O documento explica como a segunda lei de Kepler é uma consequência do torque e da conservação do momento angular. Ele mostra que o torque sobre um planeta em órbita ao redor do Sol é zero, portanto o momento angular é conservado. Isso significa que a área varrida pelo planeta em intervalos de tempo iguais deve ser a mesma, o que corresponde à segunda lei de Kepler.

1. Segunda Lei de Kepler: uma Consequência do Torque e Conservação do
Momento Angular.
Quando queremos calcular o trabalho infinitesimal para mover algum objeto linearmente
chegamos à equação Δ w= f. Δ x.cos( φ) , onde φ é o ângulo entre a força e o deslocamento.
Por analogia, podemos buscar uma equação para calcular o trabalho em rotações. Surgiria uma
grandeza τ tal que Δ w=τ . Δ θ para um deslocamento infinitesimal em um circulo
Δ x=Δ θ . r , como na figura ao lado. Δ x é o comprimento de arco que a barra faz ao mover.
Se θ é igual a 360 graus, gera uma circunferencia. Esse pequeno deslocamento pode ser
considerado como na direção da tangente do círculo que se formará ao
rotacionar a barra, e, portanto, forma um ângulo de 90 graus com r.
A força é aplicada com um ângulo ϕ com relação a barra. Como r faz
90 graus com a tangente, o deslocamento e a força farão um ângulo
de 90−ϕ , ou seja, cos (φ) será cos(90−ϕ) , mas por
relações trigonométrica sabemos que isso equivale a sen( ϕ) .
Então, nosso trabalho linear ficaria da seguinte maneira
Δ w= f. Δ θ . r.sen(ϕ) . Podemos igualar as duas equações
do trabalho e obtemos f. Δ θ . r.sen(ϕ)=τ . Δ θ ; cancelando
os termos iguais dos dois lados da equação teremos: τ= f.r.sen (ϕ) À
esta grandeza τ damos o nome de torque é o que faz o corpo
rotacionar em torno de um eixo. No caso do nosso desenho o eixo é
o ponto fixo O. A partir desta fórmula podemos tirar algumas conclusões
tais como forças aplicadas paralelamente ao eixo de rotação não o fazem
girar, pois o ângulo seria 0 ou 180 graus e o valor de sen( ϕ) seria igual a zero;
esta força exerceria apenas uma tração ou compressão na barra. Estas
forças são conhecidas como forças centrais e um exemplo delas é a força de atração do sol sobre os
planetas. A força é de atração para o sol e o raio r tem seu sentido do planeta para o sol, ou seja
formam 0 graus. Outra conclusão que podemos chegar é que quanto maior for r maior será o torque,
ou seja, quanto maior o “braço da alavanca” maior será o torque. Arquimedes ao verificar isso
disse: "Deem-me um ponto de apoio e moverei a Terra." .
Podemos escrever o torque da seguinte maneira τ= f.r , mas sabemos da cinemática que
(Δv)
f =m.a , disso obtemos τ=m.a.r . Podemos ainda substituir a aceleração por a= e
(Δt )
(m.r. Δ v)
nosso torque ficaria τ= . Ao termo m.r. Δ v chamamos de momento angular da
(Δ t)
partícula em relação ao ponto O e lhe damos o símbolo l . Com isso temos que a taxa de variação
com o tempo do momento angular de uma partícula em relação a um ponto O é igual ao torque em
relação ao ponto O que atua sobre essa partícula. Uma consequência disso é a lei de conservação
do momento angular de uma partícula: τ=o → l=constante ,ou seja, se o torque sobre uma
partícula em relação a um ponto se anula, o momento angular da partícula em relação a este ponto
se conserva. Por exemplo, quando um patinador está rodando com os braços abertos ele possui uma
velocidade, no entanto não existe nenhum torque sobre ele. Então o momento angular tem que se
conservar. Como sua massa não altera quando ele encolhe os braços, sua velocidade aumenta para
que o momento angular continue dando o mesmo valor.

2. Imagine agora um planeta em torno do sol; ele está sujeito apenas a forças centrais, portanto
o torque sobre ele é zero. Para intervalos de tempo muito pequenos Δ t , podemos considerar a
1 1
área varrida por ele como um triângulo e suas áreas seriam A1=r 1 . d 1 e A2 =r 2 . d 2 ; d1 e
2 2
d 2 são as distancias percorridas Podemos escrever estas distâncias em função da velocidade,
d
lembrando que v= → d =v. Δ t . Substituindo na equação das áreas temos:
Δt
1 1
A1=r 1 .v 1 .Δt e A2 =r 2 . v 2 . Δ t . Se multiplicarmos as duas equações por m , a massa do
2 2
1 1
planeta, teremos A1=r 1 . v 1 . Δ t.m e A2 =r 2 . v 2 . Δ t.m . Mas, como vimos, m.r.v é o
2 2
momento angular e ele é constante no caso do torque ser zero. Como vimos o torque é zero no
movimento dos planetas, então m1 . r 1 . v 1=m2 . r 2 . v 2 , pois o momento angular tem que se
conservar. Como a massa do planeta não se altera para intervalos de tempos Δ t iguais, as áreas
A1 e A2 serão iguais: A1= A2 , ou seja, o vetor que liga o planeta ao sol varre áreas iguais
em intervalos de tempos iguais. Isto nos mostra que a segunda lei de Kepler é um caso específico da
conservação do momento angular e podemos tirar algumas conclusões dela como, por exemplo, no
caso da bailarina. Quando o planeta está mais próximo do sol sua velocidade é maior e quando está
mais distante do sol, ele diminui a velocidade para que o momento linear se conserve. Agora já
conhecemos as leis de Kepler podemos então trabalhar com as fotos e ver se elas se verificam nas
próximas postagens.