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1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIOGRANDE DO NORTE
CCET – DEP. DE MATEMÁTICA
Professor Neto
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Encontre autovalores e autovetores e as bases para os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes
matrizes:
(a) (
3 2
4 1
) (b) (
6 −4
3 −1
) (c) (
3 −1
1 1
) (d) (
3 −8
2 3
) (e) (
1 1
−2 3
)
(f) (
1 1 1
0 2 1
0 0 1
) (g) (
1 2 1
0 3 1
0 5 −1
) (h) (
4 −5 1
1 0 −1
0 1 −1
)
2. Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores:
(a) (2, −1) 𝑇
para 𝐴 = (
2 2
1 3
) (b) (−2,1,3) 𝑇
para 𝐴 = (
1 −1 0
2 3 2
1 2 1
)
3. Seja A uma matriz 2 × 2. Se tr(A) = 8 e det(A) = 12, quais são os autovalores de A?
4. Os vetores (1,1) 𝑇
e (2, −1) 𝑇
são autovetores de um operador linear 𝑇: 𝑅2
→ 𝑅2
associados aos autovalores 𝜆1 = 5 e
𝜆2 = 3, respectivamente. Determinar 𝑇((4,1) 𝑇).
5. Determinar o operador linear 𝑇: 𝑅2
→ 𝑅2
cujos autovalores são 𝜆1 = 1 e 𝜆2 = 3 associados aos autoespaços 𝑁(𝐴 −
𝜆1 𝐼) = {(−𝑥2, 𝑥2) 𝑇
| 𝑥2 ∈ 𝑅} e 𝑁(𝐴 − 𝜆2 𝐼) = {(0, 𝑥2) 𝑇
| 𝑥2 ∈ 𝑅}.
6. Seja 𝐱 = (𝑥1, 𝑥2) 𝑇
, determine os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no 𝑅2
.
(a) 𝑇(𝐱) = (𝑥1 + 2𝑥2, −𝑥1 + 4𝑥2) 𝑇
(b) 𝑇(𝐱) = (𝑥1, −𝑥2) 𝑇
7. Dado o operador linear 𝑇 no 𝑅2
tal que 𝑇(𝐱) = (3𝑥1 − 5𝑥2, 2𝑥2) 𝑇
, encontrar uma base de autovetores.
8. Verificar se existe uma base de autovetores para as seguintes transformações 𝑇: 𝑅3
→ 𝑅3
:
(a) 𝑇(𝐱) = [
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
2𝑥2 + 𝑥3
2𝑥2 + 3𝑥3
] (b) 𝑇(𝐱) = [
𝑥1
−2𝑥1 − 𝑥2
2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3
] (c) 𝑇(𝐱) = [
𝑥1
−2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3
−4𝑥2 + 3𝑥3
]
9. Dois tanques contém cada um 100 litros de uma mistura. Inicialmente a mistura no
tanque 𝑨 contém 40 gramas de sal enquanto a mistura no tanque 𝑩 contém 20
gramas de sal. O líquido é bombeado para dentro e para fora dos tanques como
mostrado na figura a seguir. Determine a quantidade de sal em cada tanque no
instante 𝒕.
Respostas
1. (a) 𝜆1 = 5 e {(1,1) 𝑇}, 𝜆2 = −1 e {(1, −2) 𝑇}
(b) 𝜆1 = 3 e {(4,3) 𝑇}, 𝜆2 = 2 e {(1,1) 𝑇}
(c) 𝜆1 = 𝜆2 = 2 e {(1,1) 𝑇}
(d) 𝜆1 = 3 + 4𝑖 e {(2𝑖, 1) 𝑇}, 𝜆2 = 3 − 4𝑖 e {(−2𝑖, 1) 𝑇}
(e) 𝜆1 = 2 + 𝑖 e {(1,1 + 𝑖) 𝑇}, 𝜆2 = 2 − 𝑖 e {(1,1 − 𝑖) 𝑇}
(f) 𝜆1 = 2 e {(1,1,0) 𝑇}, 𝜆2 = 𝜆3 = 1 e {(1,0,0) 𝑇
, (0,1, −1) 𝑇}
(g) 𝜆1 = 1 e {(1,0,0) 𝑇}, 𝜆2 = 4 e {(1,1,1) 𝑇}, 𝜆3 = −2 e
{(−1, −1,5) 𝑇}
(h) 𝜆1 = 2 e {(7,3,1) 𝑇}, 𝜆2 = 1 e {(3,2,1) 𝑇}, 𝜆3 = 0 e
{(1,1,1) 𝑇}
2. λ1 = 6 e λ2 = 2
3. (a) Sim (b) Não
4. 𝑇(𝐱) = (𝑥1 + 4𝑥2, 2𝑥1 + 3𝑥2) 𝑇
e 𝑇((4,1) 𝑇) = (8,11) 𝑇
.
5. 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥1, 2𝑥1 + 3𝑥2) 𝑇
.
6. (a) autovalores: 2 e 3 (b) não possui autovalores reais
7. {(1, −1) 𝑇
, (1,0) 𝑇}.
8. (a) Sim (b) Sim (c) Não
9.
𝑦1(𝑡) = 15𝑒−0,24𝑡
+ 25𝑒−0,08𝑡
𝑦2(𝑡) = −30𝑒−0,24𝑡
+ 50𝑒−0,08𝑡