O documento discute o cálculo de estatísticas como covariância, correlação e regressão linear para um conjunto de dados. Há uma "pegadinha" no enunciado que força um modelo de regressão sem intercepto que não é o melhor para os dados. Isso faz com que algumas fórmulas e propriedades da regressão linear não se apliquem corretamente.

1. Iremos começar a nossa resolução pelo item 59 e 54
A covariância entre as variáveis X e Y é dada por: Cov( X, Y ) = E( XY) − E( X)E( Y ) , onde E(.) é a média ou
esperança.
Mas E( A ) = ∑ , assim: Cov( X, Y ) = E( XY) − E( X)E( Y ) = ∑
A XY ∑ X ∑ Y
−
n n n n
Substituindo valores dados no enunciado: Cov( X, Y ) = ∑
XY ∑ X ∑ Y 988 682 341
− = − = 0,89
n n n 341 341 341
0,89 > 0,85 – ALTERNATIVA CERTA
COV( X, Y )
A correlação entre as variáveis X e Y é dada por: ρ = , onde SX e SY são os desvios padrão de
S S
X Y
X e Y, respectivamente.
Mas a variância , que é o quadrado do desvio padrão, é dada por: S2 = E( X 2 ) − (E( X))2
X
COV( X, Y ) E( XY) − E( X)E( Y )
Assim: ρ = =
E( X 2 ) − (E( X))2 E( Y 2 ) − (E( Y ))2
S S
X Y
∑ XY − ∑ X ∑ Y ∑ X∑ Y
∑ XY −
ρ = n n n = n
∑  (∑ X ) 
X2 ∑
2
 (∑ Y ) 
Y2
2 (∑ X )2 (∑ Y )2
−  −  ∑ X2 − ∑ Y2 −
n  n  n  n  n n
682 .341
988 −
341 306 306
ρ == = = = 0,9
1704 −
(682 ) 681 − (341)
2 2 340 340 340
341 341
0,9 > 0,85 – ALTERNATIVA CERTA
ATÉ AQUI NADA DE MAIS...TUDO SOB O CONTROLE!!!!!
AGORA QUE VEM A PEGADINHA!!!

2. R 2 = ρ2 → na Regressão Simples, o Coeficiente de determinação
é o quadrado do índice de correlação
Assim R2 = 0,92 = 0,81
e, pela definição de Coeficiente de Explicação, 81% da variação de Y é explicada pela variação de X ou
pelo modelo de regressão.
ALTERNATIVA CERTA SERÁ????
Releia o enunciado. Ele informa que foi obtida uma relação linear do tipo YK = β XK + εK.
Aparentemente, e seria o raciocínio correto pela forma que foi colocado no enunciado, foi feito uma
modelagem através de uma regressão simples YK = γ + β XK + εK e pela particularidade dos dados
amostrais o valor do intercepto (γ) foi obtido como zero.
Se isso fosse o correto a alternativa do item 53 seria certa.
Mas vamos calcular o valor de γ e β através dos dados amostrais para confirmar a nossa afirmação.
Cov( X, Y ) S
β= =ρ Y
S2 S
X X
Assim
∑ Y 2 −  (∑ Y ) 
2
(∑ Y )2
n

 n


∑ Y2 −
β=ρ =ρ n
∑ X2 −  (∑ X ) 
2 (∑ X)2
  ∑ X2 −
n  n  n
340
Como já calculado anteriormente: β = ρ = ρ = 0,9
340
__ __ __ __
e o valor do intercepto: γ = Y − β X , onde Y e X são as médias dos dados amostrais Y e X,
respectivamente.
γ = ∑ −β ∑ =
Y X 341 682
n n 341
− 0,9
341
= 1 − 1,8 = −0,8 ALERTA: É DIFERENTE DE ZERO

3. Daí conclui-se que o enunciado estava tratando do modelo da regressão passando na origem, isso é,
forçou-se um modelo sem intercepto, mesmo esse não sendo a melhor regressão para os dados amostrais.
Neste caso algumas formulas e propriedades não são atendidas.
Retornando ao item 53:
R2 = 0,92 = 0,81, essa formula não muda, o valor do coeficiente de explicação é 81%.
O problema e que para este tipo de modelagem de regressão o coeficiente de explicação não representa
mais a percentagem da variação dependente que é explicada pelo modelo.
Assim o enunciado 53 é falso não pelo valor de R2 mas sim pela afirmação final que este valor indica que
81% de Y são explicados por X.
ALTERNATIVA ERRADA
Primeiro ponto: se a distribuição dos erros aleatórios é normal, assim a estimativa de máxima
verossimilhança é igual a estimativa através do método dos mínimos quadrados.
Assim
Cov( X, Y ) S
β= =ρ Y = 0,9, conforme calculado anteriormente.
S2 S
X X
0,9 > 0,6 – ALTERNATIVA ERRADA SERÁ???? Lembre-se da pegadinha
O modelo é da regressão passando na origem, assim o coeficiente angular não é calculado pela formula
acima. A fórmula é:
β= ∑ XY
∑ X2
Assim β = ∑
XY 988
= = 0,58
∑ X 2 1704
Como 0,55 < 0,58 < 0,6 ALTERNATIVA CERTA

4. Bem como o ponto médio sempre pertence a regressão linear então o enunciado acima esta correto.
NÃO!!! Lembre-se da pegadinha
Só podemos garantir que o ponto médio pertença a linha de regressão para o caso do modelo tradicional,
isso é, com intercepto, mesmo para o caso que fazendo o modelo o intercepto dê zero.
Acontece que nós forçamos dados nos quais o intercepto não daria zero, vide cálculos anteriores, para ter
uma linha de regressão com intercepto nulo. Nesta caso não podemos garantir que o ponto médio pertença
a linha de regressão.
__ __
Para se confirmar Y = ∑ = β X = 0,58 ∑ = 0,58
Y 341 X 682
=1 = 1,16 ≠ 1
n 341 n 341
__ __
Assim Y ≠ β X – ALTERNATIVA ERRADA
Bem vamos recordar, para o caso da Regressão simples tradicional:
∧
ε2
Para se estimar a variância do erro aleatório: σ2 = ∑ , onde ∑ ε 2 é a soma quadrática dos resíduos.
(n - 2)
Para a Regressão simples passando na origem as fórmulas são diferentes:
∧
ε2
Para se estimar a variância do erro aleatório: σ2 = ∑ , onde ∑ ε 2 é a soma quadrática dos resíduos
(n - 1)
Como obter ∑ ε 2 ?????
Na Regressão Simples tradicional: ∑ ε 2 = ∑ y 2 − β2 ∑ x 2 ,usando o conceito de SQRes = SQT – SQReg.
Na Regressão Simples passando na origem: ∑ ε 2 = ∑ Y 2 − β2 ∑ X2
(deduza esta formula fazendo ∑ ε 2 = ∑ ( Y − βX)2 substituindo o valor de β)
Assim
∧
(∑ XY)2 988 2 ∑ ε 2 = 108,14 = 0,318
∑ ε2 = ∑ Y 2 − = 681 − = 108,14 e σ2 =
∑ X2 1704 (n - 1) 340
0,318 > 0,1 – ALTERNATIVA ERRADA

5. Bem vamos recordar, para o caso da Regressão simples tradicional:
σ2 σ2
A variância do estimador β é dada por σ2 = = , onde a variância é o quadrado do desvio
β __ ∑ x2
∑ ( X - X )2 i
i
padrão (erro padrão do estimador)
Para a Regressão simples passando na origem as fórmulas são diferentes:
σ2
A variância do estimador β é dada por σ2 = , onde a variância é o quadrado do desvio padrão (erro
β ∑ X2
i
padrão do estimador)
Então
σ2 0,318
σ2 = = = 1,87 10-4
β ∑X 2 1704
i
σ2 0,318
Erro padrão = Desvio padrão = σ2 = =
β ∑ X2 1704
i
Não precisa fazer esta ultima conta, basta ver que 1,87 10-4 > 10-4
σ2 0,318
Assim σ2 = = > 0,01
β ∑ X2 1704
i
Bem acho que não errei em conta, já verifiquei MIL VEZES.
Se minhas contas estiverem certas. Aqui até a banca se enrolou, foi colocar pegadinha demais e se
enrolou.
Pois o gabarito oficial é CERTO
Porém erro padrão > 0,01 – ALTERNATIVA ERRADA

6. Por fim , esta é mais tranqüila
A regressão inicial do enunciado β = ∑
XY
∑ X2
A regressão invertida α = ∑
YX ∑ XY
=
∑ Y2 ∑ Y2
1
Portanto α ≠ – ALTERNATIVA ERRADA
β
Bem espero ter contribuído para seu estudo.
Continue Estudando.
Até a próxima.
Prof. Jorge Cerqueira
profjorgecerqueira@gmail.com