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ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA
MATEMÁTICA
FINANCEIRA
AULA 3 – JUROS SIMPLES versus
JUROS COMPOSTOS
Roberval Pinheiro
 Em termos genéricos, teoricamente,
é o estudo da evolução do dinheiro
ao longo do tempo (ASSAF NETO,
2007, p. 1).
 Importância de dominar os conceitos
e usar raciocínio analítico (MATHIAS;
GOMES, 2009).
 Num contexto de conteúdo aplicado, é o
conjunto de técnicas e fórmulas
extraídas da Matemática, com o objetivo
específico de avaliar as operações de
investimento e empréstimo.
ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA
 J=Juros
 C= Capital  P, VP ou PV
 i = taxa de juros  grandeza índice de correção de valor
 n = número de períodos  grandeza tempo
 M = Montante = J+C (sempre)F, VF ou FV, S  grandeza
valor do $
 a.d. ou ad= ao dia
 a.m. ou am= ao mês
 a.b. ou ab= ao bimestre
 a.t. ou at= ao trimestre
 a.q. ou aq= ao quadrimestre
 a.s. ou as= ao semestre
 a.a. ou aa= ao ano
 “A noção de juro decorre do fato de que a maioria das
pessoas prefere consumir seus bens no presente e não
no futuro. Em outras palavras, havendo uma
preferência temporal para consumir, as pessoas
querem uma recompensa pela abstinência”.
 “O juro também pode ser entendido como sendo o
custo do crédito ou a remuneração do capital
aplicado... Nestas condições, a taxa de juros mede o
custo da unidade de capital no período a que se
refere à taxa”.
 (MATHIAS; GOMES, 2009, p. 3)
 Esta taxa é fixada no mercado de capitais pela
interação entre as forças que regem a oferta de fundos
e a procura de créditos. Em um mercado ideal ou
perfeito, basicamente influirão os seguintes fatores:
 - Oferta de fundos: nível de riqueza das pessoas, suas
preferências temporais e o valor da taxa de juros.
 - Procura de fundos: a rentabilidade das aplicações
existentes na economia e a preferência temporal das
pessoas.
 (MATHIAS; GOMES, 2009, p. 4)
 Os juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
 - o risco envolvido na operação
 - a perda do poder de compra (inflação)
 - o custo de oportunidade
 (ASSAF NETO, 2007, p. 1)
 (MATHIAS; GOMES, 2009, p. 4)
FONTE: https://blog.rico.com.vc/custo-oportunidade-o-que-e
FONTE: https://www.btgpactualdigital.com/blog/investimentos/o-que-e-risco-dos-investimentos-tipos-e-dicas-para-
ameniza-los
 Podemos definir Juros como o rendimento obtido ou pago
por um indivíduo que tenha aplicado ou tomado
emprestado uma quantia sob determinadas condições.
 Sendo:
 J= Juros
 C= Capital
 i= taxa de juros
 n= número de períodos
niCJ ..
SimplesJurosFórmula

tiCJ ..
SimplesJurosFórmula

Para memorizar essa fórmula, utilize o
seguinte macete:
“Jota City”
 Trata-se da razão entre os juros
recebidos ou pagos ao final do período
da operação e o valor originalmente
aplicado ou tomado emprestado,
sendo usualmente representada por i
(do inglês interest, que significa juros).
 Após ter aplicado R$ 200,00, um investidor obteve R$
50,00 a título de juros. Qual a taxa de juros aplicada ?
 Portanto, a Taxa de Juros aplicada foi de 25%
%25100
200
50
100(%) 
Capital
Juros
i
 Valor Presente (Present Value) ou
Principal (também chamado de
Valor Atual ou Capital Inicial) –
corresponderá ao valor do dinheiro
hoje.
 É representado por C
 Corresponde ao número de períodos
em que determinado valor C fica
aplicado à taxa de juros i.
 É representado por n.
Lembre-se sempre de que a taxa de juros (i) e o tempo de aplicação (n)
devem estar na mesma unidade de tempo. Se a taxa de juros for de 3%
a.m. (ao mês), o período também deve estar em meses.
JMC
CMJ
JCM



ou
ou
 Valor Futuro (Future Value) ou
Montante (também chamado de
Capital Acumulado) – corresponderá
ao valor do dinheiro em uma data
futura.
 É representado por M
Na resolução de problemas de Matemática Financeira,
pode-se adotar duas convenções para a contagem do
prazo das aplicações.
 ANO CIVIL (ou ano calendário) O ano terá 365 ou 366
dias e os meses 31, 30 29 ou 28 dias (dependendo do
mês considerado e do ano ser bissexto ou não)
 ANO COMERCIAL – O ano terá 360 dias e os meses 30
dias.
 Juros Simples: a taxa de juros incidirá somente
sobre o Capital inicialmente aplicado.
 Juros compostos: a taxa de juros incidirá sobre o
montante acumulado ao final do período anterior.
n Juros Simples F Juros Compostos F
0 - 100,00 - 100,00
1 100,00 x 10% = 10,00 110,00 100,00 x 10%= 10,00 110,00
2 100,00 x 10% = 10,00 120,00 110,00 x 10% = 11,00 121,00
3 100,00 x 10% = 10,00 130,00 121,00 x 10% = 12,10 133,10
 Para achar J, C, M, “n” e “i”
EX
J = C*i*n
ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA
 Fluxo de caixa – é uma sucessão de entradas e saídas de
dinheiro (ou ativos expressos pelo seu valor monetário) no
tempo.
 Situação prática 1.2: você entra numa loja para comprar uma
geladeira. O vendedor lhe informa que o preço à vista da geladeira
é $ 1.500,00. Informa também que o pagamento pode ser
financiado em quatro parcelas iguais mensais de $ 400,00 através
de uma instituição financeira (IF). Você faz a compra e opta pelo
financiamento, de modo que terá quatro desembolsos mensais
sucessivos de R$ 400,00; é o seu fluxo de caixa dessa operação.
A instituição financeira (IF) pagará para a loja o valor à vista de $
1.500,00 e receberá de você as quatro prestações mensais.
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 Fluxo de caixa – Resolução em Diagrama
 Figura abaixo representa graficamente as entradas e saídas de
dinheiro para cada um dos agentes envolvidos; isso é um FLUXO
DE CAIXA. a instituição financeira: uma
saída de caixa de 1.500,00 no
tempo n = 0 (zero) e quatro
entradas de caixa sucessivas
no valor de 400,00;
você: quatro saídas de caixa
sucessivas de 400,00 (seu
benefício como contrapartida
foi a aquisição da geladeira).
Mais rigorosamente, você
receberia R$ 1.500,00 da IF e
os e passaria à loja;
loja: recebeu à vista o valor de
1.500,00 pela venda que lhe
fez da geladeira.
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 Fluxo de caixa – Resolução em Tabela
 O fluxo de caixa também pode ser representado em forma de
tabela (Sj = saída de caixa, Ei = entradas de caixa), como
mostrado abaixo para os três agentes envolvidos..a instituição financeira: uma
saída de caixa de 1.500,00 no
tempo n = 0 (zero) e quatro
entradas de caixa sucessivas
no valor de 400,00;
você: quatro saídas de caixa
sucessivas de 400,00 (seu
benefício como contrapartida
foi a aquisição da geladeira).
Mais rigorosamente, você
receberia R$ 1.500,00 da IF e
os e passaria à loja;
loja: recebeu à vista o valor de
1.500,00 pela venda que lhe
fez da geladeira.
(Enem 2015) - Caderno Azul - QUESTÃO 156
ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA
 Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$
180.000,00, a ser pago em 360 prestações mensais, com
taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é
paga um mês após a liberação dos recursos e o valor da
prestação mensal é de R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o
saldo devedor (valor devido antes do pagamento). Observe
que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$
500,00 e considere que não há prestação em atraso.
Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a
ser pago ao banco na décima prestação é de:
a) A) 2.075,00.
b) B) 2.093,00.
c) C) 2.138,00.
d) D) 2.255,00.
e) E) 2.300,00.
; A) 9 * $500 = $4.500  $180.000 – 4.500 = $175.500
B) $175.500 * 0,01 = 1.755 + 500 = $2.255,00
(Enem 2009) - Caderno Azul - Questão 178
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 João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco
e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco
lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse
esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com
25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas
dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José,
amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo
tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a
João o menor gasto seria:
a) renegociar suas dívidas com o banco.
b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas
dívidas.
c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos
devidos prazos.
d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque
especial e pagar as parcelas do cartão de crédito.
e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de
crédito e pagar as parcelas do cheque especial.
;
R$ 2 175,00
R$ 2 275,00
R$ 2 200,00
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 https://www.youtube.com/watch?v=PGM9CyKjNS4
JUROS COMPOSTOS
 O regime de juros compostos é o mais comum no
sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de
problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período
são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do
período seguinte.
 Chamamos de capitalização o momento em que os
juros são incorporados ao principal.
 Após três meses de capitalização, temos:
 1º mês: M =P.(1 + i)
 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 +
i)
 Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i)n
 Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n (ou t), ou
seja, taxa de juros ao mês para n meses.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
CÁLCULO DO MONTANTE E DOS JUROS
 Para calcularmos VF, FV ou MONTANTE, também
temos:
FV = PV (1+i)n
ou PV = FV/(1+i)n
 Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o
principal do montante ao final do período:
J = M – P ou J = FV-PV
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J = C*[(1 + i)n – 1]
OUTROS CONCEITOS-CHAVE:
 (1+i)n é também chamado de FATOR DE
CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTOS
(FCC) – FATOR DE ... DE VALOR FUTURO
 1/(1+i)n é também Conhecido por FATOR DE
ATUALIZAÇÃO DE CAPITAL COMPOSTO
(FAC) – FATOR DE ... DE VALOR PRESENTE
 Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 17
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MOVIMENTAÇÃO DE CAPITAL:
 Numa representação gráfica:
FV = PV.FCC (i,n)
 PV = FV . FAC (i,n)
 O valor monetário sofre a variação na escala de
tempo sendo remunerado pelos juros compostos
com base nos fatores FCC e FAC
 Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 17
PV FV FVPV
N =
tempo
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CURIOSIDADE:
• Fator de Capitalização:
 A expressão (1+i)n é chamada de FATOR DE
CAPITALIZAÇÃO, e antes do advento de
calculadoras com a capacidade de calcular yX,
costumava ocupar páginas e mais páginas no
final dos livros de Matemática Financeira.
 Fonte: Google imagens
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
EXEMPLO 1:
 Temos uma aplicação de R$ 1.000,00
com taxa composta de 10% a.m.
Identifique o VP ou PV (Valor Presente) e
o VF ou FV (Valor Futuro).
 Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 17
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RESOLVENDO O EXEMPLO 1:
 Temos uma aplicação de R$ 1.000,00 com taxa
composta de 10% a.m. Identifique o VP ou PV (Valor
Presente) e o VF ou FV (Valor Futuro).
 VP ou PV ou CAPITAL = R$1.000,00
t ou n = 1 mês
i = 10 % a.m. = 0,10
M (MONTANTE, FV ou VF)= ?
 Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
 M = R$1.000,00.(1+0,1)1 = 1.000. (1,1)1
assim, encontramos:
 VF ou FV ou M = R$ 1.000,00.1,11 = R$ 1.100,00
 Portanto ao final do 1º mês montante é
R$1.100,00
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PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR
1 1000 - 1.000,00
2 1 1,00
3 10 10,00
4 1.100,00
CHS PV
n
i
FV
CONTINUANDO O EXEMPLO 1:
 Se quisermos até o final do 3º mês agora?.
 VP ou PV ou CAPITAL = R$1.000,00
t ou n = 1 mês  3º mês
i = 10 % a.m. = 0,10
M (MONTANTE, FV ou VF)= ?
 Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
 M = R$1.000,00.(1+0,1)3 = 1.000. (1,1)3  [(1,1) .
(1,1) . (1,1)]
assim, encontramos:
 VF ou FV ou M = R$ 1.000,00.1,331 = R$ 1.331,00
 Portanto ao final do mês n o montante será de
i=1.1n = R$ 1.331,00
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PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR
1 1000 - 1.000,00
2 3 3,00
3 10 10,00
4 1.331,00
CHS PV
n
i
FV
EXEMPLO 2:
 Calcule o montante de um capital de
R$6.000,00, aplicado a juros
compostos, durante 1 ano, à taxa de
3,5% ao mês.
 Fonte: http://www.somatematica.com.br
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RESOLVENDO O EXEMPLO 2:
 Calcule o montante de um capital de R$6.000,00,
aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de
3,5% ao mês.
 P = R$6.000,00
t ou n = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
 Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
 M = R$6.000,00.(1+0,035)12 = R$6.000,00. (1,035)12
Fazendo x = 1,03512, encontramos:
 => x = 1,511
 Então M = R$6.000,00.1,511 = 9066,41
 Portanto o montante é R$9.066,41
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR
1 6000 - 6.000,00
2 12 12,00
3 3,5 3,50
4 9.066,41
CHS PV
n
i
FV
EXERCÍCIO 1:
 Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de
um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa
caderneta de poupança que rende 1,7% de juros
compostos ao mês?
 Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 18
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
RESOLVENDO O EXERCÍCIO 1:
 Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de
um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa
caderneta de poupança que rende 1,7% de juros
compostos ao mês?.
 P, PV ou VP = ?
t ou n = 1 ano = 12 meses
i = 1,7 % a.m. = 0,017
M = R$ 27.500,00 (FV ou VF)
 Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: PV = FV /
(1+i)n
 PV = R$27.500,00/(1+0,017)12 = R$27.500,00.
(1,017)12
Fazendo x = 1,01712, encontramos:
 => x = 1,224197
 Então PV = R$27.500,00/1,224197  PV = R$
22.463,70
Portanto o Capital ou Principal (ou Valor Presente = VP ou PV) é
R$22.463,70
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR
1 27500 - 27.500,00
2 12 12,00
3 1,7 1,27
4 22.463,70
CHS FV
n
i
PV
EXERCÍCIO 2:
 Qual o valor de resgate de uma
aplicação de R$ 12.000,00 em um título
pelo prazo de 8 meses à taxa de juros
composta de 3,5% a.m.?
 Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 18
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RESOLVENDO O EXERCÍCIO 2:
 Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00
em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros
composta de 3,5% a.m.?
 P, PV ou VP = R$ 12.000,00
t ou n = 8 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
 Usando a fórmula M (ou FV) =P (ou VP).(1+i)n, obtemos:
 FV = R$12.000,00.(1+0,035)8 = R$12.000,00. (1,035)8
Fazendo x = 1,0358, encontramos:
 => x = 1,316809
 Então FV = R$12.000,00/1,316809  VF = R$ 15.801,71
 Portanto o Montante ou Valor Futuro = VF ou
FV) é R$ 15.801,71
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PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR
1 12000 - 12.000,00
2 8 8,00
3 3,5 3,50
4 15.801,71
CHS PV
n
i
FV
RESOLVENDO A ATIVIDADE 1:
 Atividade 1:
 Esta é uma atividade referente a juros simples desenvolvida por um grupo do Projeto Fundão,
que utiliza a mesma abordagem em seu material de matemática financeira.
 A aplicação de um capital de R$100,00 por um período de 3 meses, com acréscimo constante
de 10% ao mês, pode ser representada no eixo das setas de que maneira?
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100,00 110,00 120,00 130,00
0 1 2 3
+10,00 +10,00 +10,00
100
110
120
130
90
110
130
150
0 1 2 3 4
R$
t
Juros Simples
RESOLVENDO A ATIVIDADE 1:
 Atividade 1:
 Cn = C0 . (1 + i.t) (Fórmula de juros simples)
 C3 = 100 . (1 + 0,1. 3)
 C3 = 100 . (1 + 0, 3)
 C3 = 100 . (1,3)
 C3 = R$ 130,00
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100,00 110,00 120,00 130,00
0 1 2 3
+10,00 +10,00 +10,00
100
110
120
130
90
110
130
150
0 1 2 3 4
R$
t
Juros Simples
RESOLVENDO A ATIVIDADE 2:
 Atividade 2:
 Esta é uma atividade referente a valor futuro e valor atual, utilizando juro composto.
 A rede de lojas PontoCom oferece duas opções de pagamento na compra de uma televisão:
três parcelas mensais de R$ 200,00 cada, ou seis prestações mensais de R$ 100,00 cada,
ambas com entrada. George pretende adquirir o aparelho. Qual a sua melhor opção se ele
aplica o seu dinheiro à taxa de 5% ao mês?
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200
0
200
220,50
210,00
200,00
V1
+
1 2
. (1,05). (1,05)2
100
0
100
86,38
90,70
95,24
110,25
105,00
100,00V2
+
1 3
. (1,05). (1,05)2
2 4 5
100 100 100
 (1,05)3
 (1,05)2
 (1,05)
RESOLVENDO A ATIVIDADE 2:
 Atividade 2: OPÇÃO 1 OU OPÇÃO 2?
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Valor da 1a prestação na data 2:
200 . (1,05)2 = 220,50
Valor da 2a prestação na data 2:
200 . (1,05) = R$ 210,00
Valor da 3a prestação na data 2:
R$ 200,00
Valor total na data 0:
V1 = 220,50 + 210 + 200
V1 = R$ 630,50
Valor da 1a prestação na data 2:
100 . (1,05)2 = 110,25
Valor da 2a prestação na data 2:
100 . (1,05) = R$ 105,00
Valor da 3a prestação na data 2:
R$ 100,00
Valor da 4a prestação na data 2:
100  (1,05) = 95,24
Valor da 5a prestação na data 2:
100  (1,05)2 = 90,70
Valor da 6a prestação na data 2:
100  (1,05)3 = 86,38
Valor total na data 0:
V1 = 110,25 + 105 + 100 + 95,24 + 90,7 + 86,38
V1 = R$ 587,57
100
0
100
86,38
90,70
95,24
110,25
105,00
100,00
V2
+
1 3
.
(1,05)
.
(1,05)
2
2 4 5
100 100 100

(1,05)
3

(1,05)
2

(1,05)
200
0
200
220,50
210,00
200,00V1
+
1 2
. (1,05). (1,05) 2
RESOLUÇÃO
ATIVIDADE

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  • 1. ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA MATEMÁTICA FINANCEIRA AULA 3 – JUROS SIMPLES versus JUROS COMPOSTOS Roberval Pinheiro
  • 2.  Em termos genéricos, teoricamente, é o estudo da evolução do dinheiro ao longo do tempo (ASSAF NETO, 2007, p. 1).  Importância de dominar os conceitos e usar raciocínio analítico (MATHIAS; GOMES, 2009).  Num contexto de conteúdo aplicado, é o conjunto de técnicas e fórmulas extraídas da Matemática, com o objetivo específico de avaliar as operações de investimento e empréstimo.
  • 3. ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA  J=Juros  C= Capital  P, VP ou PV  i = taxa de juros  grandeza índice de correção de valor  n = número de períodos  grandeza tempo  M = Montante = J+C (sempre)F, VF ou FV, S  grandeza valor do $  a.d. ou ad= ao dia  a.m. ou am= ao mês  a.b. ou ab= ao bimestre  a.t. ou at= ao trimestre  a.q. ou aq= ao quadrimestre  a.s. ou as= ao semestre  a.a. ou aa= ao ano
  • 4.  “A noção de juro decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere consumir seus bens no presente e não no futuro. Em outras palavras, havendo uma preferência temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela abstinência”.  “O juro também pode ser entendido como sendo o custo do crédito ou a remuneração do capital aplicado... Nestas condições, a taxa de juros mede o custo da unidade de capital no período a que se refere à taxa”.  (MATHIAS; GOMES, 2009, p. 3)
  • 5.  Esta taxa é fixada no mercado de capitais pela interação entre as forças que regem a oferta de fundos e a procura de créditos. Em um mercado ideal ou perfeito, basicamente influirão os seguintes fatores:  - Oferta de fundos: nível de riqueza das pessoas, suas preferências temporais e o valor da taxa de juros.  - Procura de fundos: a rentabilidade das aplicações existentes na economia e a preferência temporal das pessoas.  (MATHIAS; GOMES, 2009, p. 4)
  • 6.  Os juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:  - o risco envolvido na operação  - a perda do poder de compra (inflação)  - o custo de oportunidade  (ASSAF NETO, 2007, p. 1)  (MATHIAS; GOMES, 2009, p. 4) FONTE: https://blog.rico.com.vc/custo-oportunidade-o-que-e FONTE: https://www.btgpactualdigital.com/blog/investimentos/o-que-e-risco-dos-investimentos-tipos-e-dicas-para- ameniza-los
  • 7.  Podemos definir Juros como o rendimento obtido ou pago por um indivíduo que tenha aplicado ou tomado emprestado uma quantia sob determinadas condições.  Sendo:  J= Juros  C= Capital  i= taxa de juros  n= número de períodos niCJ .. SimplesJurosFórmula  tiCJ .. SimplesJurosFórmula  Para memorizar essa fórmula, utilize o seguinte macete: “Jota City”
  • 8.  Trata-se da razão entre os juros recebidos ou pagos ao final do período da operação e o valor originalmente aplicado ou tomado emprestado, sendo usualmente representada por i (do inglês interest, que significa juros).
  • 9.  Após ter aplicado R$ 200,00, um investidor obteve R$ 50,00 a título de juros. Qual a taxa de juros aplicada ?  Portanto, a Taxa de Juros aplicada foi de 25% %25100 200 50 100(%)  Capital Juros i
  • 10.  Valor Presente (Present Value) ou Principal (também chamado de Valor Atual ou Capital Inicial) – corresponderá ao valor do dinheiro hoje.  É representado por C
  • 11.  Corresponde ao número de períodos em que determinado valor C fica aplicado à taxa de juros i.  É representado por n. Lembre-se sempre de que a taxa de juros (i) e o tempo de aplicação (n) devem estar na mesma unidade de tempo. Se a taxa de juros for de 3% a.m. (ao mês), o período também deve estar em meses.
  • 13.  Valor Futuro (Future Value) ou Montante (também chamado de Capital Acumulado) – corresponderá ao valor do dinheiro em uma data futura.  É representado por M
  • 14. Na resolução de problemas de Matemática Financeira, pode-se adotar duas convenções para a contagem do prazo das aplicações.  ANO CIVIL (ou ano calendário) O ano terá 365 ou 366 dias e os meses 31, 30 29 ou 28 dias (dependendo do mês considerado e do ano ser bissexto ou não)  ANO COMERCIAL – O ano terá 360 dias e os meses 30 dias.
  • 15.  Juros Simples: a taxa de juros incidirá somente sobre o Capital inicialmente aplicado.  Juros compostos: a taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado ao final do período anterior. n Juros Simples F Juros Compostos F 0 - 100,00 - 100,00 1 100,00 x 10% = 10,00 110,00 100,00 x 10%= 10,00 110,00 2 100,00 x 10% = 10,00 120,00 110,00 x 10% = 11,00 121,00 3 100,00 x 10% = 10,00 130,00 121,00 x 10% = 12,10 133,10
  • 16.  Para achar J, C, M, “n” e “i” EX J = C*i*n
  • 17. ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA  Fluxo de caixa – é uma sucessão de entradas e saídas de dinheiro (ou ativos expressos pelo seu valor monetário) no tempo.  Situação prática 1.2: você entra numa loja para comprar uma geladeira. O vendedor lhe informa que o preço à vista da geladeira é $ 1.500,00. Informa também que o pagamento pode ser financiado em quatro parcelas iguais mensais de $ 400,00 através de uma instituição financeira (IF). Você faz a compra e opta pelo financiamento, de modo que terá quatro desembolsos mensais sucessivos de R$ 400,00; é o seu fluxo de caixa dessa operação. A instituição financeira (IF) pagará para a loja o valor à vista de $ 1.500,00 e receberá de você as quatro prestações mensais.
  • 18. ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA  Fluxo de caixa – Resolução em Diagrama  Figura abaixo representa graficamente as entradas e saídas de dinheiro para cada um dos agentes envolvidos; isso é um FLUXO DE CAIXA. a instituição financeira: uma saída de caixa de 1.500,00 no tempo n = 0 (zero) e quatro entradas de caixa sucessivas no valor de 400,00; você: quatro saídas de caixa sucessivas de 400,00 (seu benefício como contrapartida foi a aquisição da geladeira). Mais rigorosamente, você receberia R$ 1.500,00 da IF e os e passaria à loja; loja: recebeu à vista o valor de 1.500,00 pela venda que lhe fez da geladeira.
  • 19. ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA  Fluxo de caixa – Resolução em Tabela  O fluxo de caixa também pode ser representado em forma de tabela (Sj = saída de caixa, Ei = entradas de caixa), como mostrado abaixo para os três agentes envolvidos..a instituição financeira: uma saída de caixa de 1.500,00 no tempo n = 0 (zero) e quatro entradas de caixa sucessivas no valor de 400,00; você: quatro saídas de caixa sucessivas de 400,00 (seu benefício como contrapartida foi a aquisição da geladeira). Mais rigorosamente, você receberia R$ 1.500,00 da IF e os e passaria à loja; loja: recebeu à vista o valor de 1.500,00 pela venda que lhe fez da geladeira.
  • 20. (Enem 2015) - Caderno Azul - QUESTÃO 156 ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA  Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$ 180.000,00, a ser pago em 360 prestações mensais, com taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é paga um mês após a liberação dos recursos e o valor da prestação mensal é de R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o saldo devedor (valor devido antes do pagamento). Observe que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$ 500,00 e considere que não há prestação em atraso. Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a ser pago ao banco na décima prestação é de: a) A) 2.075,00. b) B) 2.093,00. c) C) 2.138,00. d) D) 2.255,00. e) E) 2.300,00. ; A) 9 * $500 = $4.500  $180.000 – 4.500 = $175.500 B) $175.500 * 0,01 = 1.755 + 500 = $2.255,00
  • 21. (Enem 2009) - Caderno Azul - Questão 178 ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA  João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto seria: a) renegociar suas dívidas com o banco. b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial. ; R$ 2 175,00 R$ 2 275,00 R$ 2 200,00
  • 22. ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA  https://www.youtube.com/watch?v=PGM9CyKjNS4
  • 23. JUROS COMPOSTOS  O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.  Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.  Após três meses de capitalização, temos:  1º mês: M =P.(1 + i)  2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)  3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)  Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i)n  Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n (ou t), ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA
  • 24. CÁLCULO DO MONTANTE E DOS JUROS  Para calcularmos VF, FV ou MONTANTE, também temos: FV = PV (1+i)n ou PV = FV/(1+i)n  Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M – P ou J = FV-PV UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA J = C*[(1 + i)n – 1]
  • 25. OUTROS CONCEITOS-CHAVE:  (1+i)n é também chamado de FATOR DE CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTOS (FCC) – FATOR DE ... DE VALOR FUTURO  1/(1+i)n é também Conhecido por FATOR DE ATUALIZAÇÃO DE CAPITAL COMPOSTO (FAC) – FATOR DE ... DE VALOR PRESENTE  Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 17 UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA
  • 26. MOVIMENTAÇÃO DE CAPITAL:  Numa representação gráfica: FV = PV.FCC (i,n)  PV = FV . FAC (i,n)  O valor monetário sofre a variação na escala de tempo sendo remunerado pelos juros compostos com base nos fatores FCC e FAC  Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 17 PV FV FVPV N = tempo UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA
  • 27. CURIOSIDADE: • Fator de Capitalização:  A expressão (1+i)n é chamada de FATOR DE CAPITALIZAÇÃO, e antes do advento de calculadoras com a capacidade de calcular yX, costumava ocupar páginas e mais páginas no final dos livros de Matemática Financeira.  Fonte: Google imagens UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA
  • 28. EXEMPLO 1:  Temos uma aplicação de R$ 1.000,00 com taxa composta de 10% a.m. Identifique o VP ou PV (Valor Presente) e o VF ou FV (Valor Futuro).  Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 17 UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA
  • 29. RESOLVENDO O EXEMPLO 1:  Temos uma aplicação de R$ 1.000,00 com taxa composta de 10% a.m. Identifique o VP ou PV (Valor Presente) e o VF ou FV (Valor Futuro).  VP ou PV ou CAPITAL = R$1.000,00 t ou n = 1 mês i = 10 % a.m. = 0,10 M (MONTANTE, FV ou VF)= ?  Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:  M = R$1.000,00.(1+0,1)1 = 1.000. (1,1)1 assim, encontramos:  VF ou FV ou M = R$ 1.000,00.1,11 = R$ 1.100,00  Portanto ao final do 1º mês montante é R$1.100,00 UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR 1 1000 - 1.000,00 2 1 1,00 3 10 10,00 4 1.100,00 CHS PV n i FV
  • 30. CONTINUANDO O EXEMPLO 1:  Se quisermos até o final do 3º mês agora?.  VP ou PV ou CAPITAL = R$1.000,00 t ou n = 1 mês  3º mês i = 10 % a.m. = 0,10 M (MONTANTE, FV ou VF)= ?  Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:  M = R$1.000,00.(1+0,1)3 = 1.000. (1,1)3  [(1,1) . (1,1) . (1,1)] assim, encontramos:  VF ou FV ou M = R$ 1.000,00.1,331 = R$ 1.331,00  Portanto ao final do mês n o montante será de i=1.1n = R$ 1.331,00 UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR 1 1000 - 1.000,00 2 3 3,00 3 10 10,00 4 1.331,00 CHS PV n i FV
  • 31. EXEMPLO 2:  Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.  Fonte: http://www.somatematica.com.br UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA
  • 32. RESOLVENDO O EXEMPLO 2:  Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.  P = R$6.000,00 t ou n = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M = ?  Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:  M = R$6.000,00.(1+0,035)12 = R$6.000,00. (1,035)12 Fazendo x = 1,03512, encontramos:  => x = 1,511  Então M = R$6.000,00.1,511 = 9066,41  Portanto o montante é R$9.066,41 UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR 1 6000 - 6.000,00 2 12 12,00 3 3,5 3,50 4 9.066,41 CHS PV n i FV
  • 33. EXERCÍCIO 1:  Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa caderneta de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?  Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 18 UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA
  • 34. RESOLVENDO O EXERCÍCIO 1:  Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa caderneta de poupança que rende 1,7% de juros compostos ao mês?.  P, PV ou VP = ? t ou n = 1 ano = 12 meses i = 1,7 % a.m. = 0,017 M = R$ 27.500,00 (FV ou VF)  Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: PV = FV / (1+i)n  PV = R$27.500,00/(1+0,017)12 = R$27.500,00. (1,017)12 Fazendo x = 1,01712, encontramos:  => x = 1,224197  Então PV = R$27.500,00/1,224197  PV = R$ 22.463,70 Portanto o Capital ou Principal (ou Valor Presente = VP ou PV) é R$22.463,70 UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR 1 27500 - 27.500,00 2 12 12,00 3 1,7 1,27 4 22.463,70 CHS FV n i PV
  • 35. EXERCÍCIO 2:  Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?  Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 18 UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA
  • 36. RESOLVENDO O EXERCÍCIO 2:  Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?  P, PV ou VP = R$ 12.000,00 t ou n = 8 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035  Usando a fórmula M (ou FV) =P (ou VP).(1+i)n, obtemos:  FV = R$12.000,00.(1+0,035)8 = R$12.000,00. (1,035)8 Fazendo x = 1,0358, encontramos:  => x = 1,316809  Então FV = R$12.000,00/1,316809  VF = R$ 15.801,71  Portanto o Montante ou Valor Futuro = VF ou FV) é R$ 15.801,71 UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR 1 12000 - 12.000,00 2 8 8,00 3 3,5 3,50 4 15.801,71 CHS PV n i FV
  • 37. RESOLVENDO A ATIVIDADE 1:  Atividade 1:  Esta é uma atividade referente a juros simples desenvolvida por um grupo do Projeto Fundão, que utiliza a mesma abordagem em seu material de matemática financeira.  A aplicação de um capital de R$100,00 por um período de 3 meses, com acréscimo constante de 10% ao mês, pode ser representada no eixo das setas de que maneira? UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA 100,00 110,00 120,00 130,00 0 1 2 3 +10,00 +10,00 +10,00 100 110 120 130 90 110 130 150 0 1 2 3 4 R$ t Juros Simples
  • 38. RESOLVENDO A ATIVIDADE 1:  Atividade 1:  Cn = C0 . (1 + i.t) (Fórmula de juros simples)  C3 = 100 . (1 + 0,1. 3)  C3 = 100 . (1 + 0, 3)  C3 = 100 . (1,3)  C3 = R$ 130,00 UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA 100,00 110,00 120,00 130,00 0 1 2 3 +10,00 +10,00 +10,00 100 110 120 130 90 110 130 150 0 1 2 3 4 R$ t Juros Simples
  • 39. RESOLVENDO A ATIVIDADE 2:  Atividade 2:  Esta é uma atividade referente a valor futuro e valor atual, utilizando juro composto.  A rede de lojas PontoCom oferece duas opções de pagamento na compra de uma televisão: três parcelas mensais de R$ 200,00 cada, ou seis prestações mensais de R$ 100,00 cada, ambas com entrada. George pretende adquirir o aparelho. Qual a sua melhor opção se ele aplica o seu dinheiro à taxa de 5% ao mês? UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA 200 0 200 220,50 210,00 200,00 V1 + 1 2 . (1,05). (1,05)2 100 0 100 86,38 90,70 95,24 110,25 105,00 100,00V2 + 1 3 . (1,05). (1,05)2 2 4 5 100 100 100  (1,05)3  (1,05)2  (1,05)
  • 40. RESOLVENDO A ATIVIDADE 2:  Atividade 2: OPÇÃO 1 OU OPÇÃO 2? UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH - MATEMÁTICA FINANCEIRA Valor da 1a prestação na data 2: 200 . (1,05)2 = 220,50 Valor da 2a prestação na data 2: 200 . (1,05) = R$ 210,00 Valor da 3a prestação na data 2: R$ 200,00 Valor total na data 0: V1 = 220,50 + 210 + 200 V1 = R$ 630,50 Valor da 1a prestação na data 2: 100 . (1,05)2 = 110,25 Valor da 2a prestação na data 2: 100 . (1,05) = R$ 105,00 Valor da 3a prestação na data 2: R$ 100,00 Valor da 4a prestação na data 2: 100  (1,05) = 95,24 Valor da 5a prestação na data 2: 100  (1,05)2 = 90,70 Valor da 6a prestação na data 2: 100  (1,05)3 = 86,38 Valor total na data 0: V1 = 110,25 + 105 + 100 + 95,24 + 90,7 + 86,38 V1 = R$ 587,57 100 0 100 86,38 90,70 95,24 110,25 105,00 100,00 V2 + 1 3 . (1,05) . (1,05) 2 2 4 5 100 100 100  (1,05) 3  (1,05) 2  (1,05) 200 0 200 220,50 210,00 200,00V1 + 1 2 . (1,05). (1,05) 2 RESOLUÇÃO ATIVIDADE