1. O documento apresenta 20 exercícios de estatística envolvendo variáveis aleatórias discretas e contínuas unidimensionais e bidimensionais. Os exercícios abordam cálculo de probabilidades, distribuições de probabilidade, independência, momentos estatísticos como média e variância.
1) O documento discute o conceito de variável aleatória e apresenta modelos de distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias discretas, como a distribuição binomial e de Poisson.
2) É definido o que é uma variável aleatória, valor esperado, variância, distribuição de probabilidade e função de distribuição.
3) São apresentados exemplos para ilustrar esses conceitos e propriedades matemáticas associadas.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de variável aleatória discreta, incluindo:
1) Definição de variável aleatória e exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas;
2) Função de probabilidade discreta e função de distribuição de probabilidade;
3) Cálculo de média, mediana, moda e variância para variáveis aleatórias discretas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cálculo diferencial, incluindo derivadas por definição, regras básicas de derivação e relação entre diferenciabilidade e continuidade.
2) Os exercícios envolvem calcular derivadas, determinar equações de retas tangentes, analisar diferenciabilidade e continuidade de funções.
3) As respostas explicam os cálculos e conclusões para cada exercício.
O documento discute as propriedades da função exponencial, incluindo que seu domínio é R, sua imagem é R+*, e corta o eixo y no ponto (0,1). Também aborda como a função pode ser crescente ou decrescente dependendo do valor da base, e fornece exemplos de equações e inequações exponenciais.
Este documento apresenta conceitos básicos de probabilidade. Em três frases, resume:
1) É introduzido o conceito de modelo probabilístico para quantificar incertezas em fenômenos aleatórios;
2) São revisados conceitos da teoria dos conjuntos como espaço amostral e eventos para definir probabilidades;
3) São apresentadas as propriedades que uma função deve satisfazer para ser considerada uma probabilidade.
O documento apresenta vários modelos de distribuições de probabilidade contínuas, incluindo a distribuição gama, qui-quadrado, t-Student e F de Snedecor, definindo suas funções de densidade de probabilidade, momentos e aplicações em estatística.
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasLucas Vinícius
Este documento resume os principais conceitos de variáveis aleatórias, incluindo: 1) a definição de variável aleatória e sua notação; 2) variáveis aleatórias discretas e contínuas; 3) funções de probabilidade e repartição; 4) medidas de posição como média; e 5) medidas de dispersão como variância e desvio padrão. O documento fornece exemplos para ilustrar cada um desses conceitos.
1) O documento discute o conceito de variável aleatória e apresenta modelos de distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias discretas, como a distribuição binomial e de Poisson.
2) É definido o que é uma variável aleatória, valor esperado, variância, distribuição de probabilidade e função de distribuição.
3) São apresentados exemplos para ilustrar esses conceitos e propriedades matemáticas associadas.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de variável aleatória discreta, incluindo:
1) Definição de variável aleatória e exemplos de variáveis aleatórias discretas e contínuas;
2) Função de probabilidade discreta e função de distribuição de probabilidade;
3) Cálculo de média, mediana, moda e variância para variáveis aleatórias discretas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cálculo diferencial, incluindo derivadas por definição, regras básicas de derivação e relação entre diferenciabilidade e continuidade.
2) Os exercícios envolvem calcular derivadas, determinar equações de retas tangentes, analisar diferenciabilidade e continuidade de funções.
3) As respostas explicam os cálculos e conclusões para cada exercício.
O documento discute as propriedades da função exponencial, incluindo que seu domínio é R, sua imagem é R+*, e corta o eixo y no ponto (0,1). Também aborda como a função pode ser crescente ou decrescente dependendo do valor da base, e fornece exemplos de equações e inequações exponenciais.
Este documento apresenta conceitos básicos de probabilidade. Em três frases, resume:
1) É introduzido o conceito de modelo probabilístico para quantificar incertezas em fenômenos aleatórios;
2) São revisados conceitos da teoria dos conjuntos como espaço amostral e eventos para definir probabilidades;
3) São apresentadas as propriedades que uma função deve satisfazer para ser considerada uma probabilidade.
O documento apresenta vários modelos de distribuições de probabilidade contínuas, incluindo a distribuição gama, qui-quadrado, t-Student e F de Snedecor, definindo suas funções de densidade de probabilidade, momentos e aplicações em estatística.
Probabilidade e estatística - Variáveis AleatóriasLucas Vinícius
Este documento resume os principais conceitos de variáveis aleatórias, incluindo: 1) a definição de variável aleatória e sua notação; 2) variáveis aleatórias discretas e contínuas; 3) funções de probabilidade e repartição; 4) medidas de posição como média; e 5) medidas de dispersão como variância e desvio padrão. O documento fornece exemplos para ilustrar cada um desses conceitos.
Este documento resume as principais características de variáveis aleatórias contínuas, incluindo: (1) definição de variável aleatória contínua e função densidade de probabilidade; (2) exemplos de distribuições como uniforme e exponencial; (3) cálculo de média, variância e outras medidas para variáveis contínuas.
1) Uma variável aleatória é uma função que associa valores numéricos a resultados de um experimento aleatório.
2) Existem variáveis aleatórias discretas, onde os resultados possíveis estão em um conjunto finito ou enumerável, e variáveis aleatórias contínuas, onde os resultados podem assumir qualquer valor numérico em um intervalo.
3) As distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias discretas são representadas por funções de probabilidade, enquanto variáveis aleatórias contínuas usam funções
Este documento resume quatro métodos numéricos para encontrar raízes reais de funções: 1) O Método da Bisseção usa divisões sucessivas de intervalos para isolar uma raiz; 2) O Método do Ponto Fixo e 3) Método de Newton-Raphson refinam aproximações iterativamente; 4) Todos convergem para a raiz quando a função é contínua no intervalo inicial.
1) O documento discute conceitos de probabilidade e estatística, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade, variáveis aleatórias discretas e contínuas.
2) São apresentados parâmetros como média, mediana, moda, variância e desvio-padrão para descrever distribuições de probabilidade.
3) Há exemplos ilustrativos sobre cálculo de probabilidades e parâmetros de distribuições.
Este documento resume as principais características de variáveis aleatórias, incluindo valor esperado, variância, covariância e coeficiente de correlação. O valor esperado é a média da distribuição de probabilidade da variável aleatória. A variância mede a dispersão em torno do valor esperado. A covariância mede a associação entre duas variáveis e o coeficiente de correlação mede essa associação de forma relativa.
Este documento trata de funções exponenciais e equações exponenciais. Ele define funções exponenciais, mostra seus elementos e gráficos quando a > 1 ou 0 < a < 1. Também apresenta exemplos de equações exponenciais e como resolvê-las. Por fim, contém exercícios resolvidos sobre o assunto.
Este documento discute conceitos básicos de variáveis aleatórias reais e suas distribuições de probabilidade. Primeiro, define-se variável aleatória real e apresenta-se sua função distribuição de probabilidade cumulativa. Em seguida, discutem-se propriedades das variáveis aleatórias discretas, contínuas e mistas, e introduz-se a função densidade de probabilidade. Por fim, exemplificam-se distribuições como uniforme, normal e exponencial.
Este documento discute estimação estatística. Ele define estimador como qualquer função da amostra que estima um parâmetro populacional e destaca a importância de um estimador ser não viciado, consistente e eficiente. Exemplos ilustram como calcular a esperança e variância de estimadores para estimar a média e variância populacional.
[1] O documento apresenta exercícios sobre derivadas de funções, incluindo cálculo de derivadas usando a definição, regras de derivação, regra da cadeia e derivação implícita. [2] São abordados conceitos como função derivável, derivabilidade, equações de retas tangentes e normais. [3] Há exercícios sobre logaritmos, exponenciais, funções trigonométricas e suas derivadas.
O documento apresenta conceitos básicos sobre variáveis aleatórias, incluindo sua definição, classificação, funções de distribuição e densidade de probabilidade. Exemplos ilustram como modelar variáveis aleatórias em problemas de geração de energia elétrica, e são apresentados parâmetros como esperança matemática e variância para caracterizar as variáveis. Problemas propostos aplicam os conceitos ao cálculo da capacidade estática de sistemas de geração.
Este documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c, além de discutir zeros, vértice e aplicações destas funções.
1) O documento descreve conceitos de funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento do gráfico quando x tende a valores extremos.
2) Dois exemplos são resolvidos graficamente para ilustrar esses conceitos, incluindo detectar retas assintotas e analisar variação, concavidades e comportamento no infinito.
3) O documento introduz o conceito de retas assintotas inclinadas, discutindo como determinar seus coeficientes
Este documento fornece um resumo de aulas sobre cálculo diferencial e integral para o primeiro semestre de 2006. Contém resumos de seis aulas abordando conceitos básicos de funções, representação gráfica, tipos de funções, limites, derivadas e aplicações da derivada. Inclui também listas de exercícios propostos para cada aula.
O documento discute polinômios, definindo-os como expressões algébricas que envolvem termos com variáveis elevadas a potências inteiras. Aborda o grau de polinômios, propriedades de soma e multiplicação, e equações de 1o e 2o grau, cujos gráficos são retas e parábolas respectivamente.
Este documento discute métodos iterativos para encontrar raízes reais de equações não lineares. Apresenta o método da bissecção, que reduz sucessivamente o intervalo contendo a raiz dividindo-o ao meio. Explica a interpretação geométrica e o algoritmo do método, além de estimar o número mínimo de iterações para atingir uma precisão dada e mostrar que a convergência é quase linear.
Este documento descreve testes estatísticos para comparar duas médias amostrais, discutindo casos de amostras dependentes e independentes, com variâncias iguais ou diferentes. É apresentado um exemplo completo ilustrando o teste t para amostras dependentes e o teste t para amostras independentes com variâncias iguais.
O documento fornece informações sobre um site que oferece exames resolvidos e explicações de maneira gratuita. O site incentiva a contribuição e compartilhamento de materiais acadêmicos entre estudantes e pede a colaboração de novos enunciados de exames para continuar fornecendo conteúdo relevante.
Este documento apresenta os principais conceitos de bioestatística abordados em uma aula para alunos de graduação em educação física. Inclui noções sobre distribuições de probabilidade como a normal e binomial, cálculo de probabilidades usando a distribuição normal e a tabela normal padrão, estimativas amostrais e inferência estatística.
O documento discute a importância do design gráfico para as empresas e como ele pode ajudar a comunicar uma mensagem visualmente. Explica que o design gráfico ordena esteticamente textos e imagens para transmitir ideias e que profissionais de design gráficos podem ajudar empresas a construírem sua imagem e marca.
Este documento resume as principais características de variáveis aleatórias contínuas, incluindo: (1) definição de variável aleatória contínua e função densidade de probabilidade; (2) exemplos de distribuições como uniforme e exponencial; (3) cálculo de média, variância e outras medidas para variáveis contínuas.
1) Uma variável aleatória é uma função que associa valores numéricos a resultados de um experimento aleatório.
2) Existem variáveis aleatórias discretas, onde os resultados possíveis estão em um conjunto finito ou enumerável, e variáveis aleatórias contínuas, onde os resultados podem assumir qualquer valor numérico em um intervalo.
3) As distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias discretas são representadas por funções de probabilidade, enquanto variáveis aleatórias contínuas usam funções
Este documento resume quatro métodos numéricos para encontrar raízes reais de funções: 1) O Método da Bisseção usa divisões sucessivas de intervalos para isolar uma raiz; 2) O Método do Ponto Fixo e 3) Método de Newton-Raphson refinam aproximações iterativamente; 4) Todos convergem para a raiz quando a função é contínua no intervalo inicial.
1) O documento discute conceitos de probabilidade e estatística, incluindo espaço amostral, eventos, probabilidade, variáveis aleatórias discretas e contínuas.
2) São apresentados parâmetros como média, mediana, moda, variância e desvio-padrão para descrever distribuições de probabilidade.
3) Há exemplos ilustrativos sobre cálculo de probabilidades e parâmetros de distribuições.
Este documento resume as principais características de variáveis aleatórias, incluindo valor esperado, variância, covariância e coeficiente de correlação. O valor esperado é a média da distribuição de probabilidade da variável aleatória. A variância mede a dispersão em torno do valor esperado. A covariância mede a associação entre duas variáveis e o coeficiente de correlação mede essa associação de forma relativa.
Este documento trata de funções exponenciais e equações exponenciais. Ele define funções exponenciais, mostra seus elementos e gráficos quando a > 1 ou 0 < a < 1. Também apresenta exemplos de equações exponenciais e como resolvê-las. Por fim, contém exercícios resolvidos sobre o assunto.
Este documento discute conceitos básicos de variáveis aleatórias reais e suas distribuições de probabilidade. Primeiro, define-se variável aleatória real e apresenta-se sua função distribuição de probabilidade cumulativa. Em seguida, discutem-se propriedades das variáveis aleatórias discretas, contínuas e mistas, e introduz-se a função densidade de probabilidade. Por fim, exemplificam-se distribuições como uniforme, normal e exponencial.
Este documento discute estimação estatística. Ele define estimador como qualquer função da amostra que estima um parâmetro populacional e destaca a importância de um estimador ser não viciado, consistente e eficiente. Exemplos ilustram como calcular a esperança e variância de estimadores para estimar a média e variância populacional.
[1] O documento apresenta exercícios sobre derivadas de funções, incluindo cálculo de derivadas usando a definição, regras de derivação, regra da cadeia e derivação implícita. [2] São abordados conceitos como função derivável, derivabilidade, equações de retas tangentes e normais. [3] Há exercícios sobre logaritmos, exponenciais, funções trigonométricas e suas derivadas.
O documento apresenta conceitos básicos sobre variáveis aleatórias, incluindo sua definição, classificação, funções de distribuição e densidade de probabilidade. Exemplos ilustram como modelar variáveis aleatórias em problemas de geração de energia elétrica, e são apresentados parâmetros como esperança matemática e variância para caracterizar as variáveis. Problemas propostos aplicam os conceitos ao cálculo da capacidade estática de sistemas de geração.
Este documento apresenta exemplos de funções quadráticas e explica como identificar os coeficientes a, b e c, além de discutir zeros, vértice e aplicações destas funções.
1) O documento descreve conceitos de funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento do gráfico quando x tende a valores extremos.
2) Dois exemplos são resolvidos graficamente para ilustrar esses conceitos, incluindo detectar retas assintotas e analisar variação, concavidades e comportamento no infinito.
3) O documento introduz o conceito de retas assintotas inclinadas, discutindo como determinar seus coeficientes
Este documento fornece um resumo de aulas sobre cálculo diferencial e integral para o primeiro semestre de 2006. Contém resumos de seis aulas abordando conceitos básicos de funções, representação gráfica, tipos de funções, limites, derivadas e aplicações da derivada. Inclui também listas de exercícios propostos para cada aula.
O documento discute polinômios, definindo-os como expressões algébricas que envolvem termos com variáveis elevadas a potências inteiras. Aborda o grau de polinômios, propriedades de soma e multiplicação, e equações de 1o e 2o grau, cujos gráficos são retas e parábolas respectivamente.
Este documento discute métodos iterativos para encontrar raízes reais de equações não lineares. Apresenta o método da bissecção, que reduz sucessivamente o intervalo contendo a raiz dividindo-o ao meio. Explica a interpretação geométrica e o algoritmo do método, além de estimar o número mínimo de iterações para atingir uma precisão dada e mostrar que a convergência é quase linear.
Este documento descreve testes estatísticos para comparar duas médias amostrais, discutindo casos de amostras dependentes e independentes, com variâncias iguais ou diferentes. É apresentado um exemplo completo ilustrando o teste t para amostras dependentes e o teste t para amostras independentes com variâncias iguais.
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Este documento apresenta os principais conceitos de bioestatística abordados em uma aula para alunos de graduação em educação física. Inclui noções sobre distribuições de probabilidade como a normal e binomial, cálculo de probabilidades usando a distribuição normal e a tabela normal padrão, estimativas amostrais e inferência estatística.
O documento discute a importância do design gráfico para as empresas e como ele pode ajudar a comunicar uma mensagem visualmente. Explica que o design gráfico ordena esteticamente textos e imagens para transmitir ideias e que profissionais de design gráficos podem ajudar empresas a construírem sua imagem e marca.
Revolution in der Reputation - 5 Ideen für das Markenmanagement 2.0Ingo Stoll
Wer glaubt, dass die Reputation der eigenen Marke noch zentral in der Marketing- oder Unternehmenskommunikationsabteilung entschieden wird, der glaubt vermutlich auch, dass Zitronenfalter Zitronen fakten. Zu dem, was in Zeiten der Digitalisierung und Social Media über Reputation wirklich entscheidet, hier 5 Beobachtungen und 5 Empfehlungen.
In a 1970s interview, Donna shares that her favorite song was "Sweet Home Alabama" which was popular at the time. She enjoyed watching the TV show "Dukes of Hazzard" and liked the Chevelle car model. In her spare time, she played soccer and recalls a significant earthquake that occurred in Haiti during the 1970s.
Cletus J. Spaeder has over 40 years of experience in meat department and store operations management, including roles as a buyer and store operations specialist. He has worked for Burris Logistics since 2007 as a Meat, Seafood, and Deli Buyer, where he maintains price files and collaborates with customers to achieve high fulfillment rates and sales growth. Prior to that, he spent over 30 years with Acme Markets in various store management roles, including directly managing multiple store sites and overseeing the meat, seafood, and pre-packaged meat operations for 72 stores.
This document describes a study that used molecular methods including PCR and sequencing of the internal transcribed spacer 1 (ITS1) region to analyze the genetic diversity of anaerobic fungi in the gastrointestinal tracts of buffalo. Total DNA was extracted from rumen samples and the ITS1 region was amplified and sequenced. Sequence analysis of 12 clones showed diversity among the anaerobic fungal isolates. The results indicate that analysis of the ITS1 spacer through molecular techniques is a promising approach for comparing rumen fungal populations and diversity.
1. The document is a Stampin' Up! catalogue that provides an overview of the company's products for crafting, card making, scrapbooking, and other projects. It showcases stamp sets, paper, ribbons, tools and more.
2. The catalogue encourages customers to explore their creativity and share what they make with others. It highlights the various opportunities people have each day to create cards for occasions, capture memories, and make gifts.
3. Stampin' Up! aims to provide customers everything they need to create quickly and easily. The catalogue showcases the different sections of products available including stamps, paper, embellishments, tools and more.
El documento describe el impacto de la conquista española en América y la resistencia indígena que se llevó a cabo de forma pacífica y violenta. La Guerra de Arauco duró 300 años e involucró etapas ofensivas y defensivas españolas, con los indígenas mapuches resistiendo la dominación. Finalmente, se estableció una frontera con acuerdos comerciales entre españoles y mapuches.
Tools to Increase Partner Adoption and Loyaltydreamforce2006
The document discusses tools for increasing partner adoption and loyalty. It describes challenges around partner lead distribution and management. It also outlines how companies like GFI and Altiris addressed these challenges by implementing Salesforce solutions to better integrate partners into sales and marketing processes, provide visibility into partner activity, and automate lead distribution and deal registration. This improved partner productivity, accountability and relationships with the companies.
The document discusses best practices for constituent management in nonprofits. It recommends treating every donor like a major donor by listening to what they care about, making their experience convenient, and inspiring their support. Specific tips include asking donors about their interests, offering personalized online access, enabling donors to track their donations, and encouraging donors to spread the word. The presentation also provides examples of how organizations can integrate different tools and improve data management practices to better engage constituents.
Cónicas Tanya y Bianca 2°B MATEMÁTICAS.Tanyaybianca
Este documento define y describe las principales cónicas: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Explica que las cónicas son curvas formadas por la intersección de un cono y un plano, y clasifica sus características geométricas clave como sus focos, radios y distancias. También proporciona fuentes de imágenes y texto sobre cada tipo de cónica.
El documento habla sobre el conocimiento disciplinar del fútbol, mencionando la conducción del balón, el pase y la recepción, el remate, el reglamento y las posiciones dentro de la cancha como aspectos fundamentales del deporte.
Expérience esthétique et le design / Aesthetic experience and design - Flupa ...Ioana Ocnarescu
Qu-est ce qu'une expérience esthétique et comment évolue-t-elle dans le temps? En étudiant différents modèles, cette présentation propose une approche descriptive pour comprendre les expériences esthétiques dans le temps et l'impact de cette approche sur l'UX des produits et services.
What is an aesthetic experience and how does it evolve over time? Going from experiences related to an art piece to subjective experiences that some of today's products bring into our lives, this presentation describes a temporal framework of aesthetic experiences.
1. O documento é uma prova de cálculo diferencial e integral com 3 questões.
2. A primeira questão pede para determinar uma função f que satisfaça certas condições.
3. As outras duas questões pedem para calcular integral definida de funções dadas e escolher uma entre duas subquestões.
1) Cálculos de derivadas de funções: (a) 1/(1+x)^2, (b) d/dx ln(x^3 - sen(3x)), (c) limite de e^2x - e^3x quando x tende a 0.
2) Análise da função f(x)=x/(x-1)^2: pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, concavidade, assíntotas.
3) O maior volume possível de um cilindro inscrito em um cone é 48π cm3.
1) O documento descreve alguns conceitos sobre funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento da função quando x tende para o infinito.
2) Dois exemplos são dados para ilustrar esses conceitos, esboçando os gráficos das funções f(x) = 2x+1/(x-2) e y = x2 - 2x + 2/(x-1).
3) Os gráficos mostram retas assintotas verticais quando o denominador se anula
1) O documento discute modelos probabilísticos discretos, incluindo variáveis aleatórias discretas e suas distribuições de probabilidade.
2) É introduzido o modelo uniforme para descrever experimentos como lançamento de dados, onde cada resultado tem a mesma probabilidade.
3) O modelo geométrico é usado para descrever o intervalo até a primeira falha em sistemas, como de aterrissagem de aviões, onde a probabilidade de falha é constante a cada uso.
O documento apresenta 20 questões de matemática sobre diversos tópicos como funções, limites, geometria, álgebra linear e lógica. As questões envolvem cálculos, resolução de equações e sistemas de equações, análise de funções, provas lógicas e geometria espacial.
1. O documento apresenta exercícios sobre o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio.
2. Os exercícios 1-6 verificam se o Teorema de Rolle pode ser aplicado em funções dadas em intervalos específicos.
3. O exercício 7 aplica o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio para calcular a velocidade média e instantânea de uma bola lançada.
Este documento apresenta conceitos básicos sobre variáveis aleatórias discretas, incluindo:
1) Função de probabilidade e função de distribuição de probabilidade acumulada, que descrevem a probabilidade de valores específicos de uma variável aleatória;
2) Medidas descritivas como valor esperado e variância, que fornecem informações sobre a localização e dispersão dos valores da variável aleatória.
3) Exemplos de distribuições de probabilidade discretas como binomial, hipergeométrica e Poisson.
1. O documento apresenta o teorema sobre as derivadas das funções exponenciais f(x) = ex e logarítmicas g(x) = loga x.
2. É mostrado que a derivada de ex é ex e a derivada de ax é ax ln a.
3. Também são apresentadas as derivadas de funções logarítmicas como ln x, loga x e ln |x|.
1) O documento apresenta o Teorema 10.1 que deriva funções exponenciais e logarítmicas.
2) É mostrada a derivada de f(x) = ex como sendo f'(x) = ex e de f(x) = ax como sendo f'(x) = ax ln a.
3) Também são mostradas as derivadas de funções logarítmicas.
O documento discute o cálculo de estatísticas como covariância, correlação e regressão linear para um conjunto de dados. Há uma "pegadinha" no enunciado que força um modelo de regressão sem intercepto que não é o melhor para os dados. Isso faz com que algumas fórmulas e propriedades da regressão linear não se apliquem corretamente.
1) A lista apresenta 14 problemas sobre funções implícitas e suas derivadas. Inclui questões sobre curvas como elipse, cissóide de Diócles e leminiscata.
2) O problema 9 trata de dois aviões se movendo em direção opostas em trajetórias ortogonais, e pergunta sobre a distância entre eles e o tempo restante até um possível choque.
3) Já o problema 13 calcula a velocidade com que o nível da água sobe em um reservatório em forma de cone quando enche a uma taxa constante.
O documento apresenta 10 questões sobre polinômios e números complexos. As questões abordam tópicos como derivadas de polinômios, raízes de equações polinomiais, representação gráfica de funções polinomiais e operações com números complexos.
Este documento fornece uma compilação de 18 exercícios de exames nacionais e testes intermedios do 9o ano sobre equações do 2o grau. Os exercícios cobrem tópicos como resolver equações do 2o grau, determinar soluções de equações, e aplicar equações do 2o grau para resolver problemas matemáticos. As soluções para cada exercício são fornecidas no final.
Equações literais são equações que contêm duas ou mais variáveis. Resolvem-se isolando cada variável num dos membros da equação. Isola-se a variável que se pretende determinar, tratando as outras como números.
O documento define equações literais como equações que têm mais de uma variável e fornece exemplos. Explica como resolver equações literais isolando cada variável um de cada vez. Fornece exemplos resolvendo equações literais em ordem a diferentes variáveis.
O documento discute equações do segundo grau e parábolas, incluindo suas aplicações, propriedades e como construí-las. Explica como determinar vértices, raízes, máximos e mínimos, e relaciona essas características com os coeficientes da equação. Por fim, fornece exercícios para praticar os conceitos aprendidos.
Este documento apresenta uma revisão de conceitos estatísticos aplicados às finanças. Introduz variáveis aleatórias discretas e contínuas e suas respectivas funções de probabilidade e densidade de probabilidade. Explica como calcular probabilidades através da área sob a curva da função densidade entre intervalos.
1) O documento apresenta uma questão de múltipla escolha sobre números racionais e irracionais.
2) A questão seguinte trata de conjuntos e relações entre eles.
3) As demais questões envolvem cálculos e propriedades geométricas relacionadas a triângulos, circunferências, esferas, prisma e tetraedro regular.
2ª prova gab_9ano unid_2_geometria_2011Joelson Lima
1) O documento é um gabarito de uma prova de geometria com 10 questões. As questões envolvem aplicação de teoremas geométricos como Pitágoras e Tales, além de cálculos trigonométricos.
2) As respostas mostram os cálculos detalhadamente usando equações e propriedades geométricas para chegar aos valores solicitados.
3) O gabarito fornece a solução completa para cada questão da prova de geometria.
1. 1
EST 105 - Exerc´
ıcios de Vari´veis Aleat´rias
a o
1 (I/2001). Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria discreta bidimensional com a seguinte
a o
fun¸ao de probabilidade conjunta:
c˜
3 1
, para x = 0, 1, 2, 3 e y = 10, 20
x 16
P (x, y) =
0 , para outros valores (x, y)
Pede-se:
a. Calcule P(Y=10).
b. X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique sua resposta
a a o
c. Apresente a tabela da distribui¸ao conjunta das probabilidades.
c˜
2 (II/2001). Uma vari´vel aleat´ria continua X possui a seguinte fun¸ao densidade
a o c˜
de probabilidade:
2
K(1 − x ) , se − 1 ≤ x ≤ 0
4
f (x) = K , se 0 ≤ x ≤
3
0 , para outros valores de x
Pede-se:
a. O valor de K.
b. A fun¸ao de distribui¸ao acumulada de X.
c˜ c˜
c. Calcule P (X ≤ 2/3)
3 (II/2001). Considere um jogo de azar no qual o jogador paga determinado valor
para jogar e depois retira aleatoriamente duas bolas de uma urna que cont´m 10
e
bolas, sendo sete brancas, duas vermelhas e uma preta. O jogador recebe um prˆmio
e
para cada bola obtida, de acordo com a cor, conforme a tabela abaixo,
1
Exerc´ ıcios das avalia¸˜es dos semestres indicados. Cont´m 33 exerc´
co e ıcios em p´ginas numeradas
a
de 1 a 14.
1
2. COR branca vermelha preta
ˆ
PREMIO 1 5 10
Pede-se: Qual deve ser o valor pago para jogar, de modo que o jogo seja justo? Isto
´, de modo que a probabilidade do jogador perder ou ganhar algum valor sejam
e
iguais? Explique seu racioc´
ınio.
4 (II/2001). Considere a seguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta
c˜
4xy,
se 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
f (x, y) =
0, outros valores
Pede-se:
a. Calcule V (X − Y ).
b. Justifique porquˆ X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes.
e a a o
5 (II/2001). Considere a distribui¸ao conjunta de probabilidades a seguir. Seja
c˜
W = X + Y , calcule V(W).
Y
X 2 4
0 0,3 0,1
1 0,5 0,1
6 (II/2001). Se um dado perfeitamente sim´trico ´ lan¸ado at´ sair a face com o
e e c e
n´mero 6 ou at´ serem realizados no m´ximo 3 lan¸amentos, calcule o n´mero m´dio
u e a c u e
de lan¸amentos.
c
7 (I/2002). O n´mero de anos de servi¸o dos funcion´rios de uma grande empresa
u c a
´ uma vari´vel aleat´ria discreta X, cuja fun¸ao de probabilidade f(x)=P(X=x)
e a o c˜
2
3. ´ dada na tabela a seguir,
e
0, 08
, x = 1, . . . , 5
0, 09
, x = 6, . . . , 10
f (x) =
0, 01 , x = 11, . . . , 25
0
, outros valores x
a. Obtenha a fun¸ao de distribui¸ao acumulada F (x) = P (X ≤ x).
c˜ c˜
b. Qual ´ o percentual de funcion´rios com no m´ximo 10 anos de servi¸o.
e a a c
c. Dentre os funcion´rios com no m´
a ınimo 10 anos de servi¸o, calcule o percentual
c
com no m´ ınimo 20 anos (probabilidade condicional).
8 (I/2002, modificado). Considere a vari´vel aleat´ria discreta bidimensional, (X, Y ),
a o
com a seguinte distribui¸ao de probabilidades,
c˜
y
x 1 2 3 4
0 0,06 0,24 0,12 0,18
1 0,04 0,16 0,08 0,12
a. Calcule P (1 ≤ Y < 3).
b. Calcule P (1 ≤ Y < 3 / X = 1).
c. Explique os resultados encontrados nos itens a. e b.
9 (I/2002). A produ¸ao di´ria de uma pe¸a resulta em Y itens defeituosos, cuja
c˜ a c
distribui¸ao possui parˆmetros m´dia e variˆncia, ambos iguais a 2. O lucro di´rio
c˜ a e a a
com a venda das pe¸as ´ uma vari´vel X dada por X = 50 − 2Y − Y 2 . Calcule o
c e a
valor esperado do lucro di´rio.
a
10 (I/2002). Sejam X e E vari´veis aleat´rias com V (X) = 5, V (E) = 4 e
a o
COV (X, E) = −4, 5. Seja Y uma vari´vel dada por Y = b0 + b1 X + E. Para
a
b0 = 20 e b1 = 2 calcule V (Y ), a variˆncia de Y .
a
3
4. 11 (II/2002). Considere a seguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta,
c˜
x+y
, 0≤x≤1 e 0≤y≤1
f (x, y) =
0 , outros valores
a. Calcule a probabilidade conjunta: P (X < 0, 5 , Y > 0, 25).
1
b. Calcule E(2X − ).
6
c. Calcule a probabilidade condicional: P (X ≥ 0, 8 / Y = 0, 5).
12 (II/2002). Considere a seguinte distribui¸ao conjunta,
c˜
X2
X1 2 4
0 0,10 0,30
2 0,27 0,33
X1 + X2
a. Calcule P ≥2 .
2
b. X1 e X2 s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique sua resposta.
a a o
c. Calcule V (2X1 − X2 ).
13 (I/2003). Seja f (x, y) uma fun¸ao densidade de probabilidade conjunta dada por,
c˜
6
(x2 + y 2 x) , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 3
33
f (x, y) =
0 , outros valores
a. Calcule a probabilidade conjunta: P (X < 1/2 , Y > 2).
b. Calcule a probabilidade marginal: P (X > 3/4).
c. Calcule o valor m´dio de Y .
e
14 (I/2003). Pain´is de madeira s˜o oferecidos com duas op¸oes de comprimento e
e a c˜
trˆs op¸oes de largura, em metros, conforme a distribui¸ao conjunta ´ apresentada
e c˜ c˜ e
na tabela a seguir,
4
5. Largura (Y )
Comprimento (X) 1 2 3
2,5 0,05 0,05 0,10
5 0,10 0,50 0,20
Os pain´is s˜o comercializados com as bordas envolvidas em uma fita protetora de
e a
modo que T = 2(X + Y ) ´ a vari´vel aleat´ria que representa o total de fita gasto
e a o
para proteger um painel. Calcule a m´dia e a variˆncia de T por propriedades de
e a
E(T ) e V (T ) com base na distribui¸ao de (X, Y ) e tamb´m com base na distribui¸ao
c˜ e c˜
de T .
15 (II/2003). Este ´ um problema com nomes e fatos reais. Vou a um churrasco
e
e encontro o meu amigo Luiz Abrantes com as suas trˆs filhas: Luiza, Paula e
e
Bruna. Eu sei os nomes das filhas dele mas n˜o tenho a menor id´ia de quem ´
a e e
quem e portanto de forma completamente aleat´ria falarei os nomes. Considere
o
que a vari´vel aleat´ria X represente o n´mero de nomes que eu acerto. Pede-se:
a o u
Construa a tabela com a distribui¸ao das probabilidades de X.
c˜
16 (II/2003). Considere a seguinte distribui¸ao de probabilidades conjuntas:
c˜
P (x, y) = P (X = x, Y = y) : P (−2, 2) = P (−1, 1) = P (0, 0) = P (1, 1) = P (2, 2) = 0, 2
a. Calcule a probabilidade condicional: P (X = −2 / Y = 2).
b. Calcule a m´dia ou esperan¸a matem´tica de W , sendo W = X − 5Y + 6.
e c a
17 (II/2003). Seja f (x, y) uma fun¸ao densidade de probabilidade conjunta dada
c˜
2
x
por, f (x, y) = (y + 2) se 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2 e f (x, y) = 0 para outros
14
valores (x, y). Pede-se: X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique
a a o
sua resposta.
18 (II/2003). Uma m´quina que produz componentes para discos r´
a ıgidos de com-
putadores pode operar a duas velocidades, lenta ou r´pida. Na velocidade lenta o
a
custo por pe¸a ´ igual a 20,75 e na r´pida ´ igual a 20,45. Na velocidade r´pida mais
c e a e a
pe¸as s˜o produzidas (menor custo), entretanto 5,48% das pe¸as s˜o defeituosas. Na
c a c a
velocidade lenta s˜o produzidas menos pe¸as por´m somente 0,86% s˜o defeituosas.
a c e a
Para cada pe¸a defeituosa produzida na velocidade lenta ou na r´pida, h´ um custo
c a a
adicional igual a 10,40 para reparar a pe¸a. Considere que as vari´veis aleat´rias
c a o
5
6. X e Y representem respectivamente o custo de uma pe¸a nas velocidades lenta e
c
r´pida. Calcule os custos esperados, ou seja, E(X) e E(Y ).
a
19 (II/2003). Considere a fun¸ao de distribui¸ao acumulada da vari´vel aleat´ria
c˜ c˜ a o
discreta X dada a seguir,
0se x<0
2/6
se 0≤x<1
F (x) =
5/6
se 1≤x<3
1 se 3≤x
Construa a tabela com a distribui¸ao das probabilidades e calcule E(10X − 5).
c˜
20 (I/2004). Sejam X e Y duas vari´veis aleat´ris tais que:
a o
E(X) = 0 V (X) = 1 e Y = 5 − 2X
Calcule:
a. E (2X − 3Y − 4).
Y
b. V 3X − 2
+2 .
c. ρXY , o coeficiente de correla¸ao linear entre X e Y .
c˜
21 (I/2004). Considere a distribui¸ao conjunta de probabilidades a seguir:
c˜
Y
X 1 2 3
0 0,03 0,05 0,02
2 0,27 0,45 0,18
a. X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique sua resposta.
a a o
b. Se W = XY , calcule E(W ).
c. Se W = XY , calcule V (W ).
22 (I/2004). Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria cont´
a o ınua bidimensional tal que as
duas f.d.p. marginais s˜o dadas por,
a
x 3y 2
g(x) = , 0 ≤ x ≤ 2 e h(y) = , 1≤y≤3
2 26
6
7. Se poss´
ıvel, calcule P (X ≤ 1, Y ≤ 2) e explique qual pressuposi¸ao ´ necess´ria
c˜ e a
para validar o c´lculo.
a
23 (II/2004). O fabricante de um equipamento eletromecˆnico de cozinha conduziu
a
um estudo com um grande n´mero de consumidores, que utilizaram a assistˆncia
u e
t´cnica autorizada, e verificou que todas as reclama¸oes quanto ao produto podem
e c˜
ser classificadas em 6 categorias, conforme a distribui¸ao das probabilidades apre-
c˜
sentada na tabela a seguir.
Natureza do Defeito (Y )
Prazo (X) El´trico Mecˆnico Est´tico
e a e
dentro da garantia 15% 13% 44%
fora da garantia 5% 6% 17%
a. A natureza do defeito e o Prazo s˜o vari´veis aleat´rias independentes? justifique
a a o
sua resposta.
b. Calcule a distribui¸ao das probabilidades condicionais da natureza do defeito,
c˜
quando o produto est´ dentro do prazo de garantia.
a
24 (II/2004). Um sistema eletrˆnico opera com dois componentes que funcionam
o
simultaneamente. Sejam X e Y as duas vari´veis aleat´rias que denotam as vidas
a o
uteis destes componentes (em centenas de horas). Se f (x, y) dada a seguir ´ a fun¸ao
´ e c˜
densidade de probabilidade conjunta de (X, Y ) calcule a seguinte probabilidade con-
junta: P (X > 1, Y > 1).
1
xe−(x + y)/2 , 0<x<∞ e 0<y<∞
f (x, y) = 8
0 , para outros valores x, y
DICA: Os resultados a seguir podem ser uteis:
´
(Kx − 1) Kx 1 Kx
lim xe−x = 0, xeKx dx = e e eKx dx = e
x→ ∞ K2 K
25 (em aula). Seja X a vida util de um componente eletrˆnico, que representa o
´ o
tempo de funcionamento em horas at´ ele apresentar a primeira falha. A fun¸ao
e c˜
densidade de probabilidade de X ´ dada por,
e
Ke−x/200 , 0 ≤ x < ∞
f (x) =
0 , para outros valores x
Pede-se:
7
8. a. O valor de K
b. A probabilidade de um componente durar pelo menos 300 horas.
c. A probabilidade condicional de um componente durar pelo menos 700 horas
sabendo-se que durar 300 horas ´ certo.
e
d. A fun¸ao de distribui¸ao acumulada de X.
c˜ c˜
e. Qual deve ser a garantia dada pelo fabricante de modo que no m´ximo 10% dos
a
components tenham vida util inferior ` garantia?
´ a
26 (I/2006). Seja X uma vari´vel aleat´ria cont´
a o ınua com a seguinte fun¸ao densi-
c˜
dade de probabilidade,
k , −2 ≤ x < 0
3x
f (x) = k + , 0≤x≤5
125
0 , para outros valores x
a. Calcule o valor k e obtenha a F (x).
b. Calcule P (X ≥ 0/ − 1 < X < 3).
27 (I/2006). Seja Y uma vari´vel aleat´ria discreta com fun¸ao de probabilidade
a o c˜
dada por, y
i , para i = 1, 2, 3, 4
N
P (Y = yi ) =
0 , para outros valores i
em que,
4 i+2
N= yi com yi = k
i=1 k=i+1
Pede-se: Calcule E(Y ), o valor m´dio de Y .
e
28 (II/2006). Seja X a vari´vel aleat´ria discreta que represente o n´mero de artigos
a o u
8
9. defeituosos por caixa, com fun¸ao de distribui¸ao acumulada dada por,
c˜ c˜
0 , x<0
0, 68
, 0≤x<1
F (x) = 0, 95 , 1≤x<2
0, 98
, 2≤x<3
1 , 3≤x
Pede-se: Calcule o n´mero m´dio de artigos defeituosos por caixa.
u e
29 (II/2006). Calcule o valor de K na seguinte fun¸ao densidade de probabilidade
c˜
conjunta,
kx
, 0≤y≤x≤2
f (x, y) =
0 , para outros valores x e y
30 (I/2007). Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria cont´
a o ınua bidimensional com a
seguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta,
c˜
y (1 − x2 ) , −1 ≤ x < 0 e 0 ≤ y < 1
1 8
4
f (x, y) = y−3 , 0≤x≤ 3
e 1≤y≤2
2 3
0 , para outros valores x, y
a. Obtenha h(y), a f.d.p. marginal de Y .
b. Obtenha f (x|y), a f.d.p. condicional de X dado Y = y.
1
c. Calcule P X ≥ 2
|Y =1 .
9
10. 31 (I/2007). Considere a distribui¸ao de probabilidades da v.a.d. tridimensional
c˜
(X, Y, Z) dada na tabela a seguir,
X=1 X=4
Z Y =0 Y =1 Y =0 Y =1
1 0,10 0,34 0,06 0,10
2 0,06 0,27 0,02 0,05
Pede-se:
a. Calcule a seguinte probabilidade condicional, P (Y = 0 / X = 4, Z = 2).
X +Y
b. Seja W = , calcule E(W ) e V (W ) diretamente pela distribui¸ao de W
c˜
2
(tente tamb´m pela distribui¸ao conjunta de X e Y ).
e c˜
32 (II/2007). Seja X a vari´vel aleat´ria cont´
a o ınua que represente o tempo (em
segundos) que um rato de laborat´rio demora para executar uma tarefa e alcan¸ar
o c
a comida, como recompensa pela tarefa. Quanto menor o tempo considera-se que
maior ´ a inteligˆncia do rato. Seja f (x) uma fun¸ao associada a X dada por,
e e c˜
t
2
, t≤x<∞
f (x) = x
0 , outros valores x
em que t ´ o menor valor poss´ do tempo para execu¸ao da tarefa. Pede-se:
e ıvel c˜
a. Mostre que f (x) ´ uma fun¸ao densidade de probabilidade.
e c˜
b. Calcule P (X ≥ t + h) para uma constante positiva h.
c. Para t = 5, calcule P (X ≥ 7 / 5 < X < 10).
33 . Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria cont´
a o ınua bidimensional com a seguinte
fun¸ao densidade de probabilidade conjunta,
c˜
6 (1 − y)
, 0≤x≤y≤1
f (x, y) =
0 , para outros valores x, y
a. Obtenha as f.d.p.´s marginais de X e Y .
1 3
b. Calcule P (Y ≤ 2 /X ≤ 4 ).
10
11. c. Obtenha f (x/y), a f.d.p. condicional de X dado Y = y.
d. Obtenha f (y/x), a f.d.p. condicional de Y dado X = x.
3 1
e. Calcule P Y ≥ 4
/X= 2
.
RESPOSTAS
X
Y 0 1 2 3 P(y)
1. a. 0,5 b. sim c. 10 1/16 3/16 3/16 1/16 8/16
20 1/16 3/16 3/16 1/16 8/16
P(x) 2/16 6/16 6/16 2/16 1,00
0 , x < −1
1 3
(−x + 3x + 2) , −1 ≤ x < 0
6
2. a. 0,5 b. F (x) = 1 c. 2/3
6
(2 + 3x) , 0 ≤ x < 4/3
1 , 4/3 ≤ x
11
12. 3. 5,4
4. a. 1/9 b. porque f (x, y) = g(x)h(y)
5. 0,80
6. 546/216≈ 2, 52
0 , x<1
0, 08x , 1 ≤ ⌊x⌋ < 6
7. a. F (x) = 0, 40 + (x − 5)0, 09 , 6 ≤ ⌊x⌋ < 11
0, 85 + (x − 10)0, 01 , 11 ≤ ⌊x⌋ ≤ 25
1 , 25 < x
em que ⌊x⌋ = max{m ∈ Z|m ≤ x}, isto ´, o maior n´mero inteiro que seja
e u
menor ou igual a x, b. F (10) = 0, 85 c. P (X ≥ 20|X ≥ 10) =
[1 − F (20) + P (20)] / [1 − F (10) + P (10)] = 0, 06/0, 24 = 0, 25, portanto 25%.
8. a. 0.50 b. 0.50 c. s˜o iguais porque as vari´veis s˜o independentes, isto ´,
a a a e
P (x, y) = P (x)P (y) ou P (x/y) = P (x) e P (y/x) = P (y).
9. E(X) = 40.
10. V (Y ) = 6.
21 1 7
11. a. 64
≈ 0, 33 b. 2E(X) − 6
=1 c. 25
= 0, 28
12. a. 0, 9 b. N˜o, P (x1 , x2 ) = P (x1 )P (x2 ) c. 4V (X1 ) + V (X2 ) − 4COV (X1 , X2 ) ≈ 5, 5
a
5 163 279
13. a. 33
≈ 0, 152 b. 352
≈ 0, 463 c. E(Y ) = 132
≈ 2, 11
t 7 9 11 12 14 16 total
14.
P (t) 0,05 0,05 0,10 0,10 0,50 0,20 1,00
E(X) = 4, 5, V (X) = 1, E(Y ) = 2, 15, V (Y ) = 0, 4275, COV (X, Y ) =
−0, 05, portanto E(T ) = 13, 3m e V (T ) = 5, 31m2 .
12
13. 15. Seja {LPB} a ordem correta dos nomes, ent˜o o espa¸o amostral S pode ser
a c
indicado da seguinte forma, S = {LPB, LBP, PLB, PBL, BLP, BPL} o que
resulta em SX enumer´vel dado por, SX = {3, 1, 1, 0, 0, 1} e X uma v.a.d.
a
x 0 1 2 3 total
com a seguinte distribui¸ao:
c˜
P(x) 2/6 3/6 0 1/6 1,00
16. a. 0,5 b. 0.
3 2
17. S˜o independentes pois f (x, y) = g(x) h(y), em que g(x) =
a 7
x e h(y) =
1
6
(y + 2).
18. E(X) ≈ 20, 84 e E(Y ) ≈ 21, 02.
x 0 1 2 3 total
19. E(X) = 1 e E(10X − 5) = 5.
P (x) 2/6 3/6 0 1/6 1,00
20. a. -19 b. 16 c. -1
21. a. sim, P (x, y) = P (x)P (y) ∀ par (x, y) b. = E(X)E(Y ) = 3, 42 c. 3,0636
22. P (X ≤ 1, Y ≤ 2) = 01 12 f (x, y)dy dx = P (X ≤ 1) P (Y ≤ 2) = 1
0 g(x) dx 2
1 h(y) dy =
1/4 × 7/26 ≈ 0, 07 se X e Y s˜o v.a.c. independentes.
a
23. a. N˜o s˜o v.a. independentes pois P (x, y) = P (x)P (y) ∀ par (x, y)
a a
defeito el´trico
e mecˆnico
a est´tico
e total
b.
P ( defeito / dentro ) 0,2083 0,1806 0,6111 1,00
1 ∞ −y/2
24. P (X > 1, Y > 1) = 8 1
e ∞
1 xe−x/2 dx dy = 3 e−1 ≈ 0, 552
2
25. a. 1/200 b. e−300/200 ≈ 0, 22 ou 22% c. e−400/200 ≈ 0, 135 ou 13, 5% d.
F (x) = 1 − e−x/200 , 0 ≤ x < ∞ F (x) = 0, x < 0, F (x) = 1, x → ∞ e.
≤ −200ln0, 9 ≈ 21 horas
DICA: Inicialmente obtenha a f´rmula geral para P (X ≥ x).
o
13
14. 0 , x < −2
1
+ 2) (x , −2 ≤ x < 0
26. a. k = 1/10, F (x) = 10
1 ( 3 x2 + x + 2)
10 25 , 0≤x<5
1 , 5≤x
b. [F (3) − F (0)] / [F (3) − F (−1)] = 0, 408/0, 508 ≈ 0, 803, ou pode ser cal-
3
culado da forma usual, integrando a f (x), 03 f (x)dx / −1 f (x)dx .
27. y 5 7 9 11 total , E(Y ) = 69/8 = 8, 625.
P (y) 5/32 7/32 9/32 11/32 1,00
28. E(X) = 0 + 0, 27 + 0, 06 + 0, 06 = 0, 30.
2 x
29. k = 3/8 atende a f (x, y) dy dx = 1.
0 0
2 1 32
30. a. h(y) = 3 y, se 0 ≤ y < 1 e h(y) = 2 9
y − 4 se 1 ≤ y ≤ 2 b. f (x/y) =
3 2 8 32
2
(1
− x ), se −1 ≤ x < 0, 0 ≤ y < 1 e f (x/y) = 3
y −3 / 9
y − 4 , se 0 ≤
x ≤ 4/3, 1 ≤ y ≤ 2 c. 15/24 = 0, 625.
31. a. 0, 02/0, 07 ≈ 0, 286 b. E(W ) = 1, 225 ≈ 1, 23 e V (W ) = 0, 406875 ≈ 0, 41.
32. a. t > 0 =⇒ f (x) ≥ 0 ∀ x e t
∞ 1
f (x)dx = −t( ∞ − 1 ) = 1 b.
t
t
t+h
c. 3/7.
33. a. g(x) = 3(1 − x)2 , se 0 ≤ x ≤ 1 e h(y) = 6y (1 − y) se 0 ≤ y ≤ 1 b. 32/63
1 2(1−y)
c.f (x/y) = y , para 0 ≤ x ≤ y d. f (y/x) = (1−x)2 , se x ≤ y ≤ 1 e. 1/4.
14