Este documento discute equações diferenciais que descrevem oscilações amortecidas. Ele mostra que quando a taxa de amortecimento é igual à frequência natural, a oscilação tende a um equilíbrio não oscilatório. Também demonstra que a função x = (A + Bt)e-γt é uma solução válida para a equação diferencial x + 2γx ̇ + γ2x = 0 e define condições iniciais para os parâmetros A e B.

1. 12.47)a) Temos a equação: x = A.e−γ.t . sin (ω.t + α), onde ω = ω2 − γ2 .
o
Assim, quando γ = ωo , temos que ω = 0, e portanto o corpo tende a um equilibrio não
oscilatório.
b) Se x = (A + B.t).e−γ.t , então
x = e−γ.t .(−γ.A + B − γ.B.t), e
˙
x = e−γ.t .(A − 2.B.γ − γ2 .B.t).
¨
Substituindo então na equação x + 2.γ.x + γ2 .x = 0 , temos:
¨ ˙
e−γ.t .(A.γ2 − 2.B.γ + γ2 .B.t − 2.γ2 .A + 2.B.γ − 2.γ2 .B.t + γ2 .A + γ2 .B.t) = 0
Como a expressão entre parentesis é nula, a expressão dada é solução da equação.
c) Para t = 0, a equação x = (A + B.t).e−γ.t fica:
A + B.0 = xo ⇒ A = xo
Além disso, x = e−γ.t .(−γ.A + B − γ.B.t) = 0
˙
−γ.A + B − γ.B.0 = 0 ⇒ B = γ.A = γ.xo
d) O problema anterior apresenta o caso do amortecimento super-crítico, em que γ > ω0 ,
e no qual o equilibrio e atingido mais lentamente.
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