Revisaoestatistica

Revisão de Estatística Aplicada a
Finanças
INTRODUÇÃO
A revisão que apresentaremos destina-se a examinar conceitos importantes
de Estatística, que tornem possível a compreensão do conteúdo do livro de forma
aprofundada. O conhecimento de Estatística1
é importante para as diversas áreas de
estudo do livro e, em particular, para o cálculo do Value-at-Risk e para o estudo de
opções. Na seção E8 apresentaremos alguns tópicos de Finanças, que interagem
com o estudo dos diversos temas abordados no livro.
Os leitores que já possuem conhecimentos de Estatística e de Finanças pode-
rão estudar ou rever apenas os tópicos que julgarem necessários.
Não temos a intenção de esgotar os temas abordados na revisão (isto deman-
daria um espaço excessivo), e o leitor poderá recorrer a literaturas específicas a
respeito dos temas em que desejar se aprofundar.
A respeito da simbologia utilizada na revisão, adotamos a convenção da maio-
ria dos livros de Estatística, de representar os conjuntos por letras maiúsculas e os
elementos dos conjuntos por letras minúsculas. Diferentemente do restante do livro,
utilizaremos o símbolo “ . ” (ponto) para representar a operação de multiplicação
(no restante do livro utilizamos o símbolo “x” para representar essa operação).
Para facilitar a compreensão dos conceitos apresentados, diversas vezes cons-
truiremos duas definições desses conceitos. A primeira será informal, com o objeti-
vo de facilitar a compreensão de modo mais intuitivo, e a segunda definição será
construída de modo mais tradicional.
E1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS
As variáveis aleatórias podem ser definidas da forma a seguir:
Uma Variável Aleatória Unidimensional é uma Função Matemática
que associa um único número real a cada possível resultado (que pode
ser numérico ou não numérico) de um experimento aleatório.
Quando esse experimento aleatório ocorre em relação ao tempo, também se
utiliza o termo “variável estocástica” como substututo de variável aleatória.
1 Na seção E7 (página 473) mostraremos algumas definições do termo “Estatística”.

426 MERCADOS DERIVATIVOS E ANÁLISE DE RISCO VOLUME 1
Considere um experimento aleatório (estocástico) cujos possíveis resultados
sejam representados pelo conjunto S (espaço amostral). Uma função X que associa a
cada elemento de S (cada resultado possível do experimento aleatório) um único
número real é denominada Variável Aleatória (VA). Por exemplo, se s ∈ S, haverá
um número real x que seja função de s e que é representado pela expressão x(s).
Alguns autores consideram a denominação Variável Aleatória não apro-
priada, na medida em que ela se refere a uma Função Matemática de Experi-
mento Aleatório.
O experimento aleatório pode ser numérico ou não numérico, mas as ima-
gens da função matemática (resultados da variável aleatória) são necessariamente
números reais que ocorrerão de forma aleatória.
Quando o experimento aleatório for numérico, a variável aleatória será a
identidade que associa a cada possível resultado (numérico) do experimento alea-
tório um número igual.
Exemplo E1.1 – Represente a variável aleatória X que associa ao experi-
mento aleatório lançamento de duas moedas o resultado numérico igual ao número
de caras (K) obtidas no lançamento (a face coroa será representada pela letra C).
Resposta - Na figura E1.1, a seguir, podemos visualizar o conjunto de possí-
veis resultados do experimento aleatório {KK, KC, CK, CC}, a variável aleatória X
e o conjunto de possíveis resultados da variável aleatória X {0, 1, 2}.
S Função X Sx
(variável aleatória)
KK 2
KC 1
CK
CC 0
onde:
S = domínio da função (conjunto de argumentos da função). Os argumen-
tos ocorrem de forma aleatória;
Sx =contradomínio da variável aleatória (conjunto de números reais assumi-
dos pela variável aleatória X). Os números reais de Sx também ocor-
rem de forma aleatória.
DDD 01
KK
KC
CK
CC
S SxFunção X
2
1
0
Figura E1.1 Variável Aleatória Unidimensional

Revisão de Estatística Aplicada a Finanças 427
E1.1 FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA UNIDIMENSIONAL
Uma Função de Variável Aleatória Unidimensional é uma Função Matemáti-
ca que associa um número real a cada resultado da variável aleatória unidimensional
X, que também é um número real.
Seja Z uma função que associa um número real a cada resultado (número
real) da variável aleatória unidimensional X. Portanto, para cada número real x,
haverá um número real z, que é função de x, ou seja, z = z(x).
Como uma variável aleatória é uma função de um experimento aleatório,
uma função de variável aleatória é, na verdade, uma função de outra função. Dessa
forma, os possíveis resultados de Z, z(x(s)) também serão função de s.
Exemplo E1.2 – Represente uma função de variável aleatória Z, que é
função da variável aleatória X considerada no exemplo E1.1, que associe um núme-
ro real z a cada número real x, de modo que z = 100 . x.
Resposta - Podemos observar que, neste exemplo, Z é uma função linear de
variável aleatória, na medida em que varia a uma razão constante de 100 unidades
para cada unidade de variação de x.
Na figura E1.2, podemos visualizar o conjunto de possíveis resultados do
experimento aleatório {KK, KC, CK, CC}, o conjunto de possíveis resultados da
variável aleatória X {0, 1, 2} e o conjunto de possíveis resultados da função de
variável aleatória Z {0, 100, 200}.
S Função X Sx Função Z de Sz
(variável aleatória) VA Unidimensional
KK 2 200
KC 1 100
CK
onde:
S = domínio da VA X;
Sx = contradomínio da VA X e domínio da função de VA Z;
Sz = contradomínio da função de VA Z.
DDD 02
KK
KC
CK
CC
2
1
0
S SzFunção X
Função Z de
VA Unidimensional
200
100
0
Sx
Figura E1.2 Função de Variável Aleatória Unidimensional

E1.2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
Uma Variável Aleatória X será discreta se o seu contradomínio Sx (conjunto
de resultados da variável aleatória) for finito ou infinito enumerável.
Ex.: Sx = { x1
, x2
,...,xn
}, Sx = { 0, 1, 2 }
Sx = { x1
, x2
,...,xn...
}, Sx = Z (conjunto dos números inteiros), etc.
onde:
xi
∈ ℜ (conjunto dos números reais).
E1.2.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Uma Função de Probabilidade de uma Variável Aleatória Discreta é uma Fun-
ção Matemática que associa uma probabilidade de ocorrência (número pertencente ao
intervalo [0,1]) a cada possível resultado (número real) da Variável Aleatória.
Seja X uma variável aleatória discreta. A cada possível valor de X, que cha-
maremos de xi
2
, será associado um número p (xi
) que será igual à probabilidade
de que X seja igual a xi
. Essa probabilidade será chamada de P (X=xi
).
Os números p(xi
) devem satisfazer às seguintes restrições:
>> 01
onde:
t = número de elementos do contradomínio de X, ou seja, a quantidade
total de xi
3
.
Portanto a Função de Probabilidade de X (que também pode ser chamada de
Distribuição de Probabilidade de X) será a função matemática p que associe uma
probabilidade de ocorrência para todos os elementos de Sx e que satisfaça às restri-
ções previamente definidas.
>> 01 p(xi
) ≥ 0 para todo xi
∈ Sx
Σ p(xi
) = 1
t
i=1
2 É importante estar atento para a diferença entre o X maiúsculo, que representa a
variável aleatória, e o x minúsculo, que representa os valores numéricos que a variá-
vel aleatória pode assumir.
3 Note que está implícita, nas duas condições apresentadas, a hipótese de que
0 ≤ p(xi
) ≤ 1 para todo xi
∈ Sx.

A representação de uma função de probabilidade pode ser efetuada por sua
expressão matemática, por uma tabela (ou figura), ou por um gráfico.
Exemplo E1.3 – Represente a função de probabilidade associada à quanti-
dade de caras que ocorrem no lançamento de duas moedas (não viciadas), das três
formas mencionadas.
Respostas:
Expressão Matemática
P(X=2) = 1/4
P(X=1) = 1/2
P(X=2) = 1/4
Tabela
DDD 3 Figura
S Função X Sx P (X=xi
)
(variável aleatória) (função de probabilidade)
Gráfico
1/2
0 0 2 x
p (x)
1
1/4
DDD 03
KK
KC
CK
CC
2
1
0
S
Função X
P (X=Xi)
(função de probablidade)
1/4
1/2
1/4
Sx

E1.3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Uma Variável Aleatória X será contínua se o seu contradomínio
Sx (conjunto de resultados da variável aleatória) for infinito não
enumerável.
Ex.: [0,1], ℜ, ℜ+
, etc.
E1.3.1 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
CONTÍNUA
Convenciona-se chamar a distribuição de probabilidade de uma variável ale-
atória contínua de função densidade de probabilidade (fdp). Na seção anterior vi-
mos que, para as variáveis aleatórias discretas, a distribuição de probabilidade deno-
mina-se função de probabilidade.
Uma Função Densidade de Probabilidade de uma Variável Aleatória
Contínua é uma Função Matemática que associa aos intervalos dos
possíveis resultados da Variável Aleatória (intervalos de números reais)
um número p, de modo que p seja igual à probabilidade de o resultado
da Variável Aleatória pertencer aos intervalos especificados.
Uma Função Densidade de Probabilidade f de uma Variável Aleatória contí-
nua X deve satisfizer às seguintes condições:
>> 02
Note que o contradomínio Sx da VA X poderá conter um limite inferior (li)
e um limite superior (ls) em que li e ls sejam constantes. Neste caso, sem prejuízo
das condições anteriores, poderemos afirmar que:
>> 03
Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de valores situados em deter-
minado intervalo ]a , b[ ∈ Sx, ou seja, P (a < x < b), deveremos calcular a
>> 02 f (x) ≥ 0 para todo x ∈ Sx
∫ f(x) dx = 1
+∞
-∞
>> 03
l s
∫ f(x) dx = 1
li

proporção da área da fdp que está situada entre os argumentos a e b, em relação à
área total da fdp. Como a área total da fdp é igual a 1, P (a < x < b) será igual à área
da fdp que está situada entre os argumentos a e b, que é igual à integral4
da fdp, do
limite inferior (a) ao limite superior (b), conforme mostrado na expressão a seguir:
>> 04
b
Como P (X = b) = ∫ f(x) dx = 0, ou seja, como a área de uma linha é igual a
zero, serão verdadeiras as seguintes igualdades:
P (a < x < b) = P (a ≤ x < b) = P (a < x ≤ b) = P (a ≤ x ≤ b)
Exemplo E1.4 – Admita que o Banco Central de um país estabeleceu uma
banda cambial, na qual a moeda do país possa ter sua cotação em relação ao dólar
variando de 2,80 a 3,00 unidades monetárias. Considere que a probabilidade de a
cotação pertencer a qualquer intervalo de mesma amplitude seja igual. A fdp asso-
ciada a essa variável aleatória pode ser representada pela expressão a seguir:
f (x) = 1/(2,00 – 1,80) para 2,80 ≤ x ≤ 3,00
= 0 para qualquer outro valor de x
onde:
x = cotação da moeda.
Calcule a probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e
2,88 e construa uma figura que represente a fdp da VA X.
Resposta - A probabilidade será igual à área da fdp entre os argumentos
2,84 e 2,88. Como a fdp admitida neste exemplo possui imagem constante,
>> 04 P (a < x < b) =
a
b
∫ f(x) dx
+∞
∫ f(x) dx
−∞
a
b
∫ f(x) dx
1
= =
a
b
∫ f(x) dx
4 Aos leitores que não tenham conhecimento de cálculo, sugerimos ver conceitos e aplica-
ções iniciais de derivadas e de integrais de funções em livros de cálculo. A integral de uma
função é representada pelo símbolo “ ∫ “ e representa uma função que, ao ser derivada, será
igual à função original. Há diversas regras para o cálculo de integrais e que na maior parte
das vezes permitem os seus cálculos de forma direta. Entretanto, há funções que foram
bastante trabalhosas para que se conseguisse calcular suas integrais, e outras para as quais
até os dias atuais ainda não se conseguiu efetuar os seus cálculos. Quando são especificados
um limite inferior e um limite superior para a integral (integral definida), o seu conhecimen-
to permite o cálculo da área da função entre os limites especificados. Entretanto, na maio-
ria dos exemplos utilizados nesta Revisão de Estatística será possível calcular as áreas das
funções densidade de probabilidade (fdp) sem a necessidade de calcular as suas integrais.
b

basta multiplicar a altura pela base do retângulo para calcular a sua área, ou
seja, 1/(3,00 – 2,80) . (2,88 - 2,84) = 5 . 0,04 = 20%.
A fdp e a probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e
2,88 podem ser representadas no gráfico a seguir:
A figura que representa a fdp da VA X é a seguinte:
DDD 4
Neste exemplo, como o resultado do experimento aleatório é numérico, a
variável aleatória representa a função identidade entre o seu domínio e o seu
contradomínio.
E1.4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS MISTAS
Variáveis Aleatórias Mistas são variáveis aleatórias cujos resultados possam
assumir valores específicos com determinada probabilidade ou possam pertencer a
determinados intervalos com determinada probabilidade.
DDD 04
3,00
2,80
S
f(x)
(fdp)
Função X
3,00
2,80
Sx
2,80 3,00 x
5
0 2,80 3,00 x
f (x)
2,84
5
2,88
f(x)

Um bom exemplo de variável aleatória mista nos mercados derivativos é o
preço (prêmio) de uma opção de compra na data de seu vencimento. Considere uma
opção de compra que permita a seu comprador (titular da opção) adquirir uma ação,
cujo preço seja uma variável aleatória contínua, por R$ 10. Admitindo que a proba-
bilidade de o preço da ação ser igual ou inferior a R$ 10 (na data do vencimento da
opção) é igual a 40% e que a probabilidade de o preço da ação pertencer ao inter-
valo ]R$ 10, +∞[ (na data do vencimento da opção) é igual a 60%, a opção terá
40% de probabilidade de valer R$ 0 e terá 60% de probabilidade de ter valor
pertencente ao intervalo ]0,+∞[ na data de seu vencimento.
E1.5 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA
Uma Função de Distribuição Acumulada de uma Variável Aleatória
é uma Função Matemática que associa a cada possível resultado da
variável aleatória (número real) a probabilidade de que os resultados
da variável aleatória (números reais) sejam menores ou iguais aos
possíveis resultados.
Seja X uma variável aleatória discreta ou contínua. Uma função de distribui-
ção acumulada de X é uma função F que associa um número F(x) para todo x ∈ ℜ,
de modo que F(x) represente a probabilidade da VA X ser igual ou menor a x.
Portanto:
F (x) = P (X ≤ x)
Desse modo, a função de distribuição acumulada de um valor real x (possível
valor da variável aleatória X) terá como resultado (imagem) a probabilidade de a
variável aleatória assumir um valor menor ou igual a x.
Propriedades de uma Função de Distribuição Acumulada
F (- ∞) = 0
F (+ ∞) = 1
F (x) é sempre não decrescente
F (b) - F (a) = P (a < x ≤ b)
F (b) - F (a - Lim x) = P (a ≤ x ≤ b)
x→0+

E1.5.1 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
DISCRETAS
É obtida pela expressão matemática a seguir
>> 05
Exemplo E1.5 – Calcule a função de distribuição acumulada da variável
aleatória igual ao número de caras no lançamento de uma moeda e a represente
graficamente.
Respostas:
F (x) = 0 para x < 0
= 1/4 para 0 ≤ x < 1
= 3/4 para 1 ≤ x < 2
= 1 para x ≥ 2
Graficamente, a função seria representada da forma a seguir:
E1.5.2 FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
CONTÍNUAS
É obtida pela expressão matemática a seguir:
>> 06 x
>> 06 F (x) = ∫ f(x) dx
x
-∞
>> 05 F (x) = Σ p(xi
), para todo xi
≤ x
i
0 x
f (x)
1 2
1
3/4
1/4

Observe que a derivada da função de distribuição acumulada é igual à função
densidade de probabilidade de x , para todo x onde F (x) seja derivável, ou seja:
>> 07
Exemplo E1.6 – Calcule a função de distribuição acumulada da variável
aleatória considerada no exemplo E1.4 e a represente graficamente.
Respostas:
F (x) = 0 para x < 2,80
= 5 . (x -2,80) se 2,80 ≤ x ≤ 3,00
= 1 para x > 3,00
Graficamente, a função seria representada da forma a seguir:
Exemplo E1.7 - Charada. Este exemplo foi apresentado pela autora Marilyn
vos Savant (cujo endereço eletrônico é www.askmarilyn.com) em uma coluna do
jornal americano “Parade Magazine”. O exemplo se tornou bastante conhecido pois
diversos estatísticos americanos escreveram para a autora afirmando que a sua res-
posta estava incorreta. Portanto, é possível que alguns leitores também a considerem
incorreta em um primeiro momento.
Em um programa de auditório, um indivíduo ganha o direito de participar de
um jogo no qual poderá ganhar um carro. O jogo consiste na escolha, por parte do
jogador, de uma entre três portas, sendo que atrás de apenas uma das portas há o
carro. Atrás das outras duas portas há um bode. Portanto, o jogador tem que esco-
lher uma entre as três portas, objetivando acertar aquela que tenha um carro atrás.
Logicamente, a probabilidade inicial de acerto do jogador é igual a 1/3.
>> 07 d
= f(x)
0 x
f (x)
1,80 2,00
1
F (x)
dx

a) Após o jogador escolher uma das portas, o apresentador do programa
mostra ao jogador uma das portas que ele não escolheu e que tem um bode atrás. Em
seguida o apresentador pergunta ao jogador se ele deseja trocar de porta.
Pergunta: O jogador deveria optar pela troca?
Resposta - Sim, pois ele passaria a ter probabilidade de 2/3 de ganhar o
carro se efetuasse a troca.
Se você não concorda com essa resposta procure refletir um pouco antes de
seguir adiante.
Acrescentamos ao problema original o item b) a seguir, com o objetivo de
ajudar a esclarecer o item a).
b) Considere agora que, após o jogador escolher uma das portas, o apresentador
do programa sorteie uma das três portas para abrir. Admita que o resultado do sorteio
tenha sido uma porta que o jogador não escolheu e que, ao ser aberta, tem um bode
atrás. Em seguida o apresentador pergunta ao jogador se ele deseja trocar de porta.
Pergunta: O jogador deveria optar pela troca?
Resposta - Ele deveria ser indiferente à troca, pois a probabilidade de ga-
nhar o carro seria de 1/2 em cada alternativa.
O objetivo de termos mostrado este exemplo é o de alertar que, muitas vezes,
a dificuldade na resolução de alguns problemas ou situações do mundo real, não
está nos conhecimentos de Estatística, mas sim na clareza, ou na compreensão das
premissas dos problemas. De fato, a maioria das pessoas tende a responder ao item
a) como se ele fosse o item b), mas, no mundo real, em um programa de auditório,
o apresentador tem o conhecimento prévio de onde está o carro e a sua escolha da
primeira porta, a ser mostrada ao jogador e ao público, não seria aleatória. Com o
objetivo de proporcionar mais emoção, aumentar a duração e elevar a audiência do
programa, o apresentador escolheria uma das duas portas que não levasse ao carro e
que não tivesse sido escolhida.
Se você ainda não se convenceu quanto à resposta do item a), repare que,
admitindo que o apresentador necessariamente escolheria uma porta diferente da
que o jogador tivesse escolhido e que não tivesse o carro, a probabilidade de o
jogador ganhar se ele não alterasse a sua escolha inicial continuaria sendo igual a
1/3. Conseqüentemente, a probabilidade complementar de o jogador ganhar, ou
seja, se alterasse a porta escolhida, passaria a ser igual a 2/3.

E2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL DE
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
E2.1 ESPERANÇA MATEMÁTICA OU MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA PELAS
PROBABILIDADES DE OCORRÊNCIA
Variáveis Aleatórias Discretas
A esperança matemática de uma variável aleatória discreta é igual à pondera-
ção dos números que a variável aleatória poderá assumir, pelas probabilidades de
ocorrência dos números. Trata-se, portanto, de uma média aritmética ponderada
dos xi
, em que os fatores de ponderação são as suas probabilidades de ocorrência:
>> 08
Variáveis Aleatórias Contínuas
A definição de esperança matemática de uma variável aleatória contínua é
análoga à utilizada para variáveis aleatórias discretas, sendo que as probabilidades
de ocorrência são as dos intervalos de valores e não as dos valores individuais. Desse
modo, é necessário calcular a integral da variável aleatória multiplicada por sua
fdp, conforme mostrado a seguir:
>> 09
Variáveis Aleatórias Mistas
A esperança matemática é obtida da forma a seguir:
>> 10
E2.2 MODA
Para VA discretas, a moda pode ser definida como o resultado mais prová-
vel. Portanto a moda é o resultado da VA para o qual a função de probabilidade
apresenta o maior valor. Por exemplo, a moda da função de probabilidade do
exemplo E1.3 é igual a 1, pois é nesse resultado que a função de probabilidade
atinge o maior valor que é igual a 1/2.
>> 09 E (x) = ∫ x . f(x) dx
+∞
−∞
>> 08
E (x) = Σ xi
. p(xi
) para todo xi
∈ Sx
n
i=1
>> 10 E (x) = Σ xi
. p(xi
) + ∫ x . f(x) dx para todo xi
∈ Sx
n l s
i=1 li

Para VA contínuas, a moda pode ser definida como o resultado da VA para o
qual a função densidade de probabilidade apresenta o maior valor.
Podem existir distribuições de probabilidade amodais, como, por exemplo, a
fdp do exemplo E1.4, e distribuições de probabilidade com mais de uma moda
(distribuições bimodais, trimodais, etc.).
E2.3 MEDIANA E PERCENTIS
A mediana é o valor para o qual a função de distribuição acumulada é igual a
0,5. Para VA contínuas, a mediana divide a área da fdp em duas metades com valor
de 0,5. Portanto há 50% de probabilidade de a VA se situar acima ou abaixo da
mediana.
Os cem percentis de uma VA são os valores para os quais a função de distri-
buição acumulada tem valores iguais a 1%, 2%,...,100%. Portanto o 50º percentil
é igual à mediana da distribuição de probabilidade.

E3 MEDIDAS DE DISPERSÃO, ASSIMETRIA E CURTOSE
E3.1 VARIÂNCIA
O segundo momento centrado na média de uma distribuição é conhecido
como variância. A variância de uma população de n elementos pode ser calculada
de acordo com a fórmula a seguir:
>> 11
(E3.1a)
Esta fórmula pode ser reescrita da seguinte forma:
>> 12
XX
então, podemos reescrever a variância da forma a seguir:
σ 2
= E [ x 2
] - E [ x ] 2
(E3.1b)
Para calcular a variância de uma variável aleatória discreta que tenha função
de probabilidade conhecida deve-se utilizar a fórmula a seguir:
>> 13 (E3.1c)
Esta fórmula também pode ser reescrita como a (E3.1b).
A variância de uma amostra de n elementos pode ser calculada de acordo
com a fórmula a seguir:
>> 13 σ2
= Σ (xi
- E[x]2 . p(xi
))
n
i=1
>> 12
σ2
=
Σ (xi
2
- 2 . xi
. E[x] + E[x]2
)
n
i=1
Σ (xi
2
- 2 . E[x] . xi
+ E[x]2
)
n
i=1
n n
=
Σ (xi
2
) - n . (2 . E[x]2
+ E[x]2
)
n
i=1
n
=
n
= - E[x]2
Σ (xi
2
)
i=1
n
=
σ2
=
i=1
Σ (xi
- E[x])2
n
n
>> 11

>> 14
A variância de uma função densidade de probabilidade f(x) deve ser calcula-
da de acordo com a fórmula a seguir:
>> 15
ou
σ2
= E [x 2
] - E [x]2
Esta última fórmula é igual à fórmula (E3.1b).
Variáveis Aleatórias Mistas
A variância de uma distribuição de probabilidade que seja parcialmente dis-
creta e parcialmente contínua deve ser calculada da forma a seguir:
>> 16
Esta última fórmula também é igual à fórmula (E3.1b).
E3.2 DESVIO PADRÃO
O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância.
O desvio padrão de uma população de n elementos pode ser calculado como
a raiz quadrada da fórmula (E3.1a) como mostrado a seguir:
σ = [ σ2
] 1/2
>>16 σ2
= Σ (xi
- E[x])2
+ ∫ x2 . f (x) dx - ∫ x . f (x) dx
ou
σ2
= E [x 2
] - E [x]2
n +∞
i=1 -∞
+∞
-∞
2
>> 14 s2
=
n
i=1
n - 1
Σ (xi
- E[x])2
>> 15
∫ x2 . f (x) dx - ∫ x . f (x) dx
2
σ2
=
+∞
−∞
+∞
−∞
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

O desvio padrão de uma variável aleatória com função de probabilidade co-
nhecida também pode ser calculado como a raiz quadrada da fórmula (E3.1c) como
mostrado a seguir:
σ = [ σ2
] 1/2
O desvio padrão de uma amostra de n elementos pode ser calculado como a
raiz quadrada da fórmula (E3.2) como mostrado a seguir:
s = [ s2
] 1/2
E3.3 VOLATILIDADE DE UM ATIVO
A volatilidade pode ser definida como uma medida de dispersão.
A forma convencionada para mensurar e comparar a volatilidade das di-
ferentes variáveis é por meio do cálculo dos desvios padrão das variáveis.
Por exemplo, a volatilidade dos diferentes preços unitários (PUs) de ne-
gociação de um título público em determinado dia será o desvio padrão das
diferentes cotações do título.
Entretanto, quando se trata de medir a volatilidade de uma variável
ao longo de diferentes dias, convencionou-se medir a volatilidade da
variável como o desvio padrão dos retornos diários da variável, medidos
em taxas logarítmicas, observados ao longo de determinado período
de tempo (janela temporal).
Ao observarmos uma série histórica de preços de determinado ativo, po-
deremos medir o retorno médio e a volatilidade do ativo:
• o retorno médio ( r ) é igual à média dos retornos logarítmicos ocor-
ridos ao longo de t dias considerados, como mostramos a seguir:
>> 17
• a volatilidade é igual ao desvio padrão dos retornos ocorridos ao longo de
t dias considerados, como mostramos a seguir:
r = Σ
onde:
ri
= Ln
t
i=1
r i
n
Pt
Pt-1
, ou seja, é o retorno logarítmico diário.( )

>> 18
A tabela 22.1 do seção 22.5 ilustra o cálculo da volatilidade de uma ação a
partir dos seus 20 retornos logarítmicos mais recentes. Na seção 22.8 mostramos
outras alternativas para estimar a volatilidade futura de ativos a partir dos retornos
ocorridos no passado.
Observe que, se o preço do ativo (Pt
) caísse para um valor bastante pequeno
(próximo a zero), o retorno logarítmico do ativo tenderia a -∞. Esta é a forma mais
utilizada de mensuração de retornos, na medida em que se mostra coerente com a
realidade, ao admitir que o retorno logarítmico do ativo possa assumir valores de
-∞∞∞∞∞ a +∞∞∞∞∞ e que o seu preço possa assumir apenas valores positivos.
Conforme será visto nas seções E4.2.3 e E4.2.4, no estudo de Finanças
tradicionalmente admite-se que o retorno de um ativo medido em taxas
logarítmicas tenha função densidade de probabilidade (fdp) normal. É matema-
ticamente demonstrável que esta hipótese eqüivale a admitir que o preço do
ativo tenha fdp lognormal.
Os retornos medidos em taxas efetivas (Ri
) devem ser calculadas da for-
ma a seguir:
>> 19
Note que, se o preço do ativo (P t
) caísse para um valor bastante pequeno
(próximo a zero), o retorno efetivo tenderia a -1 (ou - 100%).
E3.4 ASSIMETRIA
O coeficiente de assimetria pode ser definido a partir do terceiro momento
centrado na média e do desvio padrão, de acordo com a fórmula a seguir:
>> 20
A assimetria informa se uma distribuição de probabilidade tende a apresentar
os valores altos ou os valores baixos mais distante da média. Quando a assimetria
for positiva, a distribuição deverá apresentar cauda à direita; quando a assimetria for
>> 19 Pt
- Pt-1
Pt-1
Ri
=
>> 20 Σ (xi
- E[x])3
i=1
n
n
Ass =
σ3
>> 18
σ = Σ
_
t
i=1
(r i
- r )2
n - 1
1/2
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

negativa, a distribuição deverá apresentar cauda à esquerda; e, quando a assimetria
for nula, a distribuição deverá ser simétrica em relação à sua média.
E3.5 CURTOSE
O coeficiente de curtose pode ser definido a partir do quarto momento centrado
na média e do desvio padrão, de acordo com a fórmula a seguir:
>>21
A curtose informa se uma distribuição de probabilidade é achatada ou não.
Por exemplo, uma distribuição uniforme que apresente probabilidade constante apre-
sentará curtose muito baixa, ao passo que uma distribuição de probabilidade que
apresente um pico de probabilidade no meio e uma queda brusca de probabilidade
nas pontas apresentará uma curtose elevada.
Como parâmetro de comparação, adotou-se a curtose da distribuição normal
que é igual a 3.
Convencionou-se chamar as distribuições de probabilidade achatadas (apre-
sentam curtose abaixo de 3) de platicúrticas; as distribuições de probabilidade que
apresentam curtose maior do que 3, de leptocúrticas; e as distribuições de probabi-
lidade que apresentam curtose igual a 3, de mesocúrticas.
É importante ressaltar que o fato de uma distribuição ser achatada (platicúrtica)
não significa que ela terá variância elevada, assim como as distribuições que têm
curtose elevada (leptocúrticas) não terão necessariamente variância baixa. Para
exemplificar a afirmação anterior, vale mencionar que uma distribuição normal
apresenta curtose igual a 3, independentemente de qual seja a sua variância.
˜ Σ (xi
- E[x])4
i=1
n
n
Curt =
σ4

E4 Distribuições de Probabilidade Importantes
E4.1 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE BINOMIAL
Seja uma variável aleatória discreta Y que associa apenas um de dois resulta-
dos (números) possíveis a cada experimento aleatório. Há, portanto, apenas dois
resultados possíveis para Y: y1
e y2
. Convenciona-se chamar um dos dois resultados
de sucesso e o outro de fracasso. Se o experimento aleatório ao qual a VA Y está
associada for repetido n vezes, poderá ocorrer o máximo de n sucessos e o mínimo
de zero sucessos.
Uma Função de Probabilidade Binomial X associa a x (número de
ocorrência de sucessos) a probabilidade de o resultado sucesso ocorrer
x vezes em n repetições do experimento aleatório (portanto 0 ≤ x ≤ n).
A função de probabilidade binomial pode ser representada pela expressão
matemática de análise combinatória a seguir (combinação):
>> 22
onde:
x = número de ocorrências do resultado favorável (sucesso) em n repetições;
p = probabilidade de ocorrência do sucesso;
q = 1 - p = probabilidade de ocorrência do resultado desfavorável (fracasso).
Por exemplo, a função de probabilidade binomial correspondente ao número de
carasnolançamentodeseismoedasnãoviciadaspodeserrepresentadanográficoaseguir:
>> 22 P (X=x) = C . px . qn-x
=
n
x
6/64
0 42 x
p (X=x)
1/64
3 5 6
15/64
20/64
1/64
6/64
15/64
1
n!
(n-x)! . x!
. px . qn-x

É fácil demonstrar que:
E [X] = n . p
σ2
X = n . p . q
Esta distribuição será útil para estudarmos o modelo binomial de precificação
de opções no capítulo 20.
Exemplo E4.1 – Admita que o preço de uma ação siga um caminho aleató-
rio em que haja 50% de probabilidade de ocorrer alta e 50% de probabilidade de
ocorrer baixa a cada período, conforme mostrado a seguir:
• probabilidade de 50% de ocorrer alta de 20% em taxa logarítmica;
• probabilidade de 50% de ocorrer queda de 20% em taxa logarítmica.
Calcule a função de probabilidade do retorno em taxa logarítmica e a função
de probabilidade do retorno em taxa efetiva após decorridos 6 períodos e faça a sua
representação gráfica.
Respostas:
Deixaremos que o leitor efetue os cálculos. Os retornos logarítmicos e efeti-
vos com suas respectivas probabilidades de ocorrência são os seguintes:
Retornos Retornos Probabilidades
Logarítmicos Efetivos
120,00% 232,01% 1,56%
80,00% 122,55% 9,38%
40,00% 49,18% 23,44%
0,00% 0,00% 31,25%
-40,00% -32,97% 23,44%
-80,00% -55,07% 9,38%
-120,00% -69,88% 1,56%

As funções de probabilidade podem ser representadas nos gráficos a seguir:
À medida que se aumenta o número de períodos, a função de probabilidade
do retorno logarítmico tende para uma fdp normal e a função de probabilidade do
fator de retorno efetivo 1 + R (e do preço) tende para uma fdp lognormal. As fdp
normal e lognormal serão estudadas nas seções E4.2.3 e E4.2.4, a seguir.
E4.2 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONTÍNUAS
E4.2.1 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE UNIFORME
Uma Função Densidade de Probabilidade Uniforme possui imagem constante.
Ex. E4.1 Distribuição de Probabilidades de Retornos Medidos em Taxas Logarítmicas
Ex. E4.1 Distribuição de Probabilidades de Retornos Medidos em Taxas Efetivas
1,56%
9,38%
23,44%
31,25%
23,44%
9,38%
1,56%
-100% -50% +0% +50% +100% +150% +200% +250%
Taxas de Retorno Efetivas
Probabilidades
1,56%
9,38%
23,44%
31,25%
23,44%
9,38%
1,56%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
-120% -80% -40% +0% +40% +80% +120%
Taxas de Retornos Logarítm icas
Probabilidades

Seja X uma variável aleatória contínua, podendo assumir qualquer valor em
um intervalo [xa
; xb
]. Se a probabilidade de ocorrer um valor em um intervalo de
tamanho L ∈ [xa
; xb
] é a mesma para qualquer outro intervalo do mesmo tamanho
que pertença a [xa
; xb
], então X será uniformemente distribuída.
A função densidade de probabilidade uniforme pode ser representada pela
expressão a seguir:
f (x) = 1/(xb -
xa
) para xa
≤ x ≤ xb
= 0 para qualquer outro valor de x.
Graficamente, a fdp uniforme pode ser representada da seguinte forma:
É fácil demonstrar que:
E4.2.2 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE TRIANGULAR
UmaFunçãoDensidadedeProbabilidadeTriangularapresentaoformatotriangular.
Seja X uma variável aleatória contínua, podendo assumir qualquer valor em
um intervalo [xa
; xb
]. Uma função densidade de probabilidade será triangular
quando for definida pela expressão a seguir:
f (x)= 2/(xb -
xa
)/(xv -
xa
) . (x - xa
) para xa
≤ x ≤ xv
= 2/(xb -
xa
)-2/(xb -
xa
)/(xb -
xv
) . (x - xv
) para xv
< x ≤ xb
onde:
xv
= argumento em que a fdp possui o maior valor, ou seja, é a moda da fdp.
>> 23 E [x] =
xa
+ xb
2
0 xa
x
f (x)
xb
1
xa
- xb

A fdp triangular possui o formato semelhante ao mostrado no gráfico a seguir:
Se o triângulo for isósceles, ou seja, se xv
estiver eqüidistante de xa
e de xb
, é
fácil demonstrar que:
E [x] = xv
=
xa
+ xb
2
Exemplo E4.2 – Admita a situação de banda cambial do país mencionado
no exemplo E1.4. Considere que haja uma fdp triangular simétrica para o intervalo
de cotações possíveis, que vai de 2,80 até 3,00. Neste caso, como a fdp é simétri-
ca, o xV
será igual ao ponto médio da fdp, que é igual a 2,90. Mostre qual a fdp
associada a essa variável aleatória e calcule a probabilidade de a cotação da moeda
estar situada entre 2,84 e 2,88.
Respostas:
A fdp pode ser representada pela expressão a seguir:
f (x) = 2/(3 - 2,80)/(2,90 - 2,80) . (x - 2,80) para 2,80 ≤ x ≤2,90
= 2/(3 - 2,80) - 2/(3-2,80)/(3-2,90) . (x -2,90) para 2,90 < x ≤ 3
= 0 para qualquer outro
valor de x
ou
f (x) = 100 . (x - 2,80) para 2,80 ≤ x ≤ 2,90
= 10 - 100 . (x -2,90) para 2,90 < x ≤ 3
A probabilidade de a cotação da moeda estar situada entre 2,84 e 2,88 será
igual à área da fdp entre os argumentos 2,84 e 2,88, ou seja:
0 xa
x
f (x)
xb
2
xb
- xa
xv

>> 24
Graficamente, a fdp pode ser representada da forma a seguir:
onde:
x = cotação da moeda.
E4.2.3 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL
(OU DISTRIBUIÇÃO DE GAUSS)
Esta função densidade de probabilidade será bastante utilizada ao longo do
livro e é de grande importância para o estudo de mercados derivativos, de Finanças
e de diversas outras áreas, devido às constatações de que:
• aproxima-se das distribuições de probabilidade observadas dos retornos,
medidos em taxas logarítmicas, de diversas variáveis, como, por exemplo, ações,
taxas de câmbio e commodities. Também representa boa aproximação para as pro-
babilidades de ocorrência de diversos fenômenos da natureza;
• pelo teorema do limite central (a ser estudado na seção E6.8), quando uma
função de variável aleatória resulta da soma de n variáveis aleatórias independentes
e identicamente distribuídas (quaisquer que sejam os formatos das suas distribuições
de probabilidade) e n → ∞, esta função de variável aleatória (n-dimensional) terá
distribuição de probabilidade tendendo à normal;
0 2,80 x
f (x)
3,00
10
2,84 2,88 2,90
24%
∫ 100 . x - 280 dx = 100 .
= 100 .
2,88
2,84
x2
2
- 280 . x =
2,88
2,84
2,882
2
- 280 . 2,88 - 100 .
2,842
2
- 280 . 2,84 = 0,24 = 24%( )

Variável Aleatória X
Probabilidade
1
σ . 2.∏
f (x) = . e
-1/2 . ((x-μ)/σ)2
para todo - ∞ < x < + ∞
• em decorrência do teorema do limite central, a distribuição normal serve
como aproximação de distribuições importantes, como, por exemplo, a distribui-
ção binomial, quando é considerado um grande número de repetições;
• em decorrência do teorema do limite central, as distribuições das médias e
das proporções em grandes amostras tendem a ser normalmente distribuídas.
A Variável Aleatória Contínua X será normalmente distribuída se
possuir a Função Densidade de Probabilidade a seguir:
onde μ e σ são a média e o desvio padrão da variável aleatória,
respectivamente.
A fdp normal apresenta o formato de um sino, como pode ser observado no
gráfico a seguir:
A análise da função densidade de probabilidade permite concluir que uma
distribuição normal:
• é simétrica em relação à média (que será igual à mediana e à moda);
• apresenta freqüência máxima em x = μ (a moda é igual a μ);
Gráfico E4.4 Função Densidade de Probabilidade Normal
+ ∞− ∞

• apresenta pontos de inflexão em x’ = μ - σ e x’’ = μ + σ;
• apresenta domínio de - ∞ até + ∞;
• tende a zero quando x → - ∞ e quando x → + ∞.
Ao efetuar a integral da função, ou consultando-se uma tabela de distribui-
ção normal, ou utilizando-se uma planilha eletrônica, observa-se que a área sob a
curva normal (a integral da curva normal) para os intervalos especificados na colu-
na da esquerda, a seguir, apresenta os valores mostrados na coluna da direita:
[(μ - σ) ; (μ + σ)] = 68,29% da área total (que é igual a um)
[(μ - 2 . σ) ; (μ + 2 . σ)] = 95,43% da área total (que é igual a um)
[(μ - 3 . σ) ; (μ + 3 . σ)] = 99,73% da área total (que é igual a um)
E4.2.3.1 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE NORMAL PADRONIZADA
E CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE INTERVALOS
O cálculo da probabilidade de ocorrência de um valor pertencente a um
dado intervalo de uma fdp pode ser feito, integrando-se a fdp nesse intervalo.
No caso da fdp normal, esse cálculo é trabalhoso devido à complexidade da
fórmula. Alternativamente, utilizam-se tabelas, que facilitam o cálculo, ou fun-
ção estatística de aplicativos de computador, como, por exemplo, a função
DIST.NORM(x) do aplicativo Excel.
A construção das tabelas está baseada na padronização das fdp normais.
A fdp normal padronizada possui média μ = 0 e desvio padrão σ = 1. Para
transformar-se uma fdp normal em uma fdp normal padronizada, deve-se pro-
ceder a uma mudança de variável. A variável aleatória X deve ser alterada para a
variável aleatória Z. Os possíveis resultados z da VA Z são obtidos pela seguinte
transformação linear:
>> 26
Portanto:
E (z) = 0
σ z
= 1
A VA Z pode ser vista como uma função linear da VA X. Por exemplo,
>> 26
z =
x - μx
σx

se x tiver média 10 e desvio padrão 2 (utiliza-se a simbologia N ~ (10,2)),
z terá média 0 e desvio padrão 1 (N ~ (0,1)). Graficamente, pode-se perceber
a seguinte relação entre x e z:
A transformação linear altera a média e o desvio padrão da variável aleatória X
para a média e o desvio padrão da variável aleatória Z, mas mantém a fdp de z como
uma fdp normal, que, neste caso, será a fdp normal padronizada N ~ (0,1).
As tabelas que disponibilizam a área sob a fdp normal padronizada geralmente
apresentam os valores entre z = 0 e qualquer valor positivo de z. Como a curva é
simétrica em torno de z = 0, torna-se possível obter-se a área entre quaisquer valores
de z. No aplicativo Excel, o valor de z é obtido na função estatística DIST.NORMP(z),
que retorna o valor correspondente à área sob a fdp normal padronizada de - ∞ até z.
E4.2.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE LOGNORMAL
Seja Y uma variável aleatória que possui função densidade de
probabilidade normal com média μ e desvio padrão σ. A variável
aleatória X = eY
apresentará função densidade de probabilidade
lognormal e será representada pela expressão a seguir:
Como e (base dos logaritmos neperianos, que possui valor aproximado de
2,718)elevadoaqualquervalorresultasempreemnúmeropositivo,umafdplognormal
0 x
z
μx
=10
θ tg θ = 1/σx
= 1/2
1
x . σ . 2.∏
- 1
2 . σ2
. e
. (ln x - μ)2
para x > 0f(x)=

admite apenas valores positivos (conforme vimos na seção anterior, uma fdp normal
admite valores positivos e negativos pertencentes ao conjunto dos números reais).
A fdp lognormal apresenta cauda à direita, como pode ser observado no
gráfico a seguir:
GGG13 Gráfico E4.5
+ ∞
Como uma fdp lognormal X é definida a partir dos parâmetros de uma fdp
normal Y, a média e a variância da fdp lognormal são definidas a partir da média e
da variância da fdp normal, conforme mostrado pelas expressões a seguir:
>> 28
É de grande importância observar que, quando a variável aleatória Y
(normal) apresentar μ = 0, a variável aleatória X (lognormal) apresentará
valor esperado positivo igual a eσ2/2
.
Esta observação é de fundamental importância para o desenvolvimento dos
modelos de precificação de opções, binomial e de Black&Scholes, e para a precificação
por meio da metodologia de Simulação Monte Carlo (os modelos citados encon-
tram-se nos capítulos 20 a 26) e, também, para o cálculo do Value at Risk a partir
das metodologias analítica e da Simulação Monte Carlo (capítulos 11, 12, 29 e 30).
Também é possível definir os parâmetros da distribuição normal a partir da
distribuição lognormal:
E4.5 Função Densidade de Probabilidade Lognormal
0 Variável Aleatória X +
Probabilidades
Gráfico E4.5 Função Densidade de Probabilidade Lognormal
σ2
x
= e . e - 1
E [x] = e
(μ +
σ
2
)
(μ +
σ
2
)
( )2
2
2
σ
2
0 +

( )μ = Ln
E[x]
σ2
= Ln
σx
2
+ E[x]2
A distribuição lognormal é bastante utilizada para o ajustamento da variável
preço de ativos negociados no mercado financeiro, como, por exemplo, o preço das
ações, a cotação de moedas e o preço de commodities. Como se sabe, os preços dos
ativos não pode cair abaixo de zero, e a probabilidade de que seus preços atinjam
valores muito altos ou próximos a zero é bastante reduzida. Como se pode observar
no gráfico E4.5, essas características são coerentes com a fdp lognormal.
O modelo de precificação de opções de Black&Scholes, que propiciou o
prêmio Nobel de Economia de 1997 aos pesquisadores Scholes e Merton, e que será
estudado do capítulo 22 ao 25, parte da premissa de que a fdp dos preços dos ativos
é lognormal.
A aceitação de que a variável aleatória preço de um ativo tenha
função densidade de probabilidade lognormal implica a aceitação de
que o retorno do ativo medido em taxas logarítmicas tenha função
densidade de probabilidade normal.
A relação entre o preço de um ativo lognormalmente distribuído e o seu
retorno, medido em taxas logarítmicas, normalmente distribuído, será explorada
em diversas partes do livro.
σx
2
+ E[x]2
E[x]2( )

E5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS
E5.1 DEFINIÇÃO
Uma Variável Aleatória Bidimensional é um conjunto de duas
Funções Matemáticas que associa um par ordenado de números reais a
cada resultado aleatório possível de ocorrer em um experimento
aleatório. Portanto os possíveis pares ordenados de números reais
ocorrerão de forma aleatória.
Considere um experimento aleatório cujos possíveis resultados sejam repre-
sentados pelo conjunto S (espaço amostral). Sejam duas variáveis aleatórias, X1
e
X2
, sendo que cada uma associa um número real a cada elemento de S. Por exem-
plo, se s ∈ S, haverá um número real x1
, que é função de s (x1
(s)), e um número
real x2
(s)). O par (X1
,X2
) é denominado variável aleatória
bidimensional.
onde:
S =domínio da VA X1
, da VA X2
e da VA bidimensional (X1
,X2
)
(conjunto de argumentos das funções). Os argumentos ocorrerão
de forma aleatória;
Sx1
=contradomínio (conjunto dos resultados) da VA X1
;
Sx2
=contradomínio (conjunto dos resultados) da VA X2
;
Sx1
.Sx2
= contradomínio (conjunto dos pares ordenados de números reais
possíveis de ocorrer) da VA bidimensional (X1
,X2
).
S VA Bidimensional (X1
X2
)
VA X1
VA X2
s
Sx1
x1
= x1
(s)
Sx2
x2
= x2
(s)
Figura E5.1 Variável Aleatória Bidimensional

Observe que o contradomínio da VA bidimensional (X1
,X2
), ou seja, o con-
junto de pares ordenados possíveis de serem obtidos, tem que ser representado em um
plano bidimensional. Os resultados aleatórios da variável aleatória bidimensional
(x1
,x2
) representam seqüências ordenadas (de segunda ordem) de números reais e,
por isto, esses resultados aleatórios também são conhecidos como vetores5
aleatórios.
E5.2 FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL
Uma Função de Variável Aleatória Bidimensional é uma Função
Matemática que associa apenas um número real a cada resultado da
variável aleatória bidimensional (par ordenado de números reais).
Seja Z uma função que associa um número a cada resultado da variável
aleatória bidimensional (X1
,X2
). Portanto, para cada par ordenado aleatório de
números reais (x1
,x2
), haverá um número z, que é função do resultado aleatório
(x1
,x2
), ou seja, z = z (x1
,x2
). Como uma variável aleatória é função de um expe-
rimento aleatório, uma função de variável aleatória bidimensional é, na verdade,
uma função de duas funções. Dessa forma, Z = Z (X1
(s),X2
(s)) também é função
do experimento aleatório.
DDD 6 Figura E5.2
onde:
S = domínio da VA X1
, da VA X2
e da VA bidimensional (X1
,X2
). Os
argumentos ocorrerão de forma aleatória;
DDD 06
S
função de
VA Bidimensional
Z=Z (X1
, X2
)VA X1
VA X2
s
S x1
x1
= x1
(s)
x2
= x2
(s)
S x2 z= z (x1
, x2
)
5 Um vetor é uma seqüência ordenada de números ou de variáveis. Também se pode
definir vetor como um ponto do espaço vetorial de ordem n. Por exemplo, a seqüência
ordenada de números [-1,5 , 4] é um ponto do espaço vetorial ℜ2
, assim como a
seqüência ordenada [1, -3 , 4 , 5,32] é um ponto do espaço vetorial ℜ4
.
Figura E5.2
Figura E5.2 Função de Variável Aleatória Bidimensional
S z

Sx1
= contradomínio da VA X1
;
Sx2
= contradomínio da VA X2
;
Sz = contradomínio da função de variável aleatória bidimensional Z.
Por exemplo, se o administrador de um fundo aplicou recursos dos cotistas,
comprando 50 ações da empresa A cujo preço inicial é de R$ 2 e 80 ações da
empresa B cujo preço inicial é de R$ 1, o patrimônio líquido inicial (PLt+0
) do
fundo é igual à soma do valor de mercado das ações A e das ações B, portanto
PLt+0
= R$ 100 + R$ 80 = R$ 180. Como os volumes financeiros da ação A
(VA
) e da ação B (VB
) após decorrido um período temporal são iguais aos seus
volumes iniciais acrescidos de seus retornos efetivos e estes retornos decorrem do
experimento aleatório negociação das ações A e B em pregão, o PL pode ser visto
como uma função (linear) da variável aleatória bidimensional (RA
,RB
), onde RA
representa o retorno aleatório efetivo da ação A e RB
representa o retorno aleató-
rio efetivo da ação B.
A figura a seguir representa as relações de causa e efeito da variável
aleatória bidimensional (RA
,RB
) com a função de variável aleatória
bidimensional PL.
DDD 7 Figura E5.3
Neste exemplo, como os retornos efetivos das ações não podem ser inferi-
ores a -100%, os preços das ações não podem ser negativos e o Spl (conjunto de
valores que o patrimônio líquido poderá atingir após a realização do pregão) não
apresenta valores negativos.
Em contrapartida, o exemplo E5.1, a ser apresentado na seção E5.7, ilus-
trará a situação de uma instituição que, por alavancar recursos de terceiros, apre-
sentará a possibilidade de ter o patrimônio líquido negativo.
DDD 07
S
função de
VA Bidimensional
PL=PL (RA
,RB
)
VA RA
VA RB
s
S RA
RA
= RA
(s)
R2
= R2
(s)
S RB
pl=pl (RA
,RB
)
= R$ 100 . RA
+80 . RB
+ plt+0
S pl
Figura E5.3 Função de Variável Aleatória Bidimensional
Retornos Efetivos das Variáveis Aleatórias A e B

E5.3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA DE VARIÁVEL ALEATÓRIA
BIDIMENSIONAL
Uma Função de Probabilidade Conjunta de Variável Aleatória
Bidimensional é uma Função Matemática que associa uma
probabilidade de ocorrência a cada possível resultado (par ordenado
de números reais) de uma variável aleatória bidimensional discreta.
Seja (X1
,X2
) uma variável aleatória bidimensional discreta. Seja P uma fun-
ção que associa a cada possível resultado (par ordenado de números reais) de (X1
,X2
),
que chamaremos de (x1
,x2j
), um número p(x1i
,x2j
) que seja igual à probabilidade
de que (X1
,X2
) seja igual a (x1
,x2j
). A função P é denominada função de probabili-
dade conjunta da variável aleatória bidimensional (X1
,X2
). A probabilidade de que
(X1
,X2
) seja igual a (x1
,x2j
) é representada pela simbologia P(X1
= x1
, X2
=x2j
) e é
igual ao número p(x1i
,x2j
).
Os números p(x1i
,x2j
>> 29
onde t1
e t2
são os números de elementos dos contradomínios de X1
e de X2
respectivamente.
A figura a seguir ilustra uma função de probabilidade conjunta:
DDD 8 Figura E5.4
A função de probabilidade conjunta de uma variável aleatória bidimensional
tem que ser expressa em um gráfico tridimensional, como o seguinte, que se refere
ao lançamento conjunto de duas moedas e de um dado:
DDD 08
P
Função de
ProbabilidadeConjunta
da VA Bidimensional
(X1
,X2
)
S x1
x1
= x1
(s)
x2
= x2
(s)
S x2
p=p (x1
,x2
)
S p
VABidimensional
(X1
,X2
)S
VA X
VA Y
s
>> 29 p(x1i
,x2j
) ≥ 0 para todo (x1i
,x2j
) ∈ ℜ2
Σ Σ p(x1i
,x2j
) = 1
j=1 i=1
t 1 t 2
Figura E5.4 Função de Probabilidade Conjunta de Variável Aleatória Bidimensional

GGG14 Gráfico E5.1
E5.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA DE VARIÁVEL
ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL
UmaFunçãoDensidadedeProbabilidadeConjuntadeVariávelAleatória
BidimensionaléumaFunçãoMatemáticaqueassociaàsáreasdospossíveis
resultados da Variável Aleatória contínua (conjuntos de pares ordenados)
um número p, de modo que p seja igual à probabilidade de o resultado da
Variável Aleatória pertencer às áreas especificadas (subconjuntos de ℜ2
).
Seja uma variável aleatória bidimensional contínua (X1
,X2
). Sejam [x1a
,x1b
]
e [x2c
,x2d
] dois intervalos de valores de X1
e X2
, respectivamente. A função densi-
dade de probabilidade conjunta dessa variável será a função f que associar à área
[x1a
,x1b
] . [x2c
,x2d
] a probabilidade de que os possíveis valores de (X1
,X2
) per-
tençam simultaneamente ao intervalo [x1a
,x1b
] e ao intervalo [x2c
,x2d
], ou seja,
pertençam à área [x1a
,x1b
] . [x2c
,x2d
].
A função f deve satisfazer às seguintes condições:
1
2
3 S1
S2
S3
S4
S5
S6
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
ProbabilidadedeOcorrênciadosParesOrdenados
Nº de Coroas
Face de um Dado
E5.1 Função de Probabilidade Conjunta
Gráfico E5.1 Função de Probabilidade Conjunta de VA Bidimensional Discreta

f (x1
,x2
) ≥ 0 para todo (x1
, x2
) ∈ ℜ2
Note que o contradomínio de X1
(Sx1
) poderá conter um limite inferior li e um
limite superior ls em que lix1
e lsx1
sejam constantes e o contradomínio de X2
(Sx2
)
poderá conter um limite inferior li e um limite superior ls em que lix2
e lsx2
sejam
constantes.Nestecaso,semprejuízodascondiçõesmencionadas,poderemosafirmarque:
>> 31
Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de valores situados si-
multaneamente no intervalo [x1a
, x2b
] (P (x1a
< x1
< x2b
)) e no intervalo
[x2c
, x2d
] (P (x2c
< x2
< x2d
)), deve-se resolver a integral dupla a seguir:
>> 32
A função densidade de probabilidade conjunta tem que ser expressa em um
gráfico tridimensional.
Por exemplo, a função densidade de probabilidade conjunta de uma variável
aleatória bidimensional (X1
,X2
) quando as variáveis aleatórias unidimensionais X1
e X2
são independentes e normalmente distribuídas tem um formato semelhante ao seguinte:
GGG15 Gráfico E5.2
+∞
∫ ∫ f(x1
, x2
) dx1
dx2
= 1
+∞
-∞
>> 31
∫ ∫ f(x1
, x2
) dx1
dx2
= 1
l s x 1 lsx2
lix1 lix2
>> 32
∫ ∫ f(x1
, x2
) dx1
dx2
x 1 b x 2 d
x1a x2c
-∞
Variável Aleatória Normal Bidimensional
1
4
7
10
13
16
19
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16
S17 S18
S19
S20
S21
0,000%
0,001%
0,002%
0,003%
0,004%
0,005%
0,006%
0,007%
0,008%
0,009%
0,010%
ProbabilidadesConjuntas
Variável Aleatória X1 Normalmente Distribuída VA
X 2
Normalmente
Distribuída

1
4
7
10
13
16
19
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 S19 S20 S21
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
3,0%
3,5%
ProbabilidadesConjuntas
Outro exemplo de função densidade de probabilidade conjunta de uma
variável aleatória bidimensional (X1
,X2
) quando as variáveis aleatórias
unidimensionais X1
e X2
são independentes e lognormalmente distribuídas pode
ser observado no gráfico a seguir:
GG16 Gráfico E5.3
E5.5 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE UMA FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA
BIDIMENSIONAL
Uma Função de Probabilidade de uma Função de Variável Aleatória
Bidimensional discreta associa uma probabilidade de ocorrência a cada
possível resultado da Função de Variável Aleatória Bidimensional
(número real).
Seja P uma função que associa a cada resultado (número real) de uma função
Z de variável aleatória bidimensional discreta (X1
,X2
) um número p, de modo que
p seja igual à probabilidade de um resultado aleatório de Z ser igual a z. A função P
é a função de probabilidade da função Z de variável aleatória bidimensional (X1
,X2
).
A figura a seguir ilustra as relações entre as funções mencionadas:
Variável Aleatória X1 Lognormalmente Distribuída
VAX
2LognormalmenteDistribuída
Variável Aleatória Lognormal Bidimensional

Se a variável aleatória bidimensional (X1
,X2
) for contínua, a função densidade
de probabilidade da função de variável aleatória Z associará aos intervalos dos possíveis
resultados de Z (intervalos de números reais) um número p, de modo que p seja igual à
probabilidade de um resultado aleatório de Z pertencer aos intervalos especificados.
5.6 DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS
Sabemos que uma variável aleatória bidimensional (X1
,X2
) corresponde à
associação de duas variáveis aleatórias unidimensionais, X1
e X2
, conforme mostra-
do na figura E5.1. A fim de obtermos as distribuições de probabilidade de X1
e de
X2
separadamente, deveremos trabalhar com as distribuições de probabilidade mar-
ginais de X1
e de X2
.
>> 33 (E5.1a)
(E5.1b)
>> 34 (E5.2a)
>> 33 p(x1i
) = p(X1
=x1i
) = Σ p (x1i;
x2j
) = 1 para todo x2j
∈ Sx2
q(x2j
) = p(X2
=x2j
) = Σ p (x1i;
x2j
) = 1 para todo x1i
∈ Sx1
t 2
j=1
t 1
i=1
>> 34
g(x1
) = ∫ f (x1;
x2
) dx2
+∞
-∞
S Sx1
Sx2
Sz
z = z (x1
, x2
)
VA (X1
X2
)
VA X1
VA X2
Função de
da VA Bidimensional
(X1
,X2
)
Função de
Probabilidade
P=P(z)
p=p(z)
x1
= x1
(s)
x2
= x2
(s)
s
Figura E5.5 Função de Probabilidade Função de VA Bidimensional

(E5.2b)
É importante ressaltar que o conhecimento de uma distribuição de probabili-
dade conjunta de uma variável aleatória bidimensional (X1;
X2
), discreta ou contí-
nua, permite que sejam determinadas as distribuições marginais de X1
e de X2
.
Entretanto o conhecimento das distribuições marginais não permite, em geral, a
determinação da distribuição de probabilidade conjunta de (X1,
X2
). Isso será possí-
vel quando X1
e X2
forem independentes.
Também é de fundamental importância ressaltar que o conhecimento
das distribuições de probabilidade marginais não permite, em geral, a
determinação da distribuição de probabilidade P da função Z de variável
aleatória bidimensional (X1,
X2
). Desse modo, o conhecimento das
distribuições de probabilidade de RA
e de RB
ilustradas na figura E5.5 não
permite, em geral, determinar a distribuição de probabilidade do PL.
Conforme estudaremos nos capítulos 11 e 12, a metodologia da Simulação
Monte Carlo permite estimar a distribuição de probabilidade do PL, a partir do
conhecimento das distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias
unidimensionais.
E5.7 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES
Sejam duas variáveis aleatórias discretas, X1
e X2
. Se os eventos X1
=x1
e X2
=x2
são independentes entre si para todo x1
e x2
, então X1
e X2
serão ditas variáveis aleató-
rias independentes. Quando duas variáveis aleatórias são independentes entre si, a pro-
babilidade de determinado par ordenado ocorrer é igual ao produto das probabilidades
de ocorrência de cada valor isoladamente, conforme mostrado na expressão a seguir:
P (X1
=x1
, X2
=x2
) = P (X1
=x1
) . P (X2
=x2
) (E5.3a)
Quando duas variáveis aleatórias contínuas são independentes entre si, a pro-
babilidade de determinado resultado (x1i
,x2j
) pertencer à área [x1a
,x1b
] . [x2c
,x2d
]
é igual ao produto das probabilidades de x1i
pertencer ao intervalo [x1a
,x1b
] e de x2j
pertencer ao intervalo [x2c
, x2d
], conforme mostrado na expressão seguinte:
P (x1i
∈ [x1a
,x1b
], x2j
∈ [x2c
,x2d
]) = P(x1i
∈ [x1a
,x1b
]) . P (x2j
∈ [x2c
,x2d
]) (E5.3b)
>> 34
h(x2
) = ∫ f (x1;
x2
) dx1
+∞
-∞

A seguir, apresentaremos um exemplo que possibilitará a utilização dos con-
ceitos estudados até este ponto para calcular o Value at Risk de um banco que capta
recursos de terceiros.
Exemplo E5.1 – Admita que o patrimônio líquido de um banco seja uma
função da variável aleatória bidimensional (RA
,RB
), sendo RA
a variável aleatória
retorno efetivo da ação A e RB
a variável aleatória retorno efetivo da ação B.
Considere que o banco possua 5 unidades da ação A em seu ativo e que tenha
uma unidade da ação B no seu passivo (possua dívida indexada ao preço da
ação B). No instante inicial o preço de mercado da ação A era de R$ 1 e o preço
de mercado da ação B era de R$ 4. O banco possui também um ativo permanen-
te de R$ 3, cujo valor permanece constante ao longo do tempo. Portanto o
patrimônio líquido deverá apresentar o valor inicial de R$ 4.
O balanço do banco no instante inicial t+0 pode ser representado da forma
a seguir:
Ativo Passivo
Ativo Circulante Passivo Circulante
5 . PA
= R$ 5 1 . PB
= R$ 4
Ativo Permanente Patrimônio Líquido
R$ 3 R$ 4
O patrimônio líquido do banco pode ser representado pela seguinte função
linear de variável aleatória bidimensional:
PL = f (RA
,RB
) = VA
. RA
+ VB
. RB
+ PL t+0
= R$ 5 . RA
- R$ 4 . RB
+ R$ 4
Considere que as variáveis aleatórias dos retornos efetivos, RA
e RB
, sejam
independentes entre si. Desse modo, o valor do ativo e o valor do passivo serão
números aleatórios e independentes entre si, sendo o valor do PL após decorrido um
período (no instante t+1) a diferença entre os valores do ativo e do passivo.
Com o objetivo de possibilitar a percepção dos resultados de forma intuitiva,
vamos admitir que as variáveis aleatórias RA
e RB
tenham funções de probabilidade
bastante simples, como mostramos a seguir:

Funções de Probabilidade das VA
P (RA
= -100%) = 1/4 P (RB
= -75%) = 1/6
P (RA
= 0%) = 1/2 P (RB
= -50%) = 1/6
P (RA
= +100%) = 1/4 P (RB
= -25%) = 1/6
P (RB
= 0%) = 1/6
P (RB
= +25%) = 1/6
P (RB
= +50%) = 1/6
Perguntas:
a) qual a função de probabilidade conjunta da VA bidimensional (RA
, RB
)?
b) qual a probabilidade de RA
ser igual a 0% e de RB
ser igual a - 50%,
simultaneamente (P (RA
= 0% , RB
= -50%))?
c) qual a função de probabilidade do PL (que, neste exemplo, é uma função
linear de variável aleatória bidimensional)?
d) qual a probabilidade de o PL ser igual a +R$ 7 (P (plt+1
= +R$ 7))?
e) qual o PL crítico, a partir do qual há 2/24 de probabilidade de ocorrerem
os menores valores do PL e, conseqüentemente, acima do qual há 22/24 de ocorre-
rem os maiores valores do PL?
Respostas:
a) A tabela a seguir mostra a função de probabilidade conjunta (RA
, RB
), ou
seja, a probabilidade de ocorrência de cada par ordenado (RA
, RB
):
A função de probabilidade conjunta está representada no gráfico E5.1, da
seção E5.3.
b) Conforme se pode observar na função de probabilidade conjunta (RA
, RB
),
P (RA
= 0%; RB
= -50%) = 2/24.
RA
RB
- 100%
0%
+100%
TOTAIS f2
(RB
)
-75%
1/24
2/24
1/24
4/24
-50%
1/24
2/24
1/24
4/24
-25%
1/24
2/24
1/24
4/24
0%
1/24
2/24
1/24
4/24
+25%
1/24
2/24
1/24
4/24
+50%
1/24
2/24
1/24
4/24
TOTAIS f1
(RA
)
6/24
12/24
6/24
1

c) A tabela a seguir representa a função de variável aleatória do PL e mostra
os seus valores, que são decorrentes dos pares ordenados (RA
, RB
):
A função de probabilidade do PL será a seguinte:
A função de probabilidade da função de variável aleatória bidimensional do
PL pode ser representada no gráfico a seguir:
PL t+1
Possíveis
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Probabilidades
de Ocorrência
1/24
1/24
1/24
1/24
1/24
3/24
2/24
2/24
2/24
2/24
3/24
1/24
1/24
1/24
1/24
1/24
RA
RB
-100%
0%
+100%
-75%
+2
+7
+12
-50%
+1
+6
+11
-25%
0
+5
+10
0%
-1
+4
+9
+25%
-2
+3
+8
+50%
-3
+2
+7

Observe que a função de probabilidade da função de variável aleatória
bidimensional é unidimensional, ao passo que a função de probabilidade conjunta
da variável aleatória bidimensional é bidimensional.
É interessante notar que a combinação de uma função de probabilidade
unidimensional unimodal (função de probabilidade da VA RA
) e de outra amodal
(função de probabilidade da VA RB
) resultou em uma função de probabilidade bimodal
para a função de probabilidade da VA bidimensional (RA
,RB
).
Isto nos dá uma idéia de como pode ser difícil estimar funções de probabili-
dade para o PL quando conhecermos apenas as distribuições de probabilidade das
variáveis nas quais uma instituição mantenha posições. Geralmente não se conhece
as distribuições de probabilidade do PL, mas apenas as distribuições de probabilida-
de das variáveis que influenciam seu valor.
d) P (PL= + R$ 7) = P(RA
= 0%; RB
= -75%) + P(RA
= +100%; RB
= +50%)
= 2/24 + 1/24 = 3/24
Podemos observar que há duas combinações de valores do ativo e do passivo
(dois pares ordenados de retornos) que geram o mesmo PL6
.
e) O patrimônio líquido crítico em t+1 (PLc t+1
) que separa os 2/24 piores
resultados do PL dos demais resultados é o PL = - R$ 2. Como será visto adiante, a
diferença entre o PLt+0
(+R$ 4) e o PLc t+1
(-R$ 2) é igual ao Value at Risk do banco,
ao nível de significância de 2/24 (aproximadamente 8,33%). Há, portanto, 8,33%
de probabilidade de a perda ser igual ou maior do que R$ 4 - (-R$ 2) = R$ 6.
0 +4+2 PL em R$
f (PL)
+1
1/24
+5
2/24
3/24
+10+7-2 -1-3 +8 +9+6 +11+12
1/24
3/24
6 Como se sabe, dois argumentos de uma função podem ter a mesma imagem. A recípro-
ca não é verdadeira, ou seja, cada par ordenado gera um, e somente um, valor de PL.
Ex. E5.1 Função de Probabilidade Função de VA Bidimensional Discreta
+3

Retornaremos a este exemplo no capítulo 12 (exemplo 12.6 da sação 12.4.1),
quando, então, iremos comparar o cálculo do Value at Risk deste exemplo com os Value
at Risk obtidos de acordo com as metodologias analítica e da Simulação Monte Carlo.
E5.8 COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS
A covariância é uma medida que informa o quanto duas variáveis são associ-
adas. Esta é uma medida dimensional, ou seja, varia à proporção que variem as
unidades de medida das duas variáveis para as quais a covariância estiver sendo
calculada. Portanto a covariância pode assumir valores pertencentes ao conjunto dos
números reais (ou seja, pode assumir valores de -∞ até +∞).
• Para duas variáveis aleatórias discretas, a covariância é obtida pela fórmula
a seguir:
>> 36
(E5.4a)
(E5.4b)
• Para duas variáveis aleatórias contínuas, a covariância é obtida pela fórmu-
la a seguir:
>> 37
E5.9 PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA E DO DESVIO PADRÃO
Seja t uma constante e X uma variável aleatória. Considere a função linear de
variável aleatória unidimensional Y = t . X. A variância e o desvio padrão de Y
podem ser obtidos a partir da variância e do desvio padrão da variável aleatória X,
conforme mostrado a seguir:
VAR [Y] = VAR (t . X) = t2 . VAR [X] (E5.5a)
σ Y = σ (t . X) =⏐ t ⏐ . σ X (E5.5b)
>> 36
+∞ +∞ +∞ +∞
j=1 i=1 j=1 i=1
COV (X1
,X2
) = σ X1
X2
= Σ Σ x1i
. x2j
. p(x1i
;x2j
) - Σ x1i
. p (x1i;
;x2j
) . Σ x2j
. p(x1i
;x2j
)
= E (X1
. X2
) - E (X1
) . E (X2
)
= E [(X1
- μx1
) . (X2
- μx2
)]
>> 37
COV (X1
,X2
) = σ X1
X2
= ∫ ∫ x1
.x2
. f(x1
;x2
) dx1
dx2
- ∫ x1
.f(x1
;x2
) dx2
.∫ x2
.f(x1
;x2
) dx1
= E (X1
. X2
) - E (X1
) . E (X2
)
= E [(X1
- μx1
) . (X2
- μx2
)]
+∞ +∞ +∞ +∞
-∞ -∞ -∞ -∞

E5.9.1 VARIÂNCIA DE UMA FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL
Sejam X1
e X2
duas variáveis aleatórias e a e b duas constantes. Considere a
função de variável aleatória bidimensional Y = X1
+ X2
. Pode-se afirmar que:
VAR (Y) = VAR (X1
+ X2
) = VAR [X1
] + VAR [X2
] + 2 . COV (X1
,X2
)
Se Y = X1
- X2
, então:
VAR (Y) = VAR (X1
- X2
) = VAR [X1
] + VAR [X2
] - 2 . COV (X1
,X2
)
Se Y = a . X1
+ b . X2
, então:
VAR(Y)=VAR (a . X1
+ b . X2
) = a2 . VAR [X1
] + b2 . VAR [X2
] + 2 . a . b . COV (X1
,X2
)
Se Y = a . X1
- b . X2
, então:
VAR(Y)=VAR (a . X1
- b . X2
) = a2 . VAR [X1
] + b2 . VAR [X2
] - 2 . a . b . COV (X1
,X2
)
Se X1
e X2
são variáveis aleatórias independentes entre si, então:
COV (X1
, X2
) = 0
Se Y = a . X1
+ b . X2
, então:
VAR(Y) = VAR (a . X1
+ b . X2
) = a2 . VAR [X1
] + b2 . VAR [X2
]
Se Y = a . X1
- b . X2
, então:
VAR(Y) = VAR (a . X1
- b . X2
) = a2 . VAR [X1
] + b2 . VAR [X2
]
Os desvios padrão das funções de variáveis aleatórias bidimensionais são
iguais às variâncias elevadas a ½.
E5.10 CORRELAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS
De forma análoga à covariância, a correlação também é uma medida do
quanto duas variáveis aleatórias são associadas.
Diferentemente da covariância, a correlação é uma medida adimensional, ou
seja, não varia à proporção que variem as unidades de medida das duas variáveis
para as quais a correlação estiver sendo calculada.

O fato de a correlação ser adimensional favorece que ela seja bem mais
utilizada do que a covariância para medir a associação entre os ativos.
A correlação pode assumir valores pertencentes ao intervalo [-1 ,+1].
• Seja (X1
,X2
) uma variável aleatória bidimensional. O coeficiente de correla-
ção ρ entre X1
e X2
é definido como:
>> 41 (E5.7)
Da mesma forma que é necessário estimar as volatilidades futuras dos ativos
a partir das volatilidades passadas, também é indispensável que se estimem as corre-
lações futuras entre os ativos a partir de suas correlações passadas, para que se possa
calcular o risco de PLs que sejam influenciados por mais de uma variável.
Exemplo E5.2 – Considere que dois ativos, A e B, possuem os retornos
efetivos esperados e as volatilidades mostrados a seguir:
Ativo E [Retorno Efetivo] σσσσσ
anual anual
A 10% 18%
B 20% 22%
Se um aplicador decidir alocar 50% de seu capital em cada um dos ativos
apresentados, qual será a esperança de retorno e o risco, se os ativos tiverem corre-
lações iguais a ρ=1, ρ=0,2, ρ=0 e ρ= -1?
Respostas:
O retorno esperado de um conjunto de posições é igual à média dos retornos
de cada posição, ponderada pelas participações das posições em relação aos seus
valores iniciais.
Portanto, independentemente da correlação entre as variáveis, a esperança de
retorno do conjunto de posições (a esperança de retorno do PL) será:
E [Retorno do PL] = 0,5 . 10% + 0,5 . 20% = 15%
Para calcular o risco, devem-se aplicar as propriedades das variâncias e dos
desvios padrão das funções de variáveis aleatórias bidimensionais apresentadas
anteriormente:
>> 41
E (X1
. X2
) - E (X1
) . E (X2
)
σ X1
. σ X2
COV (X1
,X2
)
σ X1
. σ X2
=ρ =

σ PL = [0,52 . σ2
A
+ 0,52 . σ2
B
+ 2 . 0,5 . 0,5 σ AB
]1/2
= [0,52 . σ2
A
+ 0,52 . σ2
B
+ 2 . 0,5 . 0,5 ρ AB
. σA
. σB
]1/2
Para ρ = 1, o risco será igual a:
σ PL = [0,52 . 0,18 2
+ 0,52 . 0,222
+ 2 . 0,5 . 0,5 . 1 . 0,18 . 0,22] 1/2
= [0,0081 + 0,0121 + 0,0198] 1/2
= [0,04] 1/2
= 0,20 = 20%
Para ρ = 0,2, o risco será igual a:
σ PL = [0,52 . 0,182
+ 0,52 . 0,222
+ 2 . 0,5 . 0,5 . 0,2 . 0,18 . 0,22] 1/2
= [0,0081 + 0,0121 + 0,00396] 1/2
= [0,02416] 1/2
= 0,155435 = 15,5435%
Para ρ = 0, o risco será igual a:
σ PL = [0,52 . 0,182
+ 0,52 . 0,222
+ 2 . 0,5 . 0,5 . 0 . 0,18 . 0,22] 1/2
= [0,0081 + 0,0121 + 0] 1/2
= [0,0202] 1/2
= 0,142127 = 14,2127%
Para ρ = -1, o risco será igual a:
σ PL = [0,52 . 0,182
+ 0,52 . 0,222
+ 2 . 0,5 . 0,5 . -1 . 0,18 . 0,22]1/2
= [0,0081 + 0,0121 - 0,0198]1/2
= [0,0004]1/2
= 0,02 = 2,00%
Podemos observar que o risco do aplicador, que é igual à volatilidade do
patrimônio líquido de sua aplicação, reduz-se, à medida que se reduz a correlação
entre os ativos A e B.
A seguir, desenvolveremos um pouco mais o exemplo apresentado, a fim de
ilustrar a redução de risco obtida a partir da diversificação das aplicações.

A tabela a seguir mostra diversas combinações para as proporções dos ativos
A e B na composição do balanço, supondo ρ = 0,20.
Para obter a combinação dos ativos A e B que proporciona a menor variância
possível, quando se admite a possibilidade de ficar captado em um e aplicado no
outro, deve-se derivar a fórmula de variância do PL em relação à participação do
ativo A no PL (denominaremos essa proporção de x) e igualar a derivada a zero para
obter a condição de primeira ordem, conforme mostrado a seguir:
>> 44
Como a derivada parcial segunda é positiva, a condição de segunda ordem é
satisfeita e, conseqüentemente, ao igualar a derivada parcial primeira a zero, tere-
mos um ponto de mínimo8
, conforme mostramos a seguir:
7 Se houver alguma dúvida de que a derivada parcial segunda é positiva sugerimos confe-
rir novamente as propriedades de variância da seção E5.9.1, tendo em mente que a
variância de uma variável é sempre positiva. Se a variância for nula trata-se de uma cons-
tante.
8 Se a derivada parcial segunda fosse negativa, tratar-se-ia de um ponto de máximo.
Lembramos que há casos em que são necessários outros cálculos para saber se determina-
do ponto representa um máximo ou mínimo da função.
>> 44
A derivada parcial segunda seria igual a:
=
∂ VAR[x . A + (1-x) . B]
∂ x
∂ (x2 .VAR [A] + (1-x)2 .VAR [B] + 2 .x .(1-x) .COV(A,B))
∂ x
= 2 . x . (σ2
B + σ2
A - 2 . COV (A,B)) - 2 . σ2
B + 2 . COV (A,B)
∂2
VAR[x . A + (1-x) . B]
∂ x2
= 2 . (σ2
B + σ2
A - 2 . COV (A,B)) > 0 7
Balanço
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
Proporção
do Ativo A
2,00
1,50
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
-0,50
-1,00
Proporção
do Ativo B
-1,00
-0,50
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,50
2,00
Retorno
Esperado
0%
5%
10%
12%
14%
16%
18%
20%
25%
30%
Desvio
Padrão
38,25%
27,04%
18,00%
15,88%
15,23%
16,25%
18,66%
22,00%
32,42%
44,08%

>> 45 (E5.8)
Por exemplo, efetuando esse cálculo para o caso em que ρ = 0,2, obtém-se:
Conseqüentemente, ao aplicar 0,6232 no ativo A e 0,3768 (1 - 0,6232) no
ativo B, obtém-se a combinação de posições que proporciona a menor volatilidade
possível no PL. Com essas proporções, o risco e o retorno esperado do PL será:
σ PL=[0,62322 . 0,182
+ 0,37682 . 0,222
+ 2 . 0,6232 . 0,3768 . 0,2. 0,18 . 0,22]1/2
= [0,0126 + 0,0069 - 0,0037]1/2
= [0,02317]1/2
= 0,1522 = 15,22%
E [Retorno] = 0,6232 . 10% + 0,3768 . 20% = 13,77%
Os resultados da tabela podem ser visualizados no gráfico a seguir:
Do exemplo anterior, podemos depreender as seguintes conclusões:
x =
0,222
- 0,2 . 0,18 . 0,22
0,222
+ 0,182
- 2 . 0,2 . 0,18 . 0,22
>> 45
x =
σ2
B - COV (A , B)
σ2
B + σ2
A - 2 . COV (A , B)
σ
E[Retorno]
20,0%
13,77%
10,0%
0% 15,22% 18% 22%
B8
B7
B6
B5
B4
Bmín
..
.
..
.
.
B3
Ex. E5.1 Relação Entre Retorno Esperado e Risco de Diferentes Balaços
= 0,6232

•paraumaplicadoravessoaorisco,osbalançosB1
eB2
sãoineficientes,namedida
em que é possível obter balanços com mesmos riscos e maiores retornos esperados;
• para um aplicador avesso ao risco, balanços que possuam proporções aplicadas
no ativo B maiores do que aquela contida em Bmín (balanço com o menor desvio
padrão) serão eficientes, na medida em que não é possível obter balanços com maior
retorno esperado, para um dado nível de risco.
Exemplo E5.3 – Determine as proporções de A e de B que minimizam a
variância do retorno do aplicador do exemplo anterior, considerando que as corre-
lações entre os ativos sejam iguais a +1 ou -1. Calcule o risco (desvio padrão) e o
retorno esperado do aplicador, considerando as proporções encontradas.
Resposta - Se ρ = +1, a proporção a ser aplicada no ativo A deve ser igual a:
Conseqüentemente, devem-se aplicar 550% do PL no ativo A e - 450% do
PL no ativo B (devem-se captar 450% do PL no ativo B)9
.
A volatilidade do PL será igual a:
σ PL =[5,52 .0,182
+ (- 4,5)2 .0,222
+ 2 .5,5 .(- 4,5) .(+1) .0,18 .0,22]1/2
= [0,9801 + 0,9801 - 1,9602]1/2
= [0]1/2
O retorno esperado do PL será igual a:
E [Retorno] = 5,5 . 10% + (-4,5) . 20% = - 35,00%
Se ρ = -1, a proporção a ser aplicada no ativo A deve ser igual a:
>>50
Conseqüentemente, devem-se aplicar 55% do PL no ativo A e 45% do PL no
ativo B.
>> 50
0,222
- (-1) . 0,18 . 0,22
0,222
+ 0,182
- 2 . (-1) . 0,18 . 0,22
x = = 0,55
>> 48
0,222
- (+1) . 0,18 . 0,22
0,222
+ 0,182
- 2 . (+1) . 0,18 . 0,22
x = = 5,5
9 Os livros de Finanças, tradicionalmente, tratam a captação como posição Short Seller, ou
seja, posição vendida a descoberto no ativo B.

A volatilidade do PL será igual a:
σ PL = [5,52 . 0,182
+ 0,452 . 0,222
+ 2 . 0,55 . 0,45 . 0,2 . 0,18 . 0,22]1/2
= [0,0098 + 0,0098 - 0,0196]1/2
= [0]1/2
= 0 = 0%
O retorno esperado do PL será igual a:
E [Retorno] = 0,55 . 10% + 0,45 . 20% = +14,50%
É possível demonstrar que:
Sempre que dois ativos possuírem ρ = -1 ou ρ = +1, haverá
uma combinação entre ambos que proporciona volatilidade do PL
igual a zero. Conforme veremos ao longo do livro, ao adotar a
combinação de posições que torne a volatilidade da combinação
de posições nula, o administrador de risco estará efetuando hedge
de uma posição com a outra.
Podem-se visualizar os resultados obtidos, no gráfico abaixo:
σ
E [Retorno]
20,0%
14,5%
13,77%
10,0%
0 %
- 35,00%
18%
ρ = + 0,2
ρ = +1
ρ = -1
15,22% 22%
Ex. E5.3 Relação Entre Retorno Esperado e Risco Considerando-se Diferentes Correlações

A linha reta ilustra o caso em que dois ativos sejam perfeitamente
correlacionados (ρ = +1). Nesse caso não há o efeito diversificação, embora seja
possível montar hedges perfeitos ao combinar posições ativas e posições passivas
com os dois ativos. Por exemplo, considerando que o preço do dólar a termo tenha
correlação igual a +1 com o preço do dólar à vista, ao vender dólar a termo estar-se-
á efetuando hedge do dólar à vista que esteja no ativo.
O efeito diversificação pode ser percebido pela comparação da linha reta
com as curvas à sua esquerda (quando ρ = -1, a combinação de diferentes propor-
ções forma as retas mostradas no gráfico anterior).
Vale lembrar que nem sempre a curva possui pontos à esquerda do ativo que
tem menor variância, nas composições de posições em que haja aplicações em am-
bos os ativos. Isso dependerá do grau de correlação entre os ativos (por exemplo,
quando ρ = +1, isto não ocorre).

DDD 10
S
s
Sx1
x1
= x1
(s)
Sx2
x2
= x2
(s)
Sxn
xn
= xn
(s)
VA(X1
X2
,...,Xn
)
VA X1
. . .
VA X2
VA Xn
E6 Variáveis Aleatórias N-Dimensionais e o
Teorema do Limite Central
E6.1 DEFINIÇÃO
As variáveis aleatórias multidimensionais (ou multivariadas) de ordem n po-
dem ser definidas da seguinte forma:
Uma Variável Aleatória N-Dimensional é um conjunto de n Funções
Matemáticas que associa uma seqüência ordenada de n números reais
a cada resultado aleatório possível de ocorrer em um experimento
aleatório. Portanto as possíveis seqüências ordenadas de números reais
ocorrerão de forma aleatória.
Considere uma experiência aleatória cujos possíveis resultados sejam
representados pelo conjunto S (espaço amostral). Sejam n variáveis aleatórias
unidimensionais, X1
,X2
,...,Xn
, em que cada uma associa um número real a
cada elemento de S. Por exemplo, se s ∈ S, haverá um número x1
, que é
função de s (x1
(s)), um número x2
(s)),..., e um
número xn
, que é função de s (xn
(s)). A seqüência ordenada (X1
,X2
,...,Xn
)
é denominada variável aleatória n-dimensional. Os resultados aleatórios da
variável aleatória n-dimensional (x1
,x2
,...,xn
) representam seqüências orde-
nadas de números reais e, por isto, esses resultados aleatórios também são
conhecidos como vetores aleatórios (pontos do espaço vetorial ℜn
).
Figura E6.1Figura E6.1 Variável Aleatória N-Dimensional

onde:
, da VA X2
,..., da VA Xn
e da VA
(X1
,X2
,...,Xn
), ou seja, é o conjunto de argumentos das
funções. Os argumentos ocorrerão de forma aleatória;
Sxi
= contradomínio da VA Xi
, ou seja, é o conjunto de números
reais possíveis de serem obtidos pela variável aleatória Xi
;
(Sx1
,Sx2
,...,Sxn
)= contradomínio da variável aleatória n-dimensional, ou seja,
é o conjunto de vetores de números reais possíveis de serem
obtidos pela variável aleatória n-dimensional (X1
,X2
,...,Xn
).
E6.2 FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA N-DIMENSIONAL
Uma Função de Variável Aleatória N-Dimensional é uma Função
Matemática que associa apenas um número real a cada resultado da
variável aleatória n-dimensional (seqüência ordenada de números reais).
Seja Z uma função que associa um número real a cada resultado da variável
aleatória (X1
,X2
,...,Xn
). Portanto, para cada seqüência ordenada (x1
,x2
,...,xn
),
haverá um número z, que é função do resultado aleatório (x1
,x2
,...,xn
), ou seja,
z = z (x1
,x2
,...,xn
). Dessa forma, Z = Z (X1
(s),X2
(s),...,Xn
(s)) é uma função
de variável aleatória n-dimensional, na medida em que o seu resultado é função de
n variáveis aleatórias que dependem do resultado do experimento aleatório.
A figura a seguir representa uma função de variável aleatória n-dimensional.
DDD 11 Figura E6.2
DDD 11
S
s
Sx1
x1
= x1
(S)
Sx2
x2
= x2
(S)
Sxn
. . .
xn
= xn
(S)
z = z (x1
, x2
,..., xn
)
VA(X1
X2
,...,Xn
)
VA X1
. . .
VA X2
VA Xn
Função de
da VA n-dimensional
(X1
,X2
,...,Xn
)
Figura E6.2
Figura E6.2 Função de Variável Aleatória N-Dimensional
Sz

onde:
, da VA X2
,..., da VA Xn
e da VA (X1
,X2
,...,Xn
).
Os argumentos ocorrerão de forma aleatória;
Sxi
= contradomínio da VA Xi
;
Sz = contradomínio da função de variável aleatória n-dimensional (conjun-
to de números reais possíveis de serem obtidos por Z).
O conceito apresentado nesta sação é de grande importância para o
estudo do risco de mercado, na medida em que o patrimônio líquido
de uma instituição pode ser visto como uma função de variável aleatória
n-dimensional. A variável aleatória n-dimensional será o conjunto de
retornos efetivos das variáveis que influenciam o PL.
A respeito do conceito de função de variável aleatória n-dimensional, vale
ainda lembrar que:
• quando z = z(x1
,x2
,...,xn
) varia linearmente em decorrência de alterações
nos xi
, trata-se de um balanço composto de posições lineares (como, por exemplo,
ações ou moedas), e, portanto, o PL será uma função linear de variável aleatória
n-dimensional;
• quando z = z(x1
,x2
,...,xn
) varia de forma não-linear em decorrência de
alterações nos xi
, trata-se de um balanço composto de posições não-lineares (como,
por exemplo, opções de compra, opções de venda e títulos de renda fixa prefixados
ou pós-fixados, que variam de forma não-linear em decorrência de alterações no
retorno efetivo do ativo-objeto ou na taxa de juro), e, portanto, o PL será uma função
não-linear de variável aleatória n-dimensional.
E6.3 FUNÇÃO DE PROBABILIDADE CONJUNTA
Uma Função de Probabilidade Conjunta associa uma probabilidade
de ocorrência a cada possível resultado (seqüência ordenada de números
reais) de uma variável aleatória n-dimensional discreta.
Seja (X1
,X2
,...,Xn
) uma variável aleatória n-dimensional discreta. Seja P
uma função que associa a cada possível vetor de (X1
,X2
,...,Xn
), que chamaremos
de (x1
,x2
,...,xn
), um número p (x1
,x2
,...,xn
) que represente a probabilidade de
que (X1
,X2
,...,Xn
) seja igual a (x1
,x2
,...,xn
).
A função P é a função de probabilidade conjunta da variável aleatória
n-dimensional (X1
,X2
,...,Xn
).

A probabilidade de que (X1
,X2
,...,Xn
) seja igual a (x1
,x2
,...,xn
) é represen-
tada pela simbologia P(X1
=x1
,X2
=x2
,...,Xn
=xn
) e é igual ao número p(x1
,x2
,...,xn
).
Os números p(x1
,x2
,...,xn
onde os t1
, t2
,...tn
são os números de elementos dos contradomínios das
VA X1
,X2
,...,Xn
respectivamente.
A figura a seguir ilustra uma função de probabilidade conjunta.
DDD 12 Figura E6.3
E6.4 FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA
Uma Função Densidade de Probabilidade Conjunta N-Dimensional é
uma Função Matemática que associa aos possíveis resultados da Variável
Aleatória (seqüências ordenadas de números reais) um número p, de
modoque pseja igual à probabilidade de o resultado da Variável Aleatória
pertencer aos subconjuntos especificados do espaço vetorial ℜ
n
.
Seja uma variável aleatória n-dimensional contínua (X1
,X2
,...,Xn
). Sejam
[x1a
,x1b
], [x2c
,x2d
],...,[xne
,xnf
] n intervalos de números reais de X1
,X2
,...,Xn,
respectivamente. A função densidade de probabilidade conjunta da VA n-dimensional
será a função f que associar ao subconjunto do espaço vetorial ℜn
, delimitado por
p(x1
,x2
,...,xn
,x2
,...,xn
) ∈ ℜn
Σ Σ ... Σ p(x1a
,x2b
,...,xnc
) = 1
t 1 t 2 tn
a=1 b=1 c=1
S
s
Sx1
x1
= x1
(s)
Sx2
x2
= x2
(S)
Sxn
. . .
xn
= xn
(S)
Sz
p = p(x1
, x2
,..., xn
)
VA(X1
X2
,...,Xn
)
VA X1
. . .
VA X2
VA Xn
P Função de
Probabilidade Conjunta
da VA n-dimensional
(X1
,X2
,...,Xn
)
Figura E6.3 Função de Probabilidade Comjunta de VA N-Didimensional

([x1a
,x1b
], [x2c
, x2d
],..., [xne
, xnf
]), a probabilidade de que as possíveis
seqüências ordenadas de números reais (x1
,x2
,...,xn
) pertençam simultaneamente
ao intervalo [x1a
,x1b
], ao intervalo [x2c
,x2d
],..., e ao intervalo [xne
,xnf
], ou seja,
pertençam ao subconjunto do espaço vetorial ℜn
.
A função f deve satisfazer às seguintes condições:
>> 53
Note que o contradomínio de Xi
(Sxi
) poderá conter um limite inferior li e
um limite superior ls em que lixi
e lsxi
sejam constantes. Neste caso, sem prejuízo
das condições acima, poderemos afirmar que:
>> 54
Para calcularmos a probabilidade de ocorrência de valores pertencentes
simultaneamente ao intervalo [x1a
,x1b
] (P (x1a
< x < x1b
)), ao intervalo
[x2c
,x2d
] (P (x2c
< x < x2d
)),..., e ao intervalo [xne
,xnf
] (P (xne
< x < xnf
)),
deveremos resolver a integral de ordem n, a seguir:
>> 55
Conforme vimos na seção E1.2.1, para representar graficamente uma distri-
buição de probabilidade unidimensional é necessário um gráfico bidimensional e,
de acordo com o que vimos na seção E5.3, para representar graficamente uma
distribuição de probabilidade bidimensional é necessário um gráfico tridimensional.
Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias de
dimensão igual ou superior a três não são possíveis de serem
representadas graficamente, pois isso exigiria gráficos de dimensão
igual ou superior a quatro. Entretanto este fato não possui qualquer
influência e não reduz a utilização ou a análise das funções de
probabilidade conjuntas de dimensão igual ou superior a três.
>> 55
∫ ∫ ... ∫ f(x1
, x2
,..., xn
) dx1
dx2
...dxn
= 1
x1b x2d xnf
x1a x2c xne
f(x1
,x2
,...,xn
,x2
,...,xn
) ∈ ℜn
∫ ∫ ... ∫ f(x1
,x2
,...,xn
) dx1
dx2
...dxn
= 1
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
>> 54
∫ ∫ ... ∫ f(x1
, x2
,..., xn
) dx1
dx2
...dxn
= 1
lsx1 lsx2 lsxn
lix1 lix2 lixn

E6.5 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE FUNÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA
N-DIMENSIONAL
Uma Função de Probabilidade de uma Função de Variável Aleatória
N-Dimensional discreta associa uma probabilidade de ocorrência para
cada possível resultado (número real) da Função de Variável Aleatória
N-Dimensional.
Seja P uma função que associa a cada resultado (número real) de uma
função Z de variável aleatória n-dimensional discreta um número p, de modo que p
seja igual à probabilidade de Z ser igual a z. A função P é a função de probabilidade
da função de variável aleatória n-dimensional (X1
,X2
,...,Xn
).
A figura a seguir ilustra as relações entre as funções mencionadas:
Se a variável aleatória n-dimensional (X1
,X2
,...,Xn
) for contínua, a função
densidade de probabilidade da função de variável aleatória Z associará a cada inter-
valo dos possíveis resultados de Z (intervalos de números reais) um número p, de
modo que p seja igual à probabilidade de um resultado aleatório de Z pertencer ao
intervalo especificado.
É de grande importância para o estudo de risco de mercado ressaltar os se-
guintes pontos:
S
S
Sx1
x1
= x1
(s)
Sx2
x2
= x2
(s)
Sxn
. . .
xn
= xn
(s)
Sz
z = z (x1
, x2
,..., xn
)
VA(X1
X2
,...,Xn
)
VA X1
. . .
VA X2
VA Xn
Função de
da VA n-dimensional
(X1
,X2
,...,Xn
)
Função de
Probabilidade
P=P(z)
p=p(z)
Figura E6.4Figura E6.4 Função de Probabilidade de Função de VA N-Didimensional

• o conhecimento das distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias
Xi
não permite (em geral) que se determine a distribuição de probabilidade de Z.
Portanto o conhecimento das distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias
que influenciam um balanço geralmente não permite que se determine a distribui-
ções de probabilidade do PL;
• para calcular o risco do PL de acordo com a metodologia analítica (a ser
apresentada no capítulo 11), é necessário admitir uma distribuição de probabilidade
substituta da verdadeira distribuição de probabilidade do PL (proxy da distribuição
de probabilidade verdadeira do PL), dado que esta última não é (em geral) conhecida;
• a maneira de se estimar o formato da verdadeira distribuição de probabili-
dade do PL a partir do conhecimento das distribuições de probabilidade das variá-
veis aleatórias unidimensionais que influenciam o PL é por meio da metodologia da
Simulação Monte Carlo (a ser apresentada no capítulo 11). Essa metodologia, além
de estimar o formato da verdadeira distribuição de probabilidade do PL, permite o
cálculo do risco do PL sem que seja necessário admitir uma proxy da distribuição
de probabilidade verdadeira do PL.
E6.6 DISTRIBUIÇÕES MARGINAIS
De forma análoga às distribuições marginais de uma variável aleatória
bidimensional, também é possível obter as distribuições de probabilidade de X1
, de
X2
,..., e de Xn
separadamente, a partir da distribuição de probabilidade conjunta da
VA (X1
,X2
,...,Xn
).
Para variáveis aleatórias discretas, as distribuições marginais são obtidas a
partir das seguintes fórmulas:
>> 56
p(x1a
) = p(X1
=x1a
) = Σ Σ ... Σ p (x1a
,x2b
,...,xne
) = 1 para todo (x2b
,...,xne
) ∈ ℜn-1
q(x2b
) = p(X2
=x2b
) = Σ Σ ... Σ p (x1a,
x2b
,...,xne
) = 1 para todo (x1a
, x3c
,...,xne
) ∈ℜn-1
>> 56
e=1
t 2 t 3 tn
t 2 t 3 tn
b=1 c=1 e=1
a=1 c=1
..................................................................................................................
r(xne
) = p(Xn
=xne
) = Σ Σ ... Σ p (x1a,
x2b
,...,xn-1d
, xne
) = 1 para todo (x1a,
...,xn-1d
) ∈ ℜn-1
d=1
t 1 t 2 tn-1
a=1 b=1

Para variáveis aleatórias contínuas, as distribuições marginais são obtidas a
partir das seguintes fórmulas:
>> 57
De forma análoga às variáveis aleatórias bidimensionais, o conheci-
mento de uma distribuição de probabilidade conjunta de variáveis aleatórias
n-dimensionais possibilita que sejam determinadas as distribuições marginais
das variáveis aleatórias unidimensionais que compõem as variáveis aleatórias
n-dimensionais. Entretanto o conhecimento das distribuições marginais não per-
mite, em geral, a determinação da distribuição de probabilidade conjunta da
variável aleatória n-dimensional. Isto será possível quando as variáveis aleatóri-
as unidimensionais forem independentes.
E6.7 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES
Sejam n variáveis aleatórias discretas, X1
,X2
,...,Xn
. Se os eventos X1
=x1
,
X2
=x2
,...,Xn
=xn
são independentes entre si para todo x1
,x2
,...,xn
, então X1
,X2
,...,Xn
serão ditas variáveis aleatórias independentes. Quando n variáveis aleatórias são
independentes entre si, a probabilidade de determinada seqüência ordenada de valo-
res ocorrer é igual ao produto das probabilidades de ocorrência de cada valor isola-
damente, conforme mostrado na expressão a seguir.:
P (X1
=x1
,X2
=x2
,..., Xn
=xn
) = P(X1
=x1
) . P(X2
=x2
) . ,..., . P(Xn
=xn
)
Quando n variáveis aleatórias contínuas são independentes entre si, a proba-
bilidade de determinado resultado (x1
,x2
,...,xn
) pertencer ao subconjunto do espa-
ço vetorial ℜn
([x1a
,x1b
],[x2c
,x2d
],...,[xne
,xnf
]) é igual ao produto das probabili-
dades de x1
pertencer ao intervalo [x1a
,x1b
], de x2
pertencer ao intervalo [x2c
,x2d
]
e de xn
pertencer ao intervalo [xne
,xnf
], conforme mostrado na expressão a seguir:
>> 57 ∫ ∫ ... ∫ f(x1
,x2
,...,xn
) dx2
dx3
...dxn
= 1
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
g(x1
) =
∫ ∫ ... ∫ f(x1
,x2
,...,xn
) dx1
dx3
...dxn
= 1
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
h(x2
) =
∫ ∫ ... ∫ f(x1
,x2
,...,xn
) dx1
dx2
...dxn-1
=1
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
l(xn
) =
................................................................

>> 58
E6.8 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
O teorema do limite central (também conhecido como teorema central do
limite) é útil quando se deseja avaliar resultados que são decorrentes da soma de um
número grande de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
(independentes e com mesmas distribuições de probabilidade), mesmo quando as
distribuições de probabilidade das variáveis aleatórias são desconhecidas.
Sejam as variáveis aleatórias independentes X1
,X2
,...,Xn
com distribuições
de probabilidade idênticas (portanto as variáveis aleatórias são independentes e
identicamente distribuídas –iid–), com E (xi
) = μ e variância = σ2
. Seja ∑ uma
função de variável aleatória n-dimensional, igual à soma das variáveis aleatóri-
as individuais.
Portanto ∑ é definida pela expressão a seguir:
>> 59
De acordo com o teorema do limite central, à medida que n aumenta
(n → ∞), a distribuição de probabilidade de ∑ tende para uma distribuição de
probabilidade normal com média n . μ e variância n . σ2
independentemente
de qual seja a distribuição de probabilidade das variáveis aleatórias Xi
.
Como um corolário do teorema do limite central, a média dos xi
tenderá a ser normalmente distribuída, à medida que n aumenta (n→∞),
independentemente de qual seja a distribuição de probabilidade de
cada variável aleatória Xi
, dado que a média é igual ao somatório
dividido por n.
É importante observar que, para a avaliação do risco de uma instituição cujo
balanço seja influenciado por diversas variáveis aleatórias, não se pode aplicar o
teorema do limite central, na medida em que as variáveis que influenciam um balan-
ço não são independentes, nem tampouco identicamente distribuídas.
>> 58 P (x1
∈ [x1a
,x1b
],x2
∈ [x2c
,x2d
],...,xn
∈ [xne
, xnf
]) =
P (x1
∈ [x1a
,x1b
]) . P(x2
∈ [x2c
,x2d
] ) . ,..., . P (xn
∈ [xne
,xnf
])
∑ = Σ xi
n
i=1

E6.9 VARIÂNCIA DE FUNÇÕES LINEARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
N-DIMENSIONAIS
Na seção E5.9, vimos como medir a variância de funções lineares de variá-
veis aleatórias bidimensionais. Nesta seção, veremos como medir a variância de
funções lineares de variáveis aleatórias n-dimensionais. Consideraremos que as vari-
áveis aleatórias sejam os retornos efetivos Ri
de n variáveis que influenciam o
patrimônio líquido de um balanço e que a sensibilidade da função às mudanças de
valores das variáveis (os coeficientes angulares da função) sejam os volumes iniciais
das variáveis (qi
. Pi
) que influenciam o balanço, sendo qi
a quantidade e Pi
o preço
e da variável aleatória i.
Seja R1
,R2
,...,Rn
um conjunto de n variáveis aleatórias e sejam V1
, V2
,...,Vn
os respectivos volumes financeiros (Vi
= qi
. Pi
) das variáveis nas quais uma instituição
mantém posições lineares ativas (Vi
>0) e posições lineares passivas (Vi
<0). O
patrimônio líquido pode ser visto como uma função linear da variável aleatória
n-dimensional [R1
,R2
,...,Rn
] e pode ser representado pela expressão a seguir:
PL = V1
. (1+R1
) + V2
. (1+R2
) +...+ Vn
. (1+Rn
)
= V1
. R1
+ V2
. R2
+...+ Vn
. Rn
+ PLt+0
sendo PLt+0
o valor inicial do patrimônio líquido.
A esperança matemática do PL será:
E[PL] = V1 .
E[R1
] + V2
. E[R2
] +...+ Vn
. E[Rn
] + PLt+0
(E6.1)
Como a variância do PLt+0
= 0 (a variância de uma constante é nula), a
variância do PL pode ser calculada como:
VAR(PL) = VAR(V1
. R1
+ V2
. R2
+...+ Vn
. Rn
) = (E6.2a)
V1
2 . VAR[R1
] + V2
2 . VAR[R2
] +...................................+ Vn
2 . VAR[Rn
]
+ 2 . V1
. V2
. COV(R1
,R2
) + 2 . V1
. V3
. COV(R1
,R3
)+...+ 2 . V1
. Vn
. COV(R1
,Rn
)
+...............0...............…..+ 2 . V2
. V3
. COV(R2
,R3
)+...+ 2 . V2
. Vn
. COV(R1
,Rn
)
.......................................................................................................................
+..............0............…......+...............0.........................+ 2 . Vn-1
. Vn
. COV(Rn-1
,Rn
)

Esta fórmula resulta da soma da variância individual de cada variável aleató-
ria, multiplicada por seu volume ao quadrado, mais a covariância individual de cada
variável com as demais variáveis multiplicadas pelos respectivos volumes. Como
COV(R1
,R2
) = COV(R2
,R1
), a COV(R1
,R2
) + COV(R2
,R1
) será igual a 2 . COV(R1
,R2
).
Portanto a variância total de um PL é igual à soma das variâncias
individuais das variáveis, multiplicadas pelos volumes das variáveis
ao quadrado, mais as covariâncias de cada variável com as demais
variáveis multiplicadas pelos respectivos volumes das variáveis.
Alternativamente, a variância do PL poderia ser obtida da forma algébrica
mostrada a seguir (evidentemente os resultados obtidos seriam os mesmos):
>>62 (E6.2b)
As seções a seguir apresentam mais duas formas alternativas de apresentar a
equação do cálculo da variância do PL, que são bastante usuais, por facilitarem a
visualização do cálculo.
E6.9.1 UTILIZAÇÃO DAS MATRIZES DE VARIÂNCIA-COVARIÂNCIA
Com o objetivo de facilitar a visualização da variância de uma função de vari-
ável aleatória n-dimensional, é bastante comum a utilização de uma matriz (arranjo
retangular de números ou de variáveis) de variância-covariância para representar a
variância da função de variável aleatória n-dimensional mostrada na seção anterior.
Com objetivos didáticos, vamos apresentar, inicialmente, a variância da soma
σ2
PL = E [(PL - E[PL])2
]
= E [( Σ Vi
. (1+Ri
) - Σ Vi
. E[1+Ri
])2
]
= E [( Σ Vi
. ((1+Ri
) - Σ E[1+Ri
]))2
]
= E [( Σ Vi
. ((Ri
) - Σ E[Ri
]))2
]
= E [Σ Vi
2
. (Ri
- Σ E[Ri
])2
+ 2 . Σ Σ Vi
. Vj
(Ri
- E[Ri
]) . (Rj
- E[Rj
])]
= Σ Vi
2
. E (Ri
- Σ E[Ri
])2
+ 2 . Σ Σ Vi
. Vj
E[(Ri
- E[Ri
]) . (Rj
- E[Rj
])]
= Σ Vi
2
σi
2
+ 2 . Σ Σ Vi
. Vj
. COV (Ri
,Rj
)
i<j
n
i=1 i<j
n
i=1 i<j

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