O documento apresenta um problema de física envolvendo três partículas de diferentes massas em um plano horizontal. Pede-se calcular as coordenadas x e y de uma terceira partícula para que o centro de massa do sistema fique em determinadas coordenadas.

1. ·1 Uma partícula de 2,00 kg tem coordenadas xy (−1,20 m, 0,500 m), e uma partícula de 4,00 kg tem
coordenadas xy (0,600 m, −0,750 m). Ambas estão em um plano horizontal. Em que coordenada (a) x e
(b) y deve ser posicionada uma terceira partícula de 3,00 kg para que o centro de massa do sistema de
três partículas tenha coordenadas (−0,500 m, −0,700 m)?
(a) The x coordinate of the system’s center of mass is:
( )( ) ( ) 31 1 2 2 3 3
com
1 2 3
(2.00 kg)( 1.20 m) 4.00 kg 0.600 m 3.00 kg
2.00 kg 4.00 kg 3.00 kg
0.500 m.
xm x m x m x
x
m m m
− + ++ +
= =
+ + + +
= −
Solving the equation yields x3 = –1.50 m.
(b) The y coordinate of the system’s center of mass is:
( )( ) ( ) 31 1 2 2 3 3
com
1 2 3
(2.00 kg)(0.500 m) 4.00 kg 0.750 m 3.00 kg
2.00 kg 4.00 kg 3.00 kg
0.700 m.
ym y m y m y
y
m m m
+ − ++ +
= =
+ + + +
= −
Solving the equation yields y3 = –1.43 m.
·2 A Fig. 9-35 mostra um sistema de três partículas de massas m1 = 3,0 kg, m2 = 4,0 kg e m3 = 8,0 kg. As
escalas do gráfico são definidas por xs = 2,0 m e ys = 2,0 m. Qual é (a) a coordenada x e (b) qual é a
coordenada y do centro de massa do sistema? (c) Se m3 aumenta gradualmente, o centro de massa do
sistema se aproxima de m3, se afasta de m3, ou permanece onde está?
Figura 9-35 Problema 2.
2. Our notation is as follows: x1 = 0 and y1 = 0 are the coordinates of the m1 = 3.0 kg
particle; x2 = 2.0 m and y2 = 1.0 m are the coordinates of the m2 = 4.0 kg particle; and x3 =
1.0 m and y3 = 2.0 m are the coordinates of the m3 = 8.0 kg particle.
(a) The x coordinate of the center of mass is
( )( ) ( )( )1 1 2 2 3 3
com
1 2 3
0 4.0 kg 2.0 m 8.0 kg 1.0 m
1.1 m.
3.0 kg 4.0 kg 8.0 kg
m x m x m x
x
m m m
+ ++ +
= = =
+ + + +
(b) The y coordinate of the center of mass is
( )( ) ( )( )1 1 2 2 3 3
com
1 2 3
0 4.0 kg 1.0 m 8.0 kg 2.0 m
1.3 m.
3.0 kg 4.0 kg 8.0 kg
m y m y m y
y
m m m
+ ++ +
= = =
+ + + +
(c) As the mass of m3, the topmost particle, is increased, the center of mass shifts toward
that particle. As we approach the limit where m3 is infinitely more massive than the
others, the center of mass becomes infinitesimally close to the position of m3.

2. ··3 A Fig. 9-36 mostra uma placa de dimensões d1 = 11,0 cm, d2 = 2,80 cm e d3 = 13,0 cm. Metade da
placa é feita de alumínio (massa específica = 2,70 g/cm3
) e a outra metade é feita de ferro (massa
específica = 7,85 g/cm3
). Determine (a) a coordenada x, (b) a coordenada y e (c) a coordenada z do
centro de massa da placa.
Figura 9-36 Problema 3.
(a) By symmetry xcom = –d1/2 = –(13 cm)/2 = – 6.5 cm. The negative value is due to our
choice of the origin.
(b) We find ycom as
( )( ) ( )( )
com, com, com, cm,
com
3 3
3 3
11 cm / 2 7.85 g/cm 3 11 cm / 2 2.7 g/cm
8.3 cm.
7.85 g/cm 2.7 g/cm
i i a a i i i a a a
i a i i a a
m y m y V y V y
y
m m V V
ρ ρ
ρ ρ
+ +
= =
+ +
+
= =
+
(c) Again by symmetry, we have zcom = (2.8 cm)/2 = 1.4 cm.
··6 A Fig. 9-39 mostra uma caixa cúbica que foi construída com placas metálicas homogêneas, de
espessura desprezível. A caixa não tem tampa e tem uma aresta L = 40 cm. Determine (a) a coordenada x,
(b) a coordenada y e (c) a coordenada z do centro de massa da caixa.
6. The centers of mass (with centimeters understood) for each of the five sides are as
follows:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
( , , ) (0,20,20) for the side in the plane
( , , ) (20,0,20) for the side in the plane
( , , ) (20,20,0) for the side in the plane
( , , ) (40,20,20) for the remaining side paral
x y z yz
x y z xz
x y z xy
x y z
=
=
=
=
5 5 5
lel to side 1
( , , ) (20,40,20) for the remaining side parallel to side 2x y z =
Recognizing that all sides have the same mass m, we plug these into Eq. 9-5 to obtain the
results (the first two being expected based on the symmetry of the problem).
(a) The x coordinate of the center of mass is
x
mx mx mx mx mx
m
com cm=
+ + + +
=
+ + + +
=1 2 3 4 5
5
0 20 20 40 20
5
20

3. (b) The y coordinate of the center of mass is
y
my my my my my
m
com cm=
+ + + +
=
+ + + +
=1 2 3 4 5
5
20 0 20 20 40
5
20
(c) The z coordinate of the center of mass is
z
mz mz mz mz mz
m
com cm=
+ + + +
=
+ + + +
=1 2 3 4 5
5
20 20 0 20 20
5
16
··13 Um canhão dispara um projétil com uma velocidade inicial 0 = 20 m/s e um ângulo θ0 = 60° com a
horizontal. No ponto mais alto da trajetória, o projétil explode em dois fragmentos de massas iguais (Fig.
9-42). Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a colisão é zero, cai verticalmente. A que
distância do canhão cai o outro fragmento, supondo que o terreno é plano e que a resistência do ar pode
ser desprezada?
Figura 9-42 Problema 13.
13. The (vertical) forces at points A, B, and P are FA, FB, and FP, respectively. We note
that FP = W and is upward. Equilibrium of forces and torques (about point B) lead to
0
0.
A B
A
F F W
bW aF
+ + =
− =
(a) From the second equation, we find
FA = bW/a = (15/5)W = 3W = 3
3(900 N) 2.7 10 N= × .
(b) The direction is upward since FA > 0.
(c) Using this result in the first equation above, we obtain
3
4 4(900 N) 3.6 10 NB AF W F W= − = − = − = − × ,
or 3
| | 3.6 10 NBF = × .
(d) FB points downward, as indicated by the negative sign.
···16 Ricardo, com 80 kg de massa, e Carmelita, que é mais leve, estão apreciando o pôr do sol no Lago
Mercedes em uma canoa de 30 kg. Com a canoa imóvel nas águas calmas do lago, o casal troca de lugar.
Seus assentos estão separados por uma distância de 3,0 m e simetricamente dispostos em relação ao
centro da embarcação. Se, com a troca, a canoa se desloca 40 cm em relação ao atracadouro, qual é a
massa de Carmelita?
16. The forces exerted horizontally by the obstruction and vertically (upward) by the
floor are applied at the bottom front corner C of the crate, as it verges on tipping. The
center of the crate, which is where we locate the gravity force of magnitude mg = 500 N,
is a horizontal distance = 0 375. mfrom C. The applied force of magnitude F = 350 N is
a vertical distance h from C. Taking torques about C, we obtain
(500 N)(0.375m)
0.536m.
350 N
mg
h
F
= = =

4. ·25 Uma bola de 1,2 kg cai verticalmente em um piso com uma velocidade de 25 m/s e ricocheteia com
uma velocidade inicial de 10 m/s. (a) Qual é o impulso recebido pela bola durante o contato com o piso?
(b) Se a bola fica em contato com o piso por 0,020 s, qual é a força média exercida pela bola sobre o
piso? 25. We consider the wheel as it leaves the lower floor. The floor no longer exerts a force
on the wheel, and the only forces acting are the force F applied horizontally at the axle,
the force of gravity mg acting vertically at the center of the wheel, and the force of the
step corner, shown as the two components fh and fv. If the minimum force is applied the
wheel does not accelerate, so both the total force and the total torque acting on it are zero.
We calculate the torque around the step corner. The second diagram indicates that the
distance from the line of F to the corner is r – h, where r is the radius of the wheel and h
is the height of the step.
The distance from the line of mg to the corner is r r h rh h2 2 2
2+ − = −b g . Thus,
F r h mg rh h− − − =b g 2 02
.
The solution for F is
2 2 2 22
2
2 2
2(6.00 10 m)(3.00 10 m) (3.00 10 m)2
= (0.800 kg)(9.80 m/s )
(6.00 10 m) (3.00 10 m)
13.6 N.
rh h
F mg
r h
− − −
− −
× × − ×−
=
− × − ×
=
Note: The applied force here is about 1.73 times the weight of the wheel. If the height is
increased, the force that must be applied also goes up. Next we plot F/mg as a function of
the ratio /h r . The required force increases rapidly as / 1h r → .

5. ··46 Uma marmita de 4 kg que está deslizando em uma superfície sem atrito explode em dois fragmentos
de 2,0 kg, um que se move para o norte a 3,0 m/s e outro que se move em uma direção 30o
ao norte do
leste a 5,0 m/s. Qual era a velocidade escalar da marmita antes da explosão?
46. From Eq. 13-37, we obtain v = /GM r for the speed of an object in circular orbit
(of radius r) around a planet of mass M. In this case, M = 5.98 × 1024
kg and
r = (700 + 6370)m = 7070 km = 7.07 × 106
m.
The speed is found to be v = 7.51 × 103
m/s. After multiplying by 3600 s/h and dividing
by 1000 m/km this becomes v = 2.7 × 104
km/h.
(a) For a head-on collision, the relative speed of the two objects must be 2v = 5.4 × 104
km/h.
(b) A perpendicular collision is possible if one satellite is, say, orbiting above the equator
and the other is following a longitudinal line. In this case, the relative speed is given by
the Pythagorean theorem: 2 2
ν ν+ = 3.8 × 104
km/h.
···48 Uma partícula A e uma partícula B são empurradas uma contra a outra, comprimindo uma mola
colocada entre as duas. Quando as partículas são liberadas, a mola as arremessa em sentidos opostos. A
massa de A é 2,00 vezes a massa de B e a energia armazenada na mola era 60 J. Suponha que a mola tem
massa desprezível e que toda a energia armazenada é transferida para as partículas. Depois de terminada
a transferência, qual é a energia cinética (a) da partícula A e (b) da partícula B?
48. Kepler’s law of periods, expressed as a ratio, is
3 2 2
3
(1.52)
1y
M M M
E E
a T T
a T
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
where we have substituted the mean-distance (from Sun) ratio for the semi-major axis
ratio. This yields TM = 1.87 y. The value in Appendix C (1.88 y) is quite close, and the
small apparent discrepancy is not significant, since a more precise value for the semi-
major axis ratio is aM/aE = 1.523, which does lead to TM = 1.88 y using Kepler’s law. A
question can be raised regarding the use of a ratio of mean distances for the ratio of semi-
major axes, but this requires a more lengthy discussion of what is meant by a ”mean
distance” than is appropriate here.

6. ·49 Uma bala com 10 g de massa se choca com um pêndulo balístico com 2,00 kg de massa. O centro de
massa do pêndulo sobe uma distância vertical de 12 cm. Supondo que a bala fica alojada no pêndulo,
calcule a velocidade inicial da bala.
49. (a) The period of the comet is 1420 years (and one month), which we convert to T =
4.48 × 1010
s. Since the mass of the Sun is 1.99 × 1030
kg, then Kepler’s law of periods
gives
2
10 2 3 13
11 3 2 30
4
(4.48 10 s) 1.89 10 m.
(6.67 10 m /kg s )(1.99 10 kg)
a a
π
−
⎛ ⎞
× = ⇒ = ×⎜ ⎟
× ⋅ ×⎝ ⎠
(b) Since the distance from the focus (of an ellipse) to its center is ea and the distance
from center to the aphelion is a, then the comet is at a distance of
13 13
(0.11 1) (1.89 10 m) 2.1 10 mea a+ = + × = ×
when it is farthest from the Sun. To express this in terms of Pluto’s orbital radius (found
in Appendix C), we set up a ratio:
13
12
2.1 10
3.6 .
5.9 10
P PR R
⎛ ⎞×
=⎜ ⎟
×⎝ ⎠
··57 Na Fig. 9-61, uma bola de massa m = 60 g é disparada com velocidade vi = 22 m/s para dentro do
cano de um canhão de mola de massa M = 240 g inicialmente em repouso em uma superfície sem atrito. A
bola fica presa no cano do canhão no ponto de máxima compressão da mola. Suponha que o aumento da
energia térmica devido ao atrito da bola com o cano seja desprezível. (a) Qual é a velocidade escalar do
canhão depois que a bola para dentro do cano? (b) Que fração da energia cinética inicial da bola fica
armazenada na mola?
Figura 9-61 Problema 57.
57. In our system, we have m1 = m2 = M (the mass of our Sun, 1.99 × 1030
kg). With r =
2r1 in this system (so r1 is one-half the Earth-to-Sun distance r), and v = πr/T for the
speed, we have
( )
2 2 3
1 2
12
2
.
2
r TGm m r
m T
r r GM
π π
= ⇒ =
With r = 1.5 × 1011
m, we obtain T = 2.2 × 107
s. We can express this in terms of Earth-
years, by setting up a ratio:
( )
7
7
2.2 10 s
(1y) = 1 y 0.71 y.
1y 3.156 10 s
T
T
⎛ ⎞⎛ ⎞ ×
= =⎜ ⎟⎜ ⎟
×⎝ ⎠ ⎝ ⎠
·62 Duas esferas de titânio se aproximam com a mesma velocidade escalar e sofrem uma colisão elástica
frontal. Após a colisão, uma das esferas, cuja massa é 300 g, permanece em repouso. (a) Qual é a massa
da outra esfera? (b) Qual é a velocidade do centro de massa das duas esferas se a velocidade escalar
inicial de cada esfera é de 2,00 m/s?
62. Although altitudes are given, it is the orbital radii that enter the equations. Thus, rA =
(6370 + 6370) km = 12740 km, and rB = (19110 + 6370) km = 25480 km.
(a) The ratio of potential energies is / 1
.
/ 2
B B A
A A B
U GmM r r
U GmM r r
−
= = =
−
(b) Using Eq. 13-38, the ratio of kinetic energies is
/ 2 1
.
/ 2 2
B B A
A A B
K GmM r r
K GmM r r
= = =

7. (c) From Eq. 13-40, it is clear that the satellite with the largest value of r has the smallest
value of |E| (since r is in the denominator). And since the values of E are negative, then
the smallest value of |E| corresponds to the largest energy E. Thus, satellite B has the
largest energy.
(d) The difference is
1 1
.
2
B A
B A
GmM
E E E
r r
⎛ ⎞
Δ = − = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Being careful to convert the r values to meters, we obtain ΔE = 1.1 × 108
J. The mass M
of Earth is found in Appendix C.