Este artigo engloba o equacionamento das ondas eletromagnéticas planas.

1. EQUACIONAMENTO DA PROPAGAÇÃO DA
ONDA ELETROMAGNÉTICA PLANA
Ednilson Szeskoski e William Chagas.
FADEP – Faculdade de Pato Branco, Pato Branco – Paraná, Brasil.
E-mail: ednilson@gpsmanutencao.com.br, williamchagas660@gmail.com.
Resumo – Com base nos estudos referidos ao assunto
ondas eletromagnéticas planas, apresenta-se a teoria
básica referente as mesmas, sendo uma onda uma função
no espaço e tempo, também são tratados os principais
meios de condução ou passagem e as dificuldades que estas
ondas encontrão para sua passagem em meios.
Palavras-chave – Ondas eletromagnéticas, campo
magnético, campo elétrico, propagação das ondas no meio.
Abstract – From studies based on said plane
electromagnetic waves to the subject, if presents a basic
theory relating to the same, being a function of a wave in
space and time, They are also treated the main driving
means or passage and the difficulties that these waves
jostle for its passage in means
Keywords – Electromagnetic waves, magnetic field,
electric field, propagation of waves in the means.
NOMENCLATURA
H Campo magnético.
E Campo elétrico.
T Período.
t Tempo.
f Frequência.
𝛻 Operador del.
𝜀0 Permissibilidade do espaço livre.
𝛾 Constante de propagação.
𝜎 Densidade do material.
u Número de ciclos.
𝜔 Frequência angular.
𝜇0 Permeabilidade do espaço livre.
𝛼 Constante de atenuação.
𝛽 Constante de deslocamento de fase.
λ Comprimento de onda.
P Vetor de Poynting.
I. INTRODUÇÃO
Além de ter sido um dos criadores da Mecânica Estatística,
Maxwell, foi responsável também pela criação de uma teoria
unificada para a eletricidade e o magnetismo. Começou a
estudar os trabalhos de Faraday em 1855, quando ainda era
estudante na Universidade de Cambridge, publicando seu
primeiro trabalho em 1856, o qual propôs uma teoria dos
campos elétrico e magnético baseadas em analogias com a
hidrodinâmica [4] [5].
Maxwell propõe um modelo de partículas elétricas e
vórtices no éter, que era considerado à época um meio elástico
necessário para a transmissão das interações elétricas e
magnéticas a, Lei de Ampére para que o princípio de
conservação de carga fosse respeitado [5].
Em fins de 1861, Maxwell, observou o trabalho de
Kohlrauch e Weber, este mencionava uma força magnética
entre os vórtices de éter, chamado por Maxwell de rolamentos
esféricos (deslocamento elétrico). Em análise ele converteu o
resultado num formato compatível com seu trabalho de
pesquisa, e concluiu que a luz seria uma onda eletromagnética,
resultante das vibrações do éter, como se fosse uma onda
mecânica [5].
Mais tarde após a descoberta de os rolamentos esféricos,
Maxwell publicaria em 1865 um novo trabalho. Neste
Maxwell passa a aceitar que a energia reside no campo
eletromagnético, e não nas supostas propriedades elásticas do
éter. Além disso, nesse trabalho ele deduz a equação das ondas
eletromagnéticas [5].
A comprovação mais adequada da existência das ondas
eletromagnéticas, que Maxwell condicionava como as
vibrações transversais do éter propagando-se à velocidade da
luz, foi obtida por Heinrich Hertz. Em 1886, Hertz obteve
oscilações eletromagnéticas com alta frequência, usando um
circuito alimentado por uma faísca, e usando como detector
uma espira com um pequeno espaço, onde uma outra faísca
era gerada quando excitada por uma onda eletromagnética.
Com esse equipamento Hertz demonstrou em 1888 que as
ondas eletromagnéticas propagam-se com a velocidade da luz,
como previsto pela teoria de Maxwell, com as todas as
propriedades ondulatórias (reflexão, refração, polarização,
etc.) [5].
Exemplos cotidianos de formas de ondas eletromagnéticas
são as ondas de rádio, sinais de televisão, feixes de radar e os
raios luminosos. Todas as formas de ondas eletromagnéticas
compartilham de três características principais: todas elas
viajam em alta velocidade, ao se propagarem apresentam
propriedades ondulatórias e elas são irradiadas a partir de uma
fonte. Em geral, ondas são um meio de transportar energia ou
informação [1].
II. PROPAGAÇÃO DE ONDAS NO ESPAÇO
Uma onda é uma função no espaço tempo, ou seja, um
movimento ondulatório que ocorre quando existe uma certa
variação em um ponto (A) em um determinado instante (t),
está variação relaciona o que ocorrera em um próximo ponto
(B) [1].

2. Figura 1 - Traçado de uma onda em função no espaço tempo.
Quando consideramos ondas eletromagnéticas no espaço
livre, notamos que o meio é desprovido de fontes o que
significa que o meio não influencia na onda. Sob estas
condições as equações de Maxwell podem ser escritas em
função de campo magnético H e campo elétrico E [2] [7] [9].
∇ × 𝐇 = 𝜀0
𝜕E
𝜕𝑡
(1)
A equação (1), determina se o campo elétrico E esta
variando em algum ponto logo o campo magnético H possui
rotacional naquele ponto, assim H varia espacialmente em
uma direção normal à sua direção de orientação. Além disso
se E esta variando com o tempo então H variara no tempo [2]
[7] [9].
∇ × 𝐄 = −𝜇0
𝜕H
𝜕𝑡
(2)
Com a equação (2), o H variando no tempo gera E, o qual
tendo rotacional varia espacialmente na direção normal à sua
orientação. Assim tem-se que o rotacional pelo campo elétrico
e também pelo campo magnético, e igual a zero. Assim
observa-se que ambos são conservativos[2].
∇ ∙ 𝐄 = 0 (3)
∇ ∙ 𝐇 = 0 (4)
O vácuo é o meio de maior interesse, e assumindo uma
densidade de carga ρ = 0. E consideradas algumas soluções
para meios isotrópicos lineares tais como (5) [3] [7] [10].
D = ϵE, B = µH e J = σE. (5)
Baseados nestas condições pressupondo soluções
complexas do tipo 𝑒 𝑗𝜔𝑡
, é possível resolver as equações de
Maxwell para os campos elétrico E e magnético H no vácuo
[3] [6] [7].
∇ × 𝐇 = (𝜎 + 𝑗𝜔𝜀)𝐄 (6)
∇ × 𝐄 = −𝑗𝜔𝜇H (7)
∇ ∙ 𝐄 = 0 (8)
∇ ∙ 𝐇 = 0 (9)
Aplicando o rotacional nas equações (6) e (7).
∇ × (∇ × 𝐇) = (𝜎 + 𝑗𝜔𝜀)(∇ × 𝐄) (10)
∇ × (∇ × 𝐄) = −𝑗𝜔𝜇(∇ × 𝐇) (11)
O laplaciano de um vetor pode ser definido em coordenadas
cartesianas, e somente neste sistema conforme (12) [1].
∇2
A = (∇2
𝐴 𝑋)𝑎 𝑋 + (∇2
𝐴 𝑌)𝑎 𝑌 + (∇2
𝐴 𝑍)𝑎 𝑍 (12)
Satisfazendo a identidade vetorial:
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ ∙ A) − ∇2
(13)
Substituindo a expressão para o “rotacional do rotacional”
e usando as relações (8) e (9) obtemos as equações de onda
para os campos H e E [1].
∇2
𝐇 = −𝑗𝜔𝜇(𝜎 + 𝑗𝜔𝜀)𝐇 = 𝛾2
𝐇 (14)
∇2
𝐄 = 𝑗𝜔𝜇(𝜎 + 𝑗𝜔𝜀)𝐄 = 𝛾2
𝐄 (15)
Assim aplicacou-se do lado esquerdo da equação (15), as
equações (8) e (9), com isso obtém-se:
∇2
𝐄 = 𝛾2
𝐄 = 0 (16)
Em que,
𝑗𝜔𝜇(𝜎 + 𝑗𝜔𝜀) = 𝛾2
(17)
Para a constante de propagação (por metro) do meio. Por
análise e possível determinar de forma similar para o campo
H, por meio da equação (18) [1].
∇2
𝐇 = 𝛾2
𝐇 = 0 (18)
Com isso obtém-se a equação (16), que é conhecida como
a equação vetorial de Helmholtz no espaço livre. A expansão
desta equação resulta nas três equações fatoriais escalares uma
para cada componente vetorial. Por exemplo na equação (16),
E ao longo de 𝒂 𝑥, 𝒂 𝑦 e 𝒂 𝑧 [1] [2].
A constante de propagação (𝛾), é a raiz quadrada de 𝛾2
cujas as partes, real e imaginária são números reais positivos.
𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 (10)
𝛼 = 𝜔√ 𝜇𝜖
2
(√1 + (
𝜎
𝜔𝜖
)
2
− 1) (Np/m) (11)
𝛽 = 𝜔√ 𝜇𝜀
2
(√1 + (
𝜎
𝜔𝜀
)
2
+ 1) (rad/m) (12)
Devido à dependência de E tanto com o tempo t com a
variável Z, pode-se traçar o gráfico E em função de t,
mantendo Z constante e vice-versa. Observa-se que a onda se
repete após uma distância λ; portanto, λ é chamado de

3. comprimento de onda (em metros). Em análise da figura (1),
nota-se que a onda leva um tempo T para se repetir.
Consequentemente, T é conhecido como período (em
segundos). A razão do comprimento de onda e dado pela
equação (13a) [1] [10].
𝜆 = 𝑢𝑇 (13a)
Como T = 1/f, onde f é a frequência (número de ciclos por
segundo) da onda, em Hertz (Hz), assim:
𝑢 = 𝑓𝜆 (13b)
Usualmente:
𝜔 = 2𝜋𝑓 (14a)
𝛽 =
𝜔
𝑢
(14b)
𝑇 =
2𝜋
𝜔
=
1
𝑓
(14c)
𝛽 =
2𝜋
𝜆
(14d)
A partir da equação (14d), obtemos a definição de que para
cada comprimento de onda propagado, a onda experimenta
uma mudança de fase em 2π radianos [3] [8].
Figura 2 - Traçado de E e H (z,t) com t constante e z constante.
III. TEOREMA DE POYNTING E POTÊNCIA DA
ONDA
Para se encontrar o fluxo de potência associado à onda
eletromagnética, é necessário desenvolver um teorema sobre
potência para campo eletromagnético, conhecido como
teorema de Poynting. Ele foi originalmente postulado em 1884
pelo físico inglês John H. Poynting [2] [4] [8].
A taxa de transporte de energia pode ser obtida a partir das
equações de Maxwell:
∇ × 𝐄 = −µ
∂𝐇
∂t
(15)
∇ × 𝐇 = 𝜎𝐄 + 𝜀
∂𝐄
∂t
(16)
Fazendo o produto ponto de E com ambos os lados da
equação (16), obtém-se a equação (17) [8].
𝑬 ∙ (∇ × 𝐇) = 𝜎𝐄 𝟐
+ 𝐄 ∙ 𝜀
∂𝐄
∂t
(17)
Identidade vetorial, fazendo A = H e B = E.
∇ ∙ (𝐀 × 𝐁) = 𝐁 ∙ (∇ × 𝐀) − 𝐀 ∙ (∇ × 𝐁) (18)
Para quaisquer campos vetoriais, utiliza-se a identidade
vetorial à equação (17). Por tanto consegue-se obter a equação
(18), para análise voltada para H [1] [6] [8].
𝐇 ∙ (∇ × 𝐄) + 𝐇 ∙ (∇ × 𝐄) = 𝜎𝐸2
+ 𝐄 ∙ 𝜀
∂𝐄
∂t
= 𝜎𝐸2
+
1
2
𝜀
∂
∂t
𝐄 𝟐
(19)
Da equação (15), obtém-se à análise para E.
𝐇 ∙ ∇ × 𝐄 = 𝐇 ∙ (−µ
∂𝐇
∂t
) = −
µ
2
𝜕
𝜕𝑡
(𝐇 ∙ 𝐇) (20)
Portanto, a equação (19) torna-se:
(−µ
∂𝐇²
∂t
) − ∇ ∙ (𝐄 × 𝐇) = 𝜎𝐸2
+
1
2
𝜀
∂𝐸2
∂t
(21)
Reordenando os termos e tomando a integral de volume de
ambos os lados [1] [10].
∫ ∇ ∙ (𝐄 × 𝐇)𝑑𝑣 = −
𝑣
𝜕
𝜕𝑡
∫ [
1
2
𝜀𝐸2
+
1
2
µ𝐻²] 𝑑𝑣 − ∫ 𝜎𝐸²𝑑𝑣
𝑣𝑣
(22)
Aplicando o teorema da divergência ao lado esquerdo da
equação, obtém-se: [1]
∮( 𝐄 × 𝐇)𝑑𝐒 = −
𝜕
𝜕𝑡
𝑆
∫ [
1
2
𝜀𝐸2
+
1
2
µ𝐻²] 𝑑𝑣 − ∫ 𝜎𝐸²𝑑𝑣
𝑣𝑣
(23)
↓ ↓ ↓
Potência total Taxa de crescimento Potência Ôhmica
que deixa o volume = da energia armazenada - dissipada
A equação (23), é conhecida como teorema de poynting.
No lado direito, a primeira integral é a energia total
armazenada dentro dos campos elétricos e magnéticos. Já a
segunda integral é a potência ôhmica total dissipada dentro do
volume. Uma vez que derivadas temporais são obtidas da
segunda primeira integral estes resultados oferecem a energia
armazenada dentro do volume, ou a potência instantânea que
irá aumentas a energia acumulada. A quantidade de 𝐄 × 𝐇, no
lado esquerdo da equação (23), é conhecida como o vetor de
Poynting P, dado em watts por metro quadrado (W/m²), isto é
demonstrado na equação (24) [1] [2].
𝑃 = 𝐄 × 𝐇 (24)

4. O teorema de Poynting estabelece que a energia líquida que
flui para fora de um volume v é igual à taxa temporal de
decréscimo da energia armazenada em v menos as perdas por
condução [1].
IV. ONDAS PLANAS EM DIELÉTRICOS COM
PERDAS
A propagação de onda em dielétricos com perdas é um caso
geral do qual derivam, como casos especiais, a propagação de
onda em outros meios portanto um dielétrico com perdas é um
meio no qual as ondas eletromagnéticas perdem energia, à
medida que se propagam devido à condutividade deste meio
em outras palavras, um dielétrico com perdas é um meio
parcialmente condutor no qual 𝜎 ≠ 0, ao contrário de um
dielétrico sem perdas no qual 𝜎 = 0 [4].
V. ONDAS PLANAS EM BONS CONDUTORES
Em contraste com os bons dielétricos, aqui a corrente de
condução domina sobre a corrente de deslocamento, e o tempo
de relaxação é muito curto quando comparado ao período de
tempo da variação harmônica no tempo dos campos elétricos
e magnéticos. Condutores elétricos perfeitos, com 𝜎 → ∞,
pertencem a bons condutores como no caso extremo [4].
𝜎 ≪ 𝜔𝜀 (25)
O fenômeno pelo qual a intensidade de campo em um
condutor decresce rapidamente é conhecida como efeito
pelicular. Neste os campos e as correntes associadas são
confinados em uma camada muito fina (película) da superfície
condutora [1] [4].
VI. CONCLUSÕES
Com toda a análise obtida nas referências foi possível
verificar que as ondas têm comportamentos variados de
acordo ao meio de propagação que é submetida, podendo ser
propagada normalmente, e em alguns casos com perdas.
Assim o meio é uma característica essencial para a propagação
das ondas eletromagnéticas o que possibilita a sua utilização
principalmente nas tecnologias de telecomunicações,
transferindo informações pelo ar e também através de bons
condutores.
REFERÊNCIAS
[1] M. N. O. Sadiku. “Elementos de Eletromagnetismo”,
Bookman, 5° Edição, Porto Alegre, 2012.
[2] W. H. Hayt Jr., J. A. Buck. “Eletromagnetismo”,
AMGH, 8° Edição, Porto Alegre, 2013.
[3] J. A. Edminister. “Teoria e Problemas de
Eletromagnetismo”, Bookman, 2° Edição, Porto Alegre,
2006.
[4] B. M. Notaros. “Eletromagnetismo”, Pearson Educations
do Brasil, 5° Edição, São Paulo, 2012.
[5] Viana, R. L. “Eletromagnetismo II. Equações de
Maxwell”, Curitiba, 2015. Disponível em: <
fisica.ufpr.br/viana/eletro/maxwell.pdf >
[6] W. K. H. Panofsky, M. Phillips. “Classical electricity
and Magnetism”, Addison-Wesley P. Company, 2° Ed,
Massachusetts, 1962.
[7] J. D. Kraus, K. R. Karver. “Electromagnetics”, McGraw-
Hill Kogakusha, 2° Ed, Tokyo, 1973.
[8] D. J. Griffiths, “Introduction to Electrodynamics”,
Prentice Hall, 3° Ed, New Jersey, 1999.
[9] L. A. Righi, “Eletromagnetismo para Engenharia
Elétrica”, DESP-CT-UFSM, 1° Ed, Santa Maria, 2015.
Disponível em < www.ufsm.br/righi >
[10] J. R. Reitz, F. J. Milford, R. W. Christhy “Fundamentos
da Teoria Eletromagnética”, Ed. Campus, 3° Ed, Rio de
Janeiro, 1982.