O documento apresenta 13 exemplos de resolução de exercícios de trigonometria envolvendo triângulos retângulos e isósceles. As questões demonstram o uso das definições de seno, cosseno e tangente para calcular medidas de lados e ângulos dos triângulos a partir de informações dadas.
Este documento apresenta 11 problemas de trigonometria envolvendo triângulos retângulos e não retângulos. Os problemas incluem determinar ângulos, comprimentos de lados e distâncias em esquemas geométricos que representam situações do mundo real como esculturas, painéis solares, torres e pontes.
O documento contém 10 questões de matemática sobre geometria plana. As questões abordam tópicos como propriedades de quadriláteros, relações métricas e angulares em figuras planas, e cálculos envolvendo medidas de lados e ângulos.
O documento apresenta 10 questões de geometria plana retiradas de um livro de problemas. As questões envolvem cálculos e propriedades de triângulos isósceles, losangos, pentágonos regulares e relações métricas entre segmentos e ângulos.
Este documento contém 10 questões de matemática sobre geometria, incluindo cálculos de perímetros e medidas de segmentos em figuras geométricas. As questões abordam tópicos como triângulos, circunferências, razão trigonométrica e figuras planas. O gabarito no final fornece as respostas para cada uma das questões.
Este documento apresenta exercícios sobre áreas de regiões poligonais, incluindo triângulos, paralelogramos, trapézios e quadriláteros. Os exercícios abordam cálculos de áreas utilizando medidas de lados, alturas e diagonais, bem como relações entre áreas de figuras semelhantes.
O documento apresenta vários problemas geométricos envolvendo figuras planas como paralelogramos, trapézios, quadriláteros e triângulos, bem como círculos. As questões abordam conceitos como perímetro, ângulos internos, tangentes, secantes, pontos médios e diagonais. Deve-se analisar as figuras e aplicar propriedades geométricas para resolver cada problema.
O documento apresenta os cinco casos de congruência de triângulos:
1) Caso LAL - Dois lados e o ângulo entre eles congruentes;
2) Caso ALA - Dois ângulos e o lado entre eles congruentes;
3) Caso LLL - Os três lados congruentes;
4) Caso LAAo - Um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto ao lado congruentes;
5) Caso especial - Para triângulos retângulos com um cateto e a hipotenusa congru
O documento apresenta um resumo de geometria plana, incluindo teoremas como o de Tales, áreas de figuras planas como triângulos, paralelogramos e trapézios, e polígonos inscritos e circunscritos em circunferências. Ele também contém exercícios resolvidos sobre esses tópicos.
Este documento apresenta 11 problemas de trigonometria envolvendo triângulos retângulos e não retângulos. Os problemas incluem determinar ângulos, comprimentos de lados e distâncias em esquemas geométricos que representam situações do mundo real como esculturas, painéis solares, torres e pontes.
O documento contém 10 questões de matemática sobre geometria plana. As questões abordam tópicos como propriedades de quadriláteros, relações métricas e angulares em figuras planas, e cálculos envolvendo medidas de lados e ângulos.
O documento apresenta 10 questões de geometria plana retiradas de um livro de problemas. As questões envolvem cálculos e propriedades de triângulos isósceles, losangos, pentágonos regulares e relações métricas entre segmentos e ângulos.
Este documento contém 10 questões de matemática sobre geometria, incluindo cálculos de perímetros e medidas de segmentos em figuras geométricas. As questões abordam tópicos como triângulos, circunferências, razão trigonométrica e figuras planas. O gabarito no final fornece as respostas para cada uma das questões.
Este documento apresenta exercícios sobre áreas de regiões poligonais, incluindo triângulos, paralelogramos, trapézios e quadriláteros. Os exercícios abordam cálculos de áreas utilizando medidas de lados, alturas e diagonais, bem como relações entre áreas de figuras semelhantes.
O documento apresenta vários problemas geométricos envolvendo figuras planas como paralelogramos, trapézios, quadriláteros e triângulos, bem como círculos. As questões abordam conceitos como perímetro, ângulos internos, tangentes, secantes, pontos médios e diagonais. Deve-se analisar as figuras e aplicar propriedades geométricas para resolver cada problema.
O documento apresenta os cinco casos de congruência de triângulos:
1) Caso LAL - Dois lados e o ângulo entre eles congruentes;
2) Caso ALA - Dois ângulos e o lado entre eles congruentes;
3) Caso LLL - Os três lados congruentes;
4) Caso LAAo - Um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto ao lado congruentes;
5) Caso especial - Para triângulos retângulos com um cateto e a hipotenusa congru
O documento apresenta um resumo de geometria plana, incluindo teoremas como o de Tales, áreas de figuras planas como triângulos, paralelogramos e trapézios, e polígonos inscritos e circunscritos em circunferências. Ele também contém exercícios resolvidos sobre esses tópicos.
O documento descreve as principais unidades de medida utilizadas em topografia, incluindo unidades lineares, angulares, de área, volume e conversões entre elas. São listadas unidades como metro, quilômetro, grau, radiano e fórmulas para cálculo de áreas de figuras planas.
Este documento contém 16 exercícios resolvidos de geometria plana sobre triângulos retângulos. Os exercícios envolvem determinar medidas desconhecidas em figuras geométricas como triângulos, trapézios e círculos, utilizando propriedades como seno, cosseno e tangente. As soluções fornecem os cálculos passo a passo para chegar aos valores solicitados.
Este documento apresenta 18 exercícios sobre áreas de figuras planas, incluindo triângulos, paralelogramos e polígonos. Os exercícios abordam cálculo de áreas utilizando fórmulas, propriedades geométricas e razões entre segmentos e áreas de regiões relacionadas.
Este documento contém 35 questões sobre cálculo de áreas de figuras planas geométricas como triângulos, quadrados, retângulos, trapézios e circunferências. As questões envolvem determinar áreas dadas medidas dos lados ou raios, ou relações entre áreas de figuras inscritas ou circunscritas umas às outras.
Visite também nosso blog:www.aulasdematematicaapoio.blogspot.com
Exercícios Resolvidos - Peça também os seus.
Assista a essa vídeo aula em nosso site :www.centroapoio.com
O documento apresenta uma lista de 53 exercícios de geometria plana sobre ângulos, triângulos e paralelismo de retas. Os exercícios envolvem cálculos de medidas de ângulos, propriedades de figuras planas e relações métricas entre os elementos das figuras.
1. O documento apresenta uma lista de 25 exercícios sobre geometria plana de triângulos, incluindo cálculo de lados, ângulos e propriedades.
2. Fornece também as respostas para os exercícios.
3. O blog é dedicado a matemática para concursos e é administrado pelo professor Thieres Machado.
1. O documento apresenta 9 questões sobre ângulos em figuras geométricas.
2. As questões envolvem cálculo de medidas de ângulos, determinação de valores desconhecidos e escolha de alternativas corretas sobre figuras como triângulos, paralelogramos e estruturas mecânicas.
3. São requisitados conhecimentos básicos de geometria plana para resolver as questões.
Este documento apresenta 24 exercícios resolvidos de geometria plana, incluindo problemas envolvendo segmentos de reta, triângulos e ângulos. As soluções fornecem os passos detalhados para chegar aos valores solicitados em cada questão.
1) O documento apresenta conceitos de proporcionalidade direta e inversa, razões e proporções.
2) São fornecidos exemplos de exercícios sobre cálculo de razões, proporções e partilhas proporcionais.
3) Também são abordados conceitos geométricos como ângulos, triângulos e polígonos.
Mat relacoes trigonometricas nos triangulostrigono_metria
Este documento fornece informações sobre relações trigonométricas em triângulos retângulos e não retângulos. Ele define seno, cosseno e tangente para triângulos retângulos e apresenta uma tabela trigonométrica com esses valores para vários ângulos. Também mostra como resolver problemas usando essas relações trigonométricas e apresenta as leis do seno e do cosseno para triângulos não retângulos.
1) O documento apresenta uma lista de 25 exercícios de topografia sobre dedução de fórmulas trigonométricas, cálculo de ângulos, distâncias, áreas e coordenadas a partir de levantamentos topográficos por poligonal, irradiação e caminhamento.
1) O documento apresenta 14 questões de geometria analítica sobre pontos no plano cartesiano, triângulos e quadriláteros. 2) As questões envolvem cálculo de áreas, determinação de vértices e propriedades geométricas como retas, paralelas e colineares. 3) As respostas corretas são fornecidas no final.
Este documento é uma apostila sobre geometria plana produzida pelo Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas (Pró-ExaCTa) da Universidade Federal do Ceará. A apostila contém definições e conceitos básicos de geometria como pontos, retas, segmentos de reta, ângulos e triângulos, ilustrados com exemplos resolvidos. O documento fornece um guia estruturado para o estudo destes importantes tópicos da geometria.
1) Os exercícios envolvem problemas de trigonometria plana e cálculos geométricos relacionados a figuras como triângulos, circunferências e prisma.
2) São fornecidas informações como medidas de lados, ângulos e propriedades geométricas para que se calculem grandezas como comprimentos, áreas e volumes.
3) Os alunos devem mostrar os cálculos realizados e apresentar as respostas arredondadas de acordo com as instruções fornecidas.
1) O documento apresenta um resumo histórico da trigonometria, desde suas origens na Grécia Antiga até os desenvolvimentos modernos.
2) É introduzido o triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras, que relaciona os lados desse tipo de triângulo.
3) São definidas as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente para um triângulo retângulo e apresentados alguns valores notáveis dessas funções.
O documento apresenta exercícios de conversão entre rumos e azimutes. Fornece exemplos numéricos de como calcular o azimute correspondente a um dado rumo ou vice-versa. Também inclui problemas para calcular ângulos e rumos em figuras geométricas a partir de informações como azimutes e ângulos internos dados.
1. A distância entre os pontos D e E no quadrado ABCD é igual a 5 cm, pois C é o ponto médio de AE e a diagonal de um quadrado de lado 1 cm mede 2 cm.
2. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo com lados de 7 m, 5,5 m e x m, encontra-se que x é igual a 13 m.
3. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo com progressão aritmética de lados e ângulo de 120°, encontra-se que o perímetro é igual a 7
O documento apresenta uma série de aulas sobre geometria plana ministradas pelo professor Lucas Octavio de Souza. São abordados conceitos iniciais como retas, pontos, ângulos e triângulos, além de propriedades e classificações destas figuras geométricas. Exercícios complementam o estudo teórico de cada tema.
1) O documento apresenta 45 problemas de geometria plana envolvendo conceitos como ângulos, polígonos regulares, triângulos, quadriláteros e suas propriedades.
2) Os problemas abordam cálculo de medidas de ângulos, lados, alturas, diagonais, perímetros e áreas de diferentes figuras planas.
3) São propostos exercícios que envolvem aplicação de propriedades geométricas, como bisectrizes, mediatrizes, simetrias e relações trigonométricas.
1) O documento discute conceitos geométricos relacionados a circunferências e polígonos regulares, incluindo ângulos inscritos, arcos e cordas.
2) Fornece soluções detalhadas para vários exercícios envolvendo cálculos com fórmulas de área de circunferências e polígonos.
3) As soluções usam propriedades como o Teorema de Pitágoras, relações entre ângulos inscritos e arcos de circunferência, e simetrias para determinar medidas de
Este documento fornece soluções para um teste de matemática do 9o ano e inclui as seguintes questões: (1) determinar o custo de uma prenda com base em uma equação; (2) calcular o volume de um prisma; (3) determinar a área sombreada de uma figura geométrica. Explica as etapas para chegar às soluções de cada questão.
O documento descreve as principais unidades de medida utilizadas em topografia, incluindo unidades lineares, angulares, de área, volume e conversões entre elas. São listadas unidades como metro, quilômetro, grau, radiano e fórmulas para cálculo de áreas de figuras planas.
Este documento contém 16 exercícios resolvidos de geometria plana sobre triângulos retângulos. Os exercícios envolvem determinar medidas desconhecidas em figuras geométricas como triângulos, trapézios e círculos, utilizando propriedades como seno, cosseno e tangente. As soluções fornecem os cálculos passo a passo para chegar aos valores solicitados.
Este documento apresenta 18 exercícios sobre áreas de figuras planas, incluindo triângulos, paralelogramos e polígonos. Os exercícios abordam cálculo de áreas utilizando fórmulas, propriedades geométricas e razões entre segmentos e áreas de regiões relacionadas.
Este documento contém 35 questões sobre cálculo de áreas de figuras planas geométricas como triângulos, quadrados, retângulos, trapézios e circunferências. As questões envolvem determinar áreas dadas medidas dos lados ou raios, ou relações entre áreas de figuras inscritas ou circunscritas umas às outras.
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Exercícios Resolvidos - Peça também os seus.
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O documento apresenta uma lista de 53 exercícios de geometria plana sobre ângulos, triângulos e paralelismo de retas. Os exercícios envolvem cálculos de medidas de ângulos, propriedades de figuras planas e relações métricas entre os elementos das figuras.
1. O documento apresenta uma lista de 25 exercícios sobre geometria plana de triângulos, incluindo cálculo de lados, ângulos e propriedades.
2. Fornece também as respostas para os exercícios.
3. O blog é dedicado a matemática para concursos e é administrado pelo professor Thieres Machado.
1. O documento apresenta 9 questões sobre ângulos em figuras geométricas.
2. As questões envolvem cálculo de medidas de ângulos, determinação de valores desconhecidos e escolha de alternativas corretas sobre figuras como triângulos, paralelogramos e estruturas mecânicas.
3. São requisitados conhecimentos básicos de geometria plana para resolver as questões.
Este documento apresenta 24 exercícios resolvidos de geometria plana, incluindo problemas envolvendo segmentos de reta, triângulos e ângulos. As soluções fornecem os passos detalhados para chegar aos valores solicitados em cada questão.
1) O documento apresenta conceitos de proporcionalidade direta e inversa, razões e proporções.
2) São fornecidos exemplos de exercícios sobre cálculo de razões, proporções e partilhas proporcionais.
3) Também são abordados conceitos geométricos como ângulos, triângulos e polígonos.
Mat relacoes trigonometricas nos triangulostrigono_metria
Este documento fornece informações sobre relações trigonométricas em triângulos retângulos e não retângulos. Ele define seno, cosseno e tangente para triângulos retângulos e apresenta uma tabela trigonométrica com esses valores para vários ângulos. Também mostra como resolver problemas usando essas relações trigonométricas e apresenta as leis do seno e do cosseno para triângulos não retângulos.
1) O documento apresenta uma lista de 25 exercícios de topografia sobre dedução de fórmulas trigonométricas, cálculo de ângulos, distâncias, áreas e coordenadas a partir de levantamentos topográficos por poligonal, irradiação e caminhamento.
1) O documento apresenta 14 questões de geometria analítica sobre pontos no plano cartesiano, triângulos e quadriláteros. 2) As questões envolvem cálculo de áreas, determinação de vértices e propriedades geométricas como retas, paralelas e colineares. 3) As respostas corretas são fornecidas no final.
Este documento é uma apostila sobre geometria plana produzida pelo Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas (Pró-ExaCTa) da Universidade Federal do Ceará. A apostila contém definições e conceitos básicos de geometria como pontos, retas, segmentos de reta, ângulos e triângulos, ilustrados com exemplos resolvidos. O documento fornece um guia estruturado para o estudo destes importantes tópicos da geometria.
1) Os exercícios envolvem problemas de trigonometria plana e cálculos geométricos relacionados a figuras como triângulos, circunferências e prisma.
2) São fornecidas informações como medidas de lados, ângulos e propriedades geométricas para que se calculem grandezas como comprimentos, áreas e volumes.
3) Os alunos devem mostrar os cálculos realizados e apresentar as respostas arredondadas de acordo com as instruções fornecidas.
1) O documento apresenta um resumo histórico da trigonometria, desde suas origens na Grécia Antiga até os desenvolvimentos modernos.
2) É introduzido o triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras, que relaciona os lados desse tipo de triângulo.
3) São definidas as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente para um triângulo retângulo e apresentados alguns valores notáveis dessas funções.
O documento apresenta exercícios de conversão entre rumos e azimutes. Fornece exemplos numéricos de como calcular o azimute correspondente a um dado rumo ou vice-versa. Também inclui problemas para calcular ângulos e rumos em figuras geométricas a partir de informações como azimutes e ângulos internos dados.
1. A distância entre os pontos D e E no quadrado ABCD é igual a 5 cm, pois C é o ponto médio de AE e a diagonal de um quadrado de lado 1 cm mede 2 cm.
2. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo com lados de 7 m, 5,5 m e x m, encontra-se que x é igual a 13 m.
3. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo com progressão aritmética de lados e ângulo de 120°, encontra-se que o perímetro é igual a 7
O documento apresenta uma série de aulas sobre geometria plana ministradas pelo professor Lucas Octavio de Souza. São abordados conceitos iniciais como retas, pontos, ângulos e triângulos, além de propriedades e classificações destas figuras geométricas. Exercícios complementam o estudo teórico de cada tema.
1) O documento apresenta 45 problemas de geometria plana envolvendo conceitos como ângulos, polígonos regulares, triângulos, quadriláteros e suas propriedades.
2) Os problemas abordam cálculo de medidas de ângulos, lados, alturas, diagonais, perímetros e áreas de diferentes figuras planas.
3) São propostos exercícios que envolvem aplicação de propriedades geométricas, como bisectrizes, mediatrizes, simetrias e relações trigonométricas.
1) O documento discute conceitos geométricos relacionados a circunferências e polígonos regulares, incluindo ângulos inscritos, arcos e cordas.
2) Fornece soluções detalhadas para vários exercícios envolvendo cálculos com fórmulas de área de circunferências e polígonos.
3) As soluções usam propriedades como o Teorema de Pitágoras, relações entre ângulos inscritos e arcos de circunferência, e simetrias para determinar medidas de
Este documento fornece soluções para um teste de matemática do 9o ano e inclui as seguintes questões: (1) determinar o custo de uma prenda com base em uma equação; (2) calcular o volume de um prisma; (3) determinar a área sombreada de uma figura geométrica. Explica as etapas para chegar às soluções de cada questão.
Este documento apresenta soluções detalhadas para exercícios sobre circunferências e polígonos. Inclui questões sobre ângulos inscritos, cálculo de comprimentos e áreas usando fórmulas geométricas, e propriedades de figuras planas como quadriláteros e polígonos regulares. Fornece também dicas para que os estudantes possam verificar as soluções.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo definições de triângulo retângulo, relações trigonométricas, funções seno, cosseno e tangente. Explica as relações entre os elementos do triângulo retângulo e introduz noções como ângulos notáveis, ciclo trigonométrico e arcos congruentes. Fornece definições formais das funções trigonométricas e apresenta suas propriedades gráficas.
1 ano trigonometria no triângulo retângulo - 2008Erick Fernandes
O documento discute trigonometria em triângulos retângulos, relacionando lados e ângulos. Apresenta as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo em termos dos catetos e hipotenusa. Fornece exemplos de cálculo destas razões trigonométricas e introduz outras identidades trigonométricas.
Este documento apresenta 13 aulas sobre geometria plana ministradas pelo professor Lucas Octavio de Souza para alunos do 3o colegial. As aulas abordam conceitos básicos como pontos, retas, ângulos e triângulos, além de propriedades de figuras planas como quadriláteros, polígonos e círculos. Exercícios complementam cada aula para fixação dos conceitos.
Trigonometria – exercicios resolvidos ângulos de triângulostrigono_metria
1) A trigonometria é usada para resolver problemas envolvendo medidas de ângulos e lados de triângulos.
2) Um topógrafo usou um teodolito para medir o ângulo e a distância até um prédio e calcular sua altura.
3) A altura calculada do prédio foi de 44,75 metros.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria relacionados ao triângulo retângulo e ao círculo trigonométrico, incluindo definições de seno, cosseno e tangente.
2) São mostradas as relações fundamentais entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo e são calculados os valores numéricos das funções trigonométricas para alguns ângulos específicos.
3) Exemplos numéricos ilustram o cálculo de medidas desconhecidas em situações
1) A trigonometria é usada para resolver problemas envolvendo medidas de ângulos e lados de triângulos.
2) Um topógrafo usou um teodolito para medir o ângulo e distância até um prédio e calcular sua altura de 44,75m.
3) Problemas envolvendo triângulos retângulos, seno, cosseno e tangente são resolvidos usando propriedades trigonométricas.
Geometria - Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpicavinicius196
1. O documento apresenta 20 problemas de geometria euclidiana plana focados no Teorema de Pitágoras, ângulos e áreas.
2. Os problemas abordam o cálculo de lados de figuras geométricas usando o Teorema de Pitágoras e propriedades de ângulos em triângulos, quadriláteros e polígonos.
3. Também inclui exercícios sobre cálculo e determinação de áreas de figuras planas decompostas em partes conhecidas.
OBM Aula 0 primeiro contato com a geometria olímpicaAline Muniz
1. O documento apresenta 20 problemas de geometria básica focados no Teorema de Pitágoras, ângulos e áreas.
2. Os problemas abordam o cálculo de lados de triângulos retângulos, propriedades de polígonos regulares e cálculo de áreas de figuras planas.
3. São apresentadas várias formas de provar o Teorema de Pitágoras e problemas que envolvem pontos médios e simetrias.
Gaal vetores aplicaçoes e demostraçoes de algumas propriedades.Ruan Yvis Brito
O documento apresenta 7 propriedades geométricas sobre triângulos, trapézios e quadriláteros. A propriedade 1 mostra que a mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa. A propriedade 2 demonstra que a base média de um triângulo é paralela e igual à metade da base. A propriedade 3 trata da base média de um trapézio.
1) Este documento apresenta o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as respostas corretas para as 20 questões aplicadas e as respectivas soluções.
2) Uma questão foi anulada e todos os alunos devem receber 1 ponto por ela.
3) As soluções explicam passo a passo o raciocínio matemático para chegar às respostas corretas de cada questão.
O documento apresenta as respostas para 27 questões de geometria sobre quadriláteros. As respostas incluem identificação de figuras geométricas, medidas de ângulos, aplicação de teoremas e cálculos.
O documento apresenta 48 questões resolvidas sobre semelhança de triângulos e triângulos retângulos. As respostas envolvem cálculos geométricos como aplicação dos teoremas de Pitágoras, semelhança e propriedades dos triângulos.
1. O documento apresenta um manual de matemática dividido em duas partes, contendo capítulos sobre trigonometria, geometria analítica, sucessões, funções reais e estatística.
2. No e-Manual Premium, encontram-se as propostas de resolução do projeto em PDF e em formato interativo, permitindo a apresentação passo a passo.
3. A unidade 1 trata de trigonometria e funções trigonométricas, apresentando exemplos resolvidos de problemas envolvendo relações trigonométricas em triâ
Importantes exercícios de geometria sobre ângulos (soma e subtração, complementares e suplementares), triângulos e quadriláteros, área e perímetro, etc. Muito bom!
O documento apresenta os conceitos básicos de circunferência, incluindo sua definição geométrica, elementos como raio, diâmetro e comprimento, a fórmula para calcular o comprimento da circunferência e a relação entre ângulo central e comprimento do arco. Também mostra como resolver exercícios utilizando essas fórmulas e conceitos, como calcular o comprimento de um arco de 60° de uma circunferência de 21 cm de raio.
[1] O documento apresenta as respostas para 21 questões de um prova do 9o ano, incluindo cálculos matemáticos e geometria plana. [2] As respostas variam entre letras e números, indicando as alternativas corretas para cada questão. [3] As questões envolvem tópicos como triângulos, teorema de Pitágoras, soma de séries numéricas e equações do segundo grau.
Slides Lição 9, Betel, Ordenança para uma vida de santificação, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 10, Betel, Ordenança para buscar a paz e fazer o bem, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
Slides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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Estrutura Pedagógica - Laboratório de Educação a Distância.ppt
Trigonometria resol
1. Trigonometria (9.o
ano)
Propostas de resolução
Exercı́cios de Provas Nacionais e Testes Intermédios
1. Como o triângulo [ABC] é retângulo em B, e, relativamente ao ângulo ACB, o lado [AB] é o cateto
oposto e o lado [AC] é a hipotenusa, usando a definição de seno, temos:
sen AĈB =
AB
AC
⇔ sen AĈB =
6
7
⇒ sen α ≈ 0,857
Assim, procurando o valor mais próximo de 0,857 na coluna dos valores do seno na tabela de valores das
razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo ACB às
unidades, temos que
AĈB ≈ sen−1
(0,857) ≈ 59◦
Prova de Matemática, 9.o ano – 2021
2. Como AC = AB + BC, vem:
AB = AC − BC = 8 − 0,16 = 7,84 m
Como o triângulo [ABE] é retângulo em E, e, relativamente ao ângulo AEB, o lado [AB] é o cateto
oposto e o lado [AE] é a hipotenusa, usando a definição de seno, temos:
sen α =
AB
AE
⇔ sen α =
7,84
10,9
⇒ sen α ≈ 0,719
Assim, procurando o valor mais próximo de 0,719 na coluna dos valores do seno na tabela de valores das
razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo AEB às
unidades, temos que
α ≈ sen−1
(0,719) ≈ 46◦
Prova Final 3.o Ciclo – 2019, Época especial
3. Recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, como β é um ângulo agudo, cos β > 0 vem que:
sen 2
β + cos2
β = 1 ⇔
√
5
3
!2
+ cos2
β = 1 ⇔
5
9
+ cos2
β = 1 ⇔ cos2
β = 1 −
5
9
⇔ cos2
β =
9
9
−
5
9
⇔
⇔ cos2
β =
4
9
⇒
cos β>0
cos β =
r
4
9
⇔ cos β =
2
3
Prova Final 3.o Ciclo – 2019, Época especial
2. mat.absolutamente.net
4. Como KÂM = 90◦
, então o triângulo [KAM] é retângulo em A, sendo o lado [KM] a hipotenusa e o
lado [AK] o cateto oposto relativamente ao ângulo AMK.
Desta forma, como AM̂K = 66◦
e KM = 5, usando a definição de seno,
temos que:
sen AM̂K =
AK
KM
⇔ sen 66◦
=
AK
5
⇔
⇔ 5 × sen 66◦
= AK ⇒ AK ≈ 4,568 m
Como a distância entre os planos paralelos JKL e EFG é 2 m, temos
que KF = 2 m, e assim, a altura da torre, em metros, arredondado às
décimas, é:
AF = AK + KF ≈ 4,568 + 2 ≈ 6,6 m
L
K
E
M A
J
B
H
D C
I
F
G
4,568
2
Prova Final 3.o Ciclo – 2019, 2.a fase
5. Como o ângulo BCA é reto, então o triângulo [ABC] é
retângulo em C e, relativamente ao ângulo ABC, o lado
[AC] é o cateto oposto e o lado [AB] é a hipotenusa, pelo
que, usando a definição de seno, temos:
sen AB̂C =
AC
AB
⇔ sen 42◦
=
AC
18
⇔
⇔ 18 × sen 42◦
= AC ⇒ AC ≈ 12,044 m
Desta forma, temos que a distância da asa à superfı́cie da
água, ou seja, a distância do ponto A à reta s, em metros,
arredondado às décimas, é a soma de AC com a distância
do ponto B à reta s, ou seja:
12,044 + 2,8 = 14,844 ≈ 14,8 m
A
B
s
2,8m
42◦
C
12,044m
Prova Final 3.o Ciclo – 2019, 1.a fase
2/16
3. mat.absolutamente.net
6. Como o ângulo ABC é reto, então o triângulo [ABC] é retângulo em B e, relativamente ao ângulo BAC,
o lado [AB] é o cateto adjacente e o lado [AC] é a hipotenusa, pelo que, usando a definição de cosseno,
temos:
cos BÂC =
AB
AC
⇔ cos 35◦
=
AB
46
⇔ AB = 46 × cos 35◦
Como cos 35◦
≈ 0,82, vem que:
AB ≈ 46 × 0,82 ≈ 37,72 m
Assim, como AB = EF (porque os triângulos [ABC] e [DEF] são iguais pelo critério LAL), e BF = CD,
temos que:
AE = AB + BF
|{z}
CD
+ EF
|{z}
AB
⇔ AE = 2 × AB + CD ⇔ AE − 2 × AB = CD ⇔
Logo, como AE = AC + ED = 46 + 46 = 92 metros e AB ≈ 37,72 metros, temos que a distância entre
os pontos C e D, em metros, arredondado às unidades, é:
CD ≈ 92 − 2 × 37,72 ≈ 16,56 ≈ 17 m
Prova Final 3.o Ciclo – 2018, Época especial
7. Sabemos que [BCM] é um triângulo retângulo em M (porque o triângulo [ABC] é isósceles, com AC =
AB e M é o ponto médio do segmento de reta [AB]).
Temos ainda que, como M é o ponto médio do segmento de reta [AB], então AM =
AB
2
=
4,62
2
= 2,31 m
Como relativamente ao ângulo ACM, o lado [AM] é o cateto oposto e o lado [MC] é o cateto adjacente,
recorrendo à definição de tangente de um ângulo, e substituindo as medidas dos lados, temos que:
tg AĈM =
AM
MC
=
2,31
4,35
Como
2,31
4,35
≈ 0,531, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de
valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), temos que a amplitude do ângulo AĈM
é:
AĈM = tg−1
2,31
4,35
≈ 28◦
Como o segmento [CM] é a bissetriz do ângulo ACB, temos que:
AĈB = 2 × AĈM ≈ 2 × 28 = 56◦
Prova Final 3.o Ciclo – 2018, 2.a fase
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8. Como o triângulo [MNO] é retângulo no vértice E e, relativamente ao ângulo DAE, o lado [AE] é o
cateto adjacente e o lado [AD] é a hipotenusa, usando a definição de cosseno, temos:
cos DÂE =
AE
AD
⇔ cos 32◦
=
AE
0,90
⇔ AE = 0,9 × cos 32◦
Como cos 32◦
≈ 0,848, vem que:
AE ≈ 0,9 × 0,848 ≈ 0,763 m
Como EF + AE = AF ⇔ EF = AF − AE, temos que, a distância em metros, do vértice D à parede do
quarto, arredondado às centésimas, é:
EF = AF − AE ≈ 1,05 − 0,763 ≈ 0,29 m
Prova Final 3.o Ciclo – 2018, 1.a fase
9. Como o ponto N é o pé da perpendicular traçada do ponto M para a reta OP, então o triângulo [MNO]
é retângulo em N e, relativamente ao ângulo MON, o lado [ON] é o cateto adjacente e o lado [OM] é a
hipotenusa, pelo que, usando a definição de cosseno, temos:
cos MÔN =
ON
OM
⇔ cos 56◦
=
ON
2
⇔ ON = 2 cos 56◦
Como cos 56◦
≈ 0,559, vem que:
ON ≈ 2 × 0,559 ≈ 1,118 m
Assim, a distância da cadeira ao solo pode ser calculada como a diferenças das distâncias dos pontos O
e N ao solo, ou seja, ao ponto P, e o seu valor em metros, arredondado às centésimas, é:
NP = OP − ON ≈ 2,5 − 1,118 ≈ 1,38 m
Prova Final 3.o Ciclo – 2017, Época especial
10. Como os triângulos [ABH] e [GEF] são ambos retângulos, AB = CD e BÂH = EĜF, pelo critério ALA
os triângulos são congruentes e, por isso BH = EF
Temos ainda que:
AB + BC + CD = AD ⇔ 2AB + BC = AD ⇔ 2AB = AD − BC ⇔ AB =
AD − BC
2
Assim, como AB = GE, temos que:
GE = AB =
23 − 12
2
=
11
2
= 5,5 m
Como, relativamente ao ângulo EGF, o lado [GE] é o cateto adjacente e o lado [FE] é o cateto oposto,
usando a definição de tangente, temos:
tg EĜF =
FE
GE
⇔ tg 30◦
=
FE
5,5
⇔ FE = tg 30◦
× 5,5
Como tg 30◦
≈ 0,577, vem que:
FE ≈ 0,577 × 5,5 ≈ 3,174 m
Como FD = FE + ED = 2FE, então a distância da superfı́cie do rés do chão à superfı́cie do 2.o
andar,
arredondada às centésimas, é:
FD ≈ 2 × 3,174 ≈ 6,35 m
Prova Final 3.o Ciclo – 2017, 2.a fase
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11. O triângulo [CDE] é retângulo em E. Como, relativamente ao ângulo DCE, o lado [CE] é o cateto
adjacente e o lado [CD] é a hipotenusa, usando a definição de cosseno, temos:
cos 10◦
=
CE
CD
⇔ cos 10◦
=
CE
4,1
⇔ CE = 4,1 × cos 10◦
Como cos 10◦
≈ 0,985, vem que:
CE ≈ 4,1 × 0,985 ≈ 4,039 m
Assim, como a distância (d) da reta t ao ponto C é 20 centı́metros, ou seja, 0,2 metros e como AB =
CE + d, vem que a distância do candeeiro ao tabuleiro da ponte, em metros, arredondado às décimas, é:
AB ≈ 4,039 + 0,2 ≈ 4,2 m
Prova Final 3.o Ciclo – 2017, 1.a fase
12. O triângulo [AOP] é retângulo em P. Como, relativamente ao ângulo AOP, o lado [OP] é o cateto
adjacente e o lado [AP] é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:
tg AÔP =
AP
OP
⇔ tg 55◦
=
225
OP
⇔ OP =
225
tg 55◦
Como tg 55◦
≈ 1,43, vem que:
OP ≈
225
1,43
≈ 157,34 m
Como OR = OP + PR, vem:
OR ≈ 157,34 + 132 ≈ 289,34 m
O triângulo [BOR] é retângulo em R. Como, relativamente ao ângulo BOR, o lado [OR] é o cateto
adjacente e o lado [BR] é o cateto oposto, voltando a usar a definição de tangente, temos:
tg BÔR =
BR
OR
⇒ tg BÔR ≈
225
289,34
⇒ tg BÔR ≈ 0,78
Assim, procurando o valor mais próximo de 0,78 na coluna dos valores da tangente na tabela de valores
das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo BOR
às unidades, temos que
BÔR ≈ tg−1
(0,78) ≈ 38◦
Prova Final 3.o Ciclo – 2016, Época especial
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13. Como o triângulo [ABD] é isósceles e o segmento de reta [AC] é a altura relativa à base [BD], o triângulo
[ABC] é retângulo em C.
No triângulo [ABC], relativamente ao ângulo BAD, o lado
[BC] é o cateto oposto e o lado [AC] é o cateto adjacente,
e como BÂC =
BÂD
2
=
76
2
= 38◦
, usando a definição de
tangente, temos:
tg BÂC =
BC
AC
⇔ tg 38◦
=
BC
51
⇔ 51 × tg 38◦
= BC
Como tg 38◦
≈ 0,78, vem que:
BC ≈ 51 × 0,78 ≈ 39,78 m
Como o triângulo [ABD] é isósceles e o segmento de reta
[AC] é a altura relativa à base [BD], temos que BC = BC, e
assim determinando a envergadura do A380, ou seja o valor
de BD, em metros, e arredondando o resultado às unidades,
vem que:
BD = BC + CD ≈ 39,78 + 39,78 ≈ 80 m
A
C
B
D
38◦
Prova Final 3.o Ciclo – 2016, 2.a fase
14. O triângulo [CMT] é retângulo em C. Como, relativamente ao ângulo CMT, o lado [MC] é o cateto
adjacente e o lado [TC] é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:
tg 60◦
=
TC
MC
⇔ tg 60◦
=
TC
25,6
⇔ 25,6 × tg 60◦
= TC
Como tg 60◦
≈ 1,73, vem que:
TC ≈ 25,6 × 1,73 ≈ 44,29
O triângulo [CRT] é retângulo em C. Como, relativamente ao ângulo CRT, o lado [CR] é o cateto
adjacente e o lado [TC] é o cateto oposto, voltando a usar a definição de tangente, temos:
tg 45◦
=
TC
CR
⇔ CR =
TC
tg 45◦
Como tg 45◦
= 1, vem que:
CR ≈
44,29
1
≈ 44,29
Assim, determinando o valor de MR, em metros, e arredondando o resultado às unidades, vem que:
MR = MC + CR ≈ 25,6 + 44,29 ≈ 70 m
Prova Final 3.o Ciclo – 2016, 1.a fase
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15. Como M é o ponto médio da corda [AB], temos que AM = MB, e assim
PB = PA + AM + MB = PA + 2 × MB
Logo, substituindo os valores conhecidos, vem
PB = PA + 2 × MB ⇔ 8 = 2 + 2 × MB ⇔ 8 − 2 = 2 × MB ⇔
6
2
= MB ⇔ 3 = MB
Como [CB] e [CT] são raios da circunferência, vem que
CB = CT = 9,2
Como o triângulo [BCA] é isósceles, e o ponto M é o ponto médio do lado menor [AB], então [CM]
é a altura relativamente ao lado [AB], e por isso o lado [CM] é perpendicular ao lado [AB], ou seja o
triângulo [BCM] é retângulo em M.
Como, relativamente ao ângulo BCM, o lado [MB] é o cateto oposto e o lado [CB] é a hipotenusa,
usando a definição de seno, temos:
sen (BĈM) =
MB
CB
⇔ sen (BĈM) =
3
9,2
Como
3
9,2
≈ 0,326, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de
valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo
BCM às unidades, temos que
BĈM = sen−1
3
9,2
≈ 19◦
Prova Final 3.o Ciclo – 2015, Época especial
16. O triângulo [ABO] é retângulo em B. Como, relativamente ao ângulo BAO, o lado [OB] é o cateto
oposto e o lado [OA] é a hipotenusa, usando a definição de seno, temos:
sen 25◦
=
OB
OA
⇔ sen 25◦
=
1
OA
⇔ OA =
1
sen 25◦
Como sen 25◦
≈ 0,423, vem que:
OA ≈
1
0,423
≈ 2,364
Assim, a medida r do raio do cı́rculo de raio [AD], é
r = OA ≈ 2,364
Pelo que, calculando a área AS, do semicı́rculo de raio [AD] em centı́metros quadrados, arredondados às
décimas, vem
AS =
πr2
2
≈
π × 2,3642
2
≈ 8,8 cm2
Prova Final 3.o Ciclo – 2015, 2.a fase
17. O triângulo [ABD] é retângulo e [AD] e [BD] são os catetos.
Assim, como tg α =
AD
BD
, temos que [AD] é o cateto oposto ao ângulo α, e [BD] é o cateto adjacente,
pelo que o ângulo α é o ângulo ABD
Prova Final 3.o Ciclo – 2015, 1.a fase
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18. O triângulo [ACD] é retângulo em C. Como, relativamente ao ângulo CDA, o lado [CD] é o cateto
adjacente e o lado [CA] é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:
tg 50◦
=
CA
CD
⇔ tg 50◦
=
CA
8
⇔ 8 × tg 50◦
= CA
Como tg 50◦
≈ 1,19, vem que:
CA ≈ 8 × 1,19 ≈ 9,52
Assim, arredondando o resultado às décimas, vem que CA ≈ 9,5 cm
Prova Final 3.o Ciclo - 2014, 2.a chamada
19. O triângulo [APB] é retângulo em P. Como, relativamente ao ângulo BAP, o lado [AP] é o cateto
adjacente e o lado [BP] é o cateto oposto, usando a definição de tangente, temos:
tg 65◦
=
BP
AP
⇔ tg 65◦
=
BP
1,6
⇔ 1,6 × tg 65◦
= BP
Como tg 65◦
≈ 2,14, vem que:
BP ≈ 1,6 × 2,14 ≈ 3,42
Assim, arredondando o resultado às décimas, vem que BP ≈ 3,4 cm
Prova Final 3.o Ciclo - 2014, 1.a chamada
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20. O triângulo [ADO] é retângulo em D, porque [BC] é perpendicular a [AC]. Como o triângulo [ABC] é
isósceles, também o triângulo AOC é, porque têm a base em comum, e o vértice oposto à base está sobre
a altura. Assim, o ângulo AOC é tem o dobro da amplitude do ângulo AOD, logo:
AÔD =
AÔC
2
=
72
2
= 36◦
Desta forma, o lado [OA] é a hipotenusa do triângulo [AOD], e relativamente ao ângulo AOD, [AD] é o
cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:
sen 36◦
=
AD
OA
⇔ sen 36◦
=
AD
2
⇔ 2 × sen 36◦
= AD
Como sen 36◦
≈ 0,588, vem que: AD ≈ 2 × 0,588 ≈ 1,176
Como o ângulo ABD é o ângulo inscrito relativo ao mesmo arco que o ângulo ao centro AOD tem o
metade da amplitude do ângulo AOD, logo:
AB̂D =
AÔD
2
=
36
2
= 18◦
Desta forma, como o triângulo [ABD] é retângulo em D, relativamente ao ângulo ABD, [AD] é o cateto
oposto e [BD] é o cateto adjacente, pelo que, usando a definição de tangente, temos:
tg 18◦
=
AD
BD
⇔ tg 18◦
× BD = AD ⇔ BD =
AD
tg 18◦
Como AD ≈ 1,176 e tg 18◦
≈ 0,325, vem que: BD ≈
1,176
0,325
≈ 3,618
Como a medida da altura do triângulo [ABC] é BD ≈ 3,618 e a medida da base é
AC = 2 × AD ≈ 2 × 1,176 ≈ 2,352, calculando a área do triângulo [ABC], vem:
A[ABC] =
AC × BD
2
≈
2,352 × 3,618
2
≈ 4,255
Desta forma, o valor aproximado às décimas da área do triângulo [ABC] é de 4,3 cm2
Prova Final 3.o Ciclo - 2013, 2.a chamada
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21. Sabemos que o volume(V ) do um prisma é o produto da área da base (Ab) pela altura (h):
V = Ab × h
Considerando a base do prisma o triângulo [ABC], a altura a aresta [AE], e a medida do volume 42, e
substituindo as medidas conhecidas vem
V = A[ABC] × AE ⇔ 42 =
AB × AC
2
× AE ⇔ 42 =
AB × 2
2
× 6 ⇔
42
6
= AB ⇔ 7 = AB
Assim, como, relativamente ao ângulo ABC, o lado [AC] é o cateto oposto e o lado [AB] é o cateto
adjacente, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, temos que
tg (AB̂C) =
AC
AB
⇔ tg (AB̂C) =
2
7
Como
2
7
≈ 0,2857, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de
valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo
ABC às unidades, temos que
AB̂C = tg−1
2
7
≈ 16◦
Prova Final 3.o Ciclo - 2013, 1.a chamada
22. O triângulo [IHB] é retângulo em H, porque é uma base de um dos prismas, e o lado [HB] é a hipotenusa.
Temos que, relativamente ao ângulo IHB, [BI] é o cateto oposto, e o lado [HI] é o cateto adjacente,
pelo que, usando a definição de tangente, e substituindo as medidas conhecidas, temos:
tg
IĤB
=
BI
HI
⇔ tg 32◦
=
BI
5
⇔ 5 × tg 32◦
= BI
Como tg 32◦
≈ 0,625, vem que: BI ≈ 5 × 0,625 ≈ 3,125
Como [ABDCDEFIJ] é um cubo, então o seu volume, VC, é
VC = BI
3
≈ 3,1253
≈ 30,518 m3
Temos ainda que AB = BI, e como [BHIFAG] é um prisma triangular reto, em que o triângulo [IHB]
é a base e [HI] é a altura, então o volume do prisma, VP , é
VP = A[IHB] × AB =
HI × BI
2
× AB ≈
5 × 3,125
2
× 3,125 ≈ 24,414 m3
Como os prismas [BHIFAG] e [CKJEDL] são geometricamente iguais, têm o mesmo volume, pelo que
calculando o volume do sólido, VS, como a soma dos três volumes, e arredondando o resultado às unidades
temos:
VS = VP + VC + VP = 2 × VP + VC ≈ 2 × 24,414 + 30,518 ≈ 79 m3
Prova Final 3.o Ciclo - 2012, 2.a chamada
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23. Como [ACB] é um triângulo retângulo em B, e relativamente ao ângulo ACB, temos que [AC] é a
hipotenusa, [BC] é o cateto adjacente e [AB] é o cateto oposto, pela definição das razões trigonométricas,
temos que
sen AĈB =
AB
AC
e cos AĈB =
BC
AC
Resposta: Opção C
Prova Final 3.o Ciclo - 2012, 1.a chamada
24. Como AF = AG, o triângulo [AFG] é isósceles, pelo que, considerando M o ponto médio do lado [FG],
podemos considerar o triângulo [AMF], retângulo em M
Temos ainda que o lado [AM] bisseta o ângulo FAG (que coincide com o ângulo
CAD), pelo que FÂM =
36
2
= 18◦
Desta forma, o lado [AF] é a hipotenusa do triângulo [AMF], e relativa-
mente ao ângulo FAM, [AM] é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de
seno, temos:
sen (FÂM) =
FM
AF
⇔ sen 18◦
=
FM
16
⇔ 16 × sen 18◦
= FM
Como sen 18◦
≈ 0,31, vem que: FM ≈ 16 × 0,31 ≈ 4,94 cm
E
A
B
C D
G
F
O
M
Como M é o ponto médio de [FG], calculando FG e arredondando o resultado às décimas, temos
FG = 2 × FM ≈ 2 × 4,94 ≈ 9,9 cm
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2011, Ép. Especial
25. Como o triângulo [ABC] é retângulo em A, então o lado [AC] é o cateto oposto ao ângulo CBA e o
lado [AB] é o cateto adjacente ao mesmo ângulo, pelo que, usando a definição de tangente de um ângulo,
temos:
tg
CB̂A
=
AC
AB
⇔ tg 30◦
=
8
AB
⇔ AB =
8
tg 30◦
Como tg 30◦
≈ 0,58, vem que: AB ≈
8
0,58
≈ 13,79
Definindo o lado [AB] como a base e o lado [AC] como a altura (ou vice-versa), a área do triângulo
[ABC], em cm2
, arredondada às unidades é
A[ABC] =
AB × AC
2
≈
13,79 × 8
2
≈ 55 cm2
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2011, 2.a chamada
11/16
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26. Como o triângulo [DPH] é retângulo em D, então o lado [DP] é o cateto adjacente ao ângulo DPH e o
lado [DH] é o cateto oposto ao mesmo ângulo, pelo que, usando a definição de tangente de um ângulo,
temos:
tg
DP̂H
=
DH
DP
⇔ tg 32◦
=
DH
5
⇔ 5 tg 32◦
= DH
Como tg 32◦
≈ 0,625, vem que: DH ≈ 5 × 0,625 ≈ 3,125
Definindo o lado [DP] como a base e o lado [DH] como a altura (ou vice-versa), a área do triângulo
[DPH], em cm2
, arredondada às décimas é
A[DP H] =
DP × DH
2
≈
5 × 3,125
2
≈ 7,8 cm2
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2011, 1.a chamada
27. Como o triângulo [OQB] é retângulo em O, então o lado [BO] é o cateto adjacente ao ângulo OBQ e o
lado [OQ] é o cateto oposto ao mesmo ângulo, pelo que, usando a definição de tangente de um ângulo, e
como BO = 8 temos:
tg
OB̂Q
=
OQ
BO
⇔ tg 36◦
=
OQ
8
⇔ 8 tg 36◦
= OQ
Como tg 36◦
≈ 0,73, vem que: DH ≈ 8 × 0,73 ≈ 5,84
Definindo o lado [OQ] como a base e o lado [BO] como a altura (ou vice-versa), a área do triângulo
[BOQ] é
A[BOQ] =
OQ × BO
2
≈
5,84 × 8
2
≈ 23,36
E assim, a área do triângulo [BSQ] é
A[BSQ] = 2 × A[BOQ] ≈ 2 × 23,36 ≈ 46,72
Determinando a área A do semicı́rculo, parcialmente sombreado, cujo raio (r) é 8, temos
A =
πr2
2
=
π × 82
2
=
64π
2
= 32π
Finalmente podemos obter o valor da área sombreada (AS), arredondada às unidades, como a diferença
da área do semicı́rculo e a área do triângulo [BSQ] :
AS = A − A[BSQ] ≈ 32π − 46,72 ≈ 54
Teste Intermédio 9.o ano – 17.05.2011
28. Como o triângulo [ABC] é retângulo em B, relativamente ao ângulo ACB, o lado [AB] é o cateto oposto e
o lado [BC] é o cateto adjacente, e assim, recorrendo à definição de tangente de um ângulo e substituindo
os valores conhecidos, temos que
tg (AĈB) =
AB
BC
⇔ tg (AĈB) =
1,26
0,6
⇔ tg (AĈB) = 2,1
Assim, procurando o valor mais próximo de 2,1 na coluna dos valores da tangente na tabela de valores
das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo ACB
às unidades, temos que
AĈB = tg−1
(2,1) ≈ 65◦
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2010, 2.a chamada
12/16
13. mat.absolutamente.net
29. Como o triângulo [ABD] é retângulo em A, o lado [BD] é a hipotenusa, e relativamente ao ângulo BDA,
[AB] é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:
sen (BD̂A) =
AB
BD
⇔ sen 70◦
=
4,35
BD
⇔ BD =
4,35
sen 70◦
Como sen 70◦
≈ 0,940, vem que: BD ≈
4,35
0,940
≈ 4,63 cm
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2010, 1.a chamada
30. Como o triângulo [ABD] é retângulo em C, o lado [AB] é a hipotenusa, e relativamente ao ângulo CAB,
[BC] é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:
sen (CÂB) =
BC
AB
⇔ sen (CÂB) =
1,7
2,5
⇔ sen (CÂB) = 0,68
Assim, procurando o valor mais próximo de 0,68 na coluna dos valores do seno na tabela de valores das
razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo CAB às
unidades, temos que
CÂB = sen−1
(0,68) ≈ 43◦
Teste Intermédio 9.o ano – 11.05.2010
31. Como a altura é medida na perpendicular ao solo, o triângulo formado pela trave, pela altura e pela
parte do solo situada por debaixo da trave, é um triângulo retângulo em que a trave é a hipotenusa,
e relativamente ao ângulo assinalado, a altura é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de seno,
temos:
sen 40◦
=
a
2,8
⇔ sen 40◦
× 2,8 = a
Como sen40◦
≈ 0,64, calculando, em metros, a altura máxima a que a cadeira pode estar, e arredondando
o resultado às décimas, vem:
a ≈ 0,64 × 2,8 ≈ 1,79 ≈ 1,8 m
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2009, 2.a chamada
32. Como o bloco deste monumento resultam de um corte de um prisma quadrangular reto, as arestas laterais
são perpendiculares às arestas da base, pelo que os segmentos [AB] e [AE] são perpendiculares e assim,
o triângulo [ABE] é retângulo em A.
Logo, o lado [EB] é a hipotenusa do triângulo e, relativamente ao ângulo AEB, o lado [AB] é o cateto
oposto, pelo que, usando a definição de seno, temos:
sen (AÊB) =
AB
BE
⇔ sen 35◦
=
2
BE
⇔ BE =
2
sen 35◦
Como sen 35◦
≈ 0,5736, calculando, em metros, a medida do comprimento de [EB] e arredondando o
resultado às unidades, vem
BE ≈
2
0,5736
≈ 3 m
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2009, 1.a chamada
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33. Como, a altura é medida na perpendicular à base, α é um ângulo de um triângulo retângulo em que,
relativamente ao ângulo α, o lado cujo comprimento é 1,8 m é o cateto oposto e o lado cujo comprimento
é 2 m é o cateto adjacente.
Assim, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, temos que
tg α =
1,8
2
Como
1,8
2
= 0,9, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de valores
das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo α às
unidades, temos que
α = tg−1
(0,9) ≈ 42◦
Teste Intermédio 9.o ano – 11.05.2009
34. Sabemos que [ABE] é um triângulo retângulo em A e, relativamente ao ângulo BAE, ou seja, ao ângulo
β, o lado [BE] é o cateto oposto e o lado [AB] é o cateto adjacente.
Assim, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, e substituindo as medidas dos lados, temos que:
tg β =
BE
AB
=
42
300
Como
42
300
= 0,14, procurando o valor mais próximo na coluna dos valores da tangente na tabela de
valores das razões trigonométricas (ou recorrendo à calculadora), e arredondando a amplitude do ângulo
β às unidades, temos que
β = tg−1
(0,14) ≈ 8◦
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2008, 2.a chamada
35. Como o triângulo assinalado na figura é retângulo, o lado com comprimento 30 m é a hipotenusa, e
relativamente ao ângulo α, o lado definido pelo ecrã é o cateto oposto, pelo que, usando a definição de
seno, temos:
sen α =
15
30
⇔ sen (CÂB) = 0,5
Assim, procurando o valor 0,5 na coluna dos valores do seno na tabela de valores das razões trigo-
nométricas (ou recorrendo à calculadora), temos que
α = sen−1
(0,5) = 30◦
Como a amplitude do ângulo de visão do João é superior a 26◦
e inferior a 36◦
, então podemos afirmar
o lugar do João permite uma visão clara do filme.
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2008, 1.a chamada
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36. Começamos por determinar o comprimento da sombra da vara. Como a vara foi colocada perpendicu-
larmente ao solo, a vara e a sua sombra definem um ângulo reto (e um triângulo retângulo), pelo que,
relativamente ao ângulo de amplitude 43◦
, a vara (de comprimento 1,8 m) é o cateto oposto e a sombra
da vara é o cateto adjacente.
Assim, designado por v o comprimento da sombra da vara, recorrendo à definição de tangente de um
ângulo, temos que:
tg 43◦
=
1,8
v
⇔ v =
1,8
tg 43◦
Como tg 43◦
≈ 0,93, vem que: v ≈
1,8
0,93
≈ 1,94 e assim, a sombra da antena é 14 + 1,94 ≈ 15,94 m
Como os dois triângulos (um formado pela antena e a respetiva sombra e o outro formado pela vara e
pela respetiva sombra são semelhantes, porque têm dois ângulos iguais - o ângulo de amplitude 43◦
que
é comum e os ângulos retos), então os lados correspondentes são proporcionais, ou seja
h
15,94
=
1,8
1,94
⇔ h =
1,8 × 15,94
1,94
⇔ h ≈ 14,79
Pelo que a altura da antena é de, aproximadamente, 15 m.
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2007, 2.a chamada
37. Como o triângulo [ADE] é retângulo em E, relativamente ao ângulo EAD, o lado [ED] é o cateto oposto
e o lado [AD] é a hipotenusa pelo que, usando a definição de seno, temos:
sen (EÂD) =
ED
AD
⇔ sen 30◦
=
ED
5
⇔ 5 × sen 30◦
= ED
Como sen 30◦
= 0,5, determinando ED, vem
ED = 5 × 0,5 = 2,5
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2007, 1.a chamada
38. Pela observação do gráfico, podemos verificar que às 15 horas e 38 minutos do dia 21 de junho de 2006,
a altura, h, do Sol é a amplitude, medida em graus, ou seja o ângulo que os raios solares faziam com o
plano do horizonte era 50◦
Fazendo um esboço para ilustrar a situação descrita, como na figura ao
lado, consideramos um triângulo retângulo em que um dos ângulo tem
amplitude 50◦
, e relativamente a esse ângulo sabemos que a medida do
cateto oposto é 30 e queremos determinar a medida do cateto adjacente.
Assim, designado por s o comprimento da sombra, recorrendo à de-
finição de tangente de um ângulo, temos que:
tg 50◦
=
30
s
⇔ s =
30
tg 50◦
50◦
Sombra
30
m
Como tg 50◦
≈ 1,19, vem que: s ≈
30
1,19
≈ 25,21 e assim, arredondando o resultado às unidades, temos
que a sombra do monumento é, aproximadamente, 25 metros.
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2006, 2.a chamada
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39. Como, de acordo com a figura o cateto oposto ao ângulo x tem é o lado b, e a hipotenusa do triângulo é
o lado a, pela definição de seno de um ângulo, vem que
sen x =
b
a
Resposta: Opção A
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2006, 1.a chamada
40. Como o degrau é um prisma triangular reto, podemos considerar o triângulo retângulo em que um ângulo
agudo tem amplitude 17◦
, e relativamente a este ângulo a medida do cateto oposto é a altura, a, do
degrau, e ainda a medida do cateto adjacente é 5.
Assim, recorrendo à definição de tangente de um ângulo, temos que:
tg 17◦
=
a
5
⇔ 5 × tg 17◦
= a
Como tg 17◦
≈ 0,3057, arredondando o resultado às décimas, a altura do degrau é:
a ≈ 5 × 0,3057 ≈ 1,5 m
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2005, 2.a chamada
41. Como os dois triângulos retângulos formados pelos degraus e pela rampa são congruentes (porque têm
os ângulos correspondentes com a mesma amplitude e um lado com a mesma medida), então a medida
da hipotenusa de cada um deles é
c
2
. Podemos ainda verificar que, relativamente ao ângulo de amplitude
3◦
, a altura do degrau é o cateto oposto do triângulo.
Assim, recorrendo à definição de seno de um ângulo, temos que:
sen 3◦
=
10
c
2
⇔
c
2
=
10
sen 3◦
⇔ c =
10
sen 3◦
× 2
Como sen 3◦
≈ 0,0523, o comprimento da rampa, em centı́metros, é:
c ≈
10
0,0523
× 2 ≈ 382,4092 cm
Pelo que o comprimento da rampa, em metros, arredondado às décimas, é 3,8 m
Exame Nacional 3.o Ciclo - 2005, 1.a chamada
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