www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Frações Algébricas

FraçõesFrações
AlgébricasAlgébricas
Matemática - ÁlgebraMatemática - Álgebra

O que são fraçõesO que são frações
algébricas?algébricas?
 São frações que tem variáveis no denominador.São frações que tem variáveis no denominador.
Ex.:Ex.:
xy
a
2
7
)
5
4
)
+
−
y
yx
b
12
5
) 2
+− aa
x
c

O que são fraçõesO que são frações
algébricas?algébricas?
 São frações que temSão frações que tem variáveis no denominadorvariáveis no denominador..
Ex.:Ex.:
xy
a
2
7
)
5
4
)
+
−
y
yx
b
12
5
) 2
+− aa
x
c

O que são?
Frações com variável no denominador
Resumindo...Resumindo...

Denominador sempreDenominador sempre
diferente de 0diferente de 0
 O denominador de uma fração nunca pode serO denominador de uma fração nunca pode ser
zero.zero.
 Assim, deve-se excluir os valores das variáveisAssim, deve-se excluir os valores das variáveis
que anulam o denominador.que anulam o denominador.
0
5
) ≠→ x
x
a
a 3
62
8
) ≠→
−
+
x
x
x
d7
7
1
) ≠→
−
+
y
y
x
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2
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x
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≠
≠−
y
y
5
05
−≠
≠+
a
a
3
2
6
62
062
≠
≠
≠
≠−
x
x
x
x

Denominador sempreDenominador sempre
diferente de 0diferente de 0
 OO denominadordenominador de uma fraçãode uma fração nunca pode sernunca pode ser
zerozero..
 Assim, deve-seAssim, deve-se excluir os valoresexcluir os valores das variáveisdas variáveis
que anulam o denominadorque anulam o denominador..
0
5
) ≠→ x
x
a
a 3
62
8
) ≠→
−
+
x
x
x
d7
7
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) ≠→
−
+
y
y
x
b 5
5
2
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+
a
a
x
c
7
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≠
≠−
y
y
5
05
−≠
≠+
a
a
3
2
6
62
062
≠
≠
≠
≠−
x
x
x
x

O que são?
Denominador deve ser diferente de zeroRegra

Simplificação de fraçõesSimplificação de frações
algébricasalgébricas
 Para simplificar uma fração, fatoramos oPara simplificar uma fração, fatoramos o
numerador e o denominador.numerador e o denominador.
Ex.:Ex.:
b
a
bbbba
bbbaa
ab
ba
a
3
2
.....3.2
.....2.2
6
4
) 4
32
==
( )( )
( ) 5
3
35
33
155
9
)
2
−
=
+
−+
=
+
− a
a
aa
a
a
b

Simplificação de fraçõesSimplificação de frações
 Para simplificar uma fração,Para simplificar uma fração, fatoramos ofatoramos o
numerador e o denominadornumerador e o denominador..
Ex.:Ex.:
b
a
bbbba
bbbaa
ab
ba
a
3
2
.....3.2
.....2.2
6
4
) 4
32
==
( )( )
( ) 5
3
35
33
155
9
)
2
−
=
+
−+
=
+
− a
a
aa
a
a
b

O que são?
Operações
Simplificação
Dividir numerador e denominador pelo divisor comum

Tente fazer sozinhTente fazer sozinh
1- Simplifique:1- Simplifique:
=
−
=
=
x
x
c
x
x
b
yx
xy
a
15
3
)
20
2
)
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2
2
2
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−
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22
43
2
33
22
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16
4
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48
18
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yzx
yzx
f
ab
ab
e
rs
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d

Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho
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2
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2
2
2
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x
x
x
x
c
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x
x
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yx
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3
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.....11.3
........11.2
33
22
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4
1
..4.4
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16
4
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3
..8.6
...6.3
48
18
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2
22
43
2
xz
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zzzzyxxx
yzx
yzx
f
ba
ba
ab
ab
e
r
sr
srr
rs
sr
d
==
−=−=
−
==

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+
+
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c
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b
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+
=
−
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+
17
214
)
23
)
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x
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xx
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yxa
bybx
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b
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x
xx
x
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33
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x
c
x
x
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m
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( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( )
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13
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1
33
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77
7
7
7
49
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2
5
22
25
2
25
44
25
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222
222
22
−
=
+
+−
+
−
=
+
−
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−
+−
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−
−
=
−
−
−
=
−−
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+−
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x
x
xx
x
x
x
x
c
x
x
xx
x
x
x
x
b
mmm
m
m
m
mm
m
a

3- Simplifique (continuação):3- Simplifique (continuação):
=
+−
−
=
+
−
=
−
+−
96
62
)
36
4
)
14
144
)
2
2
2
2
xx
x
f
x
x
e
x
xx
d

3- Simplifique (continuação):3- Simplifique (continuação):
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( ) ( )3
2
3
32
96
62
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3
2
23
22
23
2
36
4
)
12
1
1212
12
12
12
14
144
)
22
222
222
2
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=
−
−
=
+−
−
−
=
+
−+
=
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−
+
=
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−
−
=
−
+−
xx
x
xx
x
f
x
x
xx
x
x
x
x
e
xxx
x
x
x
x
xx
d

Adição e Subtração deAdição e Subtração de
frações algébricasfrações algébricas
Utilizamos as mesmas regras das fraçõesUtilizamos as mesmas regras das frações
numéricas.numéricas.
 Frações comFrações com denominadores iguaisdenominadores iguais::
Ex.:Ex.:
( )
xx
mm
x
mm
x
m
x
m
b
a
c
a
cc
a
c
a
c
a
2
9
2
18
2
18
2
1
2
8
)
3753125312
)
=
+−+
=
−−+
=
−
−
+
+
=
−+
=
−
+

Utilizamos asUtilizamos as mesmas regras das fraçõesmesmas regras das frações
numéricasnuméricas..
 Frações comFrações com denominadores iguaisdenominadores iguais::
Ex.:Ex.:
( )
xx
mm
x
mm
x
m
x
m
b
a
c
a
cc
a
c
a
c
a
2
9
2
18
2
18
2
1
2
8
)
3753125312
)
=
+−+
=
−−+
=
−
−
+
+
=
−+
=
−
+

O que são?
Operações
Simplificação
Soma e Subtração
Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e
manter o denominador

1- Calcule e simplifique, se possível, os resultados:1- Calcule e simplifique, se possível, os resultados:
=
+
+
+
=
−
−
−
−
−
=
+
−
+
+
+
1
1
1
)
3
54
3
14
)
1
9
1
9
)
aa
a
c
x
x
x
x
b
x
a
x
a
a

1
1
1
1
1
1
)
3
4
3
5414
3
54
3
14
)
1
2
1
99
1
9
1
9
)
=
+
+
=
+
+
+
−
=
−
+−−
=
−
−
−
−
−
+
=
+
−++
=
+
−
+
+
+
a
a
aa
a
c
xx
xx
x
x
x
x
b
x
a
x
aa
x
a
x
a
a

Adição e SubtraçãoAdição e Subtração d
 Frações comFrações com denominadores diferentesdenominadores diferentes::
Devemos tirar o m.m.c dos denominadores.Devemos tirar o m.m.c dos denominadores.
Ex.:Ex.:
( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b
x
m
x
mm
x
m
x
m
a
6
313
6
3310
6
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2
1
3
5
)
2
13
2
310
2
35
)
−
=
+−
=
−−
=
−
−
=
+
=+

 Frações comFrações com denominadores diferentesdenominadores diferentes::
Devemos tirar oDevemos tirar o m.m.c dos denominadoresm.m.c dos denominadores..
Ex.:Ex.:
( )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b
x
m
x
mm
x
m
x
m
a
6
313
6
3310
6
1310
2
1
3
5
)
2
13
2
310
2
35
)
−
=
+−
=
−−
=
−
−
=
+
=+

O que são?
Operações
Simplificação
Soma e Subtração
Denominadores iguais
Denominadores diferentes
Trabalhar os numeradores e
Mmc dos denominadores

=+
+
−
−
=−
=+
xx
x
x
x
c
a
m
a
m
b
yx
a
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5
53
6
4
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3
2
6
5
)
11
)

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x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
xx
x
x
x
c
a
m
a
mm
a
m
a
m
b
xy
xy
yx
a
6
75
.6.5
755
30
3525
30
33018205
30
3
30
3018
30
205
10
1
5
53
6
4
)
66
45
3
2
6
5
)
11
)
+−
=
+−
=
−−
=
+−−−
=
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+
−
−
=+
+
−
−
=
−
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+
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2- Calcule e simplifique (continuação):2- Calcule e simplifique (continuação):
=
+
−
−
+
=
−
−
−
=+
+
2
4
4
17
)
3
2
25
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4
3
1
)
2
2
2
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x
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x
xx
x
x
e
x
x
d

2- Calcule e simplifique (continuação):2- Calcule e simplifique (continuação):
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( ) 4
93
4
8417
22
2417
2
4
22
17
2
4
4
17
)
2
43
2
43
2
43
2
6225
2
32253
2
25
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14
37
14
33
14
4
4
3
1
)
22
2
22
2
2
22
2
2
2
2
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+
=
−
+−+
=
−+
−−+
=
+
−
−+
+
=
+
−
−
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+
=
+
=
+
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+−−
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=
−−−
=
−
−
−
+
+
=
+
+
+
+
=+
+
x
x
x
xx
xx
xx
xxx
x
xx
x
f
x
x
x
xx
x
xx
x
xxxx
x
xxxx
x
xx
x
x
e
x
x
x
x
x
x
x
x
d

Multiplicação de fraçõesMultiplicação de frações
 Multiplicamos da mesma maneira queMultiplicamos da mesma maneira que
multiplicamos os números fracionários:multiplicamos os números fracionários:
Numerador x numeradorNumerador x numerador
Denominador x denominadorDenominador x denominador
Ex.:Ex.:
( ) ( )
x
m
a
m
x
a
c
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yx
ma
yxyx
m
yx
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yx
b
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x
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1
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.
2
1
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2
.
5
3
)
22
2
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+
+
−
=
−+
=
−+
=

O que são?
Operações
Simplificação
Soma e Subtração
Multiplicação
DB
CA
D
C
B
A
.
.
. =

1- Efetue as multiplicações.1- Efetue as multiplicações.
=
−+
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
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.
5
)
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.
3
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.
2
7
)
3
2
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c
b
yx
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b
c
x
a
x
a

1- Efetue as multiplicações.1- Efetue as multiplicações.
255
.
5
)
3
102
.
3
5
)
6
7
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.
2
7
)
22
3
23
3
2
2
yxyxyx
c
ab
yx
b
yx
a
xy
b
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x
c
x
a
x
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=
−+
−=
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
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
−
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1- Efetue as multiplicações (continuação).1- Efetue as multiplicações (continuação).
=
+
−
=
−
+
+
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x
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ca
x
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x
x
x
x
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xx
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3
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7
53
.
7
)
8
.
2
.7)
22
2

1- Efetue as multiplicações (continuação).1- Efetue as multiplicações (continuação).
( )
( )
( )( ) ( )cacaca
ca
ca
ca
x
ca
ca
x
f
x
xx
x
x
x
x
e
xxx
xd
−
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−+
+
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−
+
=
+
−
−
+
=
−
+
+
−=



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
−
3
1
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49
53
7
53
.
7
)
16
7
8
.
2
.7)
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2
2
42

Divisão de fraçõesDivisão de frações
 Procedemos da mesma forma como dividimos asProcedemos da mesma forma como dividimos as
frações numéricas:frações numéricas:
Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segundaMultiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda
fração.fração.
Ex.:Ex.:
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.:)
2

Divisão de fraçõesDivisão de frações
 Procedemos da mesma forma como dividimos asProcedemos da mesma forma como dividimos as
frações numéricas:frações numéricas:
Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segundaMultiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda
fraçãofração..
Ex.:Ex.:
m
a
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x
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x
m
x
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.
5
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:
5
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)
.:)
2

O que são?
Operações
Simplificação
Soma e Subtração
Multiplicação
Divisão
C
D
B
A
D
C
B
A
.: =
DB
CA
D
C
B
A
.
.
. =

1- Efetue as divisões.1- Efetue as divisões.
=
=
=
3
2
2
32
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2
3
)
3
:
3
5
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y
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c
a
a

1- Efetue as divisões.1- Efetue as divisões.
46
.
2
36
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2
3
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9
5
3
.
3
53
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3
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.
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:)
2
2
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2
2
2
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xy
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y
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y
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a
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b
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c
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==

1- Efetue as divisões (continuação).1- Efetue as divisões (continuação).
=
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x
d

1- Efetue as divisões (continuação).1- Efetue as divisões (continuação).
xa
x
a
x
x
x
x
a
x
x
f
aa
a
a
ae
x
x
x
x
x
d
7
11
.
7
1
1
:
7
1
)
14
4
7
.8
7
4
:8)
5
3
3
1
.
5
9
3:
5
9
)
2
21
2
2
1
232
−
=
−+
=
−
+
==
==

Potenciação de fraçõesPotenciação de frações
 Faz-se da mesma forma como nas fraçõesFaz-se da mesma forma como nas frações
numéricas:numéricas:
Elevamos numerador e denominador à mesmaElevamos numerador e denominador à mesma
potência.potência.
Ex.:Ex.:
( )
( )
( )
( ) 2
2
2
22
9
3
33
33
3
16
49
4
7
4
7
)
8
27
2
3
2
3
)
m
a
m
a
m
a
b
a
x
a
x
a
x
a
=
−
=




 −
==






O que são?
Operações
Simplificação
Soma e Subtração
Multiplicação
Divisão
Potenciação
C
D
B
A
D
C
B
A
.: =
n
nn
B
A
B
A
=





DB
CA
D
C
B
A
.
.
. =
Expoente positivo

1- Calcule as potências.1- Calcule as potências.
=





−
=





−
=





3
5
2
42
3
4
2
4
3
)
3
5
)
)
y
x
c
a
b
x
ba
a

1- Calcule as potências.1- Calcule as potências.
( )
( )
( )
( )
( ) 15
6
35
323
5
2
8
4
4242
12
36
34
323
4
2
64
27
4
3
4
3
)
81
625
3
5
3
5
)
)
y
x
y
x
y
x
c
aaa
b
x
ba
x
ba
x
ba
a
−
=
−
=





−
=
−
=





−
==






1- Calcule as potências (continuação).1- Calcule as potências (continuação).
=





−
=





−
+
=





−
02
2
2
13
5
)
3
1
)
5
3
)
x
x
f
x
m
e
n
n
d

1- Calcule as potências (continuação).1- Calcule as potências (continuação).
( )
( )
( )
( )
1
13
5
)
96
12
96
21
33..2
.1.21
3
1
3
1
)
2510
9
55..2
9
5
3
5
3
)
02
2
2
2
2
22
22
2
22
2
2
22
2
2
22
=





−
+−
++
=
+−
++
=
+−
++
=
−
+
=





−
+
+−
=
+−
=
−
=





−
x
x
f
xx
mm
xx
mm
xx
mm
x
m
x
m
e
nn
n
nn
n
n
n
n
n
d

 Expoente negativoExpoente negativo
Invertemos a base e depois trocamos o sinal doInvertemos a base e depois trocamos o sinal do
expoente.expoente.
Ex.:Ex.:
4
62
2
32
3
2
11
)
)
a
c
a
c
c
a
b
x
y
x
y
y
x
a
=





=





=





=





−
−

 Expoente negativoExpoente negativo
Invertemos a base e depois trocamos o sinal doInvertemos a base e depois trocamos o sinal do
expoenteexpoente..
Ex.:Ex.:
4
62
2
32
3
2
11
)
)
a
c
a
c
c
a
b
x
y
x
y
y
x
a
=





=





=





=





−
−

O que são?
Operações
Simplificação
Soma e Subtração
Multiplicação
Divisão
Potenciação
C
D
B
A
D
C
B
A
.: =
n
nn
B
A
B
A
=





DB
CA
D
C
B
A
.
.
. =
Expoente positivo
Expoente negativo n
nn
A
B
B
A
=





−

2- Calcule as potências negativas.2- Calcule as potências negativas.
=





+
−
=





=





−
−
−
1
3
2
3
7
13
)
)
)
x
x
c
m
ac
b
b
a
a

2- Calcule as potências negativas.2- Calcule as potências negativas.
13
7
7
13
)
)
)
1
33
333
2
6232
3
−
+
=





+
−
=





=





=





=





−
−
−
x
x
x
x
c
ca
m
ac
m
m
ac
b
a
b
a
b
b
a
a

2- Calcule as potências negativas (continuação).2- Calcule as potências negativas (continuação).
=





−
−
=





=





+
−
−
−
−
2
3
2
2
3
)
2
)
3
1
)
a
ba
f
yx
e
x
x
d

Tente fazerTente fazer
sozinhosozinho
2- Calcule as potências negativas (continuação).2- Calcule as potências negativas (continuação).
22
222
36323
2
2
2
22
2222
2
93
3
)
82
2
)
12
96
11..2
33..2
1
3
3
1
)
baba
a
ba
a
a
ba
f
yxyx
yx
e
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
d
+−
=





−
−
=





−
−
=





=





+−
++
=
+−
++
=





−
+
=





+
−
−
−
−

O que são?
Operações
Simplificação
Soma e Subtração
Multiplicação
Divisão
Potenciação
FRAÇÕES ALGÉBRICASFRAÇÕES ALGÉBRICAS
C
D
B
A
D
C
B
A
.: =
n
nn
B
A
B
A
=





DB
CA
D
C
B
A
.
.
. =
Expoente positivo
Expoente negativo n
nn
B
A
B
A
=






BibliografiaBibliografia
 NAME, Miguel Assis.NAME, Miguel Assis. Tempo deTempo de
Matemática – 7ª sérieMatemática – 7ª série. 1ª edição. SP:. 1ª edição. SP:
Editora do Brasil, 1996.Editora do Brasil, 1996.
 Site Exatas, acessado em 29/03/2011:Site Exatas, acessado em 29/03/2011:
http://www.exatas.mat.br/fracaoalg.htmhttp://www.exatas.mat.br/fracaoalg.htm

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