1) O documento apresenta um estudo sobre a aplicação do cálculo diferencial e integral no estudo de vigas isostáticas. 2) São analisados cinco tipos de vigas: viga biapoiada com carga uniformemente distribuída, viga biapoiada com carga concentrada, viga com um engaste e carga concentrada na extremidade, viga com um engaste e carga uniformemente distribuída, viga com um engaste e carga triangular. 3) Para cada caso são determinadas as funções do momento fletor e

1. Universidade Estadual Vale do Acaraú – U.V.A.
CCET – Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Curso de Engenharia Civil e Ambiental
Aplicação do Cálculo Diferencial e Integral
no Estudo de Vigas Isostáticas
Sobral - Ce – 2012

2. 2
1.Tu que habitas sob a proteção do Altíssimo, que moras à sombra do Onipotente,
2.dize ao Senhor: Sois meu refúgio e minha cidadela, meu Deus, em que eu confio.
3.É ele quem te livrará do laço do caçador, e da peste perniciosa.
4.Ele te cobrirá com suas plumas, sob suas asas encontrarás refúgio. Sua fidelidade te será um escudo de proteção.
5.Tu não temerás os terrores noturnos, nem a flecha que voa à luz do dia,
6.nem a peste que se propaga nas trevas, nem o mal que grassa ao meio-dia.( Salmo 90)

3. 3
SUMÁRIO
CONTEÚDO PÁGINA
INTRODUÇÃO 04
CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA 05
UNIDADES ADOTADAS 05
VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA 06
VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA 08
VIGA COM UM ENGASTE E CARGA CONCENTRADA NA EXTREMIDADE 11
VIGA COM UM ENGASTE E CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA 13
VIGA COM UM ENGASTE E CARGA TRIANGULAR 15
CONCLUSÃO 17
BIBLIOGRAFIA 17

4. 4
INTRODUÇÃO
Pode-se afirmar que o Cálculo Diferencial e Integral e as Engenharias – Civil, Elétrica, Mecânica e as demais Engenharias- estão
intimamente associados.
No dimensionamento de uma viga, por exemplo, a determinação dos esforços de Momento Fletor e Esforço Cortante têm
importância primordial. Pode-se dizer de uma forma sucinta que o Momento Fletor submete as seções transversais de uma viga
comum a esforços de tração e compressão enquanto que o Esforço Cortante solicita citadas seções a Tensões de Cisalhamento.
Portanto, ao efetuar-se o dimensionamento de uma viga, quer seja esta viga feita de concreto, aço, madeira, alumínio ou outro
material apropriado, deve-se dividir esta tarefa em duas etapas.
A primeira etapa é constituída pelo cálculo dos esforços principais que atuam na estrutura; em outras palavras: deve-se achar o
maior valor do Momento Fletor assim como o maior valor da Força Cortante que atuam na viga devido os diversos tipos de
carregamento. A segunda etapa é consiste em fazer o dimensionamento da viga propriamente dita, onde devem ser verificadas quais
são as dimensões necessárias da mesma para resistir aos esforços solicitantes.
O Cálculo Diferencial e Integral permite encontrar as funções do Momento Fletor e da Força Cortante em qualquer seção de uma
viga. Encontrada a função que possibilita calcular o Momento Fletor para determinado trecho de uma viga, ao derivar-se esta função
encontra-se outra f(x) que dá, desta vez, o Esforço Cortante para o trecho considerado.
Este estudo, no qual o Autor usou quantidade mínima de bibliografia, já que preferiu buscar os conhecimentos adquiridos nos
bancos escolares da Universidade de Fortaleza no início da Década de 1980, visa dar aos estudantes do Curso de Engenharia Civil da
Universidade Estadual Vale do Acaraú mais uma opção de material didático.
Foram abordadas cinco tipos de vigas comumente encontradas.
omnia mecum porto
Sobral, Ce, Junho de 2012.
Daniel Caetano de Figueiredo (*)
(*) O Autor é Engenheiro Civil formado pela Universidade de Fortaleza em Dezembro de 1982 e Professor Concursado da Universidade Estadual Vale do Acaraú.

5. 5
CONVENÇÃO DE SINAIS ADOTADA
Para uma determinada seção S de uma viga, perpendicular ao eixo da mesma, o Momento Fletor será considerado positivo se a
força, quer esteja esta à esquerda ou à direita da seção, tende a imprimir à viga concavidade para cima; caso contrário, qual seja, se a
força tende a imprimir à viga concavidade para baixo, o Momento Fletor será considerado negativo. Ao serem colocados os valores
encontrados no D.M.F.(Diagrama do Momento Fletor), tem-se, por convenção, Momento Fletor com valor negativo desenhado acima
do eixo x e com valor positivo abaixo do eixo x.
Com relação ao Esforço Cortante para uma determinada seção perpendicular ao eixo de uma viga , se a força tende a deslocar para
cima a parte da viga que fica à esquerda da seção, neste caso Q será considerado positivo, o mesmo ocorrendo se a força tentar
deslocar para baixo a parte da viga que fica à direita da seção. Em ambos os casos o valor de Q será positivo; se a força, contudo,
tentar deslocar para baixo a parte da viga que fica à esquerda da seção, ou deslocar para cima a parte da viga que está à direita da
seção, neste caso, então, o Esforço Cortante Q será considerado negativo. Na elaboração do D.E.C. os valores positivos de Q são
desenhados acima do eixo x e os valores negativos ficam abaixo do eixo x.
UNIDADES ADOTADAS
m
Sabe-se que a força que atua em um corpo de massa 1,0 quilograma e lhe imprime uma aceleração igual a 1,0 na mesma
s2
direção e sentido desta força, equivale a 1,0 Newton.
m
Considerando que um corpo de massa 1,0 kg tem peso igual a 9,8 N em um local onde a aceleração da gravidade vale 9,8
s2
(valor médio aceito para toda a superfície da Terra) pode-se, para efeitos didáticos e por praticidade, sem prejuízo algum, substituir-se
a unidade kgf(unidade de força) por kg(unidade de massa), já que na superfície da Terra um corpo de massa 1,0 kg pesa 1,0 Kgf. Para
tal deve-se fazer em seguida a adaptação das demais unidades,
Com relação à unidade de comprimento, foi adotada neste Trabalho o metro, comumente usado em Engenharia Civil para medir
o vão de vigas.
Encontra-se, a seguir, o estudo relativo a cinco tipos distintos de vigas comumente usadas.

6. 6
VIGA BIAPOIADA COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
kg
Seja a viga abaixo com vão igual a l metros, carga uniformemente distribuída de q e apoiada em A e B.
m
Para o cálculo das reações de apoio, aplica-se primeiramente a equação ΣM A = 0 e encontra-se o valor de R B ; em seguida
ql
aplica-se ΣF y = 0 e encontra-se a reação R A ; os valores das duas reações são iguais a , como era de se esperar(o carregamento é
2
simétrico em relação a uma seção tomada no meio da viga). A direção das reações é a direção vertical e o sentido das mesmas é de
baixo para cima.
Considere-se agora uma seção perpendicular ao eixo da viga e distante x metros do apoio A.
qx 2
Nesta seção da viga, assim como nas demais, o valor do momento fletor é dado pela função M ( x ) = R A x − , que é uma função
2
do segundo grau em x.
Derivando esta f(x) obtém-se a função do Esforço Cortante, que será do primeiro grau e a mesma nos permitirá que seja calculado
o Esforço Cortante em qualquer seção distante x metros do apoio A.
dM ( x)
Sendo assim, tem-se: = Q( x) = R A − qx .
dx
l dQ( x)
Deve-se notar que esta função Q(x) anula-se em x = e também convém ressaltar que = −q . Em outras palavras: a
2 dx
função derivada de Q(x) fornece o carregamento que atua na viga. É evidente que pode-se, também, percorrer o caminho inverso, qual
seja, dadas as cargas encontrar a função Q(x) por integração; integrando esta, obtém-se M(x).

7. 7
Conforme ensina o Cálculo Diferencial e Integral, o ponto onde a derivada primeira de uma determinada função se anula ou deixa
de existir, constitui um ponto crítico desta função(ponto de máximo, ponto de mínimo, ponto de inflexão ou então a função inexiste
neste ponto crítico).
Derivando mais uma vez M (x ) encontra-se a sua derivada de segunda ordem. Pelo Teste da Derivada Segunda, sabe-se então
ql 2 ql 2
que no meio da viga existe um valor máximo(positivo) para o momento fletor e este valor será igual a . Citado valor( ) foi
8 8
l
encontrado calculando-se M ( ) . Deve ser observado que na seção central da viga o valor do Esforço Cortante é nulo. Ainda deve-se
2
ressaltar os valores nos extremos da viga, onde o Momento Fletor é nulo; e onde o Esforço Cortante é máximo, possuindo valores
ql − ql
iguais a e , nos pontos A e B, respectivamente.
2 2
Abaixo seguem os gráficos das funções que representam o Momento Fletor e o Esforço Cortante para o caso estudado. Para se
entender estes gráficos deve-se recorrer à convenção usualmente adotada para representá-los.
DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE(D.E.C.)

8. 8
DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR(D.M.F.)
Será analisada a seguir o caso de uma viga biapoiada sujeita a uma carga concentrada.
VIGA BIAPOIADA COM CARGA CONCENTRADA
Seja agora uma viga apoiada em A e B, com l metros de comprimento e possuindo um carregamento de P kg aplicado no ponto
situado a distancia igual a b metros do apoio B e a metros do apoio A, conforme a figura abaixo.

9. 9
Pa Pb
Aplicada a equação ΣM A = 0 foi encontrado R B = ; em seguida fazendo-se ΣFV = 0 encontrou-se R A = . A direção das
l l
reações é a direção vertical e o sentido das mesmas é de baixo para cima. Considere-se agora uma seção S1 perpendicular ao eixo da
viga, distante x metros do apoio A e compreendida entre o apoio A e o ponto de aplicação da força P.
Nesta seção, assim como nas demais do trecho em questão, o valor do momento fletor é dado pela função M ( x) = R A x que é uma
f(x) do primeiro grau em x. Assim, a representação do D.M.F. será representado por segmentos de retas inclinadas em relação ao eixo
x.
Derivando M(x) obtém-se a função do Esforço Cortante, Q( x) = R A sendo esta de grau zero(função constante); esta permitirá
calcular o esforço cortante em qualquer seção distante x metros do apoio A, no trecho compreendido entre A e o ponto de aplicação da
força P.
dM ( x)
Sabe-se portanto que: = Q( x) = R A
dx
Convém notar que as funções acima são aplicáveis apenas no trecho compreendido entre o apoio A e o ponto de aplicação da
força P.
Por ser uma função constante, o diagrama do esforço Cortante será dado por segmentos paralelos ao eixo x.
No caso em questão deve também ser analisado o trecho compreendido entre a carga P e o apoio B.
Neste trecho em qualquer seção distante x metros de A temos que M ( x) = R A x − P ( x − a ) .
Derivando esta função encontra-se a função Q(x) para o Esforço Cortante
Q( x) = R A − P , ou seja, será igual a − R B .
No ponto onde a força P é aplicada, a função que representa o Esforço Cortante possui uma descontinuidade e o Momento Fletor
Pab
neste ponto alcança seu valor máximo, igual a . Se quer com isto ressaltar que o Momento Fletor de uma viga não é máximo
l
necessariamente no local onde o esforço Cortante é nulo. No caso em questão o mesmo ocorre no ponto onde o valor do Esforço
Cortante também é máximo. Mas deve-se atentar para o fato de que, neste ponto, o gráfico da função Q(x) dá um salto de
descontinuidade.
A seguir tem-se os Diagramas do Momento Fletor e da Força Cortante.

10. 10
DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR (D.M.F.)
DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE(D.E.C.)
Será analisado agora o caso de uma viga isostática simplesmente engastada e sujeita a uma carga concentrada em sua extremidade
livre.

11. 11
VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA CONCENTRADA EM SUA EXTREMIDADE
Seja agora a viga abaixo , simplesmente engastada em A e com a extremidade B em balanço, com l metros de comprimento e
possuindo um carregamento de P kg aplicado no ponto B situado à uma distancia igual a l metros do apoio A, de acordo com a figura.
Para que sejam calculadas as reações em A, reações estas que serão constituídas por um momento e uma força vertical, aplica-se
primeiramente a equação ΣFV = 0 , encontrando R A = P ; em seguida usa-se ΣM A = 0 encontrando M A = Pl kg.m no sentido anti-
horário. A reação R A possui a direção vertical e sentido para cima. Assim, como no caso das vigas anteriores, as reações de apoio
horizontais serão nulas porque não existe nenhuma componente horizontal de carga atuante que solicite a viga.
Pegue-se agora uma seção S distante x metros do apoio A.
Nesta seção genérica, a função M(x) do Momento Fletor será dada por M ( x) = − M A + R A x , ou M ( x) = − Pl + Px .
Derivando M(x) encontra-se a função do Esforço Cortante, dada por Q( x) = + P . Por ser uma função constante, o D.E.C. será
representado por segmento paralelo ao eixo x.
Com relação à função que representa o Momento da viga, em A tem-se o valor máximo para o Momento Fletor. Por ser M(x) do
primeiro grau, o D.M.F. será representado por um segmento inclinado em relação ao eixo x, variando do valor M A ao valor 0 em B,
conforme a figura abaixo. A registrar que o gráfico do Esforço Cortante comporta-se de maneira análoga nos pontos A e B. Em A o
Momento Fletor é máximo e em B é igual a zero. De qualquer forma, em A existe um ponto de descontinuidade no gráfico de Q(x),
onde o Momento é máximo.

12. 12
DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE
A seguir será visto o caso de uma viga com um engaste apenas só que, desta vez, seu carregamento será uniformemente
distribuído.

13. 13
VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA
Seja agora a viga acima ,engastada na extremidade A, também de comprimento igual a l metros e submetida ao carregamento
uniforme de q kg/m ao longo de seu vão.
Usando as equações da Estática determina-se as reações de apoio. Assim, fazendo ΣM A = 0 encontra-se a reação (Momento) no
ql 2
ponto A , cujo valor será igual a no sentido anti-horário. A reação horizontal H A , a exemplo de todos os casos anteriores, não
2
existe, por não existir, conforme já afirmado anteriormente, carregamento que possua componente de força atuando na direção
horizontal. Ao se fazer ΣFV = 0 encontra-se a reação vertical que atua no ponto A da viga engastada, e que possui o valor R A = ql kg,
com direção vertical e sentido de baixo para cima.
− ql 2 qx 2
Em uma seção S qualquer, distante x metros do ponto A, a função do Momento Fletor é dada por M ( x) = + qlx − .
2 2
Vê-se que esta função é do segundo grau e possui um máximo.
Derivando esta função M(x), é encontrada a função que dá o Esforço Cortante ao longo da viga, qual seja Q( x) = ql − qx .
Na elaboração do gráfico do Momento Fletor, foram encontrados os valores mais importantes (no apoio, no meio e no final da
l − ql 2 l − ql 2
viga); para tal calculou-se M(0), M( ),e M(l), encontrando-se, respectivamente, os valores M (0) = , M( )= e M (l ) = 0
2 2 2 8
.
Levando em consideração que o gráfico de M(x) é uma parábola, conforme já visto, pode-se elaborar os diagramas seguinte:

14. 14
DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
Na elaboração do D.E.C, visto abaixo, sabe-se que Q(x) é uma f(x) de primeiro grau, portanto o diagrama em questão será
l
representado por segmentos inclinados em relação ao eixo x. Calculando Q(0), Q( ) e Q(l) encontra-se respectivamente os valores ql,
2
ql
e 0. Convém ressaltar que, para este tipo de viga, ao usarmos semelhança de triângulos, concluí-se que o valor do esforço Cortante
2
no meio da viga será sempre igual à metade do valor do Esforço Cortante máximo(no apoio).
DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE

15. 15
O último caso a ser estudado vem abaixo.
VIGA COM UM ENGASTE E COM CARGA TRIANGULAR
Seja a viga engastada em A e submetida a um carregamento de q kg/m em A, carregamento este que vai diminuindo linearmente
até ser nulo em B.
ql 2 ql
Aplicando as equações ΣM A = 0 e FV = 0 obtem-se os valores de M A = e R A = . Convém notar que o valor de R A é
6 2
numericamente igual à área do triângulo de base l e altura q ou seja, igual ao carregamento total que atua na viga. Carregamento este
l
que poderia ser substituído por uma força concentrada à uma distância de A(Centro de Gravidade do Triângulo).
3
Para facilitar os cálculos, convém fazer a origem do eixo x coincidir com o ponto B.
qx
Portanto em uma determinada seção S distante x metros do apoio A, a altura do triângulo será igual a uma carga q1 = , já que o
l
q l
triângulo maior de altura igual a q e base l é semelhante ao triângulo menor de altura igual a q1 e base x , pois = .
q1 x

16. 16
− qx 3 − qx 2
Sendo assim, em qualquer seção S distante x metros de B tem-se: M ( x) = e Q( x) = , sendo esta última função obtida ao
6l 2l
ser derivada a função M(x).
A função Mx) é do terceiro grau e seu gráfico será uma parábola cúbica. Q(x), por outro lado, é do segundo grau. Derivando Q(x)
− qx
encontra-se que é o valor de q1 a uma distância x do ponto B, como era de se esperar.
l
Tem-se no ponto A, neste caso, os valores máximos para o Momento Fletor e o Esforço Cortante. Estes valores serão,
− ql 2 ql − ql 2
respectivamente, iguais a e conforme já visto. No meio da viga o valor do Momento Fletor será e o valor de Q será
6 2 48
− ql l l
, encontrados ao serem calculados os valores de M ( ) e Q( ) .
8 2 2
DIAGRAMA DO ESFORÇO CORTANTE

17. 17
DIAGRAMA DO MOMENTO FLETOR
CONCLUSÃO
O Autor espera ter contribuído para a difundir o assunto abordado.
Para carregamentos mais complexos, que são uma combinação dos carregamentos vistos neste estudo, pode-se usar o Principio da
Superposição dos Efeitos.
Os desenhos encontrados neste trabalho foram feitos pelo autor, que fez uso dos programas Auto-CAD 2000 e Paint para
confeccioná-los.
BIBLIOGRAFIA
-NASH, William A., Resistência dos Materiais, 2ª. Edição, Coleção Schaum, Editora McGraw- Hill
- Leithold, Louis - “O Cálculo com Geometria Analítica” – Volume 1 – Editora Harbra Ltda – 1994;
-Thomas Jr, George B. – “Cálculo” Volumes I e II – Editora Ao Livro Técnico;