Calculo vetorial - eletromagnetismo, calculo 3

Teoria Eletromagnética
Prof. Eduardo Henrique da Rocha Coppoli
e profa. Úrsula do Carmo Resende
2015
CÁLCULO VETORIAL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

Comprimento, Área e Volume Diferenciais
Deslocamento diferencial:
Cartesiano
z
y
x dz
dy
dx a
a
a
d ˆ
ˆ
ˆ 



z
y
x dxdy
dxdz
dydz a
a
a
ds ˆ
ˆ
ˆ 


Área diferencial:


d e ds são vetores enquanto dv é escalar
Cartesiano
Volume diferencial:
dz
dy
dx
dv 

Cilíndrico
z
dz
d
d a
a
a
d ˆ
ˆ
ˆ 

 
 




Área diferencial:
Cilíndrico
z
d
d
dz
d
dz
d a
a
a
ds ˆ
ˆ
ˆ 



 
 



Volume diferencial:
Cilíndrico

dz
d
d
dv 




Esférico

 

 a
a
a
d ˆ
sin
ˆ
ˆ d
r
rd
dr r 




Área diferencial:
Esférico

 




 a
a
a
ds ˆ
ˆ
sin
ˆ
sin
2
d
rdr
drd
r
d
d
r r 



Volume diferencial:
Esférico



 d
d
dr
r
dv sin
2


Integral de Linha

 d
d
b
a
L

cos

 
 A
A
A integral de linha de um vetor A é a integral da componente
tangencial de A ao longo da curva ou percurso L.

d
L
 
A
Se caminho de integração é uma curva fechada, a integral de linha é
denominada circulação de A entorno de L :
A
A

Integral de Superfície
ds
ds
s
n
s

 


 a
A
A 
cos
Para um vetor A (contínuo em uma região do espaço) a integral de
superfície, ou o fluxo, de A através de uma superfície S é:
 é o ângulo entre a normal a superfície e as linhas de fluxo de A. Para
uma superfície fechada, o fluxo de A que passa por S é:
Um caminho fechado define uma superfície aberta e uma superfície
fechada define um volume.
A
 


s
ds
A

Integral de Volume

v
v dv

Para um escalar v sobre um volume é:
O significado físico de uma integral de linha, superfície ou volume
depende da natureza das quantidades representadas por A e v .

Operador DEL (nabla)
O operador del, , é o operador diferencial para vetores, definido
como:
z
y
x
z
y
x
a
a
a









 Coordenadas cartesianas
Para obter expressões para os sistemas cilíndrico e esféricos basta
aplicar a relações de transformação já vistas:
z
z
a
a
a









 




1
Coordenadas cilíndricas





a
a
a










sin
1
1
r
r
r
r Coordenadas esféricas

Operador DEL (nabla)
Através do operador  defini-se:
 O gradiente de um escalar V, V ;
 O divergente de um vetor A,   A;
 O rotacional de um vetor A,  x A;
 O laplaciano de um escalar V, 2V.

Gradiente de um Escalar
O gradiente de um escalar V, V é um vetor que representa o módulo e
a orientação da máxima taxa espacial de variação de V.
Para obter uma expressão para o gradiente, considere uma função no
espaço V. A figura a seguir ilustra duas superfícies onde V é constante,
e dV indica uma pequena mudança em V.
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dV









A diferença em V como
resultado de uma mudança
de posição ( de P1 para P2)
pode ser expressa em
termos da seguinte
mudança diferencial de
coordenadas:
V
V+ dV
dn

P1
P2
P3
an
dl

dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
dV









 
z
y
x
z
y
x a
a
a
a
a
a dz
dy
dx
z
V
y
V
x
V
dV 



































 z
y
x a
a
a
G
z
V
y
V
x
V
dl
G
d
dV 
cos


 l
G

cos
G
dl
dV

G
dn
dV
dl
dV


max
G é o gradiente de V:
V
V+ dV
dn

P1
P2
P3
an
dl

Para uma mesma mudança dV em V, a taxa de variação espacial, dV/dl, é
maior ao longo de dn, por que dn é a menor distância entre as duas
superfícies. Já que dV/dl depende da direção de dl, dV/dl é uma derivada
direcional. Assim, o vetor que representa o módulo e a direção para
máxima taxa de variação espacial de um escalar é o gradiente deste
escalar.
dn
dV
V
V
grad n
a



V
V+ dV
dn

P1
P2
P3
an
dl


















 z
y
x a
a
a
z
V
y
V
x
V
V
z
z
V
V
V
V a
a
a









 




1





a
a
a










V
r
V
r
r
V
V r
sin
1
1
dV é positivo se V aumenta e negativo se V decresce na mudança de
posição de P1 para P2.
Cartesiano
Cilíndrico
Esférico

Relações:
 (V + U) = V + U;
 (UV) =VU + UV;
 Vn = nVn-1V;
 .
2
U
U
V
V
U
U
V 











Comentários:
 O módulo de V á igual a máxima taxa de variação de V por
unidade de distância.
 V indica a direção da máxima taxa de variação de V.
 V, em qualquer ponto, é perpendicular à superfície de V
constante que passa através desse ponto.
 O gradiente de uma função escalar V fornece tanto a orientação
segundo a qual V varia mais rapidamente quanto o módulo da
máxima derivada direcional de V.
 V é a derivada espacial de um escalar.

Divergência de um Campo Vetorial
A derivada espacial de um campo vetorial conduz para a definição da
divergência e do rotacional de um vetor.
No estudo dos campos vetoriais é conveniente representar as
variações de campo graficamente por linhas de campo, as quais são
chamadas de linhas de fluxo. Elas são retas ou curvas que indicam em
cada ponto a direção do campo. O Módulo descrito pelo comprimento
ou intensidade da linha.
Para um volume com uma superfície fechada, o fluxo através da
superfície é determinado pela existência de uma fonte ou sumidouro
dentro do volume.

Divergente positivo
“fonte”
Divergente negativo
“sumidouro”
Divergente = 0
A divergência de um campo vetorial A em um ponto P é o fluxo de sai,
por unidade de volume, à medida que o volume se reduz a zero em torno de P.
v
d
s
v 







s
A
A
.
A lim
div
0
Uma integral superficial bidimensional
dividida por um volume tridimensional,
conduzirá a uma derivada espacial
quando o volume tende a zero.

Cartesiano
Cilíndrico
Esférico
z
y
x
z
y
x











A
A
A
A
z
z











A
A
1
)
A
(
1







A


















A
sin
1
)
sin
A
(
sin
1
)
A
(
1 2
2
r
r
r
r
r
r
A
A divergência de um campo vetorial, indica a existência de fontes ou sumidouros
associados a esse campo. Se a divergência em um ponto é nula, o fluxo total que entra é
o mesmo que sai em um volume arbitrariamente pequeno circundando o ponto
considerado, indicando assim uma certa conservação das linhas de campo naquele
ponto. Se a divergência é positiva, existe um fluxo liquido para o exterior do volume
diferencial ao redor do ponto considerado, indicando a presença de uma fonte capaz de
produzir essas linhas de campo. Finalmente, quando a divergência é negativa, existe um
fluxo líquido convergindo para o interior do volume diferencial, indicativo da existência
de um sumidouro de linhas de campo no ponto sob consideração.

Relações:
 Resulta em um campo escalar;
 A divergência de um escalar não tem sentido;
  . (A + B) =  . A +  . B;
  . (VA) = V . A + A .V.

Teorema da Divergência
Teorema da divergência: estabelece que o fluxo total de um campo
vetorial A que sai de uma superfície fechada S é igual a integral de
volume da divergência de A.
v
ds
s
v 







A
A
.
A lim
div
0

 


v
s
dv
ds A
.
A
A equação acima é obtida a partir de:
Converte a integral volumétrica da divergência de um vetor na
integral superficial fechada deste vetor, e vice-versa.

Rotacional de um Campo Vetorial
Na divergência de um campo vetorial foi estabelecido que o fluxo de um
vetor A através de uma superfície fechada que define um volume indica
a presença de fonte dentro ou fora do volume. Esta fonte é a fonte de
fluxo.
Existe um outro tipo de fonte, chamada de fonte de vortex, que causa a
circulação de um campo vetorial. A circulação de um campo vetorial em
torno de um caminho fechado é definida como a integral de linha do
vetor sobre o caminho, ou seja:
 



d
C A
A equação acima é uma definição matemática, o significado físico da
circulação depende de que tipo de vetor A representa.

A equação anterior é uma integral de linha de um produto escalar, seu
valor depende da orientação do contorno em relação ao vetor A. Para
definir um ponto para a media da intensidade do vortex da fonte, o
contorno C é definido muito pequeno e orientado de tal modo que a
circulação é máxima, ou seja:
max
0
rot 










 

 

d
s
n
s
A
lim
A
A
a
O rotacional de A é um vetor cujo módulo é a máxima circulação de A
por unidade de área, à medida que a área tende a zero e cuja
orientação é perpendicular a esta área, quando a mesma está
orientada de modo a se obter a máxima circulação.

Obedecendo a ordem cíclica em x, y e z pode-se obter as componentes
y e z do  x A:










































y
x
x
z
z
y
x
y
z
z
x
y
y
z
x
A
A
A
A
A
A
a
a
a
A
z
y
x
z
y
x
A
A
A
z
y
x 








a
a
a
A
Cartesiano

 

























































A
A
1
A
A
A
A
1
z
z
z
z
z
a
a
a
A
z
z
A
A
A
z







 








a
a
a
1
A
Cilíndrico

   
 























































r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A
A
1
A
A
sin
1
1
A
sin
A
sin
1
a
a
a
A









A
r
rA
A
r
r
r
r
r
r
sin
sin
1
2









a
sin
a
a
A
Esférico

Relações:
 O rotacional de um campo vetorial é outro campo vetorial;
 O rotacional de um campo escalar não faz sentido;
  x (A + B) =  x A +  x B;
  x (A x B) = A( . B) – B( . A) + (B . A – (A . )B;
  x (VA) = V x A + V x A;
 A divergência do rotacional de um campo vetorial é zero, ou seja,
(.( x A)=0);
 O rotacional do gradiente de um campo escalar é zero, ou seja,
( x V = 0).

O rotacional de um campo vetorial em um ponto P é a medida da
circulação do campo em torno de P.
P P

Teorema de Stokes
Teorema de Stokes: Estabelece que a circulação de um campo vetorial
A em torno de um caminho fechado L é igual a integral de superfície do
rotacional de A sobre a superfície aberta S, limitada por L, desde que
A e  x A sejam contínuos sobre S.
 

 




s
d
d s
A
A


A equação acima é obtida a partir de:
Relaciona uma integral de linha com uma de superfície.
max
0










 

 

d
s
n
s
A
lim
A
a

Laplaciano
O Laplaciano de um campo escalar V, 2V, é o divergente do gradiente
de V.
V
V 



2


































 z
y
x
z
y
x a
a
a
a
a
a
z
V
y
V
x
V
z
y
x
V
2
2
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
V










2
2
2
2
2
2 1
1
z
V
V
V
V


























2
2
2
2
2
2
2
2
sin
1
sin
sin
1
1





 

























V
r
V
r
r
V
r
r
r
V
Cartesiano
Cilíndrico
Esférico

Laplaciano
 O Laplaciano de um campo escalar é outro campo escalar
(divergente do gradiente);
 O Laplaciano de um campo vetorial A é:
2A =  ( . A) -  x  x A.

Duas Identidades Nulas
1.  x (V) = 0
Se um campo vetorial não é rotacional ele pode ser expresso como o
gradiente de um campo escalar. Seja o campo vetorial E, se  x E =
0, pode-se definir um campo escalar V tal que E = -V.
Um campo vetorial irrotacional (conservativo) pode sempre ser
expresso como o gradiente de um campo escalar.
2.  . ( x A) = 0
Se um campo vetorial é não divergente ele pode ser expresso como
o rotacional de outro campo vetorial. Seja o campo vetorial B, se  .
B = 0, pode-se definir um campo vetorial A tal que B =  x A .
Exercício prático 3.10 - Sadiku
Exemplo 3.10 - Sadiku

Classificação de Campos Vetoriais
1.  . A = 0,  x A = 0; (Campo elétrico estático em uma região livre de cargas)
2.  . A ≠ 0,  x A = 0; (Campo elétrico estático em uma região com cargas)
3.  . A = 0,  x A ≠ 0; (Campo magnético estático em um condutor conduzindo corrente)
4.  . A ≠ 0,  x A ≠ 0; (Campo elétrico em uma região com campo magnético variável no tempo)
Um campo é univocamente caracterizado pelo seu divergente e seu
rotacional.

Um campo vetorial A é solenoidal (não divergente) se  . A = 0. Esse
campo não é fonte nem sumidouro de fluxo (As linhas de A que
entram em qualquer superfície fechada devem sair dela), logo:
0



 
 v
s
dv
ds A
.
A
Em geral o campo rotacional de F é puramente solenoidal porque
 . ( x F) = 0.
F
A
0
A
.






Um campo vetorial A é irrotacional (potencial) se  x A = 0. A
circulação de um campo irrotacional em um caminho fechado é zero.
Como a integral de linha de A independe do caminho escolhido o campo
é conservativo.
Em geral o campo do gradiente de V é puramente irrotacional porque
 x (V) = 0.
  0




 
 s
ds
d A
A


V





A
0
A

Campos Conservativos
Um campo conservativo A é irrotacional (integral de linha ao longo de
um caminho fechado é zero – não circula) e sua integral de linha de
independe do caminho escolhido depende apenas das extremidades.
A figura ilustra o movimento de uma carga, na presença do campo
eletrostático produzido por outra carga. O trabalho realizado sobre a
carga é:

d
q
dW 
 E
0
Exemplo 3.12 - Sadiku
O trabalho realizado sobre uma partícula
de prova por um campo conservativo
independe da trajetória da partícula.

A maioria dos campos vetoriais tem ambos, o divergente e o rotacional
diferente de zero, e podem ser considerados como a soma de um
campo solenoidal e um irrotacional.
Teorema de Helmholtz: um campo vetorial é determinado se seu
divergente e rotacional são conhecidos em todo o lugar e se anulam
no infinito.
A importância deste teorema na teoria eletromagnética é
consequência da forma de representação matemática do
comportamento de campos eletromagnéticos em termos de
operações de divergência e rotacional.

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