O documento apresenta uma atividade em quatro partes para ensinar o Teorema de Pitágoras e relações trigonométricas para alunos do 8o ano. Na primeira parte, os alunos medem lados e ângulos de triângulos retângulos de papel e verificam o Teorema de Pitágoras. Na segunda, eles montam quebra-cabeças para entender a demonstração geométrica. Na terceira, observam relações métricas em triângulos semelhantes. Na quarta, calculam razões trigonomé

1. A Matemática do Triângulo Retângulo (8ª série)
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Atividade 1 - Descobrindo o Teorema de Pitágoras
Primeiramente, deve ser entregue um triângulo retângulo de papel-cartão para cada aluno.
Sugerimos que os alunos esteja dispostos em semicírculo e que os triângulos sejam entregues
prontos para facilitar o andamento da atividade. Além disso, qualquer erro de medidas
atrapalharia os cálculos posteriores.
Todos os triângulos terão lados com medidas equivalentes a dois triângulos base: alguns
deles com ângulos de 90°, 45° e 45°, e os outros com ângulos de 90°, 30° e 60°, todos com
ângulos notáveis, para facilitar os cálculos e a exploração das medidas.
Solicita-se então aos alunos que nomeiem os vértices com as letras A, B e C, de modo que o
ponto A será o vértice do ângulo de 90°. Deverá ser mostrado, em um triângulo retângulo
desenhado no quadro, as partes do triângulo retângulo: catetos, hipotenusa e ângulos, e ainda, é
aconselhável a demonstração da utilização do transferidor para medir os ângulos. Então, os
alunos deverão identificar e nomear tais partes em seus respectivos triângulos.
Após a entrega da ficha 1 abaixo para cada aluno, os alunos devem preencher os Itens
Triângulo (nome) com seu nome, Medidas dos lados e Medidas dos ângulos, com relação às
medidas dos seus triângulos. Esclareceremos que as medidas dos lados devem ser em
centímetros, podendo ser aproximadas, considerando-se até duas casas decimais, por exemplo:
Oficina:
Ficha 1
Acadêmicos: Daniel - Marana
Aluno:
Data:
Triângulo
(nome)
Medidas dos ângulos Medidas dos lados
Teorema de
Pitágoras
ângulo A ângulo B ângulo C cateto c cateto b
hipotenusa
a
c² b² a²
João 90º 45º 45º 6 6 8,48
Maria
Pedro
Depois de preencher a tabela, os alunos deverão trocar de triângulo com o colega sentado à
sua direita, e assim observar as medidas do triângulo do colega e marcá-las na ficha 1, abaixo
das informações do próprio triângulo. Da mesma forma, deverão proceder trocando o triângulo
com mais colegas para verificar as medidas dos triângulos e anotá-las em sua ficha indicando o
nome do dono do triângulo.
Oficina:
Ficha 1
Acadêmicos: Daniel - Marana
Aluno:
Data:
Triângulo
(nome)
Medidas dos ângulos Medidas dos lados
Teorema de
Pitágoras
ângulo Aângulo Bângulo C cateto c cateto b hipotenusa a c² b² a²
João 90º 45º 45º 6 6 8,48
Maria 90º 30° 60° 7 4,2 8,16
Pedro 90° 30º 60º 10,5 6,3 12,24
Deverá ser solicitado aos alunos que calculem, com o auxílio da calculadora, os quadrados
das medidas dos catetos, considerando duas casas decimais e da medida da hipotenusa,
realizando o arredondamento quando necessário, sem utilizar casa decimal e então, preencham
na ficha 1.
Oficina: Ficha 1

2. Acadêmicos: Daniel - Marana
Aluno:
Data:
Triângulo
(nome)
Medidas dos ângulos Medidas dos lados
Teorema de
Pitágoras
ângulo A ângulo B ângulo Ccateto c cateto b hipotenusa a c² b² a²
João 90º 45º 45º 6 6 8,48 36 36 72
Maria 90º 30° 60° 7 4,2 8,16 49 17,64 67
Pedro 90° 30º 60º 10,5 6,3 12,24 110,2539,69 151
Após, deve ser solicitado aos alunos que preencham na ficha 1, no campo teorema de
pitágoras a expressão: b²+c² e resolvam-na, anotando o valor arredondado sem utilizar casas
decimais. Então, os alunos serão orientados a comparar os valores encontrados, verificando,
dessa forma, a validade do teorema de Pitágoras. Devem ser questionadas as conclusões dos
alunos, e os alunos devem concluir que a soma dos quadrados de b e c são iguais ao quadrado
de a.
Oficina:
Ficha 1
Acadêmicos: Daniel - Marana
Aluno:
Data:
Triângulo
(nome)
Medidas dos ângulos Medidas dos lados Teorema de Pitágoras
ângulo A ângulo B ângulo C cateto c cateto b hipotenusa a c² b² c²+b² a²
João 90º 45º 45º 6 6 8,48 36 36 72 72
Maria 90º 30° 60° 7 4,2 8,16 49 17,64 67 67
Pedro 90° 30º 60º 10,5 6,3 12,24 110,25 39,69 150 151
Atividade 2 - Quebra-Cabeça
Para a compreensão geométrica do Teorema de Pitágoras, poderá ser realizado um jogo, no
qual os alunos deverão organizar grupos com três ou quatro integrantes. Esse jogo é um quebra-
cabeça de uma das demonstrações do teorema.
Os grupos serão desafiados a utilizar as peças para montar, sobre um tabuleiro com figuras
desenhadas, os dois quadrados menores, e com as mesmas peças deverão montar o quadrado
maior. Ou seja, as peças servirão para montar os quadrados menores simultaneamente.
O tabuleiro e as peças serão da seguinte forma:

3. Os alunos devem ser levados a concluir que este jogo é uma maneira de provar o Teorema de
Pitágoras.
Atividade 3 - Relações Trigonométricas
Será pedido aos alunos que observem, na ficha 2, as medidas dos seus triângulos (lados e
ângulos) e as medidas dos outros triângulos, que também estarão anotadas na ficha. Os alunos
serão questionados sobre as semelhanças e as relações percebidas entre as medidas dos
mesmos.Devem haver triângulos semelhantes entre si, para que os alunos possam visualizar esta
possibilidade.
Os alunos deverão calcular as projeções dos catetos sobre a hipotenusa sobre seus próprios
triângulos, e marcar o que descobriram nos campos m e n da ficha 2. A medida da altura também
deverá ser solicitada.
Oficina: Trigonometria
Ficha 2
Acadêmicos: Daniel R. Rossa e Marana P.
Thomaz
Aluno:
Data:
Triângulo
(nome)
Medidas Medidas dos ângulos
Semelhante
ao seu
triângulo?
1ª
relação
2ª
relação
3ª
relação
b c a h m n
ângulo
A
ângulo
B
ângulo
C
c²=a.n h²=m.n b.c=a.h
 Primeira relação métrica:
Num triângulo retângulo qualquer, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da
medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.
c . b = a . h

4. Os alunos observarão a demonstração no projetor e serão instigados a comprovarem esta
relação em seus próprios triângulos.
•  Segunda relação métrica:
Num triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da
medida da hipotenusa pela medida da projeção ortogonal desse cateto sobre a hipotenusa.
b2
= a . m
Da mesma forma, os alunos observarão a demonstração no projetor e comprovarão esta relação
em seus próprios triângulos.
•  Terceira relação métrica:
Num triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual
ao produto das medidas das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
h2
= m . n
•  Quarta relação métrica:
a2
= b2
+ c2
Esta relação é o teorema de Pitágoras, já trabalhado pelos alunos.
Atividade 4 - Razões Trigonométricas no triângulo retângulo
Pra serem introduzidos os conceitos de seno, cosseno e tangente aos alunos,
primeiramente levaremos os mesmos a perceber a relação existente entre os lados dos triângulos
e seus ângulos.
Para iniciarmos, devem ser entregues aos alunos a ficha 3 e devolvidas as fichas 1. Logo
após, os mesmos devem repassar as medidas de seus próprios triângulos aferidas da ficha 1
para a ficha 3. Após, os alunos serão levados a calcular estas divisões constantes na ficha, com
uma casa decimal:
Razões Trigonométricas
Cateto_Oposto_(B)
Hipotenusa
Cateto_Oposto(C)
Hipotenusa Razão
Cateto_Adjac.
(B) Hipotenusa
Cateto_Adjac.
(C) Hipotenusa Razão
Cateto_Oposto_(B)
Cateto Adjac. (B)
Cateto_Oposto_(C)
Cateto Adjac. (C) Razão
_____________
_
_____________
_ Razão
Pediremos então para que os alunos escolham, na ficha 1, algum triângulo de seus
colegas (com os mesmos ângulos (A=A, B=B e C=C) e repita o processo acima. Como a razão
será a mesma para mesmos ângulos, inclusive para os colegas (a sala inteira será levada a
concluir que, para quem tinha triângulo, com 30, 60 e 90 graus, a razão será a mesma, assim
como para os que trabalharam com triângulos com 45, 45 e 90 graus, mesmo trabalhando com
medidas diferentes).
Seno de um ângulo agudo
Uma das constantes obtidas ao relacionar as medidas dos lados em triângulos retângulos
é conhecida por seno. Num triangulo qualquer, o seno de um ângulo agudo é a razão entre a
medida do cateto oposto a ele e a medida da hipotenusa.
sen  = cateto oposto
Hipotenusa
Os alunos preencherão na ficha esta informação, no campo “razão”.
Cosseno de um ângulo agudo
Outra constante obtida ao relacionar as medidas dos lados em triângulos retângulos é
conhecida por cosseno. Num triangulo qualquer, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a
medida do cateto adjacente a ele e a medida da hipotenusa.

5. cos  = cateto adjacente
hipotenusa
Do mesmo modo, os alunos preencherão na ficha esta informação.
Tangente de um ângulo agudo
A terceira constante obtida ao relacionar as medidas dos triângulos é conhecida por
tangente. Num triangulo qualquer, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto oposto e a medida do cateto adjacente a ele.
tg  = cateto oposto__
cateto adjacente
Após os alunos preencherem a informação da razão, os alunos deverão preencher, nos
campos em branco da tabela, a informação: seno/cosseno. Quando eles realizarem este cálculo,
eles descobrirão que ele será a tangente do ângulo.

6. cos  = cateto adjacente
hipotenusa
Do mesmo modo, os alunos preencherão na ficha esta informação.
Tangente de um ângulo agudo
A terceira constante obtida ao relacionar as medidas dos triângulos é conhecida por
tangente. Num triangulo qualquer, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do
cateto oposto e a medida do cateto adjacente a ele.
tg  = cateto oposto__
cateto adjacente
Após os alunos preencherem a informação da razão, os alunos deverão preencher, nos
campos em branco da tabela, a informação: seno/cosseno. Quando eles realizarem este cálculo,
eles descobrirão que ele será a tangente do ângulo.