O documento discute conceitos básicos de matemática financeira, especificamente juros simples versus juros compostos. Explica que juros compostos incidem sobre o montante acumulado a cada período, diferentemente dos juros simples que incidem apenas sobre o capital inicial. Também fornece as fórmulas para cálculo de juros, montante, valor presente e valor futuro considerando os dois tipos de juros.
Exercícios resolvidos passo a passo de matemática financeira. Esse conteúdo é somente uma parte. Para ver todos os exercícios e a resolução passo a passo deles acesse: http://comocalcular.com.br/exercicios/matematica-financeira-exercicios-resolvidos
Exercícios resolvidos passo a passo de matemática financeira. Esse conteúdo é somente uma parte. Para ver todos os exercícios e a resolução passo a passo deles acesse: http://comocalcular.com.br/exercicios/matematica-financeira-exercicios-resolvidos
Apresentação feita por alunos do 2º semestre de Sistemas de Informações da Faculdade de Juazeiro do Norte (FJN) na disciplina de Matemática Discreta II.
Entender a dinâmica financeira é fundamental para entender como o seu negócio pode ter sucesso. Matemática financeira, projeção de caixa, taxa de retorno, tudo isso te ajuda a pensar melhor em cada investimento do seu negócio
Apresentação feita por alunos do 2º semestre de Sistemas de Informações da Faculdade de Juazeiro do Norte (FJN) na disciplina de Matemática Discreta II.
Entender a dinâmica financeira é fundamental para entender como o seu negócio pode ter sucesso. Matemática financeira, projeção de caixa, taxa de retorno, tudo isso te ajuda a pensar melhor em cada investimento do seu negócio
2. Em termos genéricos, teoricamente,
é o estudo da evolução do dinheiro
ao longo do tempo (ASSAF NETO,
2007, p. 1).
Importância de dominar os conceitos
e usar raciocínio analítico (MATHIAS;
GOMES, 2009).
Num contexto de conteúdo aplicado, é o
conjunto de técnicas e fórmulas
extraídas da Matemática, com o objetivo
específico de avaliar as operações de
investimento e empréstimo.
3. ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA
J=Juros
C= Capital P, VP ou PV
i = taxa de juros grandeza índice de correção de valor
n = número de períodos grandeza tempo
M = Montante = J+C (sempre)F, VF ou FV, S grandeza
valor do $
a.d. ou ad= ao dia
a.m. ou am= ao mês
a.b. ou ab= ao bimestre
a.t. ou at= ao trimestre
a.q. ou aq= ao quadrimestre
a.s. ou as= ao semestre
a.a. ou aa= ao ano
4. “A noção de juro decorre do fato de que a maioria das
pessoas prefere consumir seus bens no presente e não
no futuro. Em outras palavras, havendo uma
preferência temporal para consumir, as pessoas
querem uma recompensa pela abstinência”.
“O juro também pode ser entendido como sendo o
custo do crédito ou a remuneração do capital
aplicado... Nestas condições, a taxa de juros mede o
custo da unidade de capital no período a que se
refere à taxa”.
(MATHIAS; GOMES, 2009, p. 3)
5. Esta taxa é fixada no mercado de capitais pela
interação entre as forças que regem a oferta de fundos
e a procura de créditos. Em um mercado ideal ou
perfeito, basicamente influirão os seguintes fatores:
- Oferta de fundos: nível de riqueza das pessoas, suas
preferências temporais e o valor da taxa de juros.
- Procura de fundos: a rentabilidade das aplicações
existentes na economia e a preferência temporal das
pessoas.
(MATHIAS; GOMES, 2009, p. 4)
6. Os juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
- o risco envolvido na operação
- a perda do poder de compra (inflação)
- o custo de oportunidade
(ASSAF NETO, 2007, p. 1)
(MATHIAS; GOMES, 2009, p. 4)
FONTE: https://blog.rico.com.vc/custo-oportunidade-o-que-e
FONTE: https://www.btgpactualdigital.com/blog/investimentos/o-que-e-risco-dos-investimentos-tipos-e-dicas-para-
ameniza-los
7. Podemos definir Juros como o rendimento obtido ou pago
por um indivíduo que tenha aplicado ou tomado
emprestado uma quantia sob determinadas condições.
Sendo:
J= Juros
C= Capital
i= taxa de juros
n= número de períodos
niCJ ..
SimplesJurosFórmula
tiCJ ..
SimplesJurosFórmula
Para memorizar essa fórmula, utilize o
seguinte macete:
“Jota City”
8. Trata-se da razão entre os juros
recebidos ou pagos ao final do período
da operação e o valor originalmente
aplicado ou tomado emprestado,
sendo usualmente representada por i
(do inglês interest, que significa juros).
9. Após ter aplicado R$ 200,00, um investidor obteve R$
50,00 a título de juros. Qual a taxa de juros aplicada ?
Portanto, a Taxa de Juros aplicada foi de 25%
%25100
200
50
100(%)
Capital
Juros
i
10. Valor Presente (Present Value) ou
Principal (também chamado de
Valor Atual ou Capital Inicial) –
corresponderá ao valor do dinheiro
hoje.
É representado por C
11. Corresponde ao número de períodos
em que determinado valor C fica
aplicado à taxa de juros i.
É representado por n.
Lembre-se sempre de que a taxa de juros (i) e o tempo de aplicação (n)
devem estar na mesma unidade de tempo. Se a taxa de juros for de 3%
a.m. (ao mês), o período também deve estar em meses.
13. Valor Futuro (Future Value) ou
Montante (também chamado de
Capital Acumulado) – corresponderá
ao valor do dinheiro em uma data
futura.
É representado por M
14. Na resolução de problemas de Matemática Financeira,
pode-se adotar duas convenções para a contagem do
prazo das aplicações.
ANO CIVIL (ou ano calendário) O ano terá 365 ou 366
dias e os meses 31, 30 29 ou 28 dias (dependendo do
mês considerado e do ano ser bissexto ou não)
ANO COMERCIAL – O ano terá 360 dias e os meses 30
dias.
15. Juros Simples: a taxa de juros incidirá somente
sobre o Capital inicialmente aplicado.
Juros compostos: a taxa de juros incidirá sobre o
montante acumulado ao final do período anterior.
n Juros Simples F Juros Compostos F
0 - 100,00 - 100,00
1 100,00 x 10% = 10,00 110,00 100,00 x 10%= 10,00 110,00
2 100,00 x 10% = 10,00 120,00 110,00 x 10% = 11,00 121,00
3 100,00 x 10% = 10,00 130,00 121,00 x 10% = 12,10 133,10
17. ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA
Fluxo de caixa – é uma sucessão de entradas e saídas de
dinheiro (ou ativos expressos pelo seu valor monetário) no
tempo.
Situação prática 1.2: você entra numa loja para comprar uma
geladeira. O vendedor lhe informa que o preço à vista da geladeira
é $ 1.500,00. Informa também que o pagamento pode ser
financiado em quatro parcelas iguais mensais de $ 400,00 através
de uma instituição financeira (IF). Você faz a compra e opta pelo
financiamento, de modo que terá quatro desembolsos mensais
sucessivos de R$ 400,00; é o seu fluxo de caixa dessa operação.
A instituição financeira (IF) pagará para a loja o valor à vista de $
1.500,00 e receberá de você as quatro prestações mensais.
18. ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA
Fluxo de caixa – Resolução em Diagrama
Figura abaixo representa graficamente as entradas e saídas de
dinheiro para cada um dos agentes envolvidos; isso é um FLUXO
DE CAIXA. a instituição financeira: uma
saída de caixa de 1.500,00 no
tempo n = 0 (zero) e quatro
entradas de caixa sucessivas
no valor de 400,00;
você: quatro saídas de caixa
sucessivas de 400,00 (seu
benefício como contrapartida
foi a aquisição da geladeira).
Mais rigorosamente, você
receberia R$ 1.500,00 da IF e
os e passaria à loja;
loja: recebeu à vista o valor de
1.500,00 pela venda que lhe
fez da geladeira.
19. ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA
Fluxo de caixa – Resolução em Tabela
O fluxo de caixa também pode ser representado em forma de
tabela (Sj = saída de caixa, Ei = entradas de caixa), como
mostrado abaixo para os três agentes envolvidos..a instituição financeira: uma
saída de caixa de 1.500,00 no
tempo n = 0 (zero) e quatro
entradas de caixa sucessivas
no valor de 400,00;
você: quatro saídas de caixa
sucessivas de 400,00 (seu
benefício como contrapartida
foi a aquisição da geladeira).
Mais rigorosamente, você
receberia R$ 1.500,00 da IF e
os e passaria à loja;
loja: recebeu à vista o valor de
1.500,00 pela venda que lhe
fez da geladeira.
20. (Enem 2015) - Caderno Azul - QUESTÃO 156
ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA
Um casal realiza um financiamento imobiliário de R$
180.000,00, a ser pago em 360 prestações mensais, com
taxa de juros efetiva de 1% ao mês. A primeira prestação é
paga um mês após a liberação dos recursos e o valor da
prestação mensal é de R$ 500,00 mais juro de 1% sobre o
saldo devedor (valor devido antes do pagamento). Observe
que, a cada pagamento, o saldo devedor se reduz em R$
500,00 e considere que não há prestação em atraso.
Efetuando o pagamento dessa forma, o valor, em reais, a
ser pago ao banco na décima prestação é de:
a) A) 2.075,00.
b) B) 2.093,00.
c) C) 2.138,00.
d) D) 2.255,00.
e) E) 2.300,00.
; A) 9 * $500 = $4.500 $180.000 – 4.500 = $175.500
B) $175.500 * 0,01 = 1.755 + 500 = $2.255,00
21. (Enem 2009) - Caderno Azul - Questão 178
ESUFRN – UFRN – MATEMÁTICA FINANCEIRA
João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco
e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco
lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse
esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com
25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas
dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José,
amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo
tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a
João o menor gasto seria:
a) renegociar suas dívidas com o banco.
b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas
dívidas.
c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos
devidos prazos.
d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque
especial e pagar as parcelas do cartão de crédito.
e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de
crédito e pagar as parcelas do cheque especial.
;
R$ 2 175,00
R$ 2 275,00
R$ 2 200,00
23. JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no
sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de
problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período
são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do
período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os
juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 +
i)
Simplificando, obtemos a fórmula: M = P . (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n (ou t), ou
seja, taxa de juros ao mês para n meses.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
24. CÁLCULO DO MONTANTE E DOS JUROS
Para calcularmos VF, FV ou MONTANTE, também
temos:
FV = PV (1+i)n
ou PV = FV/(1+i)n
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o
principal do montante ao final do período:
J = M – P ou J = FV-PV
UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH -
MATEMÁTICA FINANCEIRA
J = C*[(1 + i)n – 1]
25. OUTROS CONCEITOS-CHAVE:
(1+i)n é também chamado de FATOR DE
CAPITALIZAÇÃO A JUROS COMPOSTOS
(FCC) – FATOR DE ... DE VALOR FUTURO
1/(1+i)n é também Conhecido por FATOR DE
ATUALIZAÇÃO DE CAPITAL COMPOSTO
(FAC) – FATOR DE ... DE VALOR PRESENTE
Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 17
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26. MOVIMENTAÇÃO DE CAPITAL:
Numa representação gráfica:
FV = PV.FCC (i,n)
PV = FV . FAC (i,n)
O valor monetário sofre a variação na escala de
tempo sendo remunerado pelos juros compostos
com base nos fatores FCC e FAC
Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 17
PV FV FVPV
N =
tempo
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27. CURIOSIDADE:
• Fator de Capitalização:
A expressão (1+i)n é chamada de FATOR DE
CAPITALIZAÇÃO, e antes do advento de
calculadoras com a capacidade de calcular yX,
costumava ocupar páginas e mais páginas no
final dos livros de Matemática Financeira.
Fonte: Google imagens
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28. EXEMPLO 1:
Temos uma aplicação de R$ 1.000,00
com taxa composta de 10% a.m.
Identifique o VP ou PV (Valor Presente) e
o VF ou FV (Valor Futuro).
Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 17
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29. RESOLVENDO O EXEMPLO 1:
Temos uma aplicação de R$ 1.000,00 com taxa
composta de 10% a.m. Identifique o VP ou PV (Valor
Presente) e o VF ou FV (Valor Futuro).
VP ou PV ou CAPITAL = R$1.000,00
t ou n = 1 mês
i = 10 % a.m. = 0,10
M (MONTANTE, FV ou VF)= ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = R$1.000,00.(1+0,1)1 = 1.000. (1,1)1
assim, encontramos:
VF ou FV ou M = R$ 1.000,00.1,11 = R$ 1.100,00
Portanto ao final do 1º mês montante é
R$1.100,00
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PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR
1 1000 - 1.000,00
2 1 1,00
3 10 10,00
4 1.100,00
CHS PV
n
i
FV
30. CONTINUANDO O EXEMPLO 1:
Se quisermos até o final do 3º mês agora?.
VP ou PV ou CAPITAL = R$1.000,00
t ou n = 1 mês 3º mês
i = 10 % a.m. = 0,10
M (MONTANTE, FV ou VF)= ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = R$1.000,00.(1+0,1)3 = 1.000. (1,1)3 [(1,1) .
(1,1) . (1,1)]
assim, encontramos:
VF ou FV ou M = R$ 1.000,00.1,331 = R$ 1.331,00
Portanto ao final do mês n o montante será de
i=1.1n = R$ 1.331,00
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR
1 1000 - 1.000,00
2 3 3,00
3 10 10,00
4 1.331,00
CHS PV
n
i
FV
31. EXEMPLO 2:
Calcule o montante de um capital de
R$6.000,00, aplicado a juros
compostos, durante 1 ano, à taxa de
3,5% ao mês.
Fonte: http://www.somatematica.com.br
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32. RESOLVENDO O EXEMPLO 2:
Calcule o montante de um capital de R$6.000,00,
aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de
3,5% ao mês.
P = R$6.000,00
t ou n = 1 ano = 12 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
M = ?
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos:
M = R$6.000,00.(1+0,035)12 = R$6.000,00. (1,035)12
Fazendo x = 1,03512, encontramos:
=> x = 1,511
Então M = R$6.000,00.1,511 = 9066,41
Portanto o montante é R$9.066,41
UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH -
MATEMÁTICA FINANCEIRA
PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR
1 6000 - 6.000,00
2 12 12,00
3 3,5 3,50
4 9.066,41
CHS PV
n
i
FV
33. EXERCÍCIO 1:
Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de
um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa
caderneta de poupança que rende 1,7% de juros
compostos ao mês?
Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 18
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34. RESOLVENDO O EXERCÍCIO 1:
Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de
um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa
caderneta de poupança que rende 1,7% de juros
compostos ao mês?.
P, PV ou VP = ?
t ou n = 1 ano = 12 meses
i = 1,7 % a.m. = 0,017
M = R$ 27.500,00 (FV ou VF)
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: PV = FV /
(1+i)n
PV = R$27.500,00/(1+0,017)12 = R$27.500,00.
(1,017)12
Fazendo x = 1,01712, encontramos:
=> x = 1,224197
Então PV = R$27.500,00/1,224197 PV = R$
22.463,70
Portanto o Capital ou Principal (ou Valor Presente = VP ou PV) é
R$22.463,70
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR
1 27500 - 27.500,00
2 12 12,00
3 1,7 1,27
4 22.463,70
CHS FV
n
i
PV
35. EXERCÍCIO 2:
Qual o valor de resgate de uma
aplicação de R$ 12.000,00 em um título
pelo prazo de 8 meses à taxa de juros
composta de 3,5% a.m.?
Fonte: ASSAF NETO, 2009, p. 18
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
36. RESOLVENDO O EXERCÍCIO 2:
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00
em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros
composta de 3,5% a.m.?
P, PV ou VP = R$ 12.000,00
t ou n = 8 meses
i = 3,5 % a.m. = 0,035
Usando a fórmula M (ou FV) =P (ou VP).(1+i)n, obtemos:
FV = R$12.000,00.(1+0,035)8 = R$12.000,00. (1,035)8
Fazendo x = 1,0358, encontramos:
=> x = 1,316809
Então FV = R$12.000,00/1,316809 VF = R$ 15.801,71
Portanto o Montante ou Valor Futuro = VF ou
FV) é R$ 15.801,71
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
PASSO Entra DADOS e FUNÇÃO VISOR
1 12000 - 12.000,00
2 8 8,00
3 3,5 3,50
4 15.801,71
CHS PV
n
i
FV
37. RESOLVENDO A ATIVIDADE 1:
Atividade 1:
Esta é uma atividade referente a juros simples desenvolvida por um grupo do Projeto Fundão,
que utiliza a mesma abordagem em seu material de matemática financeira.
A aplicação de um capital de R$100,00 por um período de 3 meses, com acréscimo constante
de 10% ao mês, pode ser representada no eixo das setas de que maneira?
UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH -
MATEMÁTICA FINANCEIRA
100,00 110,00 120,00 130,00
0 1 2 3
+10,00 +10,00 +10,00
100
110
120
130
90
110
130
150
0 1 2 3 4
R$
t
Juros Simples
39. RESOLVENDO A ATIVIDADE 2:
Atividade 2:
Esta é uma atividade referente a valor futuro e valor atual, utilizando juro composto.
A rede de lojas PontoCom oferece duas opções de pagamento na compra de uma televisão:
três parcelas mensais de R$ 200,00 cada, ou seis prestações mensais de R$ 100,00 cada,
ambas com entrada. George pretende adquirir o aparelho. Qual a sua melhor opção se ele
aplica o seu dinheiro à taxa de 5% ao mês?
UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH -
MATEMÁTICA FINANCEIRA
200
0
200
220,50
210,00
200,00
V1
+
1 2
. (1,05). (1,05)2
100
0
100
86,38
90,70
95,24
110,25
105,00
100,00V2
+
1 3
. (1,05). (1,05)2
2 4 5
100 100 100
(1,05)3
(1,05)2
(1,05)
40. RESOLVENDO A ATIVIDADE 2:
Atividade 2: OPÇÃO 1 OU OPÇÃO 2?
UFRN - ESUFRN - ET 5 - GH -
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Valor da 1a prestação na data 2:
200 . (1,05)2 = 220,50
Valor da 2a prestação na data 2:
200 . (1,05) = R$ 210,00
Valor da 3a prestação na data 2:
R$ 200,00
Valor total na data 0:
V1 = 220,50 + 210 + 200
V1 = R$ 630,50
Valor da 1a prestação na data 2:
100 . (1,05)2 = 110,25
Valor da 2a prestação na data 2:
100 . (1,05) = R$ 105,00
Valor da 3a prestação na data 2:
R$ 100,00
Valor da 4a prestação na data 2:
100 (1,05) = 95,24
Valor da 5a prestação na data 2:
100 (1,05)2 = 90,70
Valor da 6a prestação na data 2:
100 (1,05)3 = 86,38
Valor total na data 0:
V1 = 110,25 + 105 + 100 + 95,24 + 90,7 + 86,38
V1 = R$ 587,57
100
0
100
86,38
90,70
95,24
110,25
105,00
100,00
V2
+
1 3
.
(1,05)
.
(1,05)
2
2 4 5
100 100 100
(1,05)
3
(1,05)
2
(1,05)
200
0
200
220,50
210,00
200,00V1
+
1 2
. (1,05). (1,05) 2
RESOLUÇÃO
ATIVIDADE