1) O documento apresenta a derivação matemática das leis de Kepler a partir da lei da gravitação universal de Newton. 2) A primeira lei de Kepler, sobre as órbitas elípticas dos planetas, é demonstrada a partir da equação diferencial do movimento de dois corpos e da conservação do momento angular. 3) A segunda lei de Kepler, sobre a área varrida em tempos iguais, é mostrada como consequência direta da conservação do momento angular.
1) O documento discute osciladores amortecidos e forçados, analisando suas energias cinética e potencial médias.
2) Mostra que a dissipação média de potência é igual ao trabalho médio da força amortecedora por unidade de tempo e que, para pequenos amortecimentos, este valor é igual a 2E/τQ, onde E é a energia total, τ o período e Q o fator de qualidade.
3) Define o fator Q como a razão entre a reatância e a resistência do oscilador e mostra que, para
O documento apresenta sete questões de física resolvidas, com cálculos envolvendo conceitos como centro de massa, momento linear e conservação do movimento. As questões tratam de tópicos como molécula de amônia, arco de circunferência, quadrante de círculo e movimento de partículas e sistemas mecânicos.
1) O documento descreve os regimes laminar e turbulento de escoamento de fluidos.
2) O número de Reynolds (R) é um parâmetro que depende da velocidade, densidade, viscosidade do fluido e dimensão característica do meio, e determina o regime de escoamento.
3) A força de arrasto em uma esfera em movimento em um fluido é dada por uma expressão que depende do diâmetro da esfera e da velocidade e viscosidade do fluido.
1) O documento descreve os regimes laminar e turbulento de escoamento de fluidos.
2) O número de Reynolds (R) é um parâmetro que depende da velocidade, densidade, viscosidade do fluido e dimensão característica do meio, e determina o regime de escoamento.
3) A força de arrasto em uma esfera em movimento em um fluido é dada por uma expressão que depende do diâmetro da esfera e da velocidade e viscosidade do fluido.
1. O documento discute integrais de linha, que podem ser usadas para calcular trabalho realizado por forças variáveis ou calor em transformações termodinâmicas.
2. São introduzidos os conceitos de integrais de linha de funções de duas variáveis e campos vetoriais no plano, que podem ser transformadas em integrais simples.
3. Exemplos mostram como calcular integrais de linha para curvas no plano e no espaço, tanto em forma cartesiana quanto paramétrica.
Este capítulo discute a dinâmica relativística de partículas clássicas utilizando o formalismo tensorial de Minkowski. A segunda lei de Newton é generalizada para o formalismo relativístico através da equação do quadri-momento, que se reduz à segunda lei de Newton em baixas velocidades. A massa é mostrada como equivalente à energia através da fórmula E=mc2. Transformações de Lorentz são aplicadas às grandezas quadri-vetoriais como momento e força.
Equacionamento das ondas planas - Eletromag.william chagas
1) O documento discute a teoria da propagação de ondas eletromagnéticas planas, apresentando as equações de Maxwell que descrevem esses campos elétrico e magnético.
2) É explicado que as ondas eletromagnéticas são soluções das equações de ondas de Helmholtz no vácuo e que a constante de propagação depende das propriedades do meio.
3) O teorema de Poynting sobre o fluxo de potência associado às ondas eletromagnéticas é apresentado, relacionando os
O documento discute transporte adiabático de um pêndulo em uma esfera e conceitos relacionados como evolução adiabática, fase geométrica, conexão de Berry, curvatura de Berry e número de Chern. Apresenta exemplos como o caso de um diabolo e sistemas periódicos descritos por uma zona de Brillouin em forma de toro.
1) O documento discute osciladores amortecidos e forçados, analisando suas energias cinética e potencial médias.
2) Mostra que a dissipação média de potência é igual ao trabalho médio da força amortecedora por unidade de tempo e que, para pequenos amortecimentos, este valor é igual a 2E/τQ, onde E é a energia total, τ o período e Q o fator de qualidade.
3) Define o fator Q como a razão entre a reatância e a resistência do oscilador e mostra que, para
O documento apresenta sete questões de física resolvidas, com cálculos envolvendo conceitos como centro de massa, momento linear e conservação do movimento. As questões tratam de tópicos como molécula de amônia, arco de circunferência, quadrante de círculo e movimento de partículas e sistemas mecânicos.
1) O documento descreve os regimes laminar e turbulento de escoamento de fluidos.
2) O número de Reynolds (R) é um parâmetro que depende da velocidade, densidade, viscosidade do fluido e dimensão característica do meio, e determina o regime de escoamento.
3) A força de arrasto em uma esfera em movimento em um fluido é dada por uma expressão que depende do diâmetro da esfera e da velocidade e viscosidade do fluido.
1) O documento descreve os regimes laminar e turbulento de escoamento de fluidos.
2) O número de Reynolds (R) é um parâmetro que depende da velocidade, densidade, viscosidade do fluido e dimensão característica do meio, e determina o regime de escoamento.
3) A força de arrasto em uma esfera em movimento em um fluido é dada por uma expressão que depende do diâmetro da esfera e da velocidade e viscosidade do fluido.
1. O documento discute integrais de linha, que podem ser usadas para calcular trabalho realizado por forças variáveis ou calor em transformações termodinâmicas.
2. São introduzidos os conceitos de integrais de linha de funções de duas variáveis e campos vetoriais no plano, que podem ser transformadas em integrais simples.
3. Exemplos mostram como calcular integrais de linha para curvas no plano e no espaço, tanto em forma cartesiana quanto paramétrica.
Este capítulo discute a dinâmica relativística de partículas clássicas utilizando o formalismo tensorial de Minkowski. A segunda lei de Newton é generalizada para o formalismo relativístico através da equação do quadri-momento, que se reduz à segunda lei de Newton em baixas velocidades. A massa é mostrada como equivalente à energia através da fórmula E=mc2. Transformações de Lorentz são aplicadas às grandezas quadri-vetoriais como momento e força.
Equacionamento das ondas planas - Eletromag.william chagas
1) O documento discute a teoria da propagação de ondas eletromagnéticas planas, apresentando as equações de Maxwell que descrevem esses campos elétrico e magnético.
2) É explicado que as ondas eletromagnéticas são soluções das equações de ondas de Helmholtz no vácuo e que a constante de propagação depende das propriedades do meio.
3) O teorema de Poynting sobre o fluxo de potência associado às ondas eletromagnéticas é apresentado, relacionando os
O documento discute transporte adiabático de um pêndulo em uma esfera e conceitos relacionados como evolução adiabática, fase geométrica, conexão de Berry, curvatura de Berry e número de Chern. Apresenta exemplos como o caso de um diabolo e sistemas periódicos descritos por uma zona de Brillouin em forma de toro.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
Método da ação efetiva em Teoria Quântica de CamposLeandro Seixas
Este documento discute o método da ação efetiva na teoria quântica de campos. Introduz o conceito de ação efetiva e potencial efetivo, e mostra como expandir a ação em loop para obter a ação efetiva. Também discute problemas como a divergência quadrática que surgem nesta abordagem.
Questoes Resolvidas Exame Unificado de Fisica 2015-2.pdf17535069649
1) O documento apresenta 10 questões sobre física que abordam tópicos como eletromagnetismo, mecânica quântica, termodinâmica estatística.
2) As questões incluem cálculos de campo magnético, força eletromotriz induzida, propagação de ondas em meios condutores, momentos e energias de sistemas de partículas, oscilações mecânicas, potenciais centrais, confinamento quântico e distribuições de probabilidade.
3) São solicit
O documento apresenta cálculos envolvendo colisões entre corpos e ondas mecânicas. São determinadas velocidades finais em colisões perfeitamente inelásticas e elásticas entre corpos, considerando conservação de quantidade de movimento e energia. Também são calculadas propriedades de ondas mecânicas como comprimento de onda e deslocamento em função do tempo.
Gabarito cap. 8, 9 e 10 fundamentos de fisíca hallidayFernando Barbosa
O documento é uma lista de exercícios resolvidos de dinâmica clássica preparada por um professor de física teórica. A lista contém exercícios sobre conservação de energia, sistemas de partículas, colisões e outros tópicos, com respostas detalhadas.
O documento discute arcos e ângulos de circunferência. Explica que um arco de circunferência é uma parte da circunferência entre duas pontas e que pode ser medido em graus ou radianos. Também define ângulos centrais e como medir seus tamanhos em radianos.
Este documento lista 75 problemas resolvidos de física sobre oscilações harmônicas simples, extraídos do livro Física de Resnick, Halliday e Krane. As soluções incluem cálculos de período, frequência, velocidade e aceleração para osciladores harmônicos. Alguns problemas abordam sistemas com duas molas acopladas.
1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial.
2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas.
3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.
1. O documento discute um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. Uma barra suspensa por uma corda sustenta um peso no ponto indicado. A razão entre a tens
1. O documento descreve um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. É mostrada uma barra suspensa por uma corda, sustentando um peso no ponto indicado. A raz
O documento descreve um experimento fundamental para o desenvolvimento do eletromagnetismo realizado por Hans Christian Oersted em 1820, no qual observou-se que uma corrente elétrica faz desviar a agulha de uma bússola próxima. A figura representa dois fios condutores paralelos percorridos por uma corrente e uma bússola colocada entre eles. A alternativa que apresenta a orientação correta da agulha da bússola de acordo com a regra da mão direita é a alternativa C.
Leis fundamentais da dinâmica dos fluidosSérgio Rocha
Este documento discute as leis fundamentais da dinâmica dos fluidos, incluindo: (1) a equação da continuidade, que estabelece que a massa de fluido é conservada; (2) a conservação da quantidade de movimento; e (3) a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, velocidade e altura de um fluido em movimento.
1. A densidade de corrente de probabilidade j(r,t) é definida de modo que a derivada temporal da probabilidade de encontrar a partícula em uma região v é igual ao fluxo de probabilidade que entra em v através de sua fronteira s.
2. O valor médio do momento de uma partícula muda de acordo com a força clássica no estado quântico, e a força clássica no valor médio da posição é igual à força no estado quântico quando a força é constante ou elástica.
3. São apresent
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre sistemas de partículas e centro de massa, incluindo:
1) Definições de centro de massa para sistemas de partículas de 1, 2 e 3 dimensões;
2) Equações que relacionam a posição, velocidade e aceleração do centro de massa com as propriedades das partículas que compõem o sistema;
3) Princípio da conservação do momento linear para sistemas isolados.
Este documento apresenta resoluções de exercícios de física relacionados a cinemática, leis de Newton e atrito. Os exercícios envolvem cálculos de tempo, velocidade, aceleração e força para sistemas em movimento retilíneo uniforme e circular uniforme. As respostas incluem valores numéricos e expressões algébricas.
O documento apresenta um problema de física envolvendo três partículas de diferentes massas em um plano horizontal. Pede-se calcular as coordenadas x e y de uma terceira partícula para que o centro de massa do sistema fique em determinadas coordenadas.
1. O documento apresenta vários problemas de física relacionados a movimento rotacional, como a velocidade angular de ponteiros de relógio, a queda de uma torrada com rotação e o movimento de uma roda.
2. São calculadas grandezas como velocidade angular, aceleração angular, número de revoluções e tempo para diferentes situações envolvendo objetos em movimento rotacional.
3. As respostas fornecem os cálculos detalhados para chegar aos valores dessas grandezas físicas requisitadas nos problemas.
Este documento apresenta um problema clássico da cinemática sobre objetos se movendo conjuntamente em um hexágono regular. É calculado que os objetos se encontrarão após 10 segundos, tendo cada um percorrido uma distância de 20 metros.
Este documento apresenta 90 problemas resolvidos de física sobre fluidos estáticos e dinâmica, extraídos de livros didáticos populares. As seções incluem questões sobre pressão hidrostática, princípio de Pascal, lei de Torricelli, tubos em U e oscilações de nível em tubos. Resoluções detalhadas são fornecidas para cada problema com diagramas ilustrativos quando aplicável.
O documento apresenta o plano de ensino da disciplina de Filosofia do Direito no curso de Direito. O plano descreve os objetivos gerais e específicos, conteúdo programático, metodologias, avaliação e bibliografia da disciplina ao longo de 20 aulas ao longo de um semestre letivo. Os temas incluem filosofia e direito, teorias jurídicas, ética, problemas contemporâneos e a situação do feto anencéfalo no Brasil.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
Método da ação efetiva em Teoria Quântica de CamposLeandro Seixas
Este documento discute o método da ação efetiva na teoria quântica de campos. Introduz o conceito de ação efetiva e potencial efetivo, e mostra como expandir a ação em loop para obter a ação efetiva. Também discute problemas como a divergência quadrática que surgem nesta abordagem.
Questoes Resolvidas Exame Unificado de Fisica 2015-2.pdf17535069649
1) O documento apresenta 10 questões sobre física que abordam tópicos como eletromagnetismo, mecânica quântica, termodinâmica estatística.
2) As questões incluem cálculos de campo magnético, força eletromotriz induzida, propagação de ondas em meios condutores, momentos e energias de sistemas de partículas, oscilações mecânicas, potenciais centrais, confinamento quântico e distribuições de probabilidade.
3) São solicit
O documento apresenta cálculos envolvendo colisões entre corpos e ondas mecânicas. São determinadas velocidades finais em colisões perfeitamente inelásticas e elásticas entre corpos, considerando conservação de quantidade de movimento e energia. Também são calculadas propriedades de ondas mecânicas como comprimento de onda e deslocamento em função do tempo.
Gabarito cap. 8, 9 e 10 fundamentos de fisíca hallidayFernando Barbosa
O documento é uma lista de exercícios resolvidos de dinâmica clássica preparada por um professor de física teórica. A lista contém exercícios sobre conservação de energia, sistemas de partículas, colisões e outros tópicos, com respostas detalhadas.
O documento discute arcos e ângulos de circunferência. Explica que um arco de circunferência é uma parte da circunferência entre duas pontas e que pode ser medido em graus ou radianos. Também define ângulos centrais e como medir seus tamanhos em radianos.
Este documento lista 75 problemas resolvidos de física sobre oscilações harmônicas simples, extraídos do livro Física de Resnick, Halliday e Krane. As soluções incluem cálculos de período, frequência, velocidade e aceleração para osciladores harmônicos. Alguns problemas abordam sistemas com duas molas acopladas.
1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial.
2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas.
3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.
1. O documento discute um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. Uma barra suspensa por uma corda sustenta um peso no ponto indicado. A razão entre a tens
1. O documento descreve um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. É mostrada uma barra suspensa por uma corda, sustentando um peso no ponto indicado. A raz
O documento descreve um experimento fundamental para o desenvolvimento do eletromagnetismo realizado por Hans Christian Oersted em 1820, no qual observou-se que uma corrente elétrica faz desviar a agulha de uma bússola próxima. A figura representa dois fios condutores paralelos percorridos por uma corrente e uma bússola colocada entre eles. A alternativa que apresenta a orientação correta da agulha da bússola de acordo com a regra da mão direita é a alternativa C.
Leis fundamentais da dinâmica dos fluidosSérgio Rocha
Este documento discute as leis fundamentais da dinâmica dos fluidos, incluindo: (1) a equação da continuidade, que estabelece que a massa de fluido é conservada; (2) a conservação da quantidade de movimento; e (3) a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, velocidade e altura de um fluido em movimento.
1. A densidade de corrente de probabilidade j(r,t) é definida de modo que a derivada temporal da probabilidade de encontrar a partícula em uma região v é igual ao fluxo de probabilidade que entra em v através de sua fronteira s.
2. O valor médio do momento de uma partícula muda de acordo com a força clássica no estado quântico, e a força clássica no valor médio da posição é igual à força no estado quântico quando a força é constante ou elástica.
3. São apresent
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre sistemas de partículas e centro de massa, incluindo:
1) Definições de centro de massa para sistemas de partículas de 1, 2 e 3 dimensões;
2) Equações que relacionam a posição, velocidade e aceleração do centro de massa com as propriedades das partículas que compõem o sistema;
3) Princípio da conservação do momento linear para sistemas isolados.
Este documento apresenta resoluções de exercícios de física relacionados a cinemática, leis de Newton e atrito. Os exercícios envolvem cálculos de tempo, velocidade, aceleração e força para sistemas em movimento retilíneo uniforme e circular uniforme. As respostas incluem valores numéricos e expressões algébricas.
O documento apresenta um problema de física envolvendo três partículas de diferentes massas em um plano horizontal. Pede-se calcular as coordenadas x e y de uma terceira partícula para que o centro de massa do sistema fique em determinadas coordenadas.
1. O documento apresenta vários problemas de física relacionados a movimento rotacional, como a velocidade angular de ponteiros de relógio, a queda de uma torrada com rotação e o movimento de uma roda.
2. São calculadas grandezas como velocidade angular, aceleração angular, número de revoluções e tempo para diferentes situações envolvendo objetos em movimento rotacional.
3. As respostas fornecem os cálculos detalhados para chegar aos valores dessas grandezas físicas requisitadas nos problemas.
Este documento apresenta um problema clássico da cinemática sobre objetos se movendo conjuntamente em um hexágono regular. É calculado que os objetos se encontrarão após 10 segundos, tendo cada um percorrido uma distância de 20 metros.
Este documento apresenta 90 problemas resolvidos de física sobre fluidos estáticos e dinâmica, extraídos de livros didáticos populares. As seções incluem questões sobre pressão hidrostática, princípio de Pascal, lei de Torricelli, tubos em U e oscilações de nível em tubos. Resoluções detalhadas são fornecidas para cada problema com diagramas ilustrativos quando aplicável.
O documento apresenta o plano de ensino da disciplina de Filosofia do Direito no curso de Direito. O plano descreve os objetivos gerais e específicos, conteúdo programático, metodologias, avaliação e bibliografia da disciplina ao longo de 20 aulas ao longo de um semestre letivo. Os temas incluem filosofia e direito, teorias jurídicas, ética, problemas contemporâneos e a situação do feto anencéfalo no Brasil.
1) O documento discute as horas in itinere, ou seja, o tempo gasto pelo trabalhador para se deslocar entre sua casa e o local de trabalho quando este fica em local de difícil acesso e a empresa fornece o transporte. Estas horas devem ser consideradas como jornada de trabalho e remuneradas.
2) Também aborda a jornada extraordinária e quando esta deve ser paga com adicional de 50%, ou seja, quando as horas trabalhadas e de deslocamento somadas ultrapassarem 8 horas por dia.
3) Por fim, apresenta a evolução
1) A Teoria das Múltiplas Inteligências de Howard Gardner propõe que existem várias formas de inteligência ao invés de uma inteligência geral. 2) Gardner define sete inteligências principais: linguística, lógico-matemática, musical, espacial, corporal-cinestésica, interpessoal e intrapessoal. 3) O documento descreve em mais detalhes as inteligências linguística, interpessoal e intrapessoal.
O documento discute a estrutura profunda dos textos, definida como uma oposição fundamental, como natureza versus cultura. Analisa como os significados de um texto imaginado se encadeiam de acordo com essa estrutura, afirmando um termo, negando-o e afirmando o oposto. Também aborda a valorização positiva ou negativa de cada pólo da oposição no texto.
La biorremediación utiliza organismos vivos para restaurar ambientes contaminados degradando o transformando los contaminantes. Los microorganismos como bacterias son útiles para degradar una amplia gama de compuestos orgánicos e incluso reducir la toxicidad de metales pesados. El estudio de estos procesos proporciona conocimientos sobre la evolución de los ecosistemas y también tiene aplicaciones biotecnológicas como la biorremediación, biominería y detección de sustancias.
El fútbol se juega principalmente con los pies, solo el portero puede usar las manos dentro del área. Tiene sus orígenes en las Islas Británicas en la Edad Media y se formalizó con la creación de la Asociación de Fútbol en 1863 en Londres. Desde entonces, el fútbol se ha convertido en el deporte más popular del mundo con 270 millones de personas involucradas y se ha expandido a todos los rincones del planeta.
1. O documento discute a fisiologia do crescimento e desenvolvimento da cana-de-açúcar, incluindo fatores que influenciam a taxa de crescimento e acúmulo de biomassa.
2. É descrito que a cana-de-açúcar apresenta um crescimento em forma de curva sigmóide, com três fases distintas: lento inicial, rápido subsequente e lento final. A maior parte da biomassa é acumulada na fase de crescimento rápido.
3. Fatores como cultivares, luminos
Este documento apresenta um resumo do livro "Adolescência e Psicologia: concepções, práticas e reflexões críticas", produzido pelo Conselho Federal de Psicologia em parceria com o Ministério da Saúde. O livro busca discutir a atuação do psicólogo junto aos adolescentes brasileiros de forma crítica e contextualizada. Aborda temas como saúde, adolescência, Estatuto da Criança e do Adolescente e as relações entre psicologia e contexto social.
El Salvador está dividido em 14 departamentos, com San Salvador como capital. Sua economia é fraca e afetada por baixa arrecadação de impostos, fechamento de fábricas e desastres naturais. A população é de aproximadamente 7 milhões e usa o dólar e o colón como moedas.
A equipe instalou o processador, dissipador térmico e ventoinha na placa-mãe e conectou os cabos de áudio e botões antes de fixar a placa-mãe na torre.
O documento descreve a história da produção de cana-de-açúcar no Brasil desde o século XVI e a fundação da Fazenda Santa Lina em 1916 por José Giorgi para o cultivo de cana e produção de açúcar, álcool e energia elétrica. A fazenda teve diversas expansões nas décadas seguintes e hoje é referência na produção sustentável de bioenergia e subprodutos da cana.
La leishmaniasis es una enfermedad parasitaria transmitida por la picadura de un mosquito infectado. Existen varias formas, incluyendo la cutánea que causa llagas en la piel, y la visceral que afecta órganos internos y causa fiebre, pérdida de peso y agrandamiento del bazo y el hígado. La enfermedad se diagnostica mediante exámenes como biopsias y se trata principalmente con medicamentos a base de antimonio.
Dois indivíduos casados trocam mensagens românticas e planejam um encontro às 6 da tarde para traírem seus cônjuges. No entanto, descobrem que possuem filhos com os mesmos nomes e sobrenomes, indicando que possam ser vizinhos, o que faz com que desistam de se encontrarem.
O documento lista 3 projetos e um link sobre qualificação profissional. O Projeto Criar e o Projeto CETECC fornecem informações sobre iniciativas de capacitação. O último link discute os esforços do governo para qualificar e inserir pessoas carentes no mercado de trabalho.
El documento trata sobre el tema de derechos de autor. Explica que los derechos de autor tienen una doble naturaleza, moral y patrimonial. Los derechos morales incluyen el derecho a la paternidad, integridad y otros. Los derechos patrimoniales incluyen el derecho a la reproducción, distribución y otros. También discute las limitaciones y excepciones a los derechos de autor, como la defensa de derechos fundamentales y el interés público.
Este documento descreve a história e evolução da cana-de-açúcar na região da Alta Sorocabana no Brasil entre 1916-1925. Ele detalha a chegada da cana-de-açúcar na fazenda Santa Lina e a criação de um engenho para fabricar pinga e rapadura, que eram transportados por trem para a capital devido à falta de açúcar causada por guerras na Europa.
O documento descreve um oscilador harmônico quântico simples, com três objetivos principais: 1) obter a solução da equação de Schrödinger para este sistema; 2) compará-la com a solução clássica correspondente; 3) aplicar o formalismo quântico ao potencial harmônico V(x)=1/2kx2.
Questoes Resolvidas Exame Unificado de Fisica 2016-1.pdf17535069649
1) Não podemos prever tudo e temos que ser criativos diante do inesperado.
2) Marcos Pacheco fornece respostas para questões de física sobre campos elétricos, magnéticos, mecânica quântica e termodinâmica.
3) As questões abordam tópicos como decaimento de partículas, osciladores harmônicos quânticos, spins, máquinas de Carnot e movimento orbital.
O documento explica como a segunda lei de Kepler é uma consequência do torque e da conservação do momento angular. Ele mostra que o torque sobre um planeta em órbita ao redor do Sol é zero, portanto o momento angular é conservado. Isso significa que a área varrida pelo planeta em intervalos de tempo iguais deve ser a mesma, o que corresponde à segunda lei de Kepler.
Trabalho escrito física leis de Kepler By: HenriqueHenrique Silva
Este documento apresenta a dedução matemática das três leis de Kepler a partir das leis de Newton utilizando métodos vetoriais. A primeira seção introduz o tema e as leis de Kepler. A segunda seção demonstra cada uma das leis de Kepler, mostrando que a órbita é plana, que segue uma elipse com o Sol em um foco, que a área varrida é proporcional ao tempo e que o quadrado do período é proporcional ao cubo do semieixo maior. A terceira seção conclui e a quarta lista refer
O documento descreve o cálculo do volume total de uma figura geométrica composta por um cilindro, um tronco de cone e um segmento esférico. Fornece as fórmulas para calcular o volume de cada parte e realiza os cálculos com base nas medidas dadas, obtendo um volume total de 2024,80 ml.
Este documento discute o cálculo da região de segurança em lançamentos de projéteis, considerando a resistência do ar e ventos. A região de segurança é obtida calculando a envoltória de uma família de trajetórias, indexada pelo ângulo de lançamento. Isso requer o uso de geometria e equações diferenciais, promovendo a interdisciplinaridade entre física e matemática. Além disso, devido à resistência do ar, surgem desafios que podem ser resolvidos com recursos computacionais.
Este documento discute o cálculo da região de segurança em lançamentos de projéteis, considerando a resistência do ar e ventos. A região de segurança é obtida calculando a envoltória de uma família de trajetórias, indexada pelo ângulo de lançamento. Isso requer o uso de geometria e equações diferenciais, promovendo a interdisciplinaridade entre física e matemática.
1) O documento deriva a expressão do laplaciano em coordenadas esféricas, resultando na equação (10).
2) A equação é simplificada para problemas com simetria axial, resultando na equação (11).
3) O documento usa este resultado para resolver o problema do potencial elétrico entre dois hemisférios carregados.
O documento discute taxas relacionadas e diferenciais no cálculo. Aborda como derivar taxas de variação de variáveis relacionadas por equações e como usar aproximações diferenciais para estimar variações de funções. Fornece exemplos ilustrativos sobre taxas relacionadas em problemas físicos e uso de diferenciais.
1) O documento discute conceitos básicos de cálculo vetorial, incluindo definições de vetores, operações com vetores e decomposição de vetores.
2) É apresentada a notação vetorial e explica-se que ela permite expressar leis físicas de forma independente do sistema de coordenadas escolhido.
3) Exemplos de grandezas físicas escalares e vetoriais são listados e várias operações com vetores, como adição, subtração e produto escalar e vetorial são explicadas.
1) O documento discute conceitos básicos de cálculo vetorial, incluindo definições de vetores, operações com vetores e decomposição de vetores.
2) É apresentada a notação vetorial e explica-se que ela permite expressar leis físicas de forma independente do sistema de coordenadas escolhido.
3) Exemplos demonstram como realizar operações com vetores, como adição, subtração e produto escalar e vetorial.
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
1) O documento apresenta 6 questões de matemática sobre sequências numéricas, expressões algébricas, logaritmos e raízes complexas.
2) A segunda parte contém 6 questões de física sobre colisões, movimento harmônico simples, termodinâmica de gases ideais e óptica.
3) Os documentos fornecem problemas e exercícios típicos de vestibulares de engenharia com foco em matemática e física.
O documento descreve fórmulas para calcular distâncias e ângulos entre objetos vetoriais como pontos, retas e planos no espaço tridimensional. Inclui definições de distância mínima entre objetos e ângulo mínimo formado. Fornece exemplos numéricos ilustrando o cálculo de distâncias entre pontos, retas e planos.
O documento apresenta fórmulas e conceitos para calcular distâncias e ângulos entre objetos vetoriais como pontos, retas e planos no espaço tridimensional. Inclui definições de distância entre dois pontos, um ponto e uma reta, um ponto e um plano, entre duas retas, dois planos e uma reta e um plano. Também apresenta fórmulas para calcular ângulos entre vetores, retas, planos e entre uma reta e um plano. Exemplos ilustram o cálculo destas grandezas.
Trabalho de geometria analítica - SUPERIORPamella Rayely
Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre circunferências em geometria analítica, incluindo definições, equações e determinações. É descrita a equação geral e reduzida da circunferência, bem como exemplos de resolução de sistemas de equações e inequações envolvendo circunferências. Posições relativas entre circunferências e retas também são explicadas.
Questoes resolvidas exame unificado de fisica 2015 117535069649
As viagens espaciais trouxeram inúmeras inovações tecnológicas que beneficiaram a humanidade, como GPS, notebooks, joysticks, ressonância magnética, tecnologia laser, energia solar, detectores de fumaça, satélites de comunicação e muitos outros.
Mini-Curso: Campos de gauge clássicos: Maxwell e Chern-SimonsMaria Teresa Thomaz
A partir do princípio de mínima ação reobtemos as equações de movimento clássicas reescritas através das
equações de Lagrange. Mostramos como estender esse princípio para obter as equações de movimento dos campos clássicos e o
aplicamos ao caso dos campos eletromagnéticos de Maxwell. Como apoio ao formalismo que iremos desenvolver, estudaremos a noção de tensores que utilizaremos para descrever
as leis de transformação da Relatividade Restrita e escrever as equações de Maxwell de uma forma mais simples (forma covariante).
Finalmente discutiremos os campos elétrico e magnético em termos dos campos escalar e vetor e mostrar como a invariância de calibre
é implementada nestes campos.
1. O documento apresenta 10 questões sobre física que abordam tópicos como campo elétrico de uma esfera carregada, campo eletromagnético em um capacitor de placas paralelas, mecânica quântica em poços de potencial e decaimento de múons.
2. As questões envolvem cálculos de campo elétrico, força, energia, probabilidade, momento angular, equações de Lagrange e Hamilton, e processos termodinâmicos em uma cavidade ressonante.
3. São abordados conce
A combinação que resulta em uma grandeza adimensional é A/B. A velocidade da bicicleta será máxima quando a coroa for a maior (R2) e a catraca for a menor (R3). O tempo necessário para o feixe de luz "varrer" a praia em cada volta é arctg (L/R) T/π.
Semelhante a Astronomia e astrof´+¢sica parte 001 (20)
1) O documento apresenta 20 questões sobre física aplicada a esportes para alunos do 8o e 9o ano do ensino fundamental. 2) As questões abordam tópicos como cinemática, dinâmica, energia e calor em situações relacionadas a esportes como ciclismo, atletismo, natação e futebol. 3) As questões devem ser respondidas marcando a alternativa correta na folha de respostas.
1) O documento apresenta a resolução de um problema físico sobre conservação de energia mecânica envolvendo uma esfera rolando sem deslizar em um plano inclinado.
2) É analisado o equilíbrio de um disco sobre um plano inclinado, considerando o torque e a força resultante.
3) São resolvidos cálculos envolvendo a variação de pressão e temperatura de um gás confinado em um recipiente à medida que um líquido é despejado nele.
1) O documento apresenta resoluções de problemas de física relacionados a cinemática, dinâmica, termodinâmica e hidrostática.
2) As resoluções incluem análises de movimento retilíneo uniformemente variado, conservação da energia mecânica, dilatação térmica e empuxo em fluidos.
3) São mostrados cálculos para determinar aceleração, velocidade, variação de volume, forças envolvidas no movimento de um homem puxando uma prancha com cabos
O documento apresenta resoluções de diversos problemas de física. A primeira resolução trata da velocidade máxima de um elevador para percorrer 30m no menor tempo possível. A segunda resolução analisa a colisão elástica entre duas esferas. A terceira resolução calcula a frequência de rotação de polias acopladas com raios e velocidades diferentes.
O documento discute a importância do uso do cinto de segurança em veículos e apresenta dois problemas relacionados a acidentes de trânsito. O primeiro calcula a força exercida pelo cinto de segurança em um passageiro durante uma colisão. O segundo calcula a altura de queda equivalente ao impacto sofrido pelo passageiro sem cinto.
O documento descreve um experimento com um carro sendo rebocado por um guincho. O cabo de aço rompe após 25 segundos, fazendo o carro descer a rampa. É fornecida a velocidade do carro antes do rompimento, a aceleração após e a distância percorrida até o momento do rompimento.
O documento discute diversos tópicos relacionados a física, como a última missão do ônibus espacial Atlantis em 2011, propriedades da Estação Espacial Internacional, cálculos de velocidade e energia cinética, colisões entre veículos, aceleração lateral de carros, dilatação térmica de óleo, potência dissipada por atrito, empuxo em balões, transferência de calor em fumaça de cigarro, fluxo de íons em membranas celulares e geração de potenciais elétricos
Este documento aborda conceitos de física aplicados a situações cotidianas e eventos históricos. Ele contém 6 questões que tratam de tópicos como velocidade do ponteiro de relógio, impedimento no futebol, força de Casimir, missão Apollo 11 à Lua, propriedades da atmosfera terrestre e obra do músico Raul Seixas. As questões são resolvidas usando conceitos como módulo de velocidade, aceleração, energia cinética, pressão atmosférica, comportamento dos gases
Este documento apresenta questões sobre física relacionadas a fenômenos físicos e grandes avanços científicos e tecnológicos da humanidade. As questões abordam tópicos como transporte, energia cinética, números de Reynolds, atrito, piezoeletricidade, oscilações mecânicas e máquinas a vapor.
Em 3 frases ou menos:
O documento apresenta 6 questões sobre física que envolvem cálculos de velocidade, força, energia e massa em situações como queda livre, colisões de bolas, irrigador rotativo e atração gravitacional de galáxias. As questões são resolvidas detalhadamente mostrando os cálculos e raciocínios para chegar aos resultados finais.
1) O documento discute sistemas de abertura automática de cancelas em pedágios de rodovias e apresenta quatro questões sobre o funcionamento desses sistemas.
2) A segunda questão trata de um sensor de aceleração composto por uma massa presa a uma mola elástica e apresenta três questões sobre as propriedades desse sensor.
3) A terceira questão descreve a técnica de um esquilo para coletar nozes em movimento e apresenta dois cálculos envolvendo a variação da energia cinética do sistema
1) Um corredor percorre os primeiros 20 metros de uma prova de 100 metros em 4 segundos com aceleração constante de 2,5 m/s2, atingindo uma velocidade de 10 m/s.
2) Ele mantém essa velocidade constante nos 80 metros restantes, completando a prova em 12 segundos.
3) O documento fornece a resolução completa de um problema de física envolvendo movimento uniformemente variado e movimento uniforme.
O documento apresenta 7 questões sobre física e matemática, resolvidas passo a passo. A questão 1 analisa a trajetória do centro de gravidade de uma ginasta durante um salto. A questão 2 calcula a velocidade de uma nave espacial após resgatar um personagem em queda livre. A questão 3 determina a força necessária para cortar um arame de aço usando alicates.
O documento apresenta resoluções de problemas de física envolvendo conceitos como movimento uniforme, queda livre, colisões e energia. As questões tratam de temas como a velocidade de rotação de uma roda de carro filmada, o salto de uma cigarrinha, a trajetória de uma bola de tênis e a colisão entre um caminhão e um carro.
A usina de energia das ondas do mar funciona comprimindo ar dentro de uma caixa à medida que o nível da água sobe e desce. Inicialmente a pressão do ar é de 105 Pa e volume é de 5000 m3. Quando o nível da água sobe 2m, a pressão final do ar é de 125000 Pa. O trabalho realizado pelas ondas no ar é de aproximadamente 1,1 x 107 J.
O documento descreve um experimento sobre a desintegração beta do trítio, no qual: (1) o trítio se transforma em hélio mais um elétron e um anti-neutrino, (2) o módulo da quantidade de movimento do anti-neutrino é calculado, e (3) a velocidade resultante do núcleo de hélio é determinada.
O documento apresenta um problema de física sobre uma plataforma que despenca de uma altura de 75 m em queda livre e depois é freada por uma força constante até parar no solo. São solicitadas as seguintes informações: a aceleração durante a queda livre, a velocidade quando o freio é acionado e a aceleração necessária para imobilizar a plataforma.
O documento descreve um satélite de telecomunicações que utiliza painéis solares para gerar energia elétrica. A luz solar incide sobre os painéis com uma intensidade de 1300 W/m2 e é convertida em energia elétrica com 12% de eficiência. O documento calcula a energia gerada em 5 horas e a carga das baterias do satélite após esse período, usando um gráfico da corrente de carga em função do tempo.
O documento discute a expansão do universo, a constante de Hubble e o deslocamento Doppler. Em resumo:
1) A velocidade de afastamento de galáxias é diretamente proporcional à distância, dada pela constante de Hubble.
2) Essa velocidade pode ser obtida pelo deslocamento Doppler da luz emitida pela galáxia.
3) Foi calculada a distância de uma galáxia usando essas duas expressões para a velocidade de afastamento.
Este documento lista constantes fundamentais da física e astronomia, incluindo a constante de gravitação universal, massas e raios de corpos celestes como a Terra, Sol e Lua, além de propriedades atômicas e fotônicas como as massas de prótons, elétrons e nêutrons, a constante de Planck e a velocidade da luz.
1. Cap´ıtulo 12
Leis de Kepler generalizadas
A lei da gravita¸c˜ao universal, que relaciona a for¸ca entre duas massas M e
m, separadas por r, derivada por Newton ´e dada por:
F = −G
Mm
r2
r
r
y’
x’
z’
z
x
yr
m
m
M
M
rr
95
2. 12.1 Equa¸c˜ao do movimento
Vamos utilizar a nomenclatura:
dr
dt
≡ v ≡ ˙r
d2r
dt2
≡ a ≡ ¨r
Na verdade, qualquer que seja a vari´avel x,
˙x ≡
dx
dt
Da lei da gravita¸c˜ao de Newton se pode derivar as leis de Kepler. Apli-
cando-se a lei da gravita¸c˜ao e a segunda lei do movimento (F = m · ¨r),
temos:
m¨rm = −G
Mm
r3
r,
e pela lei da a¸c˜ao e rea¸c˜ao,
M ¨rM = G
Mm
r3
r,
onde
r = rm − rM ,
e rm e rM s˜ao os vetores posi¸c˜ao de m e M com rela¸c˜ao a um sistema inercial.
Essas equa¸c˜oes podem ser escritas como:
¨rm = −
GM
r3
r,
¨rM =
Gm
r3
r.
Subtraindo-se essas duas equa¸c˜oes:
¨r = −
G(M + m)
r3
r.
Definindo-se µ = G(m + M), podemos escrever:
¨r +
µ
r3
r = 0. (1)
96
3. Essa ´e a equa¸c˜ao diferencial vetorial do movimento relativo de dois corpos. A
solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao nos d´a a ´orbita relativa dos corpos (planeta, cometa,
sat´elite, etc). Em princ´ıpio, a solu¸c˜ao descreve como o raio vetor r varia
com o tempo, mas sua solu¸c˜ao n˜ao ´e simples. Como a equa¸c˜ao ´e diferencial
vetorial de segunda ordem, isto ´e, envolve segunda derivada de vetores, pre-
cisamos de seis constantes para obter a solu¸c˜ao. Por exemplo, se soubermos
a posi¸c˜ao tridimensional e a velocidade de um planeta num certo tempo,
poderemos calcular sua posi¸c˜ao e velocidade em qualquer outro tempo.
Nossa solu¸c˜ao envolve demonstrar que a conserva¸c˜ao da energia e do
momentum angular s˜ao conseq¨uˆencias das leis de Newton.
12.2 Conserva¸c˜ao da energia total do sistema
Multiplicando-se a equa¸c˜ao (1) escalarmente por ˙r temos:
˙r · ¨r +
µ
r3
r · ˙r = 0.
Como v = ˙r e ˙v = ¨r, temos:
v · ˙v +
µ
r3
r · ˙r = 0.
Seja α o ˆangulo entre o raio vetor e a velocidade:
r · ˙r = r v cos α
˙r · ¨r = v ˙v cos(−α)
Tendo em vista que cos(−α) = cos α, e ainda que:
d
dt
v2
2
= v ˙v,
e
d
dt
µ
r
= −
µ ˙r
r2
r
r
= −
µ ˙rr
r3
,
ent˜ao:
d
dt
1
2
v2
−
µ
r
= 0,
de onde se conclui, imediatamente, que:
1
2
v2
−
µ
r
= = constante, (2)
1
2
v2
−
G(m + M)
r
= = constante,
que ´e a equa¸c˜ao de energia do sistema ( = energia por unidade de massa).
97
4. 12.3 Conserva¸c˜ao do momentum angular
Multiplicando-se vetorialmente a equa¸c˜ao de movimento (1) por r pela es-
querda, temos:
r × ¨r +
µ
r3
r × r = 0.
Como r × r ≡ 0, temos
r × ¨r = 0.
Mas
d
dt
(r × ˙r) = ˙r × ˙r + r × ¨r.
Como ˙r × ˙r ≡ 0, a equa¸c˜ao acima implica
d
dt
(r × ˙r) = 0,
ou o termo entre parˆenteses deve ser uma constante, que vamos chamar de
momentum angular, h:
(r × ˙r) = h = constante. (3)
Essa ´e a lei da conserva¸c˜ao do momentum angular. h ´e o momentum angular
por unidade de massa. Note que h, o vetor momentum angular, ´e sempre
perpendicular ao movimento, por sua defini¸c˜ao (3).
12.4 Primeira lei de Kepler: Lei das ´orbitas
Multiplicando-se vetorialmente a equa¸c˜ao (1) por h:
¨r × h =
µ
r3
(h × r) (4)
j´a levando-se em conta que: a × b = −b × a. A parte da direita de (4) pode
ser escrita como:
µ
r3
(h × r) =
µ
r3
(r × v) × r.
Como
(a × b) × c = (a · c)b − a(b · c),
ent˜ao:
µ
r3
(r × v) × r =
µ
r3
v r2
−
µ
r3
(r · ˙r)r =
µ
r
v −
µ
r3
(r · ˙r) r.
98
5. Como
µ
d
dt
r
r
=
µ
r
v −
µ
r3
r · ˙r r,
ent˜ao:
µ
r3
h × r = µ
d
dt
r
r
.
O lado esquerdo da equa¸c˜ao (4) pode ser escrito como:
¨r × h =
d
dt
˙r × h ,
j´a que:
d
dt
˙r × h = ¨r × h + ˙r ×
˙
h
e como h ´e constante,
˙
h = 0. A equa¸c˜ao (4) pode, portanto, ser escrita
como:
d
dt
˙r × h = µ
d
dt
r
r
,
ou seja, integrando-se sobre t:
˙r × h =
µ
r
r + β,
onde β ´e um vetor constante. Como h ´e perpendicular ao plano da ´orbita,
˙r × h est´a no plano da ´orbita, junto com r, de modo que β tamb´em. Na
verdade, β est´a na dire¸c˜ao do pericentro, como veremos a seguir.
At´e agora, encontramos dois vetores constantes, h e β, e um escalar
constante, , de modo que j´a temos sete integrais. Entretanto, elas n˜ao s˜ao
todas independentes. Por exemplo, como β est´a no plano da ´orbita, e h em
um plano perpendicular a este, β · h = 0.
Multiplicando-se escalarmente por r, temos:
r · ˙r × h =
µ
r
r · r + β · r.
Como
a × b · c = a · b × c,
r × ˙r · h =
µ
r
r2
+ β r cos γ,
onde γ ´e o ˆangulo entre r e β, e r × ˙r = h, temos:
h2
= µ r + β r cos γ
99
6. ou
h2
= r µ 1 +
β
µ
cos γ
e, finalmente:
r =
h2
µ
1 + β
µ cos γ
que ´e a equa¸c˜ao da trajet´oria. Essa ´e a equa¸c˜ao de uma cˆonica com foco na
origem:
r =
p
1 + e cos θ
onde p ´e chamado de semi-lactus rectum, e ´e a excentricidade e θ ´e o ˆangulo
entre o foco e o vetor posi¸c˜ao r. As cˆonicas foram estudadas pelo matem´atico
grego Apolˆonio de Perga (c. 262 a.C.- c. 190 a.C.) em 200 a.C. Somente
Figura 12.1: Componentes de uma cˆonica.
para β/µ < 1 o movimento ´e finito, e a ´orbita ´e uma elipse. Note que r ´e
m´ınimo quando γ = 0, isto ´e, na dire¸c˜ao de β, provando que β aponta na
dire¸c˜ao do pericentro.
100
7. Lembrando que µ = G(m + M), e comparando com a equa¸c˜ao da elipse
r =
a(1 − e2)
1 + e cos θ
vemos que a equa¸c˜ao da trajet´oria descreve uma elipse com:
h2
µ
≡ p = a(1 − e2
),
e
e =
β
µ
.
p ´e o semi-lactus rectum, e ´e a excentricidade da elipse, e θ = γ ´e o ˆangulo
entre o ponto da elipse mais pr´oximo do foco (pericentro) e o vetor posi¸c˜ao
r. Essa ´e a demonstra¸c˜ao de que a ´orbita ´e el´ıptica, como diz a primeira lei
de Kepler.
Se e = β/µ ≥ 1, o movimento ´e infinito, isto ´e, n˜ao se repete. Se e = 1
o corpo se move em uma par´abola, e se e > 1 em uma hip´erbole, o que n˜ao
´e o caso dos planetas, mas as vezes dos cometas e aster´oides.
Da equa¸c˜ao que introduziu β temos:
β = ˙r × h −
µ
r
r,
β2
= ( ˙r × h) · ( ˙r × h) + µ2 r · r
r2
− 2( ˙r × h) ·
µ
r
r.
Como ˙r ´e perpendicular a h, pela defini¸c˜ao do momentum angular h:
| ˙r × h| = | ˙r||h| → (( ˙r × h) · ( ˙r × h) = v2
h2
,
de modo que:
β2
= v2
h2
+ µ2
− 2
µ
r
[ ˙r × h · r ].
Mas
[ ˙r × h · r ] = −[ h × ˙r · r ] = [ h · ˙r × r ],
e como ˙r × r = h,
β2
= v2
h2
+ µ2
− 2
µ
r
h2
.
Como e = β
µ , β2 = µ2e2, logo:
µ2
e2
− µ2
= v2
h2
− 2
µ
r
h2
= 2h2 v2
2
−
µ
r
= 2h2
,
101
8. ou seja:
µ2
(e2
− 1) = 2h2
→ =
µ2
2h2
(e2
− 1)
Dessa forma, fica provado que a excentricidade depende da energia do sis-
tema.
Resumindo, a lei das ´orbitas el´ıpticas dos planetas ´e uma conseq¨uˆencia
do tipo de for¸ca que atua entre os planetas e o Sol. Newton mostrou que as
´unicas ´orbitas poss´ıveis para um corpo interagindo gravitacionalmente com
outro s˜ao as sec¸c˜oes cˆonicas: c´ırculo, elipse, par´abola ou hip´erbole.
Um c´ırculo pode ser pensado como uma elipse com e = 0 e a = b. Uma
par´abola pode ser pensada como uma elipse com e = 1 e a = ∞. Uma
hip´erbole pode ser pensada como uma elipse com e > 1 e a < 0.
Se o corpo tiver movimento peri´odico, como os planetas, sua trajet´oria
ser´a circular ou el´ıptica; se o movimento n˜ao for peri´odico, como ´e o caso de
alguns cometas e aster´oides, a trajet´oria ser´a parab´olica ou hiperb´olica. O
fator decisivo sobre o tipo de ´orbita ´e a energia do sistema.
12.5 Segunda lei de Kepler: Lei das ´areas
A partir da conserva¸c˜ao do momentum angular (3),
h = r × v,
e escrevendo em coordenadas polares, v = dr/dt = r dΦ/dt ˆeΦ + dr/dtˆer,
onde ˆeΦ ´e o vetor unit´ario na dire¸c˜ao de Φ e ˆer o vetor unit´ario na dire¸c˜ao
de r. Logo
|r × v| = h = r · r
dΦ
dt
· sen(ˆer, ˆeΦ)
Como ˆer e ˆeΦ s˜ao perpendiculares entre si, segue que
h = r2 ˙Φ = constante
Sejam P1 e P2 duas posi¸c˜oes sucessivas do corpo num intervalo δt. O ele-
mento de ´area nesse intervalo de tempo ´e:
δA =
r · rδΦ
2
,
ou
δA
δt
=
r2
2
δΦ
δt
.
102
9. P
P
1
2
r
φ
φ
φ
rd
d
Figura 12.2: Trajet´oria em coordenadas esf´ericas.
Para δt → 0,
dA
dt
=
r2 ˙Φ
2
=
h
2
. (5)
Como a conserva¸c˜ao do momentum angular (3) prova que h ´e uma constante,
dA/dt ´e uma constante, que ´e a lei das ´areas. A lei das ´areas de Kepler
´e, portanto, um conseq¨uˆencia direta da lei de conserva¸c˜ao do momentum
angular.
12.6 Terceira lei de Kepler: Lei harmˆonica
Duas rela¸c˜oes das elipses s˜ao:
A = πab,
onde A ´e a ´area, a o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor, e
b = a 1 − e2
1
2
.
103
10. Da lei das ´areas, (5), temos:
dA =
h
2
dt.
Integrando-se sobre um per´ıodo, P,
πab =
h
2
P. (6)
Substituindo-se b acima, e a defini¸c˜ao do semi-lactus rectum,
b = a 1 − e2
1
2
= (pa)
1
2 =
ah2
µ
1
2
.
Elevando-se (6) ao quadrado:
π2
a2 a
µ
h2
=
h2
4
P2
ou
P2
=
4π2a3
µ
Essa ´e a terceira lei de Kepler, generalizada por Newton,
P2
=
4π2
G(m + M)
a3
(7)
Dessa forma fica demonstrado que as tres leis de Kepler podem ser deduzidas
das leis de Newton.
A “constante” de Kepler depende, portanto, da soma das massas dos
corpos. No caso dos planetas do sistema solar, que orbitam o Sol, essa
soma ´e praticamente igual `a massa do Sol e, portanto, aproximadamente
constante. Na sec¸c˜ao 11.2, vimos como a 3.a lei de Kepler, na forma derivada
por Newton ´e usada para determinar massas de corpos astronˆomicos.
12.7 A equa¸c˜ao da energia
Podemos derivar a equa¸c˜ao da energia calculando-se o valor do momentum
angular e da energia no peri´elio, j´a que s˜ao constantes. No peri´elio:
rp = a(1 − e),
104
11. h = rpvp,
j´a que r e v s˜ao perpendiculares entre si. Para a energia (2), temos:
=
v2
2
−
µ
r
=
h2
2r2
p
−
µ
rp
=
1
rp
h2
2rp
− µ .
Por outro lado, da defini¸c˜ao do semi-lactus rectum, temos
h2
= µ p = µ a(1 − e2
)
Substituindo-se h e rp em , temos:
=
1
a(1 − e)
µ a(1 − e2)
2a(1 − e)
− µ =
µ
a(1 − e)
(1 + e)
2
− 1 ,
pois (1 − e)(1 + e) = 1 − e2,
=
µ
2a
(1 + e − 2)
(1 − e)
= −
µ
2a
(1 − e)
(1 − e)
,
= −
µ
2a
(8)
que ´e v´alido para qualquer ´orbita cˆonica e mostra que o semi-eixo maior da
´orbita s´o depende da energia do sistema.
< 0 ⇒ a > 0 elipse
= 0 ⇒ a = ∞ par´abola
> 0 ⇒ a < 0 hip´erbole.
Da defini¸c˜ao de semi-lactus rectum p,
p =
h2
µ
= a(1 − e2
) ⇒ a =
h2/µ
(1 − e2)
Como a energia ´e definida por (8),
= −
µ
2a
= −
µ2(1 − e2)
2h2
Escrevendo a excentricidade em termos da energia:
−
2h2
µ2
= 1 − e2
⇒ e2
= 1 +
2h2
µ2
105
12. e = 1 +
2h2
µ2
.
Logo, se:
< 0 ⇒ e < 1 elipse
= 0 ⇒ e = 1 par´abola
> 0 ⇒ e > 1 hip´erbole.
Das equa¸c˜oes (2) e (8), vemos que
= −
µ
2a
=
v2
2
−
µ
r
,
logo
v = µ
2
r
−
1
a
que ´e a equa¸c˜ao da velocidade do sistema.
12.7.1 Velocidade circular
Na ´orbita circular a ≡ r, e substituindo na equa¸c˜ao da velocidade temos:
vcirc = µ
2
r
−
1
r
=
µ
r
Para um ´orbita circular, vemos que a energia total ´e negativa, j´a que:
=
µ
2r
−
µ
r
= −
µ
2r
= −
G(M + m)
2r
< 0.
12.7.2 Velocidade de escape
Da equa¸c˜ao de velocidade se pode deduzir facilmente a velocidade de escape
do sistema, que representa a velocidade m´ınima para que o corpo escape da
atra¸c˜ao gravitacional do sistema. Essa velocidade ´e, por defini¸c˜ao, aquela
com a qual o corpo chega com velocidade zero no infinito (v = 0 em r = ∞),
o que representa um ´orbita parab´olica, j´a que = 0. Assim, uma ´orbita
parab´olica pode ser considerada uma ´orbita el´ıptica com e = 1 e a = ∞.
Nesse caso,
=
v2
esc
2
−
µ
r
= 0 ⇒ vesc =
2µ
r
=
2G(M + m)
r
=
√
2vcirc
106
13. Para um ´orbita hiperb´olica, a energia total ´e positiva; a energia cin´etica
´e t˜ao grande que a part´ıcula pode escapar do sistema e se afastar dele.
A par´abola ´e o caso-limite entre a ´orbita fechada (elipse) e a hip´erbole.
Halley, usando o m´etodo de Newton, verificou que v´arios cometas tˆem ´orbita
parab´olica.
12.7.3 Problema de muitos corpos
Assumimos, at´e aqui, que a ´orbita ´e um problema de dois corpos. Na reali-
dade, os planetas interferem entre si, perturbando a ´orbita dos outros. Ainda
assim, suas ´orbitas n˜ao se desviam muito das cˆonicas, s´o que os elementos
da ´orbita variam com o tempo e precisam ser calculados por aproxima¸c˜oes
sucessivas, pois a ´orbita n˜ao pode ser resolvida analiticamente. Para a ´orbita
da Terra em torno do Sol, como a massa do Sol ´e 1047 vezes maior que a
massa de J´upiter e J´upiter est´a 5,2 vezes mais distante do que o Sol, a for¸ca
gravitacional de J´upiter sobre a Terra ´e 28 000 vezes menor que a do Sol e,
portanto, seu efeito pode ser calculado pelo m´etodo das pertuba¸c˜oes. Al´em
disso, mesmo para s´o dois corpos macrosc´opicos, com a Terra e a Lua, a
solu¸c˜ao de dois corpos n˜ao ´e exata, pois nem a Terra nem a Lua s˜ao esferas
perfeitas e, portanto, n˜ao se comportam como massas pontuais. Mais ainda,
devido `as mar´es, a Terra e a Lua n˜ao s˜ao sequer r´ıgidas1.
12.7.4 Exemplos
1) O Cometa Austin (1982g) se move em uma ´orbita parab´olica. Qual foi
sua velocidade em 8 de outubro de 1982, quando estava a 1,1 UA do Sol?
Como a ´orbita ´e parab´olica, = 0, e a velocidade chama-se velocidade
de escape, vesc, logo:
=
v2
esc
2
−
µ
r
= 0 → vesc =
2µ
r
=
2G(m + M )
r
,
vesc =
2GM
r
= 40 km/s.
2) o semi-eixo do planet´oide 1982RA ´e de 1,568UA e sua distˆancia ao
Sol em 8 de outubro de 1982 era de 1,17 UA. Qual era sua velocidade?
= −
µ
2a
→ =
v2
2
−
µ
r
= −
µ
2a
→ v = µ
2
r
−
1
a
= 31 km/s.
1
O momento de quadrupolo da Terra e da Lua causam perturba¸c˜oes tanto perpendi-
culares ao plano da ´orbita quanto radiais.
107
14. Sat´elites artificiais
Desde o primeiro sat´elite artificial, o Sputnick, lan¸cado pela Uni˜ao Sovi´etica
em 1957, mais de 3800 foguetes e 4600 sat´elites artificiais foram lan¸cados da
Terra. Desses, mais de 500 est˜ao em funcionamento. Muitos explodiram,
dando origem a mais de 100 000 fragmentos, menores que 10 cm, que n˜ao
podem ser detectados por radares aqui na Terra. Esses fragmentos consti-
tuem o lixo espacial; cerca de 8000 fragmentos maiores s˜ao monitorados aqui
da Terra, porque podem causar s´erios danos `as naves e sat´elites, tripulados
ou n˜ao.
3) Qual ´e a altura de um sat´elite geoestacion´ario? Se o sat´elite ´e geoes-
tacion´ario, isto ´e, permanece posicionado sobre um mesmo local da Terra,
ent˜ao seu per´ıodo orbital tem que ser igual a um dia sideral = 23h 56m =
86 160 segundos. Usando a Terceira Lei de Kepler,
P2
=
4π2
G(MT + ms)
a3
com MT = 5, 98 × 1024 kg, ms MT , G = 6, 67 × 10−11 N · m2/kg2, temos:
a =
P2GMT
4π2
1
3
= 42172 km.
Como o raio da Terra ´e RT = 6370 km, ent˜ao a altura ser´a a − RT = 42 172
km - 6370 km = 35 800 km.
4) Qual ´e a velocidade de um sat´elite em ´orbita circular a 300 km de
altura sobre a Terra?
v = µ
2
r
−
1
a
,
mas para uma ´orbita circular r=a, de modo que:
vcirc =
µ
r
.
Como r= 300 km + RT = 6670 km:
vcirc =
GMT
r
= 7, 5 km/s.
Qual ´e o per´ıodo orbital?
P2
=
4π2
G(MT + mC)
a3
= 90 min.
108
15. 5) Considerando que a ´orbita de menor energia para lan¸camento de uma
nave a Marte, conhecida como transferˆencia de Hohmann2, ´e aquela que tem
uma distˆancia no peri´elio de 1UA (a da ´orbita da Terra) e uma distˆancia de
af´elio de 1,52 UA (a da ´orbita de Marte), qual ´e o tempo de viagem?
1,52 UA
1 UA
O semi-eixo maior a da ´orbita do nave ´e
a =
rP + rA
2
= 1, 26 UA
e, portanto, seu per´ıodo ´e:
P2
=
4π2
G(M + mn)
a3
−→ P = 1, 41 anos
O tempo de viagem ser´a metade do per´ıodo orbital, portanto, de 8,5 meses.
Qual a velocidade de lan¸camento?
v = µ
2
r
−
1
a
,
e r=1 UA. Logo v= 33 km/s. Considerando-se que a Terra orbita o Sol com
velocidade de:
v =
2π · 1UA
1 ano
= 30 km/s,
s´o precisamos lan¸car a nave com 3 km/s, na mesma dire¸c˜ao da ´orbita da
Terra. Note que o lan¸camento da nave tem de ser bem programado para
que Marte esteja na posi¸c˜ao da ´orbita que a nave chegar´a.
2
Proposta pelo engenheiro alem˜ao Walter Hohmann (1880-1945) em 1925.
109
16. 6) Qual ´e o semi-eixo maior da ´orbita de um sat´elite lan¸cado a 300 km
de altura com uma velocidade de 10 km/s?
v = µ
2
r
−
1
a
eliminado a, obtemos a = 3, 17 RT .
7) Qual ´e a velocidade necess´aria para um sat´elite artificial escapar o
campo gravitacional da Terra?
Como a massa do sat´elite pode ser desprezada em rela¸c˜ao `a massa da
Terra:
v⊗
esc =
2GM⊗
R⊗
=
2 · 6, 67 · 10−11 N m2 kg−2 · 5, 95 · 1024 kg
6 370 000 m
= 11, 2 km/s
Buraco Negro
8) Qual ´e o raio de um buraco negro com a massa igual `a massa do Sol?
Um buraco negro tem velocidade de escape igual a c, a velocidade da
luz, j´a que nem a luz escapa dele, e nada pode ter velocidade maior do que
a velocidade da luz. Ent˜ao,
vesc =
2GM
R
= c,
e o raio ´e chamado de Raio de Schwarzschild, ou raio do horizonte de eventos:
RSchw =
2GM
c2
RSchw =
2GM
c2
= 3 km
Embora o termo buraco negro s´o tenha sido introduzido em 1967 por
John Archibald Wheeler (1911-2008), em 1783 o inglˆes John Michell (1724-
1793) j´a tinha proposto que, se uma estrela tivesse massa suficiente, a for¸ca
gravitacional impediria a luz de escapar. Karl Schwarzschild (1873-1916), em
1916 resolveu as equa¸c˜oes da Relatividade Geral de Albert Einstein (1879-
1955) e derivou corretamente o raio do horizonte de eventos, isto ´e, o tama-
nho da regi˜ao, em volta da singularidade, da qual nada escapa.
110