Exercício 1 - Sistemas Discretos / Resposta em frequência

1. Considere o sistema LTI com entrada 𝑥[𝑛], saída 𝑦[𝑛] e resposta ao impulso
ℎ[𝑛]. Considere 𝛼 e 𝛽 reais, e |𝛼| < 1 e que os dois subsistemas com resposta ao
impulso ℎ1[𝑛] e ℎ2[𝑛] sejam LTI.
a) Calcular a equação de ℎ[𝑛].
b) Desenhar o diagrama de blocos do sistema, usando somente operadores de
atraso D.
c) Escrever a equação de diferenças do sistema.
d) O sistema é linear e invariante no tempo?
e) Para quais valores de 𝛼 e 𝛽 o sistema é estável?
f) Considerando 𝛼 = 0.5 e 𝛽 = 0, calcular a resposta em frequência do sistema,
e desenhar o gráfico do modulo e da fase.
Respostas:
a) Calcular a equação de ℎ[𝑛].
ℎ1[𝑛] = 𝛽𝛿[𝑛 − 1] ⇒ 𝐻1(𝑧) = 𝛽𝑧−1
ℎ2[𝑛] = 𝛼 𝑛
𝑢[𝑛] ⇒ 𝐻2(𝑧) =
1
1 − 𝛼𝑧−1
𝑌(𝑧) = [𝑋(𝑧) + 𝐻1(𝑧)𝑋(𝑧)]𝐻2(𝑧)
𝑌(𝑧) = [1 + 𝐻1(𝑧)]𝐻2(𝑧)𝑋(𝑧)
𝑌(𝑧)
𝑋(𝑧)
= [1 + 𝐻1(𝑧)]𝐻2(𝑧)
𝐻(𝑧) = [1 + 𝛽𝑧−1
]
1
1 − 𝛼𝑧−1
𝐻(𝑧) =
1
1 − 𝛼𝑧−1
+
𝛽𝑧−1
1 − 𝛼𝑧−1
ℎ[𝑛] = 𝛼 𝑛
𝑢[𝑛] + 𝛽𝛼 𝑛−1
𝑢[𝑛 − 1]

2. b) Desenhar o diagrama de blocos do sistema, usando somente operadores de
atraso D.
𝐻(𝑧) =
1
1 − 𝛼𝑧−1
+
𝛽𝑧−1
1 − 𝛼𝑧−1
𝑌(𝑧)
𝑋(𝑧)
=
1 + 𝛽𝑧−1
1 − 𝛼𝑧−1
(1 − 𝛼𝑧−1)𝑌(𝑧) = (1 + 𝛽𝑧−1)𝑋(𝑧)
𝑌(𝑧) − 𝛼𝑧−1
𝑌(𝑧) = 𝑋(𝑧) + 𝛽𝑧−1
𝑋(𝑧)
𝑦[𝑛] − 𝛼𝑦[𝑛 − 1] = 𝑥[𝑛] + 𝛽𝑥[𝑛 − 1]
𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛] + 𝛽𝑥[𝑛 − 1] + 𝛼𝑦[𝑛 − 1]
c) Escrever a equação de diferenças do sistema.
𝑦[𝑛] − 𝛼𝑦[𝑛 − 1] = 𝑥[𝑛] + 𝛽𝑥[𝑛 − 1]
d) O sistema é linear e invariante no tempo?
𝑦[𝑛] = (𝑥[𝑛] ∗ ℎ1[𝑛] + 𝑥[𝑛]) ∗ ℎ2[𝑛]
𝑦[𝑛] = (ℎ1[𝑛] + 1) ∗ ℎ2[𝑛] ∗ 𝑥[𝑛]
ℎ[𝑛] = (ℎ1[𝑛] + 1) ∗ ℎ2[𝑛]
Como ℎ1[𝑛] e ℎ2[𝑛] são LTI, e ℎ[𝑛] é formado por operações lineares como
soma e convolução ℎ[𝑛] também é linear e invariante no tempo.

3. e) Para quais valores de 𝛼 e 𝛽 o sistema é estável?
𝐻(𝑧) =
1 + 𝛽𝑧−1
1 − 𝛼𝑧−1
⇒ 𝐻(𝑧) =
𝑧 + 𝛽
𝑧 − 𝛼
Um sistema discreto é estável se os polos estão dentro do círculo de raio
unitário definido no plano 𝑧, ou seja |𝛼| < 1, pois 𝛼 é a posição do único polo do
sistema.
f) Considerando 𝛼 = 0.5 e 𝛽 = 0, calcular a resposta em frequência do sistema,
e desenhar o gráfico do modulo e da fase.
𝐻(𝑧) =
1 + 𝛽𝑧−1
1 − 𝛼𝑧−1
, 𝑧 = 𝑒 𝑗𝑤
𝐻(𝑒 𝑗𝑤
) =
1
1 −
1
2
𝑒−𝑗𝑤
Relação de Euler: 𝑒 𝑗𝑤
= cos(𝑤) + 𝑗 sin(𝑤)
𝐻(𝑒 𝑗𝑤
) =
1
1 −
1
2
(cos(−𝑤) + 𝑗 sin(−𝑤))
Relações trigonométricas: cos(𝑤) = cos(−𝑤) e sin(𝑤) = − sin(−𝑤)
|𝐻(𝑒 𝑗𝑤
)| =
1
[(1 −
1
2
cos(𝑤))
2
+
1
4
sin2(𝑤)]
1
2
Módulo da resposta em frequência do sistema:
|𝐻(𝑒 𝑗𝑤
)| =
1
[1 − cos(𝑤) +
1
4
cos2(𝑤) +
1
4
sin2(𝑤)]
1
2
Como sin2(𝑤) + cos2(𝑤) = 1
|𝐻(𝑒 𝑗𝑤
)| =
1
[1 − cos(𝑤) +
1
4
]
1
2
Para 𝑤 = 0 ⇒ |𝐻(𝑒 𝑗𝑤
)| =
1
√
1
4
= 2
Para 𝑤 = 𝜋 ⇒ |𝐻(𝑒 𝑗𝑤
)| =
1
√2+
1
4
= 0,666

4. Para 𝑤 = −𝜋 ⇒ |𝐻(𝑒 𝑗𝑤
)| =
1
√2+
1
4
= 0,666
Fase da resposta em frequência do sistema:
𝐻(𝑒 𝑗𝑤
) =
1
1 −
1
2
cos(𝑤) +
1
2
𝑗 sin(𝑤)
≮ 𝐻(𝑒 𝑗𝑤
) = ∑𝜃𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠 − ∑𝜃 𝑝ó𝑙𝑜𝑠
≮ 𝐻(𝑒 𝑗𝑤
) = − tan−1
1
2
sin(𝑤)
1 −
1
2
cos(𝑤)
Para 𝑤 = 0 ⇒≮ 𝐻(𝑒 𝑗𝑤
) = 0
Para 𝑤 = 𝜋 ⇒≮ 𝐻(𝑒 𝑗𝑤
) = 0
Para 𝑤 = −𝜋 ⇒≮ 𝐻(𝑒 𝑗𝑤
) = 0