1. Matem´atica Discreta Formul´ario Pedro Dias - 2013
Proposi¸c˜oes:
p ˙∨q ⇔ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) (ou exclusivo)
(p ⇒ q) ⇔ (¬p ∨ q) (implica¸c˜ao)
(¬(p ∧ q)) ⇔ (¬p ∨ ¬q) (Lei De Morgan)
(¬(p ∨ q)) ⇔ (¬p ∧ ¬q) (Lei De Morgan)
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) (contraposi¸c˜ao)
[p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q (modus ponens)
[(p ⇒ q) ∧ ¬q] ⇒ ¬p (modus tollens)
p1, . . . , p3 T ≡ p1 ∧ · · · ∧ pn ⇒ T
≡ p1 ∧ . . . ∧ pn ∧ ¬T
[x] = [y] ≡ [x] ∩ [y] = ∅
Fun¸c˜ao injectiva: rectas paralelas ao eixo
dos x interceptam o gr´afico apenas num ponto.
Fun¸c˜ao sobrejectiva: CD → [−∞, ∞]
Fun¸c˜ao bijectiva: injectiva+sobrejectiva
Propriedades conjuntos:
• reflexiva: ∀x ∈ A : xRx
• sim´etrica: ∀x, y ∈ A : xRy ∧ yRx
• anti-sim´etrica:
∀x, y ∈ A : xRy ∧ yRx ⇒ x = y
• transitiva:
∀x, y, z ∈ A : xRy ∧ yRz ⇒ xRz
• dicotomia: ∀x, y : [x, y ∈ A] ⇒ xRy ∨ yRx
Rela¸c˜ao de equivalˆencia:reflexiva, sim´etrica
e transitiva.
Rela¸c˜ao de ordem parcial:reflexiva,
anti-sim´etrica e transitiva.
Rela¸c˜ao de ordem total:reflexiva, sim´etrica,
anti-sim´etrica, transitiva e dicotomia.
Forma Normal Prenex:
1. remover os ⇔ e os ⇒
2. colocar as ¬ imediatamente antes dos
´atomos
3. mover Q1, ..., Qn para o in´ıcio da equa¸c˜ao
∀x P(x) ⇒ ∀x Q(x) ≡ ∀x∀y P(x) ⇒ Q(y)
Forma Normal Skolem: Se nenhum ∀
aparece `a esquerda de Qr ent˜ao:
1o
Escolher uma constante c
2o
Substituir Xr por c
3o
Eliminar Qr
Se Q1, ..., Qn s˜ao ∀ `a esquerda de Qr ent˜ao:
1o
Escolher um s´ımbolo de fun¸c˜ao (f) com n
argumentos
2o
Substituir Xr por f(x1, ..., xn)
3o
Eliminar Xr
Unifica¸c˜ao: W ≡ conjunto de express˜oes
Di ≡ conjunto das diferen¸cas
σi+1 = {TERM/VAR} ◦ σi
Prova Directa: HIP ⇒ TESE
Contraposi¸c˜ao: ¬q ⇒ ¬p
Redu¸c˜ao ao Absurdo: ¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬q
Princ´ıpio de Indu¸c˜ao: p(n) ⇒ p(n + 1)
Indu¸c˜ao Completa: p(n) verifica-se para
n0 ≤ n ≤ k
Princ´ıpio de Resolu¸c˜ao de Robinson:
S = {C1, . . . , Cn, ¬T} ´e insconsistente.
Princ´ıpio da Adi¸c˜ao: Ai ∩ Aj = φ
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = |A1| + |A2| + . . . + |An|
Princ´ıpio da Multiplica¸c˜ao:
f(a1, . . . , an) =
n
k=1 ak × 10k−1
Exemplo: quantos n´umeros 4 algarismos com
os d´ıgitos em
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?Como |A| = 10 e
k = 4 ent˜ao |A4
| = |A|4
= 104
Princ´ıpio da Multiplica¸c˜ao generalizada:
p1 × p2 × . . . × pn = 20 × 19 × . . . × 11 × 10
Princ´ıpio de Inclus˜ao-Exclus˜ao:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B|−
|A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
7
2 3
4 52
1
7 + 4 + 5 − 2 − 3 − 2 + 1 =
16 − 7 + 1 =
= 10
Combina¸c˜oes simples: ordem n˜ao importa
n
k = Cn
k = n!
k!×(n−k)!
Combina¸c˜oes com repeti¸c˜ao:
Cn
k =
n + k − 1
n
=
n + k − 1
k − 1
Arranjos completos: com repeti¸c˜ao
A
(k)
n = nk
→ aplica¸c˜ao direta do
princ´ıpio da multiplixa¸c˜ao
Arranjos simples: An,k =
n!
(n − k)!
1

2. Matem´atica Discreta Formul´ario Pedro Dias - 2013
Permuta¸c˜oes: Pn = An,n =
n!
(n − n)!
= n!
Permuta¸c˜oes com repeti¸c˜ao:
n
n1, . . . , nk
=
n!
n1! . . . nk!
em que n1 + · · · + nk = n
Parti¸c˜oes c´ıclicas:{{1, 5, 7}, {2}, {3, 4, 6}}
Decomposi¸c˜ao em ciclos:
π = (5246731) → (157)(2)(346)
π ´e do tipo: 11
× 32
N´umero de permuta¸c˜oes tipo:
n!
1λ1 × · · · × nλn × λ1! × · · · × λn!
,
em que λn ´e o n´umero de permuta¸c˜oes tipo n.
Equa¸c˜oes de recorrˆencia:
2