1) O documento descreve um experimento sobre o movimento oscilatório de um pêndulo simples realizado por estudantes de engenharia civil. 2) Foram analisados os efeitos da variação da amplitude, massa e comprimento do pêndulo no seu período e frequência. 3) Os resultados obtidos confirmaram as leis do pêndulo simples, como o isocronismo, independência da massa e proporcionalidade do período com a raiz quadrada do comprimento.

1. Pêndulo Simples Júnior – Lei do Isocronismo das Pequenas Oscilações
Lei das Massas e das Substâncias – Lei dos Comprimentos.
Engenharia Civil 1 N-E NGER120_003 - Física Experimental I
Eldon Nery de Avelar 1301531-2
Elton Nery de Avelar 1301541-2
Márcio Fernando Vieiro 1304015-2
Fernando Freitas Azevedo 1301549-2
Edilson Gonzaga Pereira 1305857-2
UniCesumar – Centro Universitário de Maringá.
Resumo: este relatório constitui o estudo do Movimento Oscilatório do Pêndulo Simples, que consiste em uma estrutura
que segura um corpo através de um fio flexível, acoplado à um gancho, deixando o corpo se movimentar livremente
sujeitando a massa do corpo à força da gravidade. a experiência descrita foi realizada em laboratório de física do
Centro Universitário de Maringá – UniCesumar, sob orientação do Professor André Paixão, com o objetivo de
interpretar o movimento do pêndulo simples, sua frequência (f), seu período (T) , fornecendo tabelas, gráficos e tirar
conclusões sobre os fatores que influem no período de um pêndulo.
Palavras-chave: pêndulo simples, movimento oscilatório, período, frequência.
Introdução teórica
Em Mecânica, um pêndulo simples é um
instrumento ou uma montagem que consiste num objeto
que oscila em torno de um ponto fixo. O braço executa
movimentos alternados em torno da posição central,
chamada posição de equilíbrio. O pêndulo é muito
utilizado em estudos da força peso e do movimento
oscilatório.
A descoberta da periodicidade do movimento
pendular foi feita por Galileu Galilei. O movimento de
um pêndulo simples envolve basicamente uma grandeza
chamada período (simbolizada por T): é o intervalo de
tempo que o objeto leva para percorrer toda a trajetória
(ou seja, retornar a sua posição original de lançamento,
uma vez que o movimento pendular é periódico).
Derivada dessa grandeza existe a frequência (f),
numericamente igual ao inverso do período e que,
portanto se caracteriza pelo número de vezes (ciclos)
que o objeto percorre a trajetória pendular num intervalo
de tempo específico. A unidade da frequência no SI é o
hertz, equivalente a um ciclo por segundo (1/s).
O pêndulo simples consiste de um fio leve e
inextensível de comprimento L, tendo na extremidade
inferior, por exemplo, uma esfera de massa m; a
extremidade superior é fixada em um ponto, tal que ele
possa oscilar livremente (resistência do ar desprezível),
com amplitudes pequenas. Quando o pêndulo é
deslocado de sua posição de equilíbrio, ele oscila sob a
ação da força peso, apresentando um movimento
periódico.
Figura 1 - Representação esquemática de um pêndulo simples

2. Na Fig.1 temos os seguintes elementos: L é o
comprimento do fio, θ é o ângulo formado entre a
posição de equilíbrio e o ponto de máxima extensão, T é
a força de tração na corda, P é a força peso, Px é a força
restauradora e m é a massa do pêndulo. A componente
tangencial do peso x P é a força restauradora do
movimento oscilatório do pêndulo, cuja intensidade é
dada por: Px = Psenθ=mgsenθ. Para ângulos pequenos
(θ ≤ 15º ), temos que senθ ≈θ≈tgθ. O deslocamento x
será ,então, aproximadamente igual ao comprimento do
arco x = Lθ. Podemos fazer a aproximação da equação
anterior por: Px= Pθ= mgx/L. O período T de um
movimento oscilatório é definido por:
T = 2π / ω,
Sendo a frequência definida como ω =√g/L.
Uma vez que a frequência angular é ω = 2 π / T, o
período de oscilação do pêndulo é dado por:
T= 2π√L/g
O período de um pêndulo (T) é o tempo que ele
leva para dar uma oscilação completa, ou seja, o tempo
que leva para sair da sua posição inicial e voltar para a
mesma posição. Para medir este tempo mede-se o tempo
t que leva para dar um número determinado de
oscilações, n:
T = t / n
A frequência é o número de oscilações, n, que
o pêndulo executa em uma unidade de tempo, t. Para
medir a frequência vamos medir o número de oscilações
que daria em um determinado tempo, t:
f = n / t
Observando as expressões do período e da
frequência, temos que o período é o inverso da
frequência e vice-versa, sendo assim concluímos que:
T = 1 / f e f = 1 / T
Procedimento experimental
Material necessário
Para a realização do experimento foi necessário os seguintes materiais:
 Pêndulo com fio flexível de
comprimento variável (de 0 cm à 100
cm)
 Três corpos com massas distintas
 Trena
 Balança (para distinção das massas
dos corpos)
 Régua graduada (para calculo do
ângulo de lançamento do corpo)
 Cronometro
1
2
3
6
4
5
Figuras 2 – Componentes para experimento pêndulo simples

3. Procedimento
I. Construa o pêndulo fixando uma
altura máxima para ele. Determine o
comprimento L do fio
II. Meça o peso m das massas.
III. Desloque o pêndulo da posição de
equilíbrio para uma amplitude de 10
cm e o abandone.
IV. Anote os dados e faça análises e
discuta os dados obtidos.
Resultados e Discussões
Após o abandono do pêndulo a 10 cm de
amplitude de seu ponto de equilíbrio foi determinado o
intervalo de tempo gasto para executar uma oscilação
completa que foi de 1,10 s,
Tornando a repetir por 6 (seis) vezes abandono
aos mesmos 10cm de amplitude, obtivemos tempos de
uma oscilação completa para cada tempo conforme
mostra a tabela 1 a seguir.
Tempo p/ 1(uma) Oscilação completa
Ordem /repetições Tempo t(s)
01 0,97
02 0,95
03 1,00
04 0,94
05 0,98
06 1,10
Observa-se que os valores para os intervalos de
tempo obtidos na tabela 1 são distintos a cada repetição
para mesma 1(uma) oscilação completa do pêndulo, isso
é devido ao erro de tempo de reação da que a pessoa
tem ao cronometrar o instante de inicio e fim do
movimento oscilatório.
Elevando o número de oscilações de uma para
20 obtivemos o intervalo de tempo t = 22,3 s. Com
esses dados podemos então calcular o tempo que o
pêndulo levou para executar uma oscilação completa,
chamado de Período e representado pela letra T, e a
frequência representada pela letra f onde f =
no
oscilaçoes/tempo e T=1/f onde;
No
oscilações = 20 Tempo = 22,3 s
Substituindo na fórmula temos que:
f = 20/22,3 f = 0,90 Hz
Substituindo o valor da frequência na formula do
período temos que:
T = 1/0,90 T = 1,11 s
Deslocando agora o pêndulo sucessivamente de
5, 10, 15, 20,e 25 de sua posição de equilíbrio podemos
determinar o tempo médio gasto em 5 (cinco) oscilações
completas em cada caso. após a coleta dos dados para as
5 amplitudes distintas geramos a tabela 2 a seguir.
Tempo deslocamentos distintos
Deslocamento (cm) Rept.01 t(s) Rept.02 t(s) Rept.03 t(s) Rept.04 t(s) Rept.05 t(s) Tempo médio (s)
05 6,10 6,06 6,13 6,17 6,19 6,130
10 6,15 6,23 6,33 6,23 6,20 6,228
15 6,22 6,17 6,15 6,10 6,14 6,156
20 6,30 6,30 6,34 6,39 6,32 6,292
25 6,56 6,72 6,40 6,45 6,51 6,528
Tabela 1 – Tempos p/ 06 repetições
Tabela 2 – tempo em deslocamentos distintos

4. Através dos dados coletados na tabela 2, usaremos os intervalos de tempo médio das 05 oscilações nos 05
deslocamentos distintos para montar a tabela 3 de período e frequência.
A partir dos dados tabelados podemos esboçar o gráfico Período versus Amplitude deste pêndulo.
Podemos observar que para oscilações de pequena amplitude, o período do pêndulo simples não depende da
amplitude. Esse fato foi verificado experimentalmente por Galileu. Essa propriedade é conhecida como isocronismo do
pêndulo.
Período e frequência
Deslocamento (cm) Tempo 5 oscilações Período (s) Frequência (Hz)
05 6,130 1,226 0,815
10 6,228 1,246 0,802
15 6,156 1,231 0,812
20 6,292 1,259 0,794
25 6,528 1,322 0,765
Tabela 3 – Período e frequência para deslocamentos distintos
0oscilações
Período(s)
Amplitude (cm)25201510050
1,0
2,0
1,226
1,231
1,246
1,259
1,322
Gráfico 1 – Período versus Amplitude

5. Também com os dados da tabela 3 podemos esboçar o gráfico da frequência versus a Amplitude deste
pêndulo.
Observando os gráficos acima podemos observar que o período é o inverso da frequência e vice-versa, conforme
podemos analisar em suas fórmulas onde T = 1 / f e f = 1 / T.
Foi verificado o comportamento do período e da frequência de um pêndulo simples, mantendo o comprimento L
do fio e variando as massas oscilantes com a média de 05 oscilações para cada massa. Os dados coletados fornecemos a
tabela 4 abaixo.
Podemos observar que o período e a frequência do pêndulo simples não depende da variação da massa oscilante.
Mantendo a massa m e variando agora o comprimento L do fio inextensível do pêndulo com a média de 05
(cinco) oscilações, coletando os dados podemos calcular e analisar o comportamento do período e a frequência do
movimento oscilatório, conforme mostra a tabela 5 a seguir.
Variação de massa m
Massa (g) Tempo médio Período (s) Frequência (Hz)
±50 5,80 1,160 0,862
±100 5,88 1,176 0,850
±150 5,97 1,194 0,837
Frequência(Hz)
Amplitude (cm)25201510050
1,0
0,765
0,794
0,802
0,812
0,815
Gráfico 2– Frequência versus Amplitude
Tabela 4– variação de massa

6. A partir dos dados tabelados esboçamos e analisamos o gráfico Período versus Comprimento do pêndulo,
mostrado a seguir.
O período de um pêndulo simples é diretamente proporcional à raiz quadrada de seu comprimento L. Assim, para dobrar
o período T de um pêndulo, seu comprimento L deve ser quadruplicado.
Variação do comprimento do fio L
Comprimento (cm) Tempo médio Período (s) Frequência (Hz)
35 6,35 1,270 0,787
30 5,78 1,156 0,865
20 5,03 1,006 0,994
15 4,28 0,856 1,168
Tabela 5– variação do comprimento
Comprimento (cm)
Período(s)
353020150
1,000
0,856
1,006
1,156
1,270
Gráfico 3– Período versus Comprimento

7. Sabendo que e T = 1 / f observamos que se aumentarmos o comprimento L do pendo a frequência diminui uma vez que
ela é inversamente proporcional ao período T
O cálculo do Período de um pêndulo simples em função do seu comprimento L e da aceleração gravitacional g, é dada
pela seguinte fórmula matemática: T= 2π√L/g
Conclusão
Os dados do experimento nos levaram a resultados bem próximos do real, comprovando assim as Leis do
Pêndulo Simples:
Lei do isocronismo: As oscilações de pequena amplitude são isócronas (têm mesma duração);
Lei da massa e da substância: O período é independente da massa e da substância de que é constituída a
partícula oscilante;
Lei do comprimento: O período é diretamente proporcional à raiz quadrada do comprimento do pêndulo.
Na linearização das grandezas físicas e na construção dos gráficos encontra-se erro, pois o experimento não foi
feito sobre condições controladas, podendo ser influenciado pelos erros de leitura das medidas, leitura de tempo, assim
como as aproximações nos cálculos.
Erro nos cálculos deve-se a fatores que podem ter comprometido a exatidão do resultado da experiência como:
 A percepção visual na hora de definir o valor do comprimento do fio do pêndulo.
 A habilidade psicomotora de cada integrante do grupo para soltar o bloco metálico da mesma altura.
 O paralelismo do fio que provavelmente não foi mantido, uma vez que ele não deveria oscilar pros
lados.
Bibliografia:
1. http://www.fisica.ucb.br
2. http://www.fisica.ufs.br
3. http://fisicomaluco.com/experimentos/category/determinar-a-gravidade-local-utilizando-pendulo-simples/
4. HALLIDAY, D. RESNICK, R. e KRANE, K.S. Física 2. Rio de Janeiro, LTC, 1996.