O documento descreve o movimento horizontal de projéteis, discutindo: 1) as forças envolvidas e sua análise; 2) a análise do movimento ao longo dos eixos x e y e as equações correspondentes; 3) a análise da velocidade e energia mecânica do projétil ao longo de seu movimento. Exemplos numéricos ilustram estas análises.

1. Lançamento Horizontal de Projéteis
Movimento desprezando todas as forças de resistência
12345-
Análise das forças que atuam no projétil ao longo do movimento.
Análise do movimento segundo o eixo dos y e dos x.
Equações do movimento do projétil.
Análise da velocidade do projétil ao longo do movimento.
Análise da energia mecânica do sistema (projétil + terra) ao
longo do movimento.
6- Exercícios Resolvidos.
1- Análise das forças que atuam no projétil ao longo do movimento.
Quando é realizado um lançamento horizontal de um projétil, a
única força que atua no corpo, após este deixar de estar em
contacto com a mesa, é a força gravítica.
A força gravítica tem as seguintes caraterísticas:
Intensidade ->
N
Direção –> vertical do local;
Sentido -> de cima para baixo;
Ponto de aplicação –> centro de massa do corpo.
De acordo com o eixo vertical, o sentido da força gravítica é
contrário ao estipulado como positivo, como tal, a força
gravítica é negativa.
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2. Mais nenhuma força atua no corpo durante o seu movimento.
2- Análise do movimento segundo o eixo dos y e dos x.
O movimento referente ao eixo dos x e dos y será diferente.
Eixo dos x
No caso do eixo dos x, não existe nenhuma força a atuar. Assim
pela segunda Lei de Newton,
como
e como
e
então
Para que a variação de velocidade seja nula, só existirão duas
situações para o movimento do projétil. Repouso ou com
velocidade constante.
Se em repouso, então
logo
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3. .
Se em velocidade constante e admitindo que
a
variação do módulo da velocidade ao longo do movimento será
igual a:
Em conclusão, o movimento será uniforme.
Eixo dos y
Segundo o eixo dos Y, existe uma força a atuar e a mesma pode
ser considerada constante para este tipo de movimento. Da
Segunda Lei de Newton
e
então
Para
este
tipo
de
movimento,
a
força
gravítica
pode
ser
considerada igual ao peso do corpo ( ).
O peso do corpo é igual a
em que , corresponde à aceleração gravítica do local, que à
superfície da terra, onde estudamos este topo de movimentos,
pode ser considerada de 9,81 m/s2. Para este estudo,
consideraremos a aceleração de 10 m/s 2.
Assim,
e
como
Então
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4. De acordo com o eixo de referência escolhido, e dado o sentido
estipulado como positivo para o eixo dos y, a aceleração a que o
projétil estará sujeito será:
3- Equações do movimento do projétil.
Eixo dos x
O movimento é uniforme (a=0 m/s 2), assim a equação do movimento
é dada por:
(m)
Eixo dos y
O movimento é uniformemente acelerado (
Não possui velocidade inicial (
).
).
Assim
4. Análise da velocidade do projétil ao longo do movimento.
Eixo dos x
A velocidade é constante, pois como foi dito anteriormente, a
força resultante que atua sobre o corpo é nula ao longo deste
eixo.
A velocidade é igual à velocidade inicial com que o corpo
abandona a mesa.
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5. Eixo dos y
O movimento é uniformemente acelerado, assim
como
teremos
m/s
Concluímos através da expressão anterior que, a velocidade ao
longo do eixo dos y aumenta negativamente, atingindo o máximo
valor imediatamente antes de tocar no solo.
Gráfico da velocidade do corpo ao longo do eixo dos x.
Gráfico da velocidade do corpo ao longo do eixo dos y.
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6. Gráfico da velocidade do corpo ao longo do seu movimento
Como se pode observar a velocidade do corpo aumenta à medida que o
corpo cai.
O valor da
expressão:
velocidade
pode
ser
calculado
através
da
seguinte
m/s
5. Análise da energia mecânica do sistema (projétil + terra) ao
longo do movimento.
Desprezando todas as forças de resistência, podemos concluir que
existe conservação da energia mecânica. Assim, ao longo do
movimento, o valor da energia mecânica será sempre o mesmo em
qualquer posição que o corpo ocupe.
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7. A energia mecânica (
(
(
=
= m
)
será dada pela soma da energia cinética
e
da
energia
potencial
gravítica
).
Assim
e como
então
ou seja
Simplificando a massa, teremos
6. Exercícios Resolvidos.
1. Uma bola é lançada horizontalmente com velocidade inicial de
5 m/s. Sabendo que esta foi lançada de uma altura de 5 m em
relação ao solo como exemplifica a figura seguinte.
Determine:
a. o tempo total em que a bola permanece no ar;
b. o alcance máximo da bola.
Considere g = 10 m/s2
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8. Resolução
a.
O tempo total que a partícula permanece no ar,
corresponde ao também designado por tempo de voo.
Na resolução deste problema, devemos em primeiro lugar
definir o sentido positivo do eixo dos x e dos y.
Em segundo lugar, escrever as equações do movimento para
ambos os eixos, x e y, tendo em atenção o sentido
estipulado como positivo definido no passo anterior.
Seguidamente verificar qual a posição do corpo para o
instante pedido.
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9. Para esta posição,
corresponde ao alcance máximo e
corresponde há posição mais baixa, imediatamente antes de
tocar o solo.
Assim
Substituindo na equação do movimento para o eixo do y,
teremos:
s.
Relativamente ao exercício proposto teremos:
b.
O
alcance
máximo
corresponde
à
distância
percorrida pelo corpo segundo o eixo dos x.
máxima
Escrevendo a equação do movimento segundo o eixo dos x,
teremos:
Ao
ao
no
na
calcularmos o alcance máximo, o tempo correspondente
alcance máximo é o tempo máximo que o corpo permanece
ar, ou seja, o tempo de voo. Assim e como calculámos
alínea anterior o tempo de voo podemos escrever:
2. Uma pessoa dispara uma pistola, abandonando o cano da arma a
bala com uma velocidade de direção paralela ao solo e uma
intensidade de 200 m/s.
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10. a. Determinar o módulo da velocidade da bala ao fim de 20 s,
sabendo que a altura inicial do disparo foi de 1,5 m.
b. Determinar o alcance máximo da bala.
Resolução
a.
Esquema do movimento do projétil.
Escrita das equações que permitem calcular a intensidade
da velocidade segundo os respetivos eixos do movimento (x,
Y).
Assim ao fim de 20 s a intensidade da velocidade
segundo o eixo dos x é de
.
Segundo o eixo dos y, a intensidade da velocidade ao
fim de 20 s é dada por:
.
Como,
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11. b.
Alcance máximo da bala é dado no instante em que a
bala se encontra imediatamente antes de tocar o solo,
ou seja, quando
m.
Assim, fazendo
, teremos na equação dos
,
Como única incógnita teremos o tempo total que a bala
permanece no ar, conhecido como tempo de voo. O
cálculo deste tempo irá permitir calcular o alcance
máximo como veremos a seguir.
Cálculo do tempo de voo.
.
Cálculo do alcance máximo:
m.
3. De uma varanda é lançada uma bola com diferentes velocidades
iniciais. Observe os gráficos referentes aos lançamentos A e B.
a) Associe os números I e II do gráfico da função x(t) aos
lançamentos A e B.
b) Determine o tempo de queda nos dois lançamentos.
c) Determine os declives das retas I e II.
d) Determine o módulo da velocidade da bola no lançamento A
quando chega ao solo.
e) Resolva a alínea anterior através de considerações
energéticas.
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