Controle Ótimo de Reatores Químicos

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Controle ótimo de reatores

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Controle Ótimo de Reatores Químicos

  1. 1. Controle Ótimo de Reatores Químicos Raquel Bezerra dos Santos Sawczuk Maria da Conceição Sousa Soares
  2. 2. Estudo de Caso – Tanque CSTR Na Fig. 1 é mostrado um fluxo de processo típico para CSTR. Há duas entradas variando no tempo com taxas de fluxos F1 e F2. A altura de líquido no tanque é h. A concentração do material dissolvido para ambas as entradas são diferentes, ou seja, c1 e c2 e manipula-se a vazão F2, com objetivo de manter a concentração c na corrente de saída igual a cref , independentemente de variações nos valores de F1 e c1.
  3. 3. - Tanqueperfeitamenteagitado: -Escoamentocontínuo,semacúmulode produtoe/oudereagentes. -Composiçãouniformedentrodoreator; -Taxadereaçãoéamesmaemtodoo reator -Reagentescompletamenteconsumidos duranteareação Considerações:
  4. 4. As equações de balanço de massa são: Balanço de massa global: 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝐹1 + 𝐹2 − 𝐹 (1) Balanço de massa para os componentes: 𝑑(𝑉𝑐) 𝑑𝑡 = 𝐹1 𝑐1 + 𝐹2 𝑐2 − 𝐹𝑐 (2) 𝑉𝑑𝑐 𝑑𝑡 + 𝑐 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝐶1 𝐹1 + 𝐶2 𝐹2 − 𝐹𝐶 (3) 𝑉 𝑑𝑐 𝑑𝑡 = −𝐶 𝐹1 + 𝐹2 − 𝐹 + 𝐶1 𝐹1 + 𝐶2 𝐹2 − 𝐹𝐶 (4) 𝑑𝑐 𝑑𝑡 = −𝐶𝐹1−𝐶𝐹2+𝐶𝐹+𝐶1 𝐹1+ 𝐶2 𝐹2−𝐹𝐶 𝑉 (5) 𝑑𝑐 𝑑𝑡 = 𝐹1 𝐶1−𝐶 +𝐹2(𝐶2−𝐶) 𝐴∗ℎ (6)
  5. 5. Por outro lado, o volume de líquido no tanque é V = Ah, em que A é a área da base do tanque. Se a velocidade do líquido no orifício de saída do líquido for suficientemente elevada, então a vazão de saída será proporcional à raiz quadrada da altura de líquido, isto é, 𝐹 = 𝑘 ℎ (7) Introduzindo h na equação (1), tem-se: 𝑑(𝐴∗ℎ) 𝑑𝑡 = 𝐹1 + 𝐹2 − 𝑘 ℎ (8) 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 𝐹1+𝐹2−𝑘 ℎ 𝐴 (9) Nas condições de estado estacionário tem-se: 0 = 𝐹1 + 𝐹2 − 𝑘(ℎ) 1 2 (10) 0 = 𝐹1 𝐶1 − 𝐶 + 𝐹2(𝐶2 − 𝐶) (11) Onde 𝐹1, 𝐹2, 𝐶1, 𝐶, ℎ são valores estacionários e 𝐶2 é constante
  6. 6. Expandindo as equações em série de Taylor: ℎ′ = 1 𝐴 𝐹1 ′ + 1 𝐴 𝐹2 ′ − 𝑘 2𝐴(ℎ) 1 2 ℎ′ (12) 𝐶′ = 𝐶1− 𝐶 𝐴ℎ 𝐹1 ′ + 𝐶2− 𝐶 𝐴ℎ 𝐹2 ′ + 𝐹1 𝐴ℎ 𝐶1 ′ − ( 𝐹1− 𝐹2) 𝐴ℎ 𝐶′ (13) Escolhendo as variáveis de estado como dado abaixo 𝑥1 = ℎ′ , 𝑥2 = 𝑐′ , 𝑢1 = 𝐹1 ′ 𝑥1 = ℎ′ , 𝑥2 = 𝑐′ , 𝑢2 = 𝐹2 ′ Onde, 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 (14) 𝑥1 𝑥2 = − 𝑘 2𝐴(ℎ) 1 2 0 0 −𝐹1+𝐹2 𝐴ℎ 𝑥1 𝑥2 + 1 𝐴 𝐶1 − 𝐶 𝐴ℎ 1 𝐴 𝐶2− 𝐶 𝐴ℎ 𝑢1 𝑢2 (15)
  7. 7. Aplicando controle ótimo O problema de controle , de uma forma geral, consiste em determinar uma lei de controle que faça com que o sistema atenda a certas especificações de desempenho. No caso de sistemas de controle ótimo, a obtenção de uma lei de controle se dá pela minimização de um funcional de custo, neste caso estudaremos os reguladores lineares quadráticos (LQR – Linear Qauadratic Regulator) Para um dado sistema, cuja equações de espaço de estado são dados: 𝑥 (𝑡) = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢(𝑡) (16) 𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢(𝑡) (17) Q e R são matrizes de estado, logo, consideraremos o problema de controle ótimo de forma a determinar a matriz k. 𝑢 = −𝑘𝑥 (18)
  8. 8. De tal modo a minimizar o índice de desempenho 𝐽 = 0 ∞ 𝑥 𝑇 𝑡 𝑄𝑥 𝑡 + 𝑢 𝑇 𝑡 𝑅𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 (19) Onde Q é uma matriz positiva-definida (ou positiva-semidefinida positiva) real e simétrica e R uma matriz positiva real e simétrica. Resolvendo o problema de otimização, obtemos: 𝑥 = 𝐴𝑥 − 𝐵𝐾𝑥 = 𝐴 − 𝐵𝐾 𝑥 (20) Nas derivações seguintes, suporemos que a matriz A – BK é estável, ou que os autovalores de A – BK têm partes reais negativas. 𝐽 = 0 ∞ 𝑥 𝑇 𝑄𝑥 + 𝑥 𝑇 𝐾 𝑇 𝑅𝐾𝑥 𝑑𝑡 = 0 ∞ 𝑥 𝑇 𝑄 + 𝐾 𝑇 𝑅𝐾 𝑥𝑑𝑡 (21) Faz-se: 𝑥 𝑇 𝑄 + 𝐾 𝑇 𝑅𝐾 𝑥 = − 𝑑 𝑑𝑡 (𝑥 𝑇Px) (22)
  9. 9. Então obtemos, 𝑥 𝑇 𝑄 + 𝐾 𝑇 𝑅𝐾 𝑥 = − 𝑥 𝑇Px − 𝑥 𝑇P 𝑥 (23) Comparando ambos os lados desta última equação e notando que esta equação deve ser verdadeira para qualquer x, impomos que (𝐴 − 𝐵𝐾) 𝑇 𝑃 + 𝑃 𝐴 − 𝐵𝐾 = −(𝑄 + 𝐾 𝑇 𝑅𝐾) (24) Pelo segundo método de Liapunov, se A-BK é uma matriz estável, então existe uma matriz positiva definida P que satisfaz a Eq. (24). Então, notando que x (∞) = 0, o índice de desempenho pode ser escrito como: 𝐽 = 𝑥 𝑇 0 𝑃𝑥(0) (25) Como se supôs que R é uma matriz positiva definida real e simétrica, podemos escrever: 𝑅 = 𝑇 𝑇 𝑇 (26)
  10. 10. Onde T é uma matriz não-singular. Então a Eq. (24) pode ser escrita como: (𝐴 𝑇 −𝐾 𝑇 𝐵 𝑇)𝑃 + P(A − B𝐾) + 𝑄 + 𝐾 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇𝐾 = 0 (27) Que pode ser reescrita como: 𝐴 𝑇 𝑃 + 𝑃𝐴 + 𝑇𝐾 − 𝑇 𝑇 −1 𝐵 𝑇 𝑃 𝑇 𝑇𝐾 − 𝑇 𝑇 −1 𝐵 𝑇 𝑃 − 𝑃𝐵𝑅−1 𝐵 𝑇 𝑃 = 0 (28) A minimização de J com relação a K requer a minimização de 𝑥 𝑇 𝑇𝐾 − 𝑇 𝑇 −1 𝐵 𝑇 𝑃 𝑇 𝑇𝐾 − 𝑇 𝑇 −1 𝐵 𝑇 𝑃 𝑥 (29) Com relação a K. Como este valor é não negativo, o mínimo ocorre quando se anula, ou quando 𝑇𝐾 = 𝑇 𝑇 −1 𝐵 𝑇 𝑃 (30) Portanto, K = 𝑇−1 𝑇 𝑇 −1 𝐵 𝑇 𝑃 = 𝑅−1 𝐵 𝑇 𝑃 (31)
  11. 11. A equação (31) nos dá a matriz ótima K. A matriz P na equação (31) deve satisfazer a equação (29) ou a seguinte equação reduzida: 𝐴 𝑇 𝑃 + 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵𝑅−1 𝐵 𝑇 𝑃 + 𝑄 = 0 (32) A equação (32) é chamada de equação de Riccati de matriz reduzida. As etapas de projeto podem ser escritas como: 1. Resolver a eq. (32), a equação de Riccati de matriz reduzida, para a matriz P. 2. Substituir esta matriz P na eq. (31). A matriz resultante K é a ótima .
  12. 12. Fim

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