a) O digrama de blocos do sistema é representado por uma equação recursiva relacionando a saída y[n] com as entradas x[n-1] e x[n-2] e saídas passadas. b) A função de transferência é dada por H(z)=(z+γ)/(z-α)(z-β). c) A região de convergência que garante causalidade é |z|>α, uma vez que α≥β>0.

1. Considere o sistema H associado a seguinte equação às diferenças
𝑦[𝑛] − (𝛼 + 𝛽)𝑦[𝑛 − 1] + 𝛼𝛽𝑦[𝑛 − 2] = 𝑥[𝑛 − 1] + 𝛾𝑥[𝑛 − 2], com 𝛼, 𝛽 e 𝛾 reais e
𝛼 ≥ 𝛽 > 0 e 𝛾 < 0:
a) Desenhar o digrama de blocos do sistema.
b) Determinar a função de transferência do sistema
c) Identificar a região de convergência (RDC) que garante que o sistema seja
causal.
d) De acordo com a RDC identificada no ponto c), para quais valores de 𝛼, 𝛽 e 𝛾
o sistema é também estável? Justifique.
e) Considerando a RDC que resulta em um sistema causal e estável, determinar
a resposta ao impulso do sistema.
f) Esboçar o gráfico do módulo e da fase da resposta em frequência do sistema,
usando o método geométrico, se 𝛼 = 𝛽 = 0.5 e 𝛾 = 0.
g) Se 𝛼 = 𝛽 = 0.5, determiner o valor de 𝛾 que garante que se 𝑥[𝑛] = (−3) 𝑛
então
𝑦[𝑛] = 0 para qualquer 𝑛.
Respostas:
a) Desenhar o digrama de blocos do sistema.
𝑦[𝑛] − (𝛼 + 𝛽)𝑦[𝑛 − 1] + 𝛼𝛽𝑦[𝑛 − 2] = 𝑥[𝑛 − 1] + 𝛾𝑥[𝑛 − 2]
𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛 − 1] + 𝛾𝑥[𝑛 − 2] + (𝛼 + 𝛽)𝑦[𝑛 − 1] − 𝛼𝛽𝑦[𝑛 − 2]

2. b) Determinar a função de transferência do sistema
𝑦[𝑛] − (𝛼 + 𝛽)𝑦[𝑛 − 1] + 𝛼𝛽𝑦[𝑛 − 2] = 𝑥[𝑛 − 1] + 𝛾𝑥[𝑛 − 2]
𝑌(𝑧) − (𝛼 + 𝛽)𝑧−1
𝑌(𝑧) + 𝛼𝛽𝑧−2
𝑌(𝑧) = 𝑧−1
𝑋(𝑧) + 𝛾𝑧−2
𝑋(𝑧)
(1 − (𝛼 + 𝛽)𝑧−1
+ 𝛼𝛽𝑧−2
)𝑌(𝑧) = (𝑧−1
+ 𝛾𝑧−2
)𝑋(𝑧)
(𝑧2
− (𝛼 + 𝛽)𝑧 + 𝛼𝛽)𝑌(𝑧) = (𝑧 + 𝛾)𝑋(𝑧)
𝑌(𝑧)
𝑋(𝑧)
=
𝑧 + 𝛾
𝑧2 − 𝛼𝑧 − 𝛽𝑧 + 𝛼𝛽
𝐻(𝑧) =
𝑧 + 𝛾
(𝑧 − 𝛼)(𝑧 − 𝛽)
c) Identificar a região de convergência (RDC) que garante que o sistema seja
causal.
𝐻(𝑧) =
𝑧 + 𝛾
(𝑧 − 𝛼)(𝑧 − 𝛽)
O sistema possui dois pólos, 1 pólo em 𝛼 e 1 pólo em 𝛽. Como 𝛼 ≥ 𝛽 > 0.
Para que o sistema seja causal a RDC deve ser a região externa a
circunferência de raio 𝛼, uma vez que 𝛼 ≥ 𝛽, ou seja |𝑧| > 𝛼.
d) De acordo com a RDC identificada no ponto c), para quais valores de 𝛼, 𝛽 e 𝛾
o sistema é também estável? Justifique.
Para que o sistema seja estável os dois pólos do sistema devem estar dentro
do círculo de raio unitário, ou seja, 𝛼 < 1 e 𝛽 < 1.
e) Considerando a RDC que resulta em um sistema causal e estável, determinar
a resposta ao impulso do sistema.
𝐻(𝑧) =
𝑧−1
+ 𝛾𝑧−2
(1 − 𝛼𝑧−1)(1 − 𝛽𝑧−1)
𝐻(𝑧) = 𝑧−1
(
𝐴
1 − 𝛼𝑧−1
+
𝐵
1 − 𝛽𝑧−1
)
𝑧−1
[𝐴(1 − 𝛽𝑧−1) + 𝐵(1 − 𝛼𝑧−1)] = 𝑧−1
+ 𝛾𝑧−2
𝑧−1
[𝐴 − 𝐴𝛽𝑧−1
+ 𝐵 − 𝐵𝛼𝑧−1
] = 𝑧−1
(1 + 𝛾𝑧−1
)
𝐴 + 𝐵 − (𝐴𝛽 + 𝐵𝛼)𝑧−1
= 1 + 𝛾𝑧−1
𝐴 + 𝐵 = 1 −(𝐴𝛽 + 𝐵𝛼) = 𝛾

3. 𝐴 = 1 − 𝐵 −(1 − 𝐵)𝛽 − 𝐵𝛼 = 𝛾
𝐴 = 1 +
𝛾+𝛽
𝛼−𝛽
𝐵𝛽 − 𝛽 − 𝐵𝛼 = 𝛾
𝐴 =
𝛼−𝛽+𝛾+𝛽
𝛼−𝛽
𝐵 =
𝛾+𝛽
𝛽−𝛼
⇒ 𝐵 = −
𝛾+𝛽
𝛼−𝛽
𝐴 =
𝛾+𝛼
𝛼−𝛽
𝐻(𝑧) =
𝑧−1
𝛼 − 𝛽
(
𝛾 + 𝛼
1 − 𝛼𝑧−1
−
𝛾 + 𝛽
1 − 𝛽𝑧−1
)
ℎ[𝑛] =
𝛾 + 𝛼
𝛼 − 𝛽
𝛼 𝑛−1
𝑢[𝑛 − 1] −
𝛾 + 𝛽
𝛼 − 𝛽
𝛽 𝑛−1
𝑢[𝑛 − 1]
f) Esboçar o gráfico do módulo e da fase da resposta em frequência do sistema,
usando o método geométrico, se 𝛼 = 𝛽 = 0.5 e 𝛾 = 0.
𝐻(𝑧) =
𝑧 + 𝛾
(𝑧 − 𝛼)(𝑧 − 𝛽)
, 𝑧 = 𝑒 𝑗𝑤
𝐻(𝑒 𝑗𝑤
) =
𝑒 𝑗𝑤
(𝑒 𝑗𝑤 − 0,5)2
|𝐻(𝑒 𝑗𝑤
)| =
|𝑣1|
|𝑣2|2
=
1
|𝑣2|2
Para 𝑤 = 0 ⇒ |𝐻(𝑒 𝑗𝑤
)| =
1
0,52
= 4
Para 𝑤 = 𝜋 ⇒ |𝐻(𝑒 𝑗𝑤
)| =
1
1,52
= 0,444

4. ≮ 𝐻(𝑒 𝑗𝑤
) = ∑𝜃𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 − ∑𝜃 𝑝ó𝑙𝑜𝑠
Para 𝑤 = 0 ⇒ ≮ 𝐻(𝑒 𝑗𝑤
) = 0
Para 𝑤 = 𝜋 ⇒ ≮ 𝐻(𝑒 𝑗𝑤
) = 𝜋 − 2𝜋 = −𝜋
g) Se 𝛼 = 𝛽 = 0.5, determiner o valor de 𝛾 que garante que se 𝑥[𝑛] = (−3) 𝑛
então 𝑦[𝑛] = 0 para qualquer 𝑛.
𝑥[𝑛] é uma autofunção do sistema.
𝑦[𝑛] = 𝐻(𝑧)| 𝑧=−3 𝑥[𝑛]
𝐻(𝑧) =
𝑧 + 𝛾
(𝑧 − 𝛼)(𝑧 − 𝛽)
𝑦[𝑛] = 0 ⟺ 𝐻(−3) = 0
𝑧 + 𝛾 = 0
𝛾 = −𝑧
𝛾 = 3