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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA 
DISCIPLINA ELETROMAGNETÍSMO 
TRABALHO DE ELETROMAGNETISMO 
EQUAÇÕES DE LAPLACE 
PROBLEMA DA CALHA 
MOISÉS CAETANO FERREIRA 
NOVEMBRO 
2014
INTRODUÇÃO
PROBLEMA 
Encontre e trace o gráfico da solução (a) analítica e (b) numérica do potencial V(x,y) e |E| 
para as condições de fronteiras especificadas em uma das figuras abaixo (para n = 50 e n 
= 500). (c) Calcule o erro percentual do método numérico utilizado. Comente todos os 
resultados obtidos. 
Considere: h = 0,05; Vo = 10 V; a = 1 m; b = 2 m; V1= Vo sen πx/a; V2= Vocos πx/b e V3= 
Vo cos2πx. 
Meus Dados: 
a=1m 
b=2m 
V1=Vosen πx/a 
Vo=10v. 
RESOLUÇÃO ANALÍTICA 
1. Laplaciano 
Vamos desenvolver analiticamente, usaremos inicialmente o teorema da superposição, 
separando cada calha e determinado valores de fronteira para cada parte individualmente. 
Seguindo o passo a passo para a resolução, primeiro vamos resolver a equação de 
Laplace. Se aplicarmos a equação de Laplace, iremos obter: 
V(x,y) = V(x)Y(y) 
Fazendo ∇2푉 = 0, 푡푒푟푒푚표푠: 
∇2푉 = 
휕2푉 
휕푥 2 + 
휕2푉 
휕푦2 = 0 
Resolvendo a equação acima 
푌 
휕2 푋 
휕푥 2 + 푋 
휕2 푌 
휕푦2 = 0 
Dividindo tudo por XY: 
1휕2 푋 
푋휕푥 2 + 
1휕2 푌 
푌휕푦2 = 0 
Separando os termos de X e Y: 
1푑2푋 
푋푑푥 2 = − 
1푑2푌 
푌푑푦2
Essa condição só ocorre se cada parte dessa igualdade for igual a uma constante. Então 
se elas forem verdadeiras, cada membro deve desde resulta em uma mesma constante 
da mesma ordem, dessa forma: 
α2= -α2 
Ou seja: 
1푑2 푋 
푋푑푥2 = 훼2 e 1푑2 푌 
푌푑푦2 = −훼2 
Reescrevendo as equações de acordo com a igualdade acima, teremos: 
푑2 푋 
푑 푥2 = 훼2푋 e 푑2 푌 
푑 푦2 = −훼2푌 
Outra observação que devemos ter como a solução encontrada é que para que a 
equação em X, esquerda, seja verdadeira, sua função cuja derivada seja igual a própria 
função mutiplicada por uma constante positiva deve ser uma função hiperbólica em seno 
e consseno, como abaixo: 
X = Acosh(ax) + Bsenh(ax) 
E para que a segunda equação, em Y e a direita, seja verdadeira, a função 
correspondente cuja segunda derivada seja igual a própria função por uma constante 
negativa é uma função trigonométrica em seno e cosseno, como abaixo: 
Y = Ccos(ay) + Dsen(ay) 
Temos agora com substituir a equação do pontencial dessa calha e obter a equação geral 
inicial: 
V(x,y)= X(x)Y(y)  V(x,y) = (Acosh(ax) + Bsenh(ax))( Ccos(ay) + Dsen(ay)) 
2. Condições de Fronteira 
Iremos obter as condições de fronteira de cada parte da calha, 4 partes, para podermos 
resolver a equação do potencial acima encontrada. 
Para a lateral da calha, parte da esquerda, temos os seguintes valores de fronteira: 
푉(푥 = 0, 0 ≤ 푦 ≤ 푏) = 0 
푉(0 ≤ 푥 ≤ 푎, 푦 = 0) = 0 
푉(0 ≤ 푥 ≤ 푎, 푦 = 푏) = 0 
푉(푥 = 푎, 0 ≤ 푦 ≤ 푏) = −푉0 
Usando as condições na equação V(x,y)= X(x)Y(y)  V(x,y) = (Acosh(ax) + Bsenh(ax))( 
Ccos(ay) + Dsen(ay)), obtemos que:
a) usando a condição V(x=0, 0≤y≤b)=0, teremos; 
V = (A + 0)(Ccos(ay) +Dsen(ay)  ACcos(ay) + ADsen(ay) = 0, logo A=0 
b) usando a condição V(0≤x≤b, y=0)=0, teremos; 
V = (Acosh(ax) + Bsenh(ax))(C + 0)  CAcosh(ax) + Bsenh(ax) = 0, logo C=0 
c) usando a condição V(0≤x≤a, y=b)=0, teremos que a deve ser 
푛휋 
푏 
(n=1,2,3,...), então 
V=BDsenh(ax)sem(ay)  V=BDsenh(푛휋푥 
푏 
)sen(푛휋푦 
푏 
) 
d) usando a condição V(x=a, 0≤y≤b)=-Vo, temos; 
Vo=-BDsenh(푛휋푥 
푏 
)sen(푛휋푦 
푏 
) 
Nota-se que existe n soluções possíveis, então a equação acima fica: 
Vo=Σ . ∞푛 
=1 -BDsenh(푛휋푥 
푏 
)sen(푛휋푦 
푏 
), em 0<x<a 
Representando a parte -BDsenh(푛휋푥 
푏 
) representa uma série de Fourier, que se repete 
periodicamente, e a função é ímpar. Fazendo rn=-BDsenh(푛휋 
푏 
), (n=1,2,3...), iremos 
encontrar: 
푟푛 = 
2 
푇 
∫ 푓(푦)푠푒푛 
푛휋푦 
푏 
푑푦 
푇 
푦 =0 
푛 = 1,2,3 … 
Resolvendo acharemos que: 
푟푛푛 = 4푉0 
푛휋 
, para n ímpar 
푟푛푛 = 0, para n par. 
Voltando a equação e substituindo o valor de rn, teremos: 
-BDsenh(푛휋 
푏 
4푉0 
푛휋 
)= 
 BD= 
4푉0 
푛휋 푠푒푛ℎ 
(푛휋푎 ) 
푏 
Nossa equação para o lado esquerdo da calha ficará: 
V1=Σ . ∞푛 
=1 - 
4푉0 
푛휋 푠푒푛ℎ 
(푛휋푎 ) 
푏 
senh(푛휋푥 
푏 
)sen(푛휋푦 
푏 
), em 0<x<a , (n-ímpar, 0<x<a, 0<y<b) 
Ou 
푉1 = − 
4푉0 
휋 
Σ 
푠푒푛ℎ 
푛휋푥 
푏 
푠푒푛 
푛휋푦 
푏 
푛푠푒푛ℎ 
푛휋푎 
푏 
∞ 
푛=1 
(푛 − í푚푝푎푟 , 0 < 푥 < 푎, 0 < 푦 < 푏)
Efetuamos os mesmos procedimentos matemáticos para as outras três partes da calha, 
esquerda, superior e inferior, obteremos os seguintes resultados: 
푉2 = 
4푉1 
휋 
Σ 
푠푒푛ℎ 
푛휋(푏 − 푦) 
푎 
푠푒푛 
푛휋푥 
푎 
푛푠푒푛ℎ 
푛휋푏 
푎 
∞ 
푛=1 
(푛 − í푚푝푎푟 , 0 < 푥 < 푎, 0 < 푦 < 푏) 
푉3 = 
4푉1 
휋 
Σ 
푠푒푛ℎ 
푛휋푦 
푎 
푠푒푛 
푛휋푥 
푎 
푛푠푒푛ℎ 
푛휋푏 
푎 
∞ 
푛=1 
(푛 − í푚푝푎푟, 0 < 푥 < 푎, 0 < 푦 < 푏) 
푉4 = 
4푉0 
휋 
Σ 
푠푒푛ℎ 
푛휋(푎 − 푥) 
푏 
푠푒푛 
푛휋푦 
푏 
푛푠푒푛ℎ 
푛휋푎 
푏 
∞ 
푛=1 
(푛 − í푚푝푎푟 , 0 < 푥 < 푎, 0 < 푦 < 푏) 
3. Teorema da Superposição 
Do princípio da superposição teremos que: 
V = V1 + V2 + V3 + V4 
No MATLAB podemos fazer um programa para calcular utilizando as fórmulas 
encontradas na solução analítica: 
COLOCAR COMANDO MATLAB 
% SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 
clear all; 
va = 0.0; 
vb = 0.0; 
vc = 0.0; 
vd = 0.0; 
v = 0.0; 
a = 1.0; 
b = 2.0; 
soma = 0.0; 
%x = a/2; 
%y = b/2; 
clc 
disp ('RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DA CALHA'); 
disp (' '); 
disp (' '); 
x = input('Coordenada em x: '); 
y = input('Coordenada em y: '); 
v0 = 10.0;
v1 = v0*sin(x*pi/a); 
c = 4.0*v1/pi; 
for k = 1:10 
n = 2*k - 1; 
a1 = sin(n*pi*x/a); 
a2 = sinh(n*pi*(b-y)/a); 
a3 = n*sinh(n*pi*b/a); 
soma = soma + c*a1*a2/a3; 
va = soma; 
end 
soma = 0.0; 
for k = 1:10 
n = 2*k - 1; 
a1 = sin(n*pi*x/a); 
a2 = sinh(n*pi*y/a); 
a3 = n*sinh(n*pi*b/a); 
soma = soma + c*a1*a2/a3; 
vc = soma; 
end 
soma = 0.0; 
c = 4.0*v0/pi; 
for k = 1:10 
n = 2*k - 1; 
a1 = sin(n*pi*y/b); 
a2 = sinh(n*pi*x/b); 
a3 = n*sinh(n*pi*a/b); 
soma = soma + c*a1*a2/a3; 
vb = soma; 
end 
soma = 0.0; 
for k = 1:10 
n = 2*k - 1; 
a1 = sin(n*pi*y/b); 
a2 = sinh(n*pi*(a-x)/b); 
a3 = n*sinh(n*pi*a/b); 
soma = soma + c*a1*a2/a3; 
vd = soma; 
end 
v = va + vb + vc + vd; 
[X,Y] = meshgrid(0:0.1:4,0:0.1:b);
figure(2) 
mesh(X,Y,v) 
hold on 
hold off 
diary C:UsersUsuarioDocumentssolucao.out 
[va, vb, vc,vd] 
[v] 
diary off 
Para calcular o Campo Elétrico, usaremos a fórmula 퐸 = −∇푉. 
b) Solução Numérica: 
c) Erro percentual: 
Podemos calcular o erro percentual entre o dois métodos conforme fórmula abaixo: 
퐸푟푟표 = 
푉푎푙표푟 퐴푛푎푙í푡푖푐표 − 푉푎푙표푟 푁푢푚é푟푖푐표 
푉푎푙표푟 퐴푛푎푙í푡푖푐표 
푥100
Bibliografia 
SADIKU, MATTHEW N. O. Elementos de eletromagnetismo. 3ª Edição – Porto Alegre: 
Bookman, 2004. 
HAYT, Jr. ENGINEERING ELETROMAGNETICS. 6ª Edition – McGraw-Hill, 2000. 
PS: NÃO FOI POSSÍVEL FINALIZAR O TRABALHO, SINTO MUITO.

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  • 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA DISCIPLINA ELETROMAGNETÍSMO TRABALHO DE ELETROMAGNETISMO EQUAÇÕES DE LAPLACE PROBLEMA DA CALHA MOISÉS CAETANO FERREIRA NOVEMBRO 2014
  • 3. PROBLEMA Encontre e trace o gráfico da solução (a) analítica e (b) numérica do potencial V(x,y) e |E| para as condições de fronteiras especificadas em uma das figuras abaixo (para n = 50 e n = 500). (c) Calcule o erro percentual do método numérico utilizado. Comente todos os resultados obtidos. Considere: h = 0,05; Vo = 10 V; a = 1 m; b = 2 m; V1= Vo sen πx/a; V2= Vocos πx/b e V3= Vo cos2πx. Meus Dados: a=1m b=2m V1=Vosen πx/a Vo=10v. RESOLUÇÃO ANALÍTICA 1. Laplaciano Vamos desenvolver analiticamente, usaremos inicialmente o teorema da superposição, separando cada calha e determinado valores de fronteira para cada parte individualmente. Seguindo o passo a passo para a resolução, primeiro vamos resolver a equação de Laplace. Se aplicarmos a equação de Laplace, iremos obter: V(x,y) = V(x)Y(y) Fazendo ∇2푉 = 0, 푡푒푟푒푚표푠: ∇2푉 = 휕2푉 휕푥 2 + 휕2푉 휕푦2 = 0 Resolvendo a equação acima 푌 휕2 푋 휕푥 2 + 푋 휕2 푌 휕푦2 = 0 Dividindo tudo por XY: 1휕2 푋 푋휕푥 2 + 1휕2 푌 푌휕푦2 = 0 Separando os termos de X e Y: 1푑2푋 푋푑푥 2 = − 1푑2푌 푌푑푦2
  • 4. Essa condição só ocorre se cada parte dessa igualdade for igual a uma constante. Então se elas forem verdadeiras, cada membro deve desde resulta em uma mesma constante da mesma ordem, dessa forma: α2= -α2 Ou seja: 1푑2 푋 푋푑푥2 = 훼2 e 1푑2 푌 푌푑푦2 = −훼2 Reescrevendo as equações de acordo com a igualdade acima, teremos: 푑2 푋 푑 푥2 = 훼2푋 e 푑2 푌 푑 푦2 = −훼2푌 Outra observação que devemos ter como a solução encontrada é que para que a equação em X, esquerda, seja verdadeira, sua função cuja derivada seja igual a própria função mutiplicada por uma constante positiva deve ser uma função hiperbólica em seno e consseno, como abaixo: X = Acosh(ax) + Bsenh(ax) E para que a segunda equação, em Y e a direita, seja verdadeira, a função correspondente cuja segunda derivada seja igual a própria função por uma constante negativa é uma função trigonométrica em seno e cosseno, como abaixo: Y = Ccos(ay) + Dsen(ay) Temos agora com substituir a equação do pontencial dessa calha e obter a equação geral inicial: V(x,y)= X(x)Y(y)  V(x,y) = (Acosh(ax) + Bsenh(ax))( Ccos(ay) + Dsen(ay)) 2. Condições de Fronteira Iremos obter as condições de fronteira de cada parte da calha, 4 partes, para podermos resolver a equação do potencial acima encontrada. Para a lateral da calha, parte da esquerda, temos os seguintes valores de fronteira: 푉(푥 = 0, 0 ≤ 푦 ≤ 푏) = 0 푉(0 ≤ 푥 ≤ 푎, 푦 = 0) = 0 푉(0 ≤ 푥 ≤ 푎, 푦 = 푏) = 0 푉(푥 = 푎, 0 ≤ 푦 ≤ 푏) = −푉0 Usando as condições na equação V(x,y)= X(x)Y(y)  V(x,y) = (Acosh(ax) + Bsenh(ax))( Ccos(ay) + Dsen(ay)), obtemos que:
  • 5. a) usando a condição V(x=0, 0≤y≤b)=0, teremos; V = (A + 0)(Ccos(ay) +Dsen(ay)  ACcos(ay) + ADsen(ay) = 0, logo A=0 b) usando a condição V(0≤x≤b, y=0)=0, teremos; V = (Acosh(ax) + Bsenh(ax))(C + 0)  CAcosh(ax) + Bsenh(ax) = 0, logo C=0 c) usando a condição V(0≤x≤a, y=b)=0, teremos que a deve ser 푛휋 푏 (n=1,2,3,...), então V=BDsenh(ax)sem(ay)  V=BDsenh(푛휋푥 푏 )sen(푛휋푦 푏 ) d) usando a condição V(x=a, 0≤y≤b)=-Vo, temos; Vo=-BDsenh(푛휋푥 푏 )sen(푛휋푦 푏 ) Nota-se que existe n soluções possíveis, então a equação acima fica: Vo=Σ . ∞푛 =1 -BDsenh(푛휋푥 푏 )sen(푛휋푦 푏 ), em 0<x<a Representando a parte -BDsenh(푛휋푥 푏 ) representa uma série de Fourier, que se repete periodicamente, e a função é ímpar. Fazendo rn=-BDsenh(푛휋 푏 ), (n=1,2,3...), iremos encontrar: 푟푛 = 2 푇 ∫ 푓(푦)푠푒푛 푛휋푦 푏 푑푦 푇 푦 =0 푛 = 1,2,3 … Resolvendo acharemos que: 푟푛푛 = 4푉0 푛휋 , para n ímpar 푟푛푛 = 0, para n par. Voltando a equação e substituindo o valor de rn, teremos: -BDsenh(푛휋 푏 4푉0 푛휋 )=  BD= 4푉0 푛휋 푠푒푛ℎ (푛휋푎 ) 푏 Nossa equação para o lado esquerdo da calha ficará: V1=Σ . ∞푛 =1 - 4푉0 푛휋 푠푒푛ℎ (푛휋푎 ) 푏 senh(푛휋푥 푏 )sen(푛휋푦 푏 ), em 0<x<a , (n-ímpar, 0<x<a, 0<y<b) Ou 푉1 = − 4푉0 휋 Σ 푠푒푛ℎ 푛휋푥 푏 푠푒푛 푛휋푦 푏 푛푠푒푛ℎ 푛휋푎 푏 ∞ 푛=1 (푛 − í푚푝푎푟 , 0 < 푥 < 푎, 0 < 푦 < 푏)
  • 6. Efetuamos os mesmos procedimentos matemáticos para as outras três partes da calha, esquerda, superior e inferior, obteremos os seguintes resultados: 푉2 = 4푉1 휋 Σ 푠푒푛ℎ 푛휋(푏 − 푦) 푎 푠푒푛 푛휋푥 푎 푛푠푒푛ℎ 푛휋푏 푎 ∞ 푛=1 (푛 − í푚푝푎푟 , 0 < 푥 < 푎, 0 < 푦 < 푏) 푉3 = 4푉1 휋 Σ 푠푒푛ℎ 푛휋푦 푎 푠푒푛 푛휋푥 푎 푛푠푒푛ℎ 푛휋푏 푎 ∞ 푛=1 (푛 − í푚푝푎푟, 0 < 푥 < 푎, 0 < 푦 < 푏) 푉4 = 4푉0 휋 Σ 푠푒푛ℎ 푛휋(푎 − 푥) 푏 푠푒푛 푛휋푦 푏 푛푠푒푛ℎ 푛휋푎 푏 ∞ 푛=1 (푛 − í푚푝푎푟 , 0 < 푥 < 푎, 0 < 푦 < 푏) 3. Teorema da Superposição Do princípio da superposição teremos que: V = V1 + V2 + V3 + V4 No MATLAB podemos fazer um programa para calcular utilizando as fórmulas encontradas na solução analítica: COLOCAR COMANDO MATLAB % SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE clear all; va = 0.0; vb = 0.0; vc = 0.0; vd = 0.0; v = 0.0; a = 1.0; b = 2.0; soma = 0.0; %x = a/2; %y = b/2; clc disp ('RESOLUÇÃO DO PROBLEMA DA CALHA'); disp (' '); disp (' '); x = input('Coordenada em x: '); y = input('Coordenada em y: '); v0 = 10.0;
  • 7. v1 = v0*sin(x*pi/a); c = 4.0*v1/pi; for k = 1:10 n = 2*k - 1; a1 = sin(n*pi*x/a); a2 = sinh(n*pi*(b-y)/a); a3 = n*sinh(n*pi*b/a); soma = soma + c*a1*a2/a3; va = soma; end soma = 0.0; for k = 1:10 n = 2*k - 1; a1 = sin(n*pi*x/a); a2 = sinh(n*pi*y/a); a3 = n*sinh(n*pi*b/a); soma = soma + c*a1*a2/a3; vc = soma; end soma = 0.0; c = 4.0*v0/pi; for k = 1:10 n = 2*k - 1; a1 = sin(n*pi*y/b); a2 = sinh(n*pi*x/b); a3 = n*sinh(n*pi*a/b); soma = soma + c*a1*a2/a3; vb = soma; end soma = 0.0; for k = 1:10 n = 2*k - 1; a1 = sin(n*pi*y/b); a2 = sinh(n*pi*(a-x)/b); a3 = n*sinh(n*pi*a/b); soma = soma + c*a1*a2/a3; vd = soma; end v = va + vb + vc + vd; [X,Y] = meshgrid(0:0.1:4,0:0.1:b);
  • 8. figure(2) mesh(X,Y,v) hold on hold off diary C:UsersUsuarioDocumentssolucao.out [va, vb, vc,vd] [v] diary off Para calcular o Campo Elétrico, usaremos a fórmula 퐸 = −∇푉. b) Solução Numérica: c) Erro percentual: Podemos calcular o erro percentual entre o dois métodos conforme fórmula abaixo: 퐸푟푟표 = 푉푎푙표푟 퐴푛푎푙í푡푖푐표 − 푉푎푙표푟 푁푢푚é푟푖푐표 푉푎푙표푟 퐴푛푎푙í푡푖푐표 푥100
  • 9. Bibliografia SADIKU, MATTHEW N. O. Elementos de eletromagnetismo. 3ª Edição – Porto Alegre: Bookman, 2004. HAYT, Jr. ENGINEERING ELETROMAGNETICS. 6ª Edition – McGraw-Hill, 2000. PS: NÃO FOI POSSÍVEL FINALIZAR O TRABALHO, SINTO MUITO.