º
A
B C
3 cm
3,5 cm 3,5 cm
ObservaçõesObservaçõesObservaçõesObservaçõesObservações
1.1.1.1.1. Quando um triângulo é equiláteroequiláteroequiláteroequiláteroequilátero ele é também equiânguloequiânguloequiânguloequiânguloequiângulo, isto é,
seus três ângulos possuem a mesma medida.
2.2.2.2.2. No triângulo isóscelesisóscelesisóscelesisóscelesisósceles, o lado que possui medida diferente é chama-
dodebasebasebasebasebaseeosângulosqueosladoscommedidasiguaisformamcom
a base têm a mesma medida.
Construção de um triângulo pelas medidas de seus lados
Mesmo conhecendo as três medidas dos lados, nem sempre conseguimos
construir um triângulo. Você pode usar palitos ou varetas de vários tamanhos e
ver o que acontece na prática.
Vamosmostrarcomtrêsexemplosalgumassituaçõesquevocêvaiencontrar
na prática. Você descobrirá que existe uma relação entre as medidas dos lados
que possibilita a construção de um triângulo. Vamos lá!
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Épossívelconstruirumtriânguloquandoseusladosmedem8cm,4cme3cm?
8 cm
3
cm
4 cm
3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)3 cm (equilátero)AB = AC = BC =AB = AC = BC =AB = AC = BC =AB = AC = BC =AB = AC = BC =
AB = BC =AB = BC =AB = BC =AB = BC =AB = BC =
BC = base =BC = base =BC = base =BC = base =BC = base = 3 cm3 cm3 cm3 cm3 cm
3,5 cm3,5 cm3,5 cm3,5 cm3,5 cm
(equiângulo)(equiângulo)(equiângulo)(equiângulo)(equiângulo)Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°Â = B = C = 60°
B = C = 65°B = C = 65°B = C = 65°B = C = 65°B = C = 65°

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A U L A Observe que, se “fixarmos” nas extremidades do lado maior os lados
menores, não conseguiremos encontrar uma posição para que eles se encon-
trem e formem um triângulo.
Isso ocorre porque a soma das medidas dos lados menores (3 + 4 = 7) é menor
do que a medida do lado maior (8): 8 > 3 + 48 > 3 + 48 > 3 + 48 > 3 + 48 > 3 + 4
Vamos tentar então aumentar um dos lados menores e verificar o que
acontece. Façamos os lados medindo 8 cm, 4 cm e 4 cm.
Como no exemplo anterior se “fixamos” as extremidades para procurar a
posição que formará o triângulo veremos que os dois lados menores (4 cm cada
um) só se encontrarão sobre o lado maior (8 cm). Isso ocorre porque: 8 = 4 + 48 = 4 + 48 = 4 + 48 = 4 + 48 = 4 + 4
Vamos agora utilizar lados com 8 cm, 5 cm e 4 cm.
Nesse caso é possível construir um triângulo, pois quando “giramos” os
lados menores com extremidades presas no lado maior eles se encontram
formando o triângulo. Note que: 8 < 5 + 48 < 5 + 48 < 5 + 48 < 5 + 48 < 5 + 4
Conclusão
Para verificar a existência de um triângulo quando são conhecidas as
medidas de seus três lados, bastabastabastabastabasta verificar se a soma das medidas dos
dois lados menores é maior que a medida do lado maior. Mais for-
malmente dizemos que:
Em qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempreEm qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser sempre
menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
8 cm
4 cm 4 cm
8 cm
4 cm 5 cm

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A U L AExercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Observe os triângulos abaixo e classifique-os quanto aos ângulos e quanto
aos lados.
a)a)a)a)a) b)b)b)b)b)
c)c)c)c)c) d)d)d)d)d)
e)e)e)e)e) f)f)f)f)f)
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Use a régua para medir os lados dos triângulos abaixo e classifique-os
quanto aos lados.
a)a)a)a)a) b)b)b)b)b) c)c)c)c)c)
Use o transferidor (ou um ângulo reto qualquer), meça os ângulos e classi-
fique os triângulos quanto aos ângulos:
Exercícios
4 cm
4 cm
3,2 cm
5,5 cm
4 cm
3,5 cm 3,5 cm
3,5 cm
3 cm
4 cm4 cm
7 cm
6,4 cm 3 cm
6 cm
6 cm
45º
45º
60º
60º 60º
20º
30º
130º
110º
35º 35º
30º
60º
70º
60º
50º
c)c)c)c)c)

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A U L A Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Determine a medida do terceiro ângulo:
a)a)a)a)a) b)b)b)b)b) c)c)c)c)c)
Num triângulo equilátero, quanto mede cada ângulo?
Num triângulo isósceles, os ângulos da base medem 50º cada um. Quanto
mede o outro ângulo?
Num triângulo isósceles, o ângulo diferente mede 110º. Quanto medem os
outros dois ângulos?
Observe a figura abaixo. O ângulo marcado com a letra aaaaa, obtido quando
prolongamos um dos lados do triângulo, é chamado ângulo externoângulo externoângulo externoângulo externoângulo externo. Neste
exemplo,
a)a)a)a)a) Quanto mede aaaaa?
b)b)b)b)b) Como você obteve essa medida?
c)c)c)c)c) Que relação ela tem com os ângulos do triângulo?
Verifique se sua conclusão é válida para estes outros exemplos:
Verifique se existem triângulos cujos lados tenham as medidas abaixo:
a)a)a)a)a) 7 cm, 10 cm e 15 cm
b)b)b)b)b) 6 cm, 6 cm e 6 cm
c)c)c)c)c) 4 cm, 5 cm e 10 cm
d)d)d)d)d) 3 cm, 7 cm e 10 cm
50º
100º
30º
a
a 70º60º
50º
60º28º
?
?
?
43º 52º 70º 70º
40º
50º
a

42
A U L A
No mosaico acima, podemos identificar duas figuras bastante conhecidas:
o quadradoquadradoquadradoquadradoquadrado, de dois tamanhos diferentes, e o retânguloretânguloretânguloretânguloretângulo.
As duas figuras possuem quatro ângulos internos iguais e retos, portanto
medem 90º cada um.
Além disso, o quadrado tem os quatro lados iguais e o retângulo tem dois
pares de lados iguais chamados lados opostoslados opostoslados opostoslados opostoslados opostos.
Vejamos como se representam as observações acima:
No quadrado ABCD: AB = BC = CD = AD _ lados iguais
Â = B = C = D _ ângulos iguais
No retângulo EFGH: EF = GH _ lados opostos iguais
FG = EH _ lados opostos iguais
Ê = F = G = H _ ângulos iguais
O quadrado e outros
quadriláteros
42
A U L A
Para pensar
A D
B C
E
F G
H
Nossa aula

42
A U L A
S
U
TR
N
M P
O
}
}
Veja, agora, um outro mosaico formado por uma figura de quatro lados
também conhecida:
Essa figura, chamada losangolosangolosangolosangolosango, possui os quatro lados iguais e dois pares de
ângulos iguais, os ângulos opostos.
No losango RSTU:
RS = ST = TU = UR _ lados iguais
R = T _ ângulos opostos iguais
S = U _ ângulos opostos iguais
Outra figura de quatro lados que possui também dois pares de ângulos
iguais é o paralelogramoparalelogramoparalelogramoparalelogramoparalelogramo. Note que seus lados opostos são iguais dois a dois,
como no retângulo.
No paralelogramo MNOP:
MN = OP dois pares de lados
NO = MP opostos iguais
M = O dois pares de ângulos
N = P opostos iguais
Todas as figuras apresentadas nesta aula são chamadas de quadriláterosquadriláterosquadriláterosquadriláterosquadriláteros
(quadri = quatro e láteros = lados).
Veja um resumo das características (propriedades) dessas figuras:
´ ´ ´
´ ´ ´
´ ´ ´
´ ´ ´
Observe que na 3ª coluna aparece uma propriedade comum a todas as
figuras, ou seja, as quatro possuem dois pares de lados opostos paralelos. Por
isso, são chamadas de paralelogramosparalelogramosparalelogramosparalelogramosparalelogramos. Portanto:
Os paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois paresOs paralelogramos são quadriláteros que possuem dois pares
de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.de lados opostos paralelos.
44444 LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS
IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS
APENASAPENASAPENASAPENASAPENAS LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS
OOOOOPOSTOSPOSTOSPOSTOSPOSTOSPOSTOS IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS
22222 PARESPARESPARESPARESPARES DEDEDEDEDE
LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS OPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOS
PARALELOSPARALELOSPARALELOSPARALELOSPARALELOS
44444 ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS
APENASAPENASAPENASAPENASAPENAS
ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS
OPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOSOPOSTOS IGUAISIGUAISIGUAISIGUAISIGUAIS

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A U L A
A B
C D G H
E F
L M
I J
DUASDUASDUASDUASDUAS DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS
DUASDUASDUASDUASDUAS DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS
DESIGUAISDESIGUAISDESIGUAISDESIGUAISDESIGUAIS
A
B
D
C
Otrapéziotrapéziotrapéziotrapéziotrapézionão é um paralelogramo, pois é quadrilátero que tem apenas umapenas umapenas umapenas umapenas um
par de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelospar de lados opostos paralelos, que chamamos de basesbasesbasesbasesbases. Veja alguns tipos de
trapézio:
O trapézio 11111 tem os lados AB e CD paralelos, sendo AB a base maiorbase maiorbase maiorbase maiorbase maior e CD
a base menorbase menorbase menorbase menorbase menor. Os outros dois lados não são paralelos mas são iguais, isto é,
AC = BD. Esse é o trapézio isóscelestrapézio isóscelestrapézio isóscelestrapézio isóscelestrapézio isósceles.
O trapézio 22222 tem o lado EG perpendicular às bases formando, portanto,
ângulos retos Ê e G. Esse é o trapézio retângulotrapézio retângulotrapézio retângulotrapézio retângulotrapézio retângulo.
O trapézio 33333 tem os dois lados não paralelos desiguais, isto é, IL ¹ JM. Esse
é o trapézio escalenotrapézio escalenotrapézio escalenotrapézio escalenotrapézio escaleno.
Essa classificação dos trapézios tem uma analogia (semelhança) com a
classificação dos triângulos vista na aula anterior, lembra-se? Assim fica fácil
lembrar de nomes novos.
Vamos conhecer agora um elemento dos quadriláteros que não existe nos
triângulos: a diagonal.
Diagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que ligaDiagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que liga
dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.dois vértices não consecutivos.
No retângulo ABCD, os vértices não consecutivos são A e C, e B e D. Veja
a figura:
AC e BD são as diagonais
No retângulo as diagonais são iguaisdiagonais são iguaisdiagonais são iguaisdiagonais são iguaisdiagonais são iguais e se cortam ao meioe se cortam ao meioe se cortam ao meioe se cortam ao meioe se cortam ao meio.
Faça você as outras figuras (paralelogramos) e conclua as propriedades
das diagonais.
Confira suas conclusões com a tabela abaixo.
´ ´ ´
´ ´
´ ´ ´
´ ´
Observe que na 4ª coluna aparece a propriedade comum às diagonais dos
paralelogramos:
As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.As diagonais dos paralelogramos se cortam ao meio.
(1) (2) (3)
DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS
PERPENDICULARESPERPENDICULARESPERPENDICULARESPERPENDICULARESPERPENDICULARES
DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS QUEQUEQUEQUEQUE SESESESESE
CORTAMCORTAMCORTAMCORTAMCORTAM AOAOAOAOAO MEIOMEIOMEIOMEIOMEIO

42
A U L A Soma dos ângulos internos de um quadrilátero qualquer
Já sabemos que em qualquer triângulo a soma dos três ângulos internos é
180º.
Um quadrilátero é convexo quando uma das diagonais fica totalmente no
interior do quadrilátero, como na figura.
Quando traçamos uma das diagonais de um quadrilátero, ele fica dividido
em dois triângulos:
A soma dos ângulos do triângulo LMO, assim como a soma dos ângulos do
triângulo LNO, é igual a 180º.
Somando-se os ângulos dos dois triângulos, encontramos a soma dos
ângulos do quadrilátero. Portanto, 180º + 180º = 360º.
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360ºA soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º
Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!
Usando recortes e colagens, podemos mostrar com bastante facilidade
que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a
180º e que a dos quadriláteros convexos vale 360º, como nas figuras
abaixo.
L
M
O
N
1
2 3
1
2 3
1
2 3
1
2
3
4 4
3
2
1
1
23
4

42
A U L AExercícios
Como se chama o quadrilátero:
a)a)a)a)a) Que possui os lados opostos iguais?
b)b)b)b)b) Que possui somente um par de lados paralelos?
c)c)c)c)c) Que possui os quatro ângulos iguais a 90º?
d)d)d)d)d) Que possui as diagonais iguais cortando-se ao meio?
Complete a tabela com o que se pede:
FIGURASFIGURASFIGURASFIGURASFIGURAS GEOMÉTRICASGEOMÉTRICASGEOMÉTRICASGEOMÉTRICASGEOMÉTRICAS PONTOSPONTOSPONTOSPONTOSPONTOS EMEMEMEMEM COMUMCOMUMCOMUMCOMUMCOMUM DIFERENÇASDIFERENÇASDIFERENÇASDIFERENÇASDIFERENÇAS
Desenhe:
a)a)a)a)a) Um quadrilátero com quatro lados iguais que não seja um quadrado.
Diga seu nome.
b)b)b)b)b) Um quadrilátero com quatro ângulos iguais que não seja um quadrado.
Diga seu nome.
c)c)c)c)c) Um quadrilátero que tenha somente dois ângulos retos. Diga seu nome.
d)d)d)d)d) Um quadrilátero cujas diagonais cortam-se ao meio mas não são iguais.

42
Nesta figura quadriculada existe um total de 5 quadrados.
Temos um quadrado de 2 · 2 e 4 quadrados de 1 · 1.
Descubra quantos quadrados existem nos seguintes quadriculados:
Desenhe em papel quadriculado 4 triângulos retângulos iguais a este:
a)a)a)a)a) Recorte-os.
b)b)b)b)b) Agora desenhe, em papel quadriculado, um quadrado. A medida do lado
do quadrado deve ser igual à medida do lado menor do triângulo que
você recortou.
c)c)c)c)c) Recorte também esse quadrado. Você construiu um quebra-cabeça
com 5 peças.
Atividades:Atividades:Atividades:Atividades:Atividades:
l Construa com 2 peças do seu quebra-cabeça:
− um paralelogramo;
− um retângulo.
l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado.
l Com 3 peças de seu quebra-cabeça, forme:
− um paralelogramo;
− um retângulo.
l Registre as soluções encontradas em papel quadriculado.
l Utilizando as 5 peças, tente formar figuras diferentes e registre-as em
papel quadriculado.
Sabendo que um dos ângulos de um paralelogramo mede 45º, calcule os
outros três ângulos.

43
A U L A
Polígonos e mosaicos
43
A U L A
Para pensarAregularidade de formas encontradas na
natureza tem chamado a atenção do ser humano há muitos séculos. Ao
observar e estudar essas formas, o homem tem aprendido muitas coisas.
Com as abelhas, por exemplo, ele compreendeu que o formato dos favos de
mel é muito bom para guardar objetos com grande economia de espaço.
Exemplos da aplicação do formato das colméias são blocos de calçamento
e suportes de garrafas para o armazenamento de bebidas alcóolicas em adegas.
Esse mesmo formato também é
encontrado na cabeça de um tipo de
parafuso chamado pelos mecânicos e
técnicos de parafuso sextavadoparafuso sextavadoparafuso sextavadoparafuso sextavadoparafuso sextavado.
Na geometria, parte da Matemá-
tica que estuda as figuras, essa forma
é chamada de hexagonalhexagonalhexagonalhexagonalhexagonal.

43
A U L A O hexágono e as outras formas geométricas
No revestimento de pisos e paredes de uma casa muitas vezes usamos
ladrilhos (lajotas ou azulejos) de diferentes formatos, além da forma hexagonal.
Veja os desenhos:
As figuras que aparecem nesses revestimentos são chamadas, pela Matemá-
tica, de polígonospolígonospolígonospolígonospolígonos. Os polígonos são figuras geométricas planas e podem ser
classificados como regularesregularesregularesregularesregulares ou irregularesirregularesirregularesirregularesirregulares. No quadro abaixo, apresentamos
alguns exemplos.
Nossa aula
FormatohexagonalFormatohexagonalFormatohexagonalFormatohexagonalFormatohexagonal FormatoquadrangularFormatoquadrangularFormatoquadrangularFormatoquadrangularFormatoquadrangular
FormatoretangularFormatoretangularFormatoretangularFormatoretangularFormatoretangular ComposiçãoentreformatosComposiçãoentreformatosComposiçãoentreformatosComposiçãoentreformatosComposiçãoentreformatos
quadrangularehexagonalquadrangularehexagonalquadrangularehexagonalquadrangularehexagonalquadrangularehexagonal
POLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOS REGULARESREGULARESREGULARESREGULARESREGULARES::::: LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS EEEEE
ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS TÊMTÊMTÊMTÊMTÊM AAAAA MESMAMESMAMESMAMESMAMESMA MEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDA
POLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOSPOLÍGONOS IRREGULARESIRREGULARESIRREGULARESIRREGULARESIRREGULARES::::: LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS EEEEE
ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS NÃONÃONÃONÃONÃO TÊMTÊMTÊMTÊMTÊM AAAAA MESMAMESMAMESMAMESMAMESMA MEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDAMEDIDA
triângulo quadrado
hexágono
decágonoeneágono
pentágono
triângulo quadrilátero
pentágono
hexágono heptágono
heptágono octógono

43
A U L A
ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação
Se você traçar as diagonais dos polígonos anteriores, vai perceber que,
em alguns, elas ficam no interior e, em outros, ficam no exterior do
polígono. Veja o exemplo:
Quandoumpolígonopossuitodasassuasdiagonaisnaparteinterior,ele
é chamado de polígono convexopolígono convexopolígono convexopolígono convexopolígono convexo. E quando pelo menos uma diagonal
fica na parte exterior, ele é chamado de polígono não convexopolígono não convexopolígono não convexopolígono não convexopolígono não convexo ou
côncavocôncavocôncavocôncavocôncavo.
A soma dos ângulos de um polígono
Num polígono o número de lados é sempre igual ao número de ângulos.
Na Aula 41 você aprendeu que a soma dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180º. Agora vamos ver como calcular a soma dos ângulos
de um polígono qualquer, como por exemplo do:
Pentágono (polígono de 5 lados)
Vamos desenhar um pentágono convexo qualquer, escolher um de seus
vértices e traçar as diagonais que saem desse vértice, como mostra a figura:
Observe que, ao fazermos isso, o pentágono ficou dividido em três triân-
gulos. Como em cada triângulo a soma dos ângulos é igual a 180º, então para
calcular a soma dos ângulos do pentágono podemos fazer: 3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º3 . 180º = 540º.
Portanto:
A soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igual
a 540º.a 540º.a 540º.a 540º.a 540º.
Todas as diagonais noTodas as diagonais noTodas as diagonais noTodas as diagonais noTodas as diagonais no
interiordopolígono.interiordopolígono.interiordopolígono.interiordopolígono.interiordopolígono.
PelomenosumadiagonalPelomenosumadiagonalPelomenosumadiagonalPelomenosumadiagonalPelomenosumadiagonal
no exteriordopolígono.no exteriordopolígono.no exteriordopolígono.no exteriordopolígono.no exteriordopolígono.

43
A U L A Hexágono (polígono de 6 lados)
Agindo de forma análoga, observamos que as diagonais dividem o hexá-
gono convexo em quatro triângulos:
Nesse caso, a soma total é calculada assim: 4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º4 . 180º = 720º. Portanto:
A soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igualA soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igual
a 720º.a 720º.a 720º.a 720º.a 720º.
Esse processo também pode ser aplicado a outros polígonos convexos, de
7, 8, 9 ou mais lados. Experimente!
Os ângulos do hexágono regular
Observe a figura abaixo:
Ela é formada por hexágonos regulares que se encaixam sem se sobrepor
ou deixar vãos. A esse tipo de composição costuma-se dar o nome de mosaicomosaicomosaicomosaicomosaico.
Neste mosaico, cada um dos vér-
tices é vértice de três hexágonos ao
mesmo tempo, como mostra a figura
aolado. Todos os hexágonos são regu-
lares, isto é, possuem lados e ângulos
de mesma medida, o que significa que
Â = B = C. Além disso, a soma desses
três ângulos é igual a 360°, ou seja,
eles formam um ângulo de uma volta
completa: Â + B + C =360° . Então, cada
um desses ângulos éigual a 360°¸3 =
120º.
Vocêpoderáchegara essa mesma conclusão de outra maneira. Você acabou
de aprender que a soma dos ângulos internos de um hexágono qualquer é igual
a 720º. No caso do hexágono regular, basta fazer 720º720º720º720º720º ¸ 66666, isto é, 120º120º120º120º120º.
Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!
Esse processo é válido também para outros polígonos regulares.
Â B
C

43
A U L A
Você já viu que é possível revestir o piso ou as paredes de uma casa com
ladrilhos de um único tipoúnico tipoúnico tipoúnico tipoúnico tipo. Podemos revestir uma parede usando, por exemplo,
apenas ladrilhos quadrados ou, então, usando só ladrilhos com a forma de
hexágonos regulares.
Será que é possível revestir uma parede
usando apenas ladrilhos com a forma de
pentágonos regulares? Você pode responder a
essa pergunta fazendo o seguinte: recorte em
uma folha de papel vários pentágonos iguais
ao que está na figura ao lado. Em seguida, tente
ajustá-los como se fossem ladrilhos. Será que
você vai conseguir um encaixe perfeito?
Já sabemos que é possível revestir uma
parede usando apenas ladrilhos quadrados,
pois os ângulos dos quadrados se encaixam
perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acon-
tece porque cada um destes ângulos é igual a
90º, e 90 é divisor de 36090 é divisor de 36090 é divisor de 36090 é divisor de 36090 é divisor de 360.
Já sabemos também que é possível revestir uma parede usando apenas
ladrilhos em forma de hexágonos regulares, pois os ângulos dos hexágonos
regulares encaixam-se perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acontece porque
cada um desses ângulos é igual a 120º, e 120 é divisor de 360120 é divisor de 360120 é divisor de 360120 é divisor de 360120 é divisor de 360.
Portanto, para saber se é possível fazer revestimentos usando apenas
ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, devemos calcular a medida dos
ângulos de um pentágono regular e, em seguida, verificar se essa medida é ou
não um divisor de 360.
Lembre-se de que a soma dos ângulos de
um pentágono dá 540º. Quando um
pentágono é regularregularregularregularregular, todos os seus 5 ângulos
são iguais (veja a figura ao lado). E, se a soma
desses ângulos dá 540º, cada um deles é igual
a 540º ¸5, ou seja, 108º. Vamos verificar então
se 108 é ou não um divisor de 360. Temos:
A divisão não é exata e, portanto, 108 não é108 não é108 não é108 não é108 não é
divisor de 360divisor de 360divisor de 360divisor de 360divisor de 360. Haverá, então, sobra quando
tentarmos encaixar os pentágonos regulares.
Logo, não é possível fazer revestimentos usan-
doapenasladrilhoscomaformadepentágonos
regulares, como se pode ver na figura acima.
Texto extraído do Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1º GrauGrauGrauGrauGrau. Fundação Roberto Marinho, Ministé-
rio da Educação e Cultura e Fundação Universidade de Brasília, 1989.
360 108360 108360 108360 108360 108
36 336 336 336 336 3
36º
108º 108º
108º
Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?Por que não se fazem ladrilhos pentagonais?

43
A U L A Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!Curiosidade!
Num artigo da Revista do Professor de MatemáticRevista do Professor de MatemáticRevista do Professor de MatemáticRevista do Professor de MatemáticRevista do Professor de Matemáticaaaaa - nº 4, os
professores Imenes e Jakubovic escreveram sobre o formato dos para-
fusos, apresentando algumas questões interessantes:
1.1.1.1.1. “Num parafuso, o polígono presente é sempre regular.”
Isso se dá por uma razão simples: seria muito inconveniente apertar
e desapertar um parafuso que não fosse regular, pois a chave precisa-
ria ser especial para aquele parafuso e ela voltaria a se encaixar
somente após uma rotação de 360º, como mostra a figura:
2.2.2.2.2. “O parafuso mais conveniente é o sextavado.”
“Com o parafuso sextavado, completamos um passo da rosca após
seis movimentos de 60º cada um.
Quando um mecânico está consertando um defeito qualquer numa
máquina, por exemplo num automóvel, muitas vezes ele tem pouco
espaço para trabalhar (em geral em posições desconfortáveis). Por
essa razão, dos três parafusos apresentados, o mais cômodo é o
hexagonal, pois é o que pode ser apertado ou desapertado com giros
menores (60º), isto é, com movimentos mais curtos do braço.”
ParafusosextavadoParafusosextavadoParafusosextavadoParafusosextavadoParafusosextavado Outros tipos de parafusosOutros tipos de parafusosOutros tipos de parafusosOutros tipos de parafusosOutros tipos de parafusos
60º

43
Reproduza estas malhas, crie um padrão e forme um mosaico com ele.
Descubra a medida dos ângulos das figuras abaixo. Observe que:
l a primeira é um pentágono formado por um triângulo equilátero e um
quadrado;
l a segunda é um losango formado por dois triângulos equiláteros.
O losango é um polígono regular? Por quê?
O octógono é um polígono de 8 lados. Desenhe um octógono, escolha um
de seus vértices e trace todas as diagonais que “saem” desse vértice.
Depois,
responda às perguntas:
a)a)a)a)a) Em quantos triângulos o octógono ficou dividido?
b)b)b)b)b) A soma dos ângulos de todos esses triângulos é igual à soma dos
ângulos desse octógono?
c)c)c)c)c) Quanto dá, então, a soma dos ângulos de um octógono?
O Exercício 4 foi extraído do Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1Jornal do Telecurso 1º GrauGrauGrauGrauGrau.FundaçãoRobertoMarinho,
Ministério da Educação e Cultura, Fundação Universidade de Brasília,1989.
Exercícios

43
Ao desenhar um polígono, podemos, em geral, escolher um dos vértices e
traçar as diagonais que “saem” desse vértice, como mostram as figuras:
Agora, com base nessa informação, complete a tabela abaixo:
NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO DEDEDEDEDE NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO DEDEDEDEDE NÚMERONÚMERONÚMERONÚMERONÚMERO DEDEDEDEDE SOMASOMASOMASOMASOMA DEDEDEDEDE
LADOSLADOSLADOSLADOSLADOS DODODODODO DIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAISDIAGONAIS QUEQUEQUEQUEQUE TRIÂNGULOSTRIÂNGULOSTRIÂNGULOSTRIÂNGULOSTRIÂNGULOS TODOSTODOSTODOSTODOSTODOS OSOSOSOSOS ÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOSÂNGULOS
POLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONO “““““SAEMSAEMSAEMSAEMSAEM””””” DEDEDEDEDE FORMADOSFORMADOSFORMADOSFORMADOSFORMADOS DODODODODO POLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONOPOLÍGONO
CADACADACADACADACADA VÉRTICEVÉRTICEVÉRTICEVÉRTICEVÉRTICE
3 0 1 180º
4 1 2 360º
5
6
7
8
9
10
Após preencher a tabela, observe-a com bastante atenção e responda: existe
uma relação entre “o número de lados do polígono” e “o número de
triângulos formados”? Qual é essa relação?
Imagine um polígono com nnnnn lados, sendo nnnnn um número inteiro e maior que
3. Escolha um de seus vértices e imagine-se traçando todas as diagonais que
“saem” desse vértice.
a)a)a)a)a) Escreva uma expressão que indique o número de triângulos formados
nesse polígono de nnnnn lados que você imaginou.
b)b)b)b)b) Escreva uma expressão que indique como você poderia calcular a soma de
todos os ângulos desse polígono de nnnnn lados.

44
A U L A
Observe o texto abaixo. Ele foi extraído de
um livro de geometria chinês. Veja se, mesmo sem saber chinês, você
consegue entender o tema do texto, ou seja, sobre o que o texto fala. O que
está sendo demonstrado?
44
A U L A
A linguagem
matemática
Para pensar

44
A U L A Ao procurar num dicionário a palavra linguagemlinguagemlinguagemlinguagemlinguagem, você encontra várias
definições. Veja duas delas, encontradas no Novo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio daNovo Dicionário Aurélio da
Língua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua PortuguesaLíngua Portuguesa:
linguagem.linguagem.linguagem.linguagem.linguagem. 1.1.1.1.1. O uso da palavra articulada ou escrita como meio de
expressão ou da comunicação entre pessoas. 2.2.2.2.2. O vocabulário especí-
fico usado numa ciência, numa arte, numa profissão etc.
Como você pode ver, a linguagem é uma forma de expressar determi-
nada idéia. Na vida prática, existem diferentes maneiras de comunicar as
idéias: pela linguagem falada, pela escrita, pela musical etc.
A Matemática também criou uma forma de comunicação. Ela se utiliza
de uma linguagem universal para transmitir suas idéias de maneira simples,
curta e precisa.
l Simples e curtaSimples e curtaSimples e curtaSimples e curtaSimples e curta porque com apenas alguns símbolos ela pode expressar
frases que, se escritas na linguagem corrente, usariam maior quantidade de
símbolos. Por exemplo, a frase:
Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,Dois somado com três é igual a cinco,
se escrita na linguagem matemática, usa apenas cinco símbolos, que
podem ser compreendidos por qualquer pessoa familiarizada com os
símbolos matemáticos:
2 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 52 + 3 = 5
l PrecisaPrecisaPrecisaPrecisaPrecisa porque deve indicar uma idéia com precisão, com exatidão, isto é,
sem falhas.
O uso de letras na Matemática
Além dos algarismos e dos sinais de operação (+, -, ´, ¸: , , etc), a
linguagem matemática também utiliza letras em sua comunicação. Veja alguns
exemplos:
Considere as multiplicações do múmero 1 por outros números:
1 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 01 . 0 = 0
1 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 11 . 1 = 1
1 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 21 . 2 = 2
1 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 31 . 3 = 3
Você já deve ter percebido que o número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um númeroo número 1 multiplicado por um número
qualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse númeroqualquer sempre resulta nesse número. Daí, podemos usar uma letra para
representar esse fato:
11111 ..... x = xx = xx = xx = xx = x
onde a letra xxxxx está representando um número qualquerum número qualquerum número qualquerum número qualquerum número qualquer.
Nossa aula

44
A U L A
As propriedades da adição ou da multiplicação também podem ser expressas
por letras. É o caso, por exemplo, da propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-propriedade distributiva da multipli-
cação sobre a adiçãocação sobre a adiçãocação sobre a adiçãocação sobre a adiçãocação sobre a adição, que você já aprendeu e que pode ser representada
por:
aaaaa ····· (b + c) = a(b + c) = a(b + c) = a(b + c) = a(b + c) = a ····· b + ab + ab + ab + ab + a ····· ccccc
onde as letras aaaaa, bbbbb e ccccc representam números quaisquer.
Vejamos agora uma outra situação. Observe:
0 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 00 + 0 = 0 . 0
2 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 22 + 2 = 2 . 2
Será que esses exemplos são suficientes para afirmar que x + x = x ..... x?
Basta escolher um exemplo bem simples para verificar que nãonãonãonãonão: 1 + 1 não
é igual a 1 ..... 1.
Portanto, como esse fato não é válido para qualquer número, não podemos
escrever que x + x = x ····· x.
O uso de letras na geometria
As letras também podem ser usadas para indicar algumas “fórmulas” da
geometria. Por exemplo:
l A área de um quadrado pode ser expressa por l²²
, onde l representa o lado
desse quadrado.
l A área de um retângulo pode ser expressa por a · ba · ba · ba · ba · b, onde aaaaa e bbbbb representam
as dimensões do retângulo. O perímetro do retângulo pode ser expresso
por 2a + 2b2a + 2b2a + 2b2a + 2b2a + 2b ou 2 (a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 (a + b).
l A soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer pode ser
expressa por (n(n(n(n(n - 2) · 180º2) · 180º2) · 180º2) · 180º2) · 180º. Volte à Aula 43 e veja o que significam a letra
nnnnn e a expressão nnnnn - 22222.
lado ===== l
área ===== l ..... l ===== l²
l
l
Considere dois números quaisquer cuja soma seja igual a 5.Esse fato
pode ser representado por:
a + b = 5
onde a e b representam os números que somados dão 5.

44
A U L A A linguagem matemática e a resolução de problemas
A linguagem matemática tornou-se, hoje em dia, um instrumento impor-
tante para resolver problemas. Com ela podemos traduzir os dados do problema
que estão em linguagem corrente, ou seja, podemos equacionarequacionarequacionarequacionarequacionar o problema.
Nos exemplos seguintes, há uma tabela com o problema em linguagem corrente
e sua tradução para a linguagem matemática. Veja:
A metade de um número é igual a 6.
Qual é esse número ? x = ?
A solução desse problema é a solução da equação matemática
x
2
= 6. No
momento, nãonãonãonãonão vamos aprender a resolver equações. Nosso objetivo,
agora, é apenas saber o que éo que éo que éo que éo que é e para que servepara que servepara que servepara que servepara que serve a linguagem matemá-
tica.
Uma pessoa tinha uma determinada x
quantia de dinheiro.
No primeiro mês gastou 100 reais. x - 100
No segundo mês gastou metade do
que sobrou,
ficando com 80 reais. 80
Qual era a quantia inicial? x = ?
Para descobrir o valor de xxxxx, basta resolver a última equação. Mas, como já
dissemos, esse não é o nosso objetivo no momento.
x
2
= 6
EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM CORRENTECORRENTECORRENTECORRENTECORRENTE EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA
EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM CORRENTECORRENTECORRENTECORRENTECORRENTE EMEMEMEMEM LINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEMLINGUAGEM MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA
x = 100 +
x -100
2
+ 80
{
{
{
gastou no
1º mês
gastou no
2º mês
sobrou
x -100
2

44
Escreva as seguintes frases em linguagem matemática:
a)a)a)a)a) O dobro de um número.
b)b)b)b)b) O triplo de um número.
c)c)c)c)c) Um número menos sete.
d)d)d)d)d) Metade de um número, mais um.
Como você escreveria em linguagem matemática as frases seguintes?
a)a)a)a)a) A ordem dos fatores não altera o produto.
b)b)b)b)b) A ordem das parcelas não altera a soma.
Considere um retângulo cujo perímetro é 20 cm.
a)a)a)a)a) Escreva, em linguagem matemática, uma expressão para representar
esse fato.
b)b)b)b)b) Dê alguns exemplos para as medidas das dimensões desse retângulo.
Complete a frase:
Sempre que o desconto é de 50%, pagamos apenas metade do preço. Se o
preço é xxxxx, pagamos ........................
Exercícios

45
A U L A
45
A U L A
O círculo e o número p
Ocírculo é uma figura geométrica bastan-
te comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta quantos objetos circulares
estão presentes: nas moedas, nos discos, à mesa de refeição...
Agora pense, o que você faria para:
l riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda?
l desenhar um círculo no seu caderno?
l marcar o limite das escavações de um poço no chão?
Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa
figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena
distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido
falar.
A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculocírculocírculocírculocírculo.
Quandoriscamosnopapelounochão
apenas o contorno do círculo, este con-
torno é chamado circunferênciacircunferênciacircunferênciacircunferênciacircunferência.
O compassocompassocompassocompassocompasso é um instrumento utili-
zado para desenhar circunferênciascircunferênciascircunferênciascircunferênciascircunferências.
Como você pode ver na figura ao lado, o
compasso possui duas “pernas”. Uma
delas tem uma ponta metálica, que deve
ser assentada no papel, no local que será
o centrocentrocentrocentrocentro da circunferência. A outra pon-
ta, com o grafite, deve ser girada para
Para pensar
Nossa aula

45
A U L Aobter o traçado da circunferência.
Antes de traçar uma circunferên-
cia, devemos decidir qual será a aber-
tura entre as pernas do compasso. A
distância entre as duas pontas do com-
passo define o raioraioraioraioraio da circunferência.
Agora,pegueumcompassoetrace
uma circunferência. Repare que todos
os pontos da circunferência que você
riscou no papel estão a uma mesma
distância do centrocentrocentrocentrocentro. Essa distância é
o raioraioraioraioraio.
Com essas informações, você consegue improvisar seu compasso. Utilizan-
do uma tachinha, um barbante e um giz você pode riscar uma circunferência no
chãoounotecido.Osoperários,jardineirosepedreiros,porexemplo,costumam
usar uma corda e duas estacas.
Algumas definições importantes
CordaCordaCordaCordaCorda é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência.
DiâmetroDiâmetroDiâmetroDiâmetroDiâmetro é uma corda que passa pelo centrocentrocentrocentrocentro da circunferência.
Observe que o diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa
pelo centrocentrocentrocentrocentro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio. Veja a figura:
diâmetro
corda
Raio
Raio
Diâmetro
r
r
d
d = 2 . r

45
A U L A
P
Q
®
Assim, se você precisar medir a maior distância entre dois pontos de uma
circunferência, deve medir o diâmetrodiâmetrodiâmetrodiâmetrodiâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida
(régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centrocentrocentrocentrocentro da circunferência.
Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada.
Esta parte da circunferência, delimitada por dois pontos quaisquer, é chamada
arcoarcoarcoarcoarco de circunferência.
Para simbolizar a corda que une os pontos
P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta,
ou seja, corda PQ.
Por outro lado, o arco também começa em
P e termina em Q mas, como você pode ver, a
corda e o arco são diferentes e por isso a
simbologia também deve ser diferente. Para o
arco, usamos PQ.
Da mesma forma que a maior corda é o
diâmetro, o maior arco é aquele que tem as
extremidades em um diâmetro. Esse arco é
chamado semicircunferência,semicircunferência,semicircunferência,semicircunferência,semicircunferência, e a parte do cír-
culo correspondente é chamada semicírculo.semicírculo.semicírculo.semicírculo.semicírculo.
O comprimento da circunferência
Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será
o seu comprimento. É fácil perceber isso. Imagine que você vai caminhar em
torno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metros
de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro.
No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto
marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi
esticada.
Como já sabemos que o diâmetro e o comprimento de uma circunferência
estão relacionados, vamos a seguir compará-los.
semicircunferência AB
diâmetro AB
arco
corda
_

45
A U L A
ê
ê
Descobrindo uma relação
Usando diferentes objetos com a forma circular, vamor medir o comprimen-
to das circunferências (das bordas) e de seus diâmetros. Tente medir objetos
circulares variados, como um copo ou uma mesa redonda.
Você pode estar se perguntando: “Mas como medir a linha curva?”.
Um barbante ou uma fita métrica pode servir. Acompanhe este exemplo:
l Pegue um copo e um pedaço de
barbante. Coloque o copo com a
boca para baixo e contorne a bor-
da do fundo do copo com o bar-
bante. Marque com uma caneta o
ponto do barbante que toca o seu
começo. Então estique o barbante
e meça com a régua o compri-
mento do começo do barbante
até a marquinha que você fez.
l No copo que nós utilizamos, essa
medidafoide15,5cmou155mm.
l Agora meça o diâmetro. Não es-
queça que qualquer diâmetro
tem a mesma medida e que o
diâmetropassapelocentro.Aqui
obtivemos 4,9 cm ou 49 mm.
Para saber quantas vezes o comprimento da circunferência é maior que o
diâmetro, vamos dividir a medida da circunferência pela medida do diâmetro.
Usando uma máquina de calcular encontramos o seguinte resultado:
Observe que, nesse e nos próximos exemplos, utilizamos apenas duas casas
decimais no resultado das divisões.
Vamos repetir a experiência do copo com outros objetos do nosso dia-a-dia.
Medindo uma ficha telefônica,
encontramos aproximadamente
69mmparaocomprimentodacircun-
ferência e 22 mm para o diâmetro.
comprimento
diametro
=
155mm
49mm
= 3,16
comprimento
diametro
=
69mm
22mm
= 3,13

45
A U L A
Um pouco de
História
Observe as medidas que obtivemos com vários objetos:
tampo de mesa 3,10 m 1 m 3,10
pires de xícara 47 cm 15 cm 3,13
prato de refeição 73,5 cm 23,4 cm 3,14
pirex de vidro 84,8 cm 27 cm 3,14
fundo de copo 155 mm 49 mm 3,16
ficha telefônica 69 mm 22 mm 3,13
Ao dividir a medida do comprimento da circunferência pela medida de seu
diâmetro, encontramos sempre um número um pouco maior do que 3. Na
realidade, esse número é sempre o mesmo e vale aproximadamente 3,143,143,143,143,14.
Na prática, de acordo com os exemplos, não obtivemos o resultado 3,14 em
todas as divisões. Isso ocorre porque é impossível obter medidas exatasexatasexatasexatasexatas com
os métodos que utilizamos. Da mesma forma que nossas medições são aproxi-
madas, o resultado das divisões também é uma aproximação.
Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!Atenção!
Esse é um resultado muito importante em Matemática. Esse número
tão útil e importante é chamado pipipipipi e simbolizado pela letra grega p (que
já existe em muitas calculadoras).
ConclusãoConclusãoConclusãoConclusãoConclusão
O cálculo da medida do comprimento de uma circunferência, quando
conhecemos a medida de seu raio, pode ser feito por meio da relação acima.
Note que d = 2r, logo:
Arquimedes, que viveu por volta de 287 a 212 anos antes de Cristo, foi um
gênio da Matemática e da Física, além de grande construtor de máquinas de
guerra. Ele desenvolveu muitos estudos para obter um cálculo aproximado dep.
Sabia que a divisão do comprimento de uma circunferência por seu diâmetro é
um número constante, qualquer que seja o tamanho da circunferência.
Para calcular o número p, Arquimedes aproximou polígonos por dentro e
por fora da circunferência e mediu os perímetros. Quanto maior era o número
de lados do polígono mais ele se aproximava da medida da circunferência.
O valor utilizado para p foi, durante muitos anos, o número aproximado
obtido por Arquimedes: 22
7
= 3,142857142857...
6 lados6 lados6 lados6 lados6 lados 8 lados8 lados8 lados8 lados8 lados 12 lados12 lados12 lados12 lados12 lados
comprimento da circunferência
diâmetro da circunferência
=
C
d
= p
OBJETOOBJETOOBJETOOBJETOOBJETO COMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO DIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRO
COMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO
DIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRO
C
d
=p ®
C
2r
=p® C =p×2r ou C=2p r
p
p_ p_ p . 2r p

45
A U L APara você saber mais
Descobriu-se, posteriormente, que o número p não pode ser representado
por uma fração e que ele tem infinitas casas decimais. O número p é exemplo de
um tipo de número chamado irracionalirracionalirracionalirracionalirracional.
Há cem anos aproximadamente, o matemático William Shanks calculou o
número p com 707 casas decimais. Para realizar essa tarefa, precisou de 15 anos!
Atualmente os supercomputadores são capazes de apresentar o número p
com milhares de casas decimais em apenas alguns minutos.
p = 3,14= 3,14= 3,14= 3,14= 3,1415926535897932384626433832795028...
Na prática, usa-se apenas 3,143,143,143,143,14 ou 3,14163,14163,14163,14163,1416 para aproximar o valor de p.
Usando um compasso, desenhe uma circunferência com um raio de 5 cm.
Usando um compasso, desenhe uma circunferência com diâmetro de 10 cm.
ExerExerExerExerExercício 3cício 3cício 3cício 3cício 3
Desenhe duas circunferências com o mesmo centro e com os raios medindo
4 cm e 6 cm. Qual delas tem o maior comprimento?
Numa bicicleta em que o raio da roda é de 26 cm, qual será, aproximada-
mente, o comprimento da circunferência da roda?
EEEEExercício 5xercício 5xercício 5xercício 5xercício 5
Medindo uma circunferência com fita métrica graduada obtivemos 62,8 cm
de comprimento. Qual a medida do diâmetro dessa circunferência?
Complete a tabela abaixo:
RAIORAIORAIORAIORAIO = r= r= r= r= r DIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRODIÂMETRO = d= d= d= d= d COMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO = 2= 2= 2= 2= 2prrrrr
2 4 4 . 3,14 = 12,56
1
5
18,84
Se uma circunferência tem 18,84 m de comprimento, qual o comprimento da
semicircunferência dela obtida?
ExExExExExercício 8ercício 8ercício 8ercício 8ercício 8
Agora imagine uma circunferência de 18,84 m de comprimento que foi
dividida em 4 arcos do mesmo tamanho. Qual o comprimento de cada
um dos arcos?
Numa circunferência de 1 cm de raio, quanto mede a maior corda que
podemos desenhar?
ExExExExExercício 10ercício 10ercício 10ercício 10ercício 10
Desenhe uma circunferência e divida-a em apenas dois arcos.
Exercícios

46
A U L A
46
A U L A
Novamente frações
Para pensar Uma pessoa vai viajar para uma cidade a
220 km de distância de onde mora. Planeja fazer duas paradas para descansar.
Quais serão as distâncias das paradas (incluindo a partida e a chegada),
sabendo que elas deverão ser aproximadamente iguais? Faça um gráfico da
estrada, marcando as paradas.
Sabemos que, quando dividimos um número inteiro por outro, podemos
encontrar como quociente um número inteiro ou um número decimal. Por
exemplo:
20 ¸ 5 = 4
100 ¸40 = 2,5
Vejamos, agora, o que acontece quando dividimos 41 por 9:
41 9
450 4,555......
4550
45550
455550 ....
Se continuarmos a conta, encontraremos sempre o algarismo 5 no quociente,
e o resto será sempre o mesmo (5).
Se fizermos essa conta numa máquina de calcular, aparecerá no visor o
número 4.5555555 (ou seja, 4,5555555). Nesse caso, o algarismo 5 aparece
repetido 7 vezes. Se a mesma conta for feita numa máquina maior, encontra-
remos um resultado com o algarismo 5 repetido mais vezes (9 ou 11 vezes).
Concluímos, então, que a divisão de 41 por 9 nunca termina e que os pontos
indicam que o algarismo 5 se repete indefinidamente.
O número 4,555... é chamado de dízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódicadízima periódica e o algarismo 5 é o
períodoperíodoperíodoperíodoperíodo da dízima.
Podemos também representar a dízima periódica colocando um traço sobre
o período: 4,5.
Como essa dízima foi gerada pela divisão 41¸ 9, que pode ser escrita em
forma de fração, como 41
9
, dizemos que a geratrizgeratrizgeratrizgeratrizgeratriz da dízima periódica é a
fração 41
9
.
Nossa aula

46
A U L A
®
®
Vejamos outros exemplos de geratrizes e as respectivas dízimas periódicas:
17
9
= 17 ¸ 9 = 1,8 O período é 8,
a parte inteira é 1.
7
33
= 7 ¸ 3 = 0,21 O período é 21,
a parte inteira é zero.
Nesses dois exemplos, os períodosperíodosperíodosperíodosperíodos aparecem logo após a vírgula. Elas são
chamadas de dízimas períodicas simplesdízimas períodicas simplesdízimas períodicas simplesdízimas períodicas simplesdízimas períodicas simples.
As dízimas nas quais aparece um outro número entre a vírgula e o períodoperíodoperíodoperíodoperíodo
são chamadas de dízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostasdízimas periódicas compostas. Por exemplo:
1,4888 ... O período é 8,
a parte não-periódica é 4,
a parte inteira é 1.
0,3272727 ... O período é 27,
a parte não-periódica é 3,
a parte inteira é zero.
Os números que vimos até agora podem ter muitas representações, como:
l 5; V; 5,0;
5
1
;
10
2
...
l 0,8; 0,80;
8
10
;
4
5
;
80
100
...
l 0,666...;
6
9
;
2
3
;
8
12
...
l
1
3
;
2
6
;
3
9
;
4
12
...
Além disso, observamos que todos esses números podem ser representados
em forma de fração. Eles são chamados números racionaisnúmeros racionaisnúmeros racionaisnúmeros racionaisnúmeros racionais.
Vamos conhecer, agora, um número diferente: um número decimal com
infinitas casas decimais mas sem um período. Veja este exemplo:
0,10110111011110 ....
Será que você pode concluir como serão as casas decimais seguintes?
A parte decimal começa com 1 seguido de zero, depois 11 seguido de zero,
depois 111 seguido de zero e assim por diante. Ou seja, o número nunca terá um
fim nem um período. Ele não é um número racional.
Um número desse tipo é chamado de número irracionalnúmero irracionalnúmero irracionalnúmero irracionalnúmero irracional. Um número
irracional não é resultado de nenhuma divisão de números inteiros; ele não pode
ser escrito em forma de fração.
Vocêviu,naaulaanterior,umnúmeroirracionalmuitoconhecido,onúmerop,
que vale aproximadamente 3,1416.
Você verá mais adiante, em outra aula, exemplos de números irracionais que
surgem naturalmente em muitos cálculos matemáticos.
®
®

46
Escreva a representação decimal de:
a)a)a)a)a) 13
99
b)b)b)b)b) 7
20
c)c)c)c)c) 56
9
d)d)d)d)d) 64
15
Efetue as divisões com quociente decimal:
a)a)a)a)a) 1 ¸ 9 b)b)b)b)b) 2 ¸ 9 c)c)c)c)c) 3 ¸ 9
Agora, sem efetuar a conta, dê o resultado decimal de:
a)a)a)a)a) 4 ¸ 9 b)b)b)b)b) 5 ¸ 9 c)c)c)c)c) 6 ¸ 9
Ao lado de cada número, escreva se sua representação decimal é finitafinitafinitafinitafinita,
infinita e periódicainfinita e periódicainfinita e periódicainfinita e periódicainfinita e periódica ou infinita e não-periódicainfinita e não-periódicainfinita e não-periódicainfinita e não-periódicainfinita e não-periódica:
a)a)a)a)a) 17
5
c)c)c)c)c) 0,35 e)e)e)e)e) 4
6
b)b)b)b)b) 3,45 d)d)d)d)d) 0,12131415... f)f)f)f)f) p
Diga se estes números são racionaisracionaisracionaisracionaisracionais ou irracionaisirracionaisirracionaisirracionaisirracionais:
a)a)a)a)a) 4 c)c)c)c)c) 4,33 e)e)e)e)e) 4,330
b)b)b)b)b) 4,333 ... d)d)d)d)d) 1,010010001 ... f)f)f)f)f) 0
Exercícios

47
A U L A
Números
proporcionais
47
A U L A
Para pensar
Nossa aula
20m
?
=
2
3
Adistância entre Rio de Janeiro e São Paulo
é de 400 km. Qual é a distância entre as duas cidades em um mapa feito na
escala de 1 : 200.000?
Se uma caixa d’água produz uma sombra de 20 m e um homem com 1,80
m de altura produz uma sombra de 1,20 m, medidas no mesmo local e na mesma
hora, qual é a altura da caixa?
Comparandoocomprimentodasombradohomemcomsuaaltura,medidos
em centímetros (cm), encontramos:
120
180
=
2
3
, depois de simplificar a fração.
A divisão é uma das formas que usamos para comparar dois números.
Dizemos que a razãorazãorazãorazãorazão entre o comprimento da sombra e a altura do homem é de
2
3
ou 2 : 32 : 32 : 32 : 32 : 3, que se lê 2 para 3.2 para 3.2 para 3.2 para 3.2 para 3.
Comoasmedidasforamfeitasnamesmahoraenomesmolocal,arazãoentre
o comprimento da caixa d’água e sua altura também será
2
3
.
A altura da caixa d’água é igual a 30 m, pois a razão
20
30
é igual a
2
3
.
No caso de mapas geográficos, plantas de casas ou maquetes de projetos, a
escalaescalaescalaescalaescala determina a relação entre as medidas de um desenho e as medidas reais
que correspondem a ele.

47
A U L A EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
A planta de uma sala retangular está desenhada na escala 1 : 100. Determi-
ne as medidas reais dessa sala.
6 cm
8 cm
A razão entre as medidas que aparecem na planta da sala e as medidas reais
é de 1 : 1001 : 1001 : 1001 : 1001 : 100 ou 1
100
(lê-se 1 para 1001 para 1001 para 1001 para 1001 para 100), o que significa que as medidas reais são
100 vezes maiores do que as medidas assinaladas na planta.
Para determinar as medidas reais da sala, vamos multiplicar as medidas da
planta por 100:
6 cm . 100 = 600 cm = 6 m
8 cm . 100 = 800 cm = 8 m
1
As medidas reais da sala são, portanto, 6 m6 m6 m6 m6 m e 8 m8 m8 m8 m8 m.
O mesmo deveria ser feito com qualquer outra medida que aparecesse na
planta, como, por exemplo, largura e altura de portas e janelas.
Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.Vimos que uma razão compara dois números pela divisão.
Quando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, aQuando encontramos uma igualdade entre duas razões, a
relação matemática é chamada derelação matemática é chamada derelação matemática é chamada derelação matemática é chamada derelação matemática é chamada de proporção,proporção,proporção,proporção,proporção, e dizemose dizemose dizemose dizemose dizemos
que as quantidades medidas sãoque as quantidades medidas sãoque as quantidades medidas sãoque as quantidades medidas sãoque as quantidades medidas são proporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais.
escala: 1
100
ou1:100

47
A U L AEXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Uma pessoa viaja 120 km em 2 horas. Quantas horas levará a mesma pessoa
para percorrer 180 km com a mesma velocidade?
Essa igualdade é uma proporçãoproporçãoproporçãoproporçãoproporção, e os números que medem as distâncias
eotemposão proporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais. Quanto maior a distância, maior será o tempo
para percorrê-la.
Como calcular o número que não se conhece na proporção desse exemplo?
Vamos recordar algumas proporções que já conhecemos:
a)a)a)a)a) 2
3
=
6
9
b)b)b)b)b) 3
4
=
24
32
É fácil verificar que:
a)a)a)a)a) 2 . 9 = 18 b)b)b)b)b) 3 . 32 = 96
3 . 6 = 18, logo 2 . 9 = 3 . 6 4 . 24 = 96, logo 3 . 32 = 4 . 24
Acabamos de chegar a uma propriedade muito importante e bastante usada
em Matemática:
Numa proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fraçãoNuma proporção, os produtos do numerador de uma fração
pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.pelo denominador da outra fração são iguais.
Voltando ao exemplo, podemos agora determinar o termo desconhecido da
proporção
120
2
=
180
?
.
Substituindo o ponto de interrogação (?) pela letra xxxxx, que é usada em lugar
do termo desconhecido (Aula 44),
120
2
=
180
x
e aplicando a propriedade que vimos anteriormente:
120x = 2.180
120x = 360
x = 360 : 120 (Aplicando operação inversa)
x = 3
A pessoa levará 3 horas3 horas3 horas3 horas3 horas para percorrer os 180 km.
120
2
=
180
?

47
Nesta tabela, devemos encontrar vários pares de números A e B. Complete
a tabela de modo que a razão de A para B seja sempre o número
6
7
.
AAAAA BBBBB RAZÃORAZÃORAZÃORAZÃORAZÃO
A
B
RAZÃORAZÃORAZÃORAZÃORAZÃO
A
B
NANANANANA FORMAFORMAFORMAFORMAFORMA MAISMAISMAISMAISMAIS SIMPLESSIMPLESSIMPLESSIMPLESSIMPLES
a)a)a)a)a) 12 14
12
14
6
7
b)b)b)b)b) 21
c)c)c)c)c) 30
d)d)d)d)d) 100
e)e)e)e)e) 100
Numa sala de aula há 30 alunos, dos quais 12 são meninas:
a)a)a)a)a) Qual a razão do número de meninas para o total de alunos da turma?
b)b)b)b)b) Qual é a razão do número de meninos para o total de alunos da turma?
c)c)c)c)c) Qual é a razão do número de meninas para o número de meninos?
Determine o valor de xxxxx em cada uma das seguintes igualdades de modo que
elas se tornem verdadeiras:
a)a)a)a)a) 20
8
=
x
6
b)b)b)b)b) 14
30
=
x
90
c)c)c)c)c) x
3
=
75
15
d)d)d)d)d) x
4
=
36
27
A planta de uma casa foi feita em escala de 1 : 50. Quanto medirá na planta
uma parede que mede 20 m?
Quanto custam 12 canetas se 4 custam R$ 3,50?
SugestãoSugestãoSugestãoSugestãoSugestão: Estabeleça o preço usando o conceito de proporção.
Exercícios

48
A U L A
O Teorema de Tales
Para pensar
Nossa aula
l A estaca tem 1,50 m e sua sombra 2,20 m. A sombra do poste mede 4,90 m.
Qual é a altura do poste?
l A massa de um bloco de gelo é de 13 kg. Se 10% do gelo derreter, de quanto
passará a ser a sua massa?
l Com um par de esquadros, desenhe um feixe de 5 retas paralelas. Depois,
trace sobre elas 2 retas transversais que não sejam paralelas entre si. Meça os
segmentos determinados nas retas transversais. Eles são proporcionais?
As pirâmides do Egito
As pirâmides egípcias são monu-
mentos grandiosos. A técnica empre-
gada em suas construções até hoje
fascina o homem.
A pirâmide de Qué ops, no Egi-
to, foi construída por volta de 2.500
anos antes de Cristo.
Considerada uma das grandes
maravilhas do mundo antigo,
Quéops tem aproximadamente 150
metros de altura. Sua base é um qua-
drado cujos lados medem cerca de
230 metros.
48
A U L A

48
A U L A Tales e a pirâmide
O filósofo e matemático Tales nasceu na cidade de Mileto, na Grécia antiga,
por volta do ano 585 a.C.
Há muitas lendas e histórias sobre ele. Diz-se que, ao ser interrogado sobre
o que era difícil, Tales respondeu: “Conhecer a si mesmo”. O que era fácil: “Ser
dirigido por outro”. Agradável: “Seguir a própria vontade”. Divino: “Aquilo
que não tem começo nem fim”.
Tales passava grande parte do tempo viajando, como era comum aos sábios
daquela época. Em uma de suas viagens ao Egito, passou a ser prestigiado pelo
faraó Amásis por ter medido a altura de uma pirâmide sem precisar escalá-la.
Para isso, Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Concluiu que, no
momentoemqueocomprimentodasombradaestacafosseigualaocomprimen-
to da estaca, a altura da pirâmide seria igual ao comprimento da sombra da
pirâmide mais metade da medida da base.
A altura da pirâmide é a distância do vértice V à base. Observe a figura
abaixo: a altura é a medida do segmento VH.
V
H
metade da base comprimento
da sombra
{
{raio
solar

48
A U L ATales e a Matemática
Para medir a altura da pirâmide, Tales baseou-se em alguns fatos:
1.1.1.1.1. Quando dois triângulos têm os ângulos iguais, então seus lados
correspondentes formam uma proporção.
2.2.2.2.2. Os raios solares são paralelos.
E, nesse caso, Tales também sabia que os ângulos de incidência dos raios
solares num mesmo instante tinham todos a mesma medida.
Tales imaginou um triângulo formado pela altura da pirâmide, a metade da
base mais o comprimento da sombra da pirâmide e um raio solar ligando o
vértice da pirâmide ao final da sombra, como mostra a figura acima. Imaginou
também um outro triângulo formado pela estaca, sua sombra e um raio solar.
Esses dois triângulos imaginários tinham, cada um deles, um ângulo reto
e um ângulo de mesma medida (aaaaa). Nesse caso, Tales sabia que as medidas dos
lados desses triângulos eram proporcionais. Então:
Com esse método, Tales inaugurou o processo de medida indireta, muito
utilizado ainda hoje na astronomia e na medição de distâncias que aparentemente
não podemos alcançar, como a altura de montanhas, árvores e monumentos ou
a largura de grandes rios e lagos.
a
x
=
b
y
=
c
z
c b
a
z y
x
V
H P
a a
A
B C
VH
HP
=
AB
BC

48
A U L A
a
O Teorema de Tales
São atribuídas a Tales muitas descobertas geométricas, entre as quais um
teorema com seu nome. Veja o que diz esse teorema:
Duas retas,Duas retas,Duas retas,Duas retas,Duas retas, mmmmm eeeee nnnnn, cortam três retas parelelas, cortam três retas parelelas, cortam três retas parelelas, cortam três retas parelelas, cortam três retas parelelas aaaaa,,,,, bbbbb eeeee ccccc. Nessas. Nessas. Nessas. Nessas. Nessas
condições, os segcondições, os segcondições, os segcondições, os segcondições, os segmentos de medidasmentos de medidasmentos de medidasmentos de medidasmentos de medidas xxxxx,,,,, yyyyy,,,,, zzzzz eeeee wwwww são proporcionais.são proporcionais.são proporcionais.são proporcionais.são proporcionais.
Assim:Assim:Assim:Assim:Assim:
Uma aplicação do Teorema de Tales
Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do
lote B, conforme a figura:
Representando por xxxxx a medida que desejamos calcular e usando o Teorema
de Tales, podemos descobrir essa medida sem efetuar medições. Como as
laterais são paralelas, temos:
E, fazendo uma simples regra de três:
30 x = 20 . 24
x = 16
Assim, sem efetuar medições, concluímos que o lado dos fundos do lote B
mede 16 metros.
x
y
=
z
w
b
c
w
zx
y
nm
Rua das Marrecas
RuadosGansos
lote A
lote B
loteC
x
24m
20m30m
20
30
=
x
24

48
A U L AUma forma mais geral do Teorema de Tales
Considere um feixe de retas paralelas com duas transversais, como
mostra a figura:
Os segmentos de medidas a, b, c, da, b, c, da, b, c, da, b, c, da, b, c, d e x, y, w, zx, y, w, zx, y, w, zx, y, w, zx, y, w, z, determinados nas retas
transversais, formam segmentos proporcionais:
a
x
=
b
y
=
c
w
=
d
z
Uma outra aplicação do Teorema de Tales
Para encontrar a solução de problemas de cálculo de distâncias aparente-
mente impossíveis, os antigos usavam instrumentos de medida de ângulos na
vertical e na horizontal.
Hoje em dia, os topógrafos usam o teodolitoteodolitoteodolitoteodolitoteodolito, um instrumento que mede
ângulos, distâncias e diferenças de nível.
a
c
b
d
x
y
w
z

48
A U L A Vejanafiguraabaixocomofuncionaoteodolitonamediçãodaalturadeuma
árvore. O teodolito deve ser afastado até que o ângulo de visão da horizontal
com o topo da árvore seja de 45º. Quando isso ocorrer, basta medir a distância
da árvore até o teodolito. Essa medida será igual à medida da altura da
árvore.
Isso ocorre porque se comparou o triângulo imaginário
com um triângulo retângulo e isósceles que tem os catetos
com a mesma medida.
Outras descobertas geométricas atribuídas a Tales
l O diâmetro divide o círculo em duas partes iguais.
l Ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais.
l Os ângulos da base de um triângulo isósceles têm medidas iguais.
l O ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
A
B45º
C

48
A U L A
Nas figuras abaixo, calcule o valor de xxxxx (as retas a, b e c são paralelas).
a)a)a)a)a)
b)b)b)b)b)
A planta abaixo mostra as medidas de dois terrenos. Calcule as medidas de
suas frentes, sabendo que as laterais são paralelas e que a medida de AB é
90 metros.
Observeodesenhoabaixoedescubraqualdeveserocomprimentodaponte.
Exercícios
x 2,4
1,4 1,2
a
b
c
4
6
x
8
a b c
A
B
30 m 45 m
x
y
9 m
18 m
E
x
B
A
C
10 m
D

48
A U L A
A imagem de uma foto é, em geral, semelhante ao que se vê na realidade.
Imagine que o desenho abaixo seja uma foto. Que proporção você pode
estabelecer entre a altura do coqueiro, a altura da pessoa e suas respectivas
sombras?

49
A U L A
Figuras semelhantes
Desenhe uma ampliação da figura abaixo,
utilizando o restante da parte quadriculada do quadro de modo que as dimen-
sões da figura original sejam duplicadas.
Agora faça outra ampliação da mesma figura utilizando o quadriculado
abaixo. O que você deve fazer para que essa nova ampliação seja também uma
duplicação?
49
A U L A
Para pensar

49
A U L A
AB
A1B1
=
BC
B1C1
=
CD
C1D1
=
DA
D1A1
=
1
2
Quando ampliamos ou reduzimos uma figura em uma proporção constante,
sem modificar a sua forma, a nova figura e a figura original são chamadas de
figuras semelhantesfiguras semelhantesfiguras semelhantesfiguras semelhantesfiguras semelhantes. Observe os quadriláteros abaixo. Eles são semelhantes?
Sim, eles são realmente semelhantes. O quadrilátero 22222 é uma redução e o
quadrilátero 33333 é uma ampliação do quadrilátero 11111.
Observe que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas.
Confira com um transferidor. Os lados correspondentes foram ampliados ou
reduzidos sempre na mesma proporção.
De 11111 para 22222, reduzimos cada lado à metade do tamanho original. De 11111 para 33333,
ampliamos cada lado para o dobro do tamanho original.
Para que duas figuras sejam semelhantes elas não precisam estar na mesma
posição. No exemplo abaixo, todos os quadriláteros são uma ampliação do
quadrilátero ABCD original.
SevocêcompararamedidadequalquerumdosladosdoquadriláteroABCD
com a medida de seu correspondente nos outros quadriláteros, vai verificar que:
A razão constante entre lados correspondentes de figuras semelhantes é
conhecida em Matemática como razão de semelhrazão de semelhrazão de semelhrazão de semelhrazão de semelhançaançaançaançaança e é comum utilizarmos
a letra kkkkk para simbolizá-la. Dizemos então que k =
1
2 , neste exemplo.
Nossa aula
(1)
(2)
(3)
A B
C D
A1 B1
C1
D1
A2
B2
D2
C2
A3
B3
C3
D3
A4
D4
B4
C4

49
A U L A
Cozinha
Quarto
Quarto
Sala
O que é escala?
Em muitos casos, a razão de semelhança é chamada de escalaescalaescalaescalaescala. Quando
desenhamos a planta de uma casa, observamos a maquete de um prédio ou
estudamos um mapa, é comum encontrarmos a palavra escalaescalaescalaescalaescala. Tal como na
planta do exemplo abaixo.
Esta escala 1 : 200 =
1
200
significa que cada 1 cm da planta equivale, na
realidade, a 200 cm ou 2 m na casa de verdade.
Você pode verificar com sua régua que, na planta, a largura da sala é 1,7 cm
e que o comprimento é de 2,3 cm. Para encontrarmos as medidas reais da sala,
basta multiplicarmos as medidas por 200.
00000
largura 1,7 cm 1,7 cm · 200 = 340 cm = 3,40 m
comprimento 2,3 cm 2,3 cm · 200 = 460 cm = 4,60 m
VBº
Escala:
1
200
MEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDAS DADADADADA SALASALASALASALASALA
NANANANANA PLANTAPLANTAPLANTAPLANTAPLANTA
MEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDASMEDIDAS REAISREAISREAISREAISREAIS DADADADADA SALASALASALASALASALA

49
A U L A A Geografia utilizando a Matemática
Observe o mapa abaixo. A escala é apresentada em um segmento de reta e
significa que cada centímetro do mapa é equivalente a 1.250 quilômetros.
Meça algumas distâncias com a régua e calcule, aproximadamente, a
distância real em quilômetros. Para isso, utilize a escala.
É desse modo, por meio de mapas e suas respectivas escalas, que a aviação
e a navegação planejam rotas de viagem, calculam distâncias e tempos de
percurso.

49
A U L AObtendo figuras semelhantes
Sabemos, então, que duas figuras são semelhantes quando as duas condi-
ções abaixo são satisfeitas:
11111. os ângulos correspondentes têm a mesma medida; e
22222. as razões entre as medidas de lados correspondentes são iguais.
No início desta aula, você observou uma maneira de ampliar ou reduzir
figuras utilizando papel quadriculado.
Vamos mostrar a seguir outro método, também muito utilizado.
1.1.1.1.1. Escolhemos um pon-
to qualquer OOOOO.
2.2.2.2.2. Ligamos este ponto OOOOO
a vários pontos da
nossa figura.
3.3.3.3.3. Medimos a distância
de cada ligação e obte-
mos novos pontos
multiplicando esta me-
dida por uma constan-
te.
4.4.4.4.4. Ligamos os novos
pontos e está feita a
ampliação.
Este método pode ser utilizado para qualquer figura e o ponto OOOOO pode estar
em qualquer posição. Confira nos exemplos abaixo:
1. 2.
3.
O
O
O
O está dentro da figura O está em um dos vértices da figura
OO

49
A U L A Para você saber mais
Vimos que duas condições devem ocorrer, ao mesmo tempo, para garantir
a semelhança entre figuras. No entanto, um caso muito especial de semelhança
ocorre quando as figuras são triângulos, pois basta verificar apenas uma das
condições, pois a outra ocorrerá automaticamente. Veja:
l se os lados são proporcionais, então os ângulos são iguais e os triângulos são
semelhantes; ou
l se os ângulos correspondentes são iguais, então os lados são proporcionais
e os triângulos são semelhantes.
Podemos então verificar apenas uma das condições para conferir se dois
triângulos são semelhantes. Mas, não esqueça, isto só ocorre com triângulostriângulostriângulostriângulostriângulos.
Analise a planta da casa que aparece nesta aula e indique quais são as
medidas dos quartos.
Exercício 2*Exercício 2*Exercício 2*Exercício 2*Exercício 2*
Num mapa de guerra a escala era 1:100.000. No mapa, o alcance do míssil
era de 100 cm. Qual o alcance real do míssil em quilômetros?
Exercício 3 *Exercício 3 *Exercício 3 *Exercício 3 *Exercício 3 *
Um jogador de basquete mede 2,04 m. Para fazer propaganda de seu time,
fabricaram miniaturas do jogador. A escala é 1:12. Quanto mede a miniatura?
Num banheiro retangular, é preciso trocar os azulejos do box. O box ocupa
1
4
do banheiro. O banheiro mede 6 m². Na planta, o banheiro está na es-
cala 1 : 30. Quanto mede o box na planta?
(*) Os Exercícios 2 e 3 foram extraídos do artigo “Alunos inventam problemas”, da
professora Sylvia Judith Hamburger Mandel, publicado na Revista do Professor deRevista do Professor deRevista do Professor deRevista do Professor deRevista do Professor de
MatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemática, nº 26.
Exercícios

50
A U L A
50
A U L A
Proporção inversa
l Um automóvel com velocidade média de 60 km/h gasta 5 horas para
percorrer a distância entre duas cidades. Quanto tempo levará para percor-
rer a mesma distância com a velocidade média de 100 km/h?
l Pegue uma folha de papel quadriculado e desenhe alguns retângulos de
área 36 (considere cada quadradinho como uma unidade de área). Anote
numa tabela os valores encontrados para as dimensões (comprimento e
largura) de cada um dos retângulos que você desenhou.
Observando a tabela, o que você pode afirmar sobre a variação dessas
dimensões?
Na Aula 47, você aprendeu que duas grandezas que mantêm entre si uma
relação de dependência podem variar proporcionalmente. Vamos ver um exem-
plo para “refrescar” a memória.
Uma receita muito simples, e às vezes bastante necessária, é a do soro
caseiro. Para fazer 1 litro de soro, basta:
1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)1 litro de água filtrada (ou fervida)
1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal1 colher (café) de sal
1
2
colher (café) de açúcarcolher (café) de açúcarcolher (café) de açúcarcolher (café) de açúcarcolher (café) de açúcar
E está pronto um soro muito útil nos casos de desidratação. Mas, o que essa
receita tem a ver com proporcionalidade? Observe a tabela:
QUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADE DEDEDEDEDE ÁGUAÁGUAÁGUAÁGUAÁGUA SALSALSALSALSAL AÇÚCARAÇÚCARAÇÚCARAÇÚCARAÇÚCAR
SOROSOROSOROSOROSORO (((((LITROLITROLITROLITROLITRO))))) (((((COLHERCOLHERCOLHERCOLHERCOLHER DEDEDEDEDE CAFÉCAFÉCAFÉCAFÉCAFÉ))))) (((((COLHERCOLHERCOLHERCOLHERCOLHER DEDEDEDEDE CAFÉCAFÉCAFÉCAFÉCAFÉ)))))
1 litro 1 1 12
2 litros 2 2 24
3 litros 3 3 36
4 litros 4 4 48
A quantidade de água, sal e açúcar são dependentes da quantidade de soro
caseiro que se deseja fazer.
Para pensar
Nossa aula

50
A U L A É fácil perceber que, se desejamos dobrar a quantidade de soro, devemos
dobrar as quantidades de água, sal e açúcar. Dizemos, então, que as quantidades
de água, sal e açúcar são proporcionais, ou diretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionaisdiretamente proporcionais.
Existem situações, porém, em que as grandezas mantêm entre si uma
relação inversamente proporcional. Mas, o que são grandezas inversamenteinversamenteinversamenteinversamenteinversamente
propor-cionaispropor-cionaispropor-cionaispropor-cionaispropor-cionais?
Vejamos um exemplo. Viajando constantemente do Rio de Janeiro a São
Paulo, Mônica fez alguns cálculos e anotou o resultado numa tabela. Ela sabia
que a velocidade pode ser calculada dividindo-se a distância percorrida pelo
tempo gasto na viagem (v = e/t). Considerando a distância entre essas duas
cidades como sendo 400 km, ela fez a seguinte tabela:
50 km/h 8h
60 km/h 6h40min
400 km
80 km/h 5h
100 km/h 4h
Observe que à medida que a velocidade aumentavelocidade aumentavelocidade aumentavelocidade aumentavelocidade aumenta o tempo diminuitempo diminuitempo diminuitempo diminuitempo diminui.
Dizemos, então, que as grandezas velocidadevelocidadevelocidadevelocidadevelocidade e tempotempotempotempotempo mantêm entre si uma
relação inversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcional.
Observando um pouco mais a tabela podemos verificar que:
50 km/h . 8h
60 km/h . 6h 40min
= 400 km= 400 km= 400 km= 400 km= 400 km
80 km/h . 5h
100 km/h . 4h
Dizemos, então, que:
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando osDuas grandezas são inversamente proporcionais quando os
valoresvaloresvaloresvaloresvalores xxxxx eeeee yyyyy correspondentes acorrespondentes acorrespondentes acorrespondentes acorrespondentes a elaselaselaselaselas são tais que:são tais que:são tais que:são tais que:são tais que:
xxxxx ..... y = ky = ky = ky = ky = k,
ondeondeondeondeonde kkkkk é um vé um vé um vé um vé um valor constante e positivo chamadoalor constante e positivo chamadoalor constante e positivo chamadoalor constante e positivo chamadoalor constante e positivo chamado constante deconstante deconstante deconstante deconstante de
proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.proporcionalidade inversa.
ObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservaçãoObservação
No exemplo acima, a constante de proporcionalidade inversa (kkkkk) é
400 e a velocidade e o tempo são as variáveis xxxxx e yyyyy.
DISTÂNCIADISTÂNCIADISTÂNCIADISTÂNCIADISTÂNCIA
PERCORRIDAPERCORRIDAPERCORRIDAPERCORRIDAPERCORRIDA
VELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADE
MÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIA
TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO
GASTOGASTOGASTOGASTOGASTO

50
A U L AVamos resolver juntos dois problemas com variáveis inversamente
proporcionais.
PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1
Numa pequena fábrica de uniformes escolares, 12 costureiras fazem um
determinado serviço em 5 dias. Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, em
quantos dias 15 costureiras farão o mesmo serviço?
12 5
15 x
Observe que, nessas condições, as variáveis (costureiras e dias) mantêm
entre si uma relação inversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcionalinversamente proporcional. Isto se dá porque, se
aumentamos o número de costureiras, o tempo gasto será menor, pois o
serviço é o mesmo. Então:
12 . 5 = 15 . x
60 = 15x
x = 4
O que significa que o serviço poderá ser feito em 4 dias.4 dias.4 dias.4 dias.4 dias.
PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2
Para encher uma caixa d'água cuja capacidade é de 500 litros, uma torneira
leva6horas.Emquantotempoduastorneirasiguaisaessaencherãoamesma
caixa d'água?
500 l 1 6h
500 l 2 x
Como as variáveis (quantidade de torneiras e tempo) são grandezas inver-inver-inver-inver-inver-
samente proporcionaissamente proporcionaissamente proporcionaissamente proporcionaissamente proporcionais, temos:
1 . 6 = 2 . x
6 = 2x
x = 3
Ouseja,asduastorneirasjuntaslevarão3 horas3 horas3 horas3 horas3 horas para encher a caixa d'água.
COSTUREIRASCOSTUREIRASCOSTUREIRASCOSTUREIRASCOSTUREIRAS DIASDIASDIASDIASDIAS
CAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADECAPACIDADE DADADADADA
CAIXACAIXACAIXACAIXACAIXA DDDDD''''' ÁGUAÁGUAÁGUAÁGUAÁGUA
QUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADE
DEDEDEDEDE TORNEIRASTORNEIRASTORNEIRASTORNEIRASTORNEIRAS

50
A U L AExercícios Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Verifique se as variáveis das tabelas abaixo são inversamente proporcio-
nais. Em caso afirmativo, dê o coeficiente de proporcionalidade:
a)a)a)a)a) xxxxx 5 20 40
yyyyy 8 2 1
b)b)b)b)b) aaaaa 90 80 60
bbbbb 10 20 40
c)c)c)c)c) yyyyy 8 5 4
xxxxx 10 16 20
Para pintar um prédio, 5 pintores levam 40 dias. Em quanto tempo 10
pintores fazem o mesmo serviço?
Uma torneira, despejando 10 litros de água por minuto, demora 3 horas
para encher um reservatório. Se ela despejar 20 litros por minuto, quanto
tempo levará para encher esse mesmo reservatório?
Um ônibus, a uma velocidade constante de 80 km/h, faz uma viagem entre
duas cidades em 5 horas. Quanto tempo levará para fazer essa mesma
viagem à velocidade de 60 km/h?
Exercícios

51
A U L A
51
A U L A
Regra de três
Nossa aula
Num acampamento, há 48 pessoas e ali-
mento suficiente para um mês. Se 16 pessoas forem embora, para quantos dias
ainda haverá alimento?
Observe a seguinte situação:
l Uma pessoa paga pelo quilo de feijão R$ 1,20.
l Se comprar 2 quilos de feijão, pagará R$ 2,40.
l Se comprar 3 quilos, pagará R$ 3,60.
Quando a quantidade de feijão comprada aumenta de 1 para 2 quilos,
o preço aumenta na mesma razão, pois passa de R$ 1,20 para R$ 2,40.
Podemos, então, escrever que a razão de 1 para 2 é igual à razão de 1,20
para 2,40. Em linguagem matemática:
1
2
=
1,20
2,40
que se lê: 1 está para 2, assim como 1,20 está para 2,40.
Da mesma forma, quando o aumento é de 1 para 3 quilos, o preço aumenta
na mesma razão:
1
3
=
1,20
3,60
Como já foi visto na Aula 47, a igualdade entre duas razões é uma
proporção. O preço do feijão, no caso, é proporcionalproporcionalproporcionalproporcionalproporcional à quantidade de quilos
de feijão.
Para pensar

51
A U L A EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Se um ônibus percorre uma estrada com velocidade média de 80 km/h,
quantos quilômetros percorrerá em 2 horas?
Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira:
A letra xxxxx representa o valor desconhecido do problema.
TempoTempoTempoTempoTempo e espaçoespaçoespaçoespaçoespaçosãoproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionaisproporcionais, pois, quando o valor do tempo aumenta, o
valor do espaço percorrido aumenta na mesma razão, ou seja, de 1 para 2.
Dizemos que tempotempotempotempotempo e espaçoespaçoespaçoespaçoespaço são grandezasgrandezasgrandezasgrandezasgrandezas que variam da mesma forma
e na mesma razão. Se uma aumenta, a outra também aumenta; se uma
diminui, a outra também diminui.
Da tabela acima, podemos escrever a seguinte proporção:
1
2
=
80
x
_ 1 está para 2, assim como 80 está para xxxxx.
Recordando a propriedade fundamental das proporções:
O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-O produto do numerador da primeira fração com o denomina-
dor da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador dador da segunda fração é igual ao produto do denominador da
primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.primeira fração com o numerador da segunda.
Então: 1 . x = 2 . 80 (lembre-se que 1 . x = x)
x = 160
Portanto, o espaço percorrido pelo ônibus em 2 horas será de 160 km160 km160 km160 km160 km.
Nesse exemplo, três elementos eram conhecidos e faltava determinar o
quarto elemento.
Dois dos elementos conhecidos são medidas de uma mesma grandeza
(tempo) e o terceiro é medida de outra grandeza (espaço). O quarto
elemento, aquele que será calculado, é medida da segunda grandeza
(espaço).
O método usado para resolver problemas desse tipo é chamado rrrrregra deegra deegra deegra deegra de tttttrêsrêsrêsrêsrês.
Noexemploanterior,asgrandezastempo eespaçosãodiretamente propor-diretamente propor-diretamente propor-diretamente propor-diretamente propor-
cionaiscionaiscionaiscionaiscionais e a regra de três é diretadiretadiretadiretadireta.
Dois pintores gastam 18 horas para pintar uma parede. Quanto tempo
levariam 4 pintores para fazer o mesmo serviço?
Veja a tabela e verifique se as grandezas são diretamente proporcionais:
2h x
TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO ESPAÇOESPAÇOESPAÇOESPAÇOESPAÇO
1h 80 km
4 x
PINTORESPINTORESPINTORESPINTORESPINTORES TEMPOTEMPOTEMPOTEMPOTEMPO
2 18h

51
A U L ASe o número de pintores dobrar, passando de 2 para 4, será que o tempo
gasto no serviço também dobrará?
Pense um pouco e observe que o tempo gasto no serviço não pode aumentar,
pois são mais homens trabalhando. Aumentando o número de pintores, o
tempo de serviço deve diminuir. Como o número de pintores dobrou, o
tempo será reduzido à metade (razões inversasrazões inversasrazões inversasrazões inversasrazões inversas). Logo, os pintores gasta-
rão 9 horas para pintar a parede.
Nesse caso, dizemos que as duas grandezas do problema (número de
pintores e tempo de serviço) são grandezas inversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais, e
a regra de três é inversainversainversainversainversa.
Cinco operários constroem uma casa em 360 dias. Quantos dias serão
necessários para que 15 operários construam a mesma casa?
Aumentando-se o número de operários de 5 para 15, ou seja, triplicando-
se o número de operários, o que acontecerá com o número de dias
necessários para a construção da casa?
Damesmaformaquenoexemploanterior,essasgrandezassãoinversamen-inversamen-inversamen-inversamen-inversamen-
te proporcionaiste proporcionaiste proporcionaiste proporcionaiste proporcionais. Isso quer dizer que variam na razão inversarazão inversarazão inversarazão inversarazão inversa, e a razão
inversa de 3 é
1
3
. Então:
1
3
de 360 = 360 : 3 = 120
Portanto, os 15 operários construirão a casa em 120 dias120 dias120 dias120 dias120 dias.
Vimos que, para resolver problemas de regra de três, é importante
determinar se as grandezas envolvidas no problema são diretadiretadiretadiretadireta ou
inversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais.
Quando as grandezas são inversamente proporcionais, a proporção entre
os valores não é representada por uma mesma razão mas sim por razões
inversas.
Portanto, no caso de grandezas inversamente proporcionais, deve-se inver-
ter uma das razões para escrever a proporção relativa ao problema.
Um ônibus, em velocidade média de 80 km/h, leva 5 horas para percorrer
uma estrada. Quanto tempo gastará para percorrer a mesma estrada se
desenvolver velocidade média de 100 km/h?
15 x
OPERÁRIOSOPERÁRIOSOPERÁRIOSOPERÁRIOSOPERÁRIOS DIASDIASDIASDIASDIAS
5 360
15 x
VELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADEVELOCIDADE MÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIAMÉDIA
(km/h(km/h(km/h(km/h(km/h)))))
5 360
(h)(h)(h)(h)(h)

51
A U L A As grandezas tempo e velocidade são direta ou inversamente proporcionais?
Desenvolvendo maior velocidade média, o ônibus gastará menos tempo
para percorrer a estrada.
As grandezas envolvidas são, portanto, inversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionaisinversamente proporcionais.
Assim, escreveremos a proporção invertendo umas das razões:
5
x
=
100
80
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:
100 . x = 5 . 80
100x = 400
x =
400
100
x = 4
Desenvolvendo velocidade média de 100 km/h, o ônibus levará 44444
hhhhhorasorasorasorasoras para percorrer a estrada.
Aplicações da regra de três
Cálculo da taxa de porcentagem
Depositando-se R$ 600,00 numa caderneta de poupança, ao final do mês
obtêm-se R$ 621,00. Calcule a taxa de porcentagem do rendimento.
l R$ 600,00 é a quantia principalquantia principalquantia principalquantia principalquantia principal, também chamada apenas de principalprincipalprincipalprincipalprincipal.
l R$ 21,00 é o rendimentorendimentorendimentorendimentorendimento, que foi obtido subtraindo-se 600 de 621.
l Devemos calcular a taxataxataxataxataxa, ou seja, “quantos por cento” correspondem ao
rendimento obtido, R$ 21,00.
Vamos escrever a regra de três observando que, se a taxa de porcenta-
gem do rendimento fosse de 100%, então o rendimento seria igual ao
principal (R$ 600,00). A taxa xxxxx%, procurada, corresponde ao rendimento
obtido (R$ 21,00).
Neste caso, a regra de três é diretadiretadiretadiretadireta, pois, aumentando-se o rendimento, a
taxa correspondente também aumentará. Logo:
=
600 . x = 21 . 100
600 x = 2.100
2.100
600
= 3,5
A taxa de rendimento é de 3,5%3,5%3,5%3,5%3,5%.
100
x
600
21
21,00 x
RRRRR$$$$$ %%%%%
600,00 100

51
A U L AEXEMPLO 6EXEMPLO 6EXEMPLO 6EXEMPLO 6EXEMPLO 6
Ao vender um imóvel, um corretor ganhou de comissão 5% do valor da
venda, recebendo R$ 2.500,00. Qual foi o valor da venda?
Vamos organizar os dados:
l R$ 2.500,00 é o valor da porcentagemvalor da porcentagemvalor da porcentagemvalor da porcentagemvalor da porcentagem;
l 5% é a taxa de porcentagemtaxa de porcentagemtaxa de porcentagemtaxa de porcentagemtaxa de porcentagem;
l xxxxx é o valor da vendavalor da vendavalor da vendavalor da vendavalor da venda do imóvel.
5 . x = 2.500 . 100
5 x = 250.000
x =
250.000
5
= 50.000
O preço de venda do imóvel foi de R$ 50.000,00R$ 50.000,00R$ 50.000,00R$ 50.000,00R$ 50.000,00.
Cálculo de juro
Pedi um empréstimo de R$ 10.000,00 a um banco, que me cobrará 8% de
juro mensal. Quanto pagarei de juro?
l R$ 10.000,00 é o capitalcapitalcapitalcapitalcapital;
l 8% é a taxa de jurotaxa de jurotaxa de jurotaxa de jurotaxa de juro;
JuroJuroJuroJuroJuro é a quantia que pagarei mensalmente em troca do empréstimo.
Novamente vamos resolver o problema por uma regra de três diretaregra de três diretaregra de três diretaregra de três diretaregra de três direta, pois
a taxa e o juro variam da mesma forma.
10.000
x
=
100
8
100 . x = 8 . 10.000
100 x = 80.000
x =
80.000
100
= 800
Pagarei de juro pelo empréstimo R$ 800,00R$ 800,00R$ 800,00R$ 800,00R$ 800,00 por mês.
2.500,00 5
RRRRR$$$$$ %%%%%
x 100
x 8
RRRRR$$$$$ %%%%%
10.000,00 100

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Uma torneira enche um tanque em 2 horas. Em quanto tempo (em minutos)
3 torneiras iguais à primeira encherão o mesmo tanque?
Se 16 operários levam 3 dias para completar uma obra, quantos operários
seriam necessários para completar essa obra em 2 dias?
Qual é a altura de um edifício cuja sombra tem 6 m no mesmo instante em
que um poste de 2 m de altura projeta uma sombra de 0,6 m?
Trabalhandodurante40minutos,umamáquinaproduz100peças.Quantas
peças essa máquina produzirá em 2 horas?
Para percorrer 360 km de uma estrada, um automóvel consome 30l de
gasolina. Para percorrer 450 km, quanto consumirá?
Numa classe de 40 alunos, 18 são meninas. Qual é a taxa de porcentagem das
meninas dessa classe?
Gastei 30% do meu salário comprando um vestido. Calcule meu salário
sabendo que paguei R$ 60,00 pelo vestido.
Quando se aplicam R$ 2.000,00 à taxa de 12% ao ano, qual será a quantia
recebida após 5 anos?
Exercícios

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