O documento apresenta a derivação da equação do movimento oscilatório amortecido, chegando à expressão para a velocidade ẋ como sendo igual a A.e−γ.t .ωo. sin (ωo + α + δ), onde ωo é a frequência natural amortecida e δ é a fase do oscilador.

1. 12.48) Sabemos que, num movimento oscilatório amortecido, a posição é dada por:
x = A.e−γ.t
. sin (ω.t + α)
Derivando a equação acima, temos:
ẋ = −γ.A.e−γ.t
. sin (ω.t + α) + ω.A.e−γ.t
. cos (ω.t + α)
ẋ = A.e−γ.t
.ωo
ω
. sin δ.(−γ.e−γ.t
. sin (ω.t + α) + ω.e−γ.t
. cos (ω.t + α)), pois sin δ = ω
√
γ2+ω2
e ωo =
p
γ2 + ω2
ẋ = A.e−γ.t
.ωo. sin δ.(sin (ω.t + α).
−γ
ω
+ cos(ω.t + α))
ẋ = A.e−γ.t
.ωo. sin δ.(sin (ω.t + α).cos δ
sin δ
+ cos(ω.t + α))
ẋ = A.e−γ.t
.ωo.(sin (ω.t + α). cos δ + sin δ. cos (ω.t + α))
ẋ = A.e−γ.t
.ωo. sin (ωo + α + δ), c.q.d.
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