Exercício 2 - Sistemas dinâmicos no tempo contínuo

1. Considere o sistema H associado a seguinte equação diferencial
𝐴
𝑑2 𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
= 𝐵
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐶𝑥(𝑡), com A, B e C reais e positivos:
a) Desenhar o digrama de blocos do sistema.
b) Determinar a função de transferência do sistema
c) Identificar a região de convergência (RDC) que garante que o sistema seja
causal.
d) De acordo com a RDC identificada no ponto c), o sistema é também estável?
Justifique.
e) É possível calcular a resposta ao impulso desse sistema? Se não, justifique
porque. Se sim, derive a equação da resposta ao impulso.
f) Se 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡), qual é o valor de 𝑦(𝑡) para 𝑡 → ∞?
g) Considerando a RDC determinada no item c) e 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = 1, determinar
𝑦(𝑡) quando 𝑥(𝑡) = 𝑒5𝑡
.
h) Derive a equação de 𝑦(𝑡) para 𝑡 > 0 quando 𝑥(𝑡) = 0, 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = 1,
𝑦(0−
) = 0 e
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
|
𝑡=0−
= 1.
Respostas:
a) Desenhar o digrama de blocos do sistema.
𝐴
𝑑2
𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
= 𝐵
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐶𝑥(𝑡)
𝑑2
𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
=
𝐵
𝐴
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+
𝐶
𝐴
𝑥(𝑡)

2. b) Determinar a função de transferência do sistema
𝑑2
𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
=
𝐵
𝐴
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+
𝐶
𝐴
𝑥(𝑡)
Considerando condições iniciais nulas:
𝑠2
𝑌(𝑠) =
𝐵
𝐴
𝑠𝑌(𝑠) +
𝐶
𝐴
𝑋(𝑠)
(𝑠2
−
𝐵
𝐴
𝑠) 𝑌(𝑠) =
𝐶
𝐴
𝑋(𝑠)
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
= 𝐻(𝑠) =
𝐶
𝐴
𝑠 (𝑠 −
𝐵
𝐴
)
c) Identificar a região de convergência (RDC) que garante que o sistema seja
causal.
𝐻(𝑠) =
𝐶
𝐴
𝑠 (𝑠 −
𝐵
𝐴
)
O sistema possui dois pólos, 1 pólo em zero e 1 pólo em
𝐵
𝐴
. Como 𝐴, 𝐵 > 0 ⇒
𝐵
𝐴
> 0.
Para que o sistema seja causal a RDC deve estar à direita do pólo em
𝐵
𝐴
, isto
é, 𝑅𝑒{𝑠} >
𝐵
𝐴
.

3. d) De acordo com a RDC identificada no ponto c), o sistema é também estável?
Justifique.
Como a RDC não inclui o eixo imaginário, já que o sistema possui um pólo
positivo em
𝐵
𝐴
e outro em zero, o sistema é instável.
e) É possível calcular a resposta ao impulso desse sistema? Se não, justifique
porque. Se sim, derive a equação da resposta ao impulso.
𝐻(𝑠) =
𝐶/𝐴
𝑠(𝑠 − 𝐵/𝐴)
⇒ 𝐻(𝑠) =
𝐶
𝐴
1
𝑠(𝑠 − 𝐵/𝐴)
Expansão em frações parciais:
1
𝑠(𝑠 − 𝐵/𝐴)
=
𝑋
𝑠
+
𝑌
𝑠 − 𝐵/𝐴
1 = (𝑠 − 𝐵/𝐴)𝑋 + 𝑠𝑌
1 = (−𝐵/𝐴)𝑋 + 𝑠(𝑋 + 𝑌)
𝑋 + 𝑌 = 0 1 = (−𝐵/𝐴)𝑋
𝑌 = −𝑋 𝑋 = −𝐴/𝐵
𝑌 = 𝐴/𝐵
𝐻(𝑠) =
𝐶
𝐴
𝐴
𝐵
[
1
𝑠 − 𝐵/𝐴
−
1
𝑠
]

4. 𝐻(𝑠) =
𝐶
𝐵
[
1
𝑠 − 𝐵/𝐴
−
1
𝑠
]
ℎ(𝑡) =
𝐶
𝐵
[𝑒
𝐵
𝐴
𝑡
𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡)]
ℎ(𝑡) =
𝐶
𝐵
(𝑒
𝐵
𝐴
𝑡
− 1) 𝑢(𝑡)
f) Se 𝑥(𝑡) = 𝑢(𝑡), qual é o valor de 𝑦(𝑡) para 𝑡 → ∞?
Teorema do valor final:
𝑦(∞) = lim
𝑠⟶0
𝑠𝑌(𝑠) = lim
𝑠⟶0
𝑠𝐻(𝑠)𝑋(𝑠)
𝑦(∞) = lim
𝑠⟶0
𝑠
𝐶
𝐴
1
𝑠(𝑠 − 𝐵/𝐴)
1
𝑠
𝑦(∞) = ∞
g) Considerando a RDC determinada no item c) e 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = 1, determinar
𝑦(𝑡) quando 𝑥(𝑡) = 𝑒5𝑡
.
𝑥(𝑡) é uma autofunção. Como 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = 1, 𝑠 = 5 pertence a RDC.
𝑦(𝑡) = 𝐻(𝑠)| 𝑠=5 𝑥(𝑡)
𝑦(𝑡) =
1
𝑠(𝑠 − 1)
|
𝑠=5
𝑥(𝑡)
𝑦(𝑡) =
1
5(5 − 1)
𝑥(𝑡)
𝑦(𝑡) =
1
20
𝑒5𝑡

5. h) Derive a equação de 𝑦(𝑡) para 𝑡 > 0 quando 𝑥(𝑡) = 0, 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = 1,
𝑦(0−
) = 0 e
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
|
𝑡=0−
= 1.
Transformada de Laplace Unilateral
𝐴
𝑑2
𝑦(𝑡)
𝑑𝑡2
= 𝐵
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐶𝑥(𝑡)
𝐴(𝑠2
𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0−) − 𝑦̇(0−
)) = 𝐵(𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0−)) + 𝐶𝑋(𝑠)
𝑠2
𝑌(𝑠) − 1 = 𝑠𝑌(𝑠)
(𝑠2
− 𝑠)𝑌(𝑠) = 1 ⇒ 𝑌(𝑠) =
1
𝑠(𝑠 − 1)
Expansão em frações parciais
1
𝑠(𝑠 − 1)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 − 1
1 = (𝑠 − 1)𝐴 + 𝑠𝐵
1 = −𝐴 + 𝑠(𝐴 + 𝐵)
𝐴 + 𝐵 = 0 1 = −𝐴
𝐵 = −𝐴 𝐴 = −1
𝐵 = 1
𝑌(𝑠) =
1
𝑠 − 1
−
1
𝑠
, 𝑅𝑒{𝑠} >
𝐵
𝐴
= 1
Aplicando a transformada inversa de Laplace
𝑦(𝑡) = 𝑒 𝑡
𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡)
𝑦(𝑡) = (𝑒 𝑡
− 1)𝑢(𝑡)