Série de Pagamentos==MFN_un3.pdf

1ª edição
2017
Matemática
Financeira

3
3
Unidade de Estudo 3
Série de Pagamentos
Para iniciar seus estudos
Quando fazemos uma determinada compra em uma loja, geralmente
existem duas opções: pagamentos com ou sem entrada. Nesta unidade
você irá aprendera diferença entre a série de pagamento antecipado (com
entrada) e a série de pagamento postecipado (sem entrada), do ponto de
vista conceitual e das expressões matemáticas para cada um deles.
Objetivos de Aprendizagem
• Conceituar pagamentos antecipados e postecipados;
• Apresentar as expressões que devem ser utilizadas para calcular
os juros em cada tipo de pagamento.

4
Matemática Financeira | Unidade de Estudo 3 – Série de Pagamentos
3.1 Conceitos Iniciais
Quando estamos estudando o conceito de série de pagamentos, primeiramente devemos saber o que é paga-
mento. Pagamento é uma sucessão de recebimentos, desembolsos ou despesas que acontece ao longo do
tempo. O pagamento pode ocorrer com uma prestação no momento da compra (pagamento com entrada) ou
com a primeira prestação no período seguinte (pagamento sem entrada). Nos tópicos a seguirvocê irá conhecer
as características de cada tipo de pagamento. Acompanhe atentamente cada etapa!
3.2 Rendas Imediatas
As rendas imediatas podem ser conhecidas como rendas ordinárias ou postecipadas. O primeiro pagamento
ocorre no final do primeiro período. Sendo assim, não há entrada, consequentemente a primeira prestação
ocorre apenas no período seguinte ao inicial.
No exemplo 3.1 não existe um valor de entrada, logo a primeira prestação é no segundo
período (denominado de período 1). Já no exemplo 3.2 existe a entrada (primeira parcela no
momento da compra), no primeiro período (denominado de período 0 ou momento da com-
pra). Você deve ter notado que cada situação gera um conjunto de expressões matemáticas
distintas. Fique atento às diferenças, pois é indispensável que você saiba diferenciá-las para
usar as expressões corretas.
Exemplo 3.1
Cláudio fez uma compra de um notebook de R$2.000,00 em dez prestações mensais, sem entrada. Nesse caso, a
primeira prestação vai ocorrer apenas no final do primeiro período. O fluxo de caixa para essa situação é:
Figura 3.1 - Fluxo de caixa da renda imediata
Legenda: PMT representa as prestações fixas, PV indica o valor pre-
sente, FV mostra o valor futuro, n a quantidade de períodos.
Fonte: Elaborada pelo autor (2017).

5
No fluxo de caixa da Figura 3.1 temos:
• PMT representa as prestações fixas;
• PV indica o valor presente;
• FV mostra o valor futuro;
• n a quantidade de períodos.
De acordo com Assaf Neto (2010), é por meio do fluxo de caixa, e não dos lucros, que podemos medir o potencial
efetivo da empresa para implementar suas decisões financeiras fundamentais. Sendo assim, o fluxo de caixa é a
ferramenta mais importante que você precisa dominar quando for fazer uma análise de investimento.
Podemos observar que o pagamento ocorre ao final do primeiro período. Para esse tipo de renda imediata exis-
tem expressões matemáticas para determinarmos o montante, o valor das prestações e o valor atual. Elas
serão discutidas nos tópicos a seguir.
Quandovocê fordesenharo fluxo de caixa use setas para cima para indicaraumento no caixa
e setas para baixo para indicar despesas ou desembolsos.
3.2.1 Cálculo do Montante (Valor Futuro)
Vamos considerar uma renda imediata com n termos iguais a PMT (que são os pagamentos), uma taxa i e
desejamos encontrar o montante FV .
O termo PMT é o valor do pagamento periódico.
Glossário
O montante é calculado pela expressão:
1 2 ... n
FV FV FV FV
= + + +
Pela expressão acima podemos ver que existem vários submontantes, que variam de 1 a n .

6
No caso de juros compostos, devemos nos lembrar da seguinte expressão matemática que calcula o valor do
montante, que é:
( )
1
n
FV PV i
= +
Diante disso, podemos dizer que cada parcela que pagamos possui um determinado valor futuro. Assim, para
encontrarmos um valor do montante equivalente a todas as parcelas, necessitamos somar todos os montantes
de cada parcela.
Em síntese, podemos dizer que o montante final é formado pela soma dos montantes parciais.
Observando a Figura 3.1 e utilizando a fórmula para o montante, encontramos as seguintes expressões:
( )
1
1 1
n
FV PMT i
−
= +
( )
2
2 1
n
FV PMT i
−
= +
( )
1
1 1
n
FV PMT i
−
= +
( )
0
1
n
FV PMT i PMT
= +=
Assim, somando todos os montantes parciais, temos que:
( ) ( ) ( )
1 2 1
1 1 ... 1
n n
FV PMT i PMT i PMT i PMT
− −
= + + + + + + +
( ) ( ) ( )
1 2 1
1 1 ... 1 1
n n
FV PMT i i i
− −
 
= + + + + + + +
 
Da expressão supracitada, podemos observar que os termos ( ) ( ) ( )
2 1
1, 1 ,..., 1 , 1
n n
i i i
− −
+ + + formam uma progressão
geométrica (PG) com n termos, de razão ( )
1 i
+ , com o primeiro termo 1 1
a = .
Na matemática uma determinada sequência { }
1 2
, ,..., n
a a a é chamada de progressão geo-
métrica quando um termo é igual ao seu antecessor multiplicado por uma constante, que
recebe a denominação de razão.

7
Uma sequência { }
2,4,8,16,32,64,128 é uma PG, com:
1
a é o primeiro termo, que é 1 2
a = .
n
a é o enésimo termo, que é 7 128
a = .
n é número de termos, que é 7
n = .
q é a razão, que é
4 8 16 32
2
2 4 8 16
q
= = = = = .
Para uma progressão geométrica finita, temos a seguinte soma de termos:
( )
1 1
1
n
n
a q
S
q
−
=
−
( )
( )
1 1 1
1 1
n
n
i
S
i
+ −
=
+ −
O montante ou valor futuro FV é dado por:
( )
1 1
n
i
FV PMT
i
 
+ −
 
=
 
 
Finalmente, temos que o fator de valor futuro é dado por:
( )
( )
( )
1 1
, ...... 1
n
i
FAC i n
i
+ −
=
Consequentemente, a expressão para o montante é dada por:
( )
. ,
FV PMT FAC i n
=
Note que partimos da premissa de que a progressão geométrica é finita, o que é bastante plausível, pois os paga-
mentos possuem um período final. No entanto, para efeitos didáticos, vale a pena citar que a soma dos termos
de uma progressão geométrica infinita é dada por:
1
1
n
a
S
q
=
−
Utilizando raciocínio análogo ao que fizemos para a progressão finita, temos:
1
1 1
n
S
i
=
+ −
1
n
S
i
=

8
( ) ( )
1
, ...... 2
FAC i n
i
=
( )
. ,
FV PMT FAC i n
=
Essa expressão foi apenas para ilustrar uma situação em que os pagamentos não tivessem fim. No cotidiano isso
é incomum ou até mesmo impossível, dê atenção maior ao caso da progressão geométrica finita.
Caso um determinado exercício lhe forneça uma taxa ao ano com capitalização mensal,
você deve fazer a conversão da taxa de ao ano para ao mês.
Exemplo 3.2
Juliana fez depósitos de R$500,00 mensais, em um banco, para reformar sua casa, durante um período de 10
meses. Os juros compostos da aplicação são de 2% a.m. com capitalização mensal. Qual o montante que ela terá
após o período em questão?
Primeiramente note que estamos diante de uma progressão geométrica finita, pois foi fornecido um período de
término, de 10 meses. Assim, devemos utilizar (1).
Além disso, você deve saber que o primeiro depósito vai acabar no período seguinte ao inicial (ideia de paga-
mento postecipado, em que não há entrada).
O exemplo forneceu os seguintes dados:
5
n meses
=
$500,00
PMT R
=
2% . . 0,02 . .
i a m a m
= =
O fluxo de caixa (relação entre entradas e saídas) para o exemplo em questão é dado pela Figura 3.2. Os paga-
mentos estão representados pela sigla PMT.

9
Figura 3.2 – Fluxo de caixa do Exemplo 3.2
Legenda: Prestações de R$500,00 durante os 10 primeiros períodos.
No fluxo de caixa apresentado pela Figura 3.2 podemos ver todas as prestações de R$500,00 durante os 10 pri-
meiros períodos.
Utilizaram-se setas para baixo para indicar os pagamentos, pois eles representam desem-
bolsos de capital.
Utilizando a expressão para calcular o montante, temos:
( )
. ,
FV PMT FAC i n
=
( )
500. 2%,10
FV FAC
=
( )
10
1 0,02 1
500.
0,02
FV
 
+ −
=  
 
 
[ ]
500. 10,94972099
FV =
$5.474,86
FV R
=
O valor que Juliana terá ao final de 10 períodos é de $5.474,86
FV R
= .

10
Exemplo 3.3
Juliana comprou uma camisa, sem entrada, com valor à vista de R$150,00 com 3 parcelas mensais a juros com-
postos de 2% ao mês com capitalização mensal. Qual o valor do montante?
Outro caso de progressão geométrica finita. O exemplo forneceu os seguintes dados:
3
n meses
=
$150,00
PMT R
=
2% . . 0,02 . .
i a m a m
= =
O fluxo de caixa dessa questão é dado por:
Legenda: Prestações de R$150,00 durante os 3 períodos
No fluxo de caixa apresentado pela Figura 3.3 podemosvertodas as prestações de R$150,00 durante os 3 períodos.
Utilizando a expressão para calcular o montante, temos:
( )
. ,
FV PMT FAC i n
=
( )
150. 2%,3
FV FAC
=
( )
3
1 0,02 1
150.
0,02
FV
 
+ −
=  
 
 
[ ]
150. 3,0604
FV =
$459,06
FV R
=
O montante é de $459,06
FV R
= .

11
3.2.2 Cálculo do Valor Atual
No item 3.2.1vimos como se calcula ovalorfuturo ou montante a partirdo fornecimento dovalordas prestações.
Nesse item você aprenderá a calcular o valor atual com base nas prestações.
desejamos encontrar o valor atual PV .
O valor atual é dado pela soma dos valores atuais parciais.
1 2 ... n
PV PV PV PV
= + + +
Agora devemos nos lembrar da seguinte expressão matemática:
( )
1
n
PV FV i
−
= +
Diante disso, temos que cada parcela do pagamento possui um valor presente. Assim, temos:
( )
1
n
n
PV PMT i
−
= +
( ) ( )
1
1 1
n
n
PV PMT i
− −
−
= +
( )
2
2 1
PV PMT i
−
= +
( )
1
1 1
PV PMT i
−
= +
Assim, somando todos os valores atuais parciais p, temos que:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 1
1 1 ... 1 1
n n
PV PMT i PMT i PMT i PMT i
− − − − −
= + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 1
1 1 ... 1 1
n n
PV PMT i i i i
− − − − −
 
= + + + + + + + +
 
( ) ( )
1 2 1
1 , 1 ,..., 1 , 1
n n
i i i i
− − − − −
+ + + + formam uma
progressão geométrica (PG) com n termos, de razão ( )
1
1 i
−
+ , com o primeiro termo ( )
1
1 1
a i
−
= + .
Utilizando a soma de termos para uma PG finita, temos:
( )
1 1
1
n
n
a q
S
q
−
=
−
( ) ( )
( )
( )
1
1
1 1 1
1 1
n
n
i i
S
i
−
−
+ + −
=
+ −

12
Fazendo todas as devidas simplificações, encontramos que o valor atual PV é dado por:
( )
( )
1 1
1
n
n
i
PV PMT
i i
 
+ −
 
=
 
+
 
Finalmente, temos que o fator de valor atual ou fator de valor presente é dado por:
( )
( )
( )
1 1
,
1
n
n
i
FVA i n
i i
+ −
=
+
( )
. ,
PV PMT FVA i n
=
Exemplo 3.4
Aline comprou um terreno dando uma entrada de R$100.000,00 e o restante em 24 prestações mensais de
R$1.200,00. Qual o preço à vista do terreno se a taxa utilizada foi de 1,02% ao mês?
Outro caso de progressão geométrica finita. O exemplo forneceu os seguintes dados:
24
n meses
=
$1200,00
PMT R
=
1,02% . . 0,0102 . .
i a m a m
= =
O fluxo de caixa para o Exemplo 3.4 é apresentado pela Figura 3.4. Observe que o exemplo tem uma “pegadinha”.
Ele diz que há uma entrada de R$100.000,00. Mas essa entrada não faz parte dosvalores dos pagamentos. Sendo
assim, precisamos calcular os valores presentes apenas dos pagamentos.

13
Utilizando a expressão que encontramos para calcular o valor atual, temos:
( )
. ,
PV PMT FVA i n
=
( )
( )
24
24
1 0,0102 1
1200
0,0102 1 0,0102
PV
 
+ −
=  
+
 
 
[ ]
1200 21,1928933731
PV =
$25.431,47
PV R
=
O valor atual do terreno que Aline comprou é de $25.431,47
PV R
= .
3.2.3 Cálculo do Valor da Prestação (PMT)
desejamos encontrar o valor atual PV .
Nos tópicos 3.2.1 e 3.2.2 mostramos expressões que calculam o valor futuro e o valor atual com base nos paga-
mentos. Diante disso, temos as seguintes expressões:
( )
,
FV
PMT
FAC i n
=
( )
,
PV
PMT
FVA i n
=
Exemplo 3.5
Guilherme efetuou um empréstimo de R$15.000,00 a juros compostos de 2,5% ao mês. Qual o valor da presta-
ção mensal para amortizar a dívida, sabendo que o empréstimo foi realizado em 12 prestações?
O exemplo forneceu os seguintes dados:
12
n meses
=
$15000,00
PV R
=
2,5% . . 0,025 . .
i a m a m
= =

14
Aplicando a expressão para o cálculo do valor das prestações, temos:
( )
,
FV
PMT
FAC i n
=
( )
( )
12
12
15000
1 0,025 1
0,025 1 0,025
PMT =
+ −
+
15000
10,2577645982
PMT =
$1.462,31
PMT R
=
O valor da prestação que Guilherme deverá pagar é de R$1.462,31.
3.2.4 Cálculo do Número de Prestações
Agora vamos supor que você faça um empréstimo bancário. É extremamente importante que você saiba qual
o número de prestações que irá pagar. Existem expressões matemáticas que nos fornecem tal valor. Observe as
expressões a seguir.
( )
1 1
n
i
FV PMT
i
 
+ −
 
=
 
 
( )
( )
1 1
1
n
n
i
PV PMT
i i
 
+ −
 
=
 
+
 
Devemos utilizar a ideia de logaritmo e fazer várias simplificações. Assim, encontramos que o número de perío-
dos pode ser dado por duas possíveis equações, que são:
( )
.
ln 1
ln 1
FV i
PMT
n
i
 
+
 
 
=
+
( )
.
ln 1
ln 1
PV i
PMT
n
i
 
−
 
 
= −
+
Assim, temos que o número de prestações pode ser encontrado em função do montante ou valor futuro ou do
valor atual. Devemos utilizar aquela que for mais adequada a um caso específico.

15
Exemplo 3.6
Adriana quer comprar um carro. Para tanto, ela deseja obter um montante de R$50.000,00. Ela pode investir
R$1.600,00 mensais, com taxa de juros de 2% ao mês. Em quanto tempo ela conseguirá o montante?
O fluxo de caixa do exemplo 3.6 pode ser visto na Figura 3.5. Observe que o primeiro pagamento ocorre apenas
no período 1, visto que não há entrada.
Figura 3.5 – Fluxo de caixa do exemplo 3.6
Utilizando a expressão encontrada no presente tópico que relaciona valor futuro com pagamento e número de
prestações, temos:
( )
.
ln 1
ln 1
FV i
PMT
n
i
 
+
 
 
=
+
( )
50000.0,02
ln 1
1500
ln 1 0,02
n
 
+
 
 
=
+
( )
( )
ln 1,625
ln 1,02
n =
24,52
n =
25
n ≈
Assim, temos que o número de períodos necessários é de 25 meses.
3.3 Rendas Antecipadas
As rendas antecipadas têm o primeiro pagamento no início do primeiro período. Exemplo clássico de utilização
de renda antecipada é quando compramos um eletrodoméstico com um valor de entrada (primeira prestação
ocorre no momento da compra).

16
A Figura 3.6 ilustra o fluxo de caixa para rendas antecipadas.
Figura 3.6 – Fluxo de caixa da renda antecipada
Legendas: Pagamentos PV .
No fluxo de caixa, PMT são os pagamentos, PV ovalorpresente, FV ovalorfuturo e n a quantidade de perí-
odos. Podemos ver claramente que o primeiro pagamento acontece no período 0.
3.3.1 Cálculo do Montante (Valor Futuro)
O montante é calculado pela expressão:
1 2 ... n
FV FV FV FV
= + + +
Utilizando a fórmula para o montante, encontramos as seguintes expressões:
( )
1 1
n
FV PMT i
= +
( )
1
2 1
n
FV PMT i
−
= +
( )
2
1 1
n
FV PMT i
−
= +
( )
1
1
n
FV PMT i
= +
Assim, somando todos os montantes parciais, temos que:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 1 ... 1 1
n n
FV PMT i PMT i PMT i PMT i
−
= + + + + + + + +
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1
1 1 1 ... 1 1
n n
FV PMT i i i i
− −
 
= + + + + + + + +
 
2 1
1, 1 ,..., 1 , 1
n n
i i i
− −
+ + + formam uma progressão
geométrica (P.G.) com n termos, de razão ( )
1 i
+ , com o primeiro termo 1 1
a = .

17
Para uma progressão geométrica finita, temos a seguinte soma de termos:
( )
1 1
1
n
n
a q
S
q
−
=
−
( )
( )
1 1 1
1 1
n
n
i
S
i
+ −
=
+ −
O montante ou valor futuro FV é dado por:
( )
( )
1 1
1
n
i
FV PMT i
i
 
+ −
 
= +
 
 
( )
( )
( )
1 1
, ...... 1
n
i
FAC i n
i
+ −
=
( ) ( )
1 . ,
FV PMT i FAC i n
= +
Essa expressão relaciona o valor do montante com o valor do pagamento.
Exemplo 3.7
Mariana faz depósitos mensais, durante 5 meses, de R$3.000,00 em um banco, que paga juros compostos a uma
taxa de 2% a.m. com capitalização mensal. Qual montante Mariana vai ter ao final dos períodos?
O primeiro depósito ocorre no período inicial 0.
O fluxo de caixa pode servisto na Figura 3.7.
Figura 3.7 – Fluxo de caixa do exemplo 3.7

18
Utilizando a expressão encontrada no presente tópico que relaciona valor futuro com pagamento e número de
prestações, temos:
( )
( )
( )
1 1 1
1
1 1
n
i
FV PMT i
i
 
+ −
 
= +
 
+ −
 
 
( )
( )
( )
5
1 1 0,02 1
3000 1 0,02
0,02
FV
 
+ −
 
= +
 
 
 
( )
3000 1,02 .5,20404016
FV =
$15.924,36
FV R
=
O montante ou valor futuro que ela vai ter depois dos cinco períodos é de R$15.924,36.
3.3.2 Cálculo do Valor Atual
No tópico anterior, encontramos a seguinte expressão:
( )
( )
1 1
1
n
i
FV PMT i
i
 
+ −
 
= +
 
 
Assim, temos que:
( )
1
n
PV FV i
−
= +

19
Fazendo a devida substituição, temos:
( )
( )
( )
1 1
1 1
n
n
i
PV PMT i i
i
−
 
+ −
=+ +
 
 
 
( )
( )
1 1
1
n
i
PV PMT i
i
−
 
− +
= +  
 
 
( )
( )
1
1
1
1
n
i
PV PMT i
i
 
−
 
+
 
= +
 
 
 
( )
( )
( )
1 1
1
1
n
n
i
PV PMT i
i i
 
+ −
= +  
+
 
 
Caso utilizemos o fator de valor presente, temos:
( )
( )
( )
1 1
,
1
n
n
i
FVA i n
i i
+ −
=
+
Assim:
( ) ( )
1 ,
PV PMT i FVA i n
= +
O valor atual está em função do valor do pagamento.
3.3.3 Cálculo do Valor da Prestação (PMT)
Vamos considerar uma renda antecipada com n termos iguais a PMT (que são os pagamentos), uma taxa i e
o valor atual PV .
Encontramos as seguintes expressões de tópicos anteriores:
( ) ( )
1 ,
FV PMT i FAC i n
= +
( ) ( )
1 ,
PV PMT i FVA i n
= +

20
Isolando o valor do pagamento, temos:
( ) ( )
1 ,
FV
PMT
i FAC i n
=
+
( ) ( )
1 ,
PV
PMT
i FVA i n
=
+
Devemos escolher a expressão que mais se adéque a um caso específico.
3.3.4 Cálculo do Número de Prestações
Vamos considerar uma renda antecipada com n termos iguais a PMT (que são os pagamentos), uma taxa i e
o valor atual PV .
Para encontrar o número de prestações, basta utilizarmos as expressões para o montante ou valor atual e isolar
n . Assim, temos:
( )
( )
.
ln 1
1
ln 1
FV i
PMT i
n
i
 
+
 
 
+
 
=
+
( )
( )
.
ln 1
1
ln 1
PV i
PMT i
n
i
 
−
 
 
+
 
= −
+
Dessa maneira, caso o problema forneça o valor dos pagamentos e o valor futuro, use a primeira equação. Caso
forneça o valor presente e o valor dos pagamentos, use a segunda expressão.

21
Considerações finais
Nesta unidade de estudo você aprendeu os conceitos de receitas imedia-
tas e receitas antecipadas. Conceituamos os pagamentos antecipados e
postecipados por meio das expressões que devem ser utilizadas para cal-
cular os juros em cada tipo de pagamento.
• Receitas imediatas (é o caso em que não há entrada, ou seja, o
primeiro desembolso ou receita acontece apenas no período sub-
sequente àquele em análise).
• Receitas antecipadas (caso em que há entrada, sendo assim, a
primeira prestação ocorre no momento inicial, também denomi-
nado de pagamento no ato da compra).
• Cada caso possui várias expressões matemáticas necessárias para
calcular o montante, o valor atual, o valor dos pagamentos e o
número de pagamentos.

Referências
22
HAZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas,
2007. [E-book].
VERAS, L. L. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2012. [E-book].
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática ﬁnanceira. 7. ed. São Paulo: Atlas,
2000. [E-book].

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