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FLUXOS DE CAIXA
Disciplina: Estratégia Financeira
Introdução
 Fluxo de Caixa: é representado por uma série de pagamentos e/ou
recebimentos que se estima ocorrer em um determinado período de tempo.
investoraccouting.com.br
Prof. Victor Biaggi 2
 Características:
 Período de ocorrência: postecipados, antecipados ou diferidos.
 Periodicidade: periódicos ou não periódicos.
 Duração: limitados ou indeterminados.
 Valores: constantes ou variáveis.
Modelo-padrão
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Prof. Victor Biaggi 3
0 1 2 3 4
n
O prazo (duração) total do fluxo de caixa
é conhecido, sendo finito o número de
pagamentos ou recebimentos.
PMT PMT PMT PMT
Os valores de entradas ou saídas do fluxo de
caixa são iguais (constantes) e os intervalos
entres as parcelas são idênticos (periódicos).
Os pagamentos ou recebimentos
começam a ocorrer ao final do
primeiro período (postecipado).
Modelo-padrão
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Prof. Victor Biaggi 4
𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 𝑥
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
𝑃𝑉 =
𝑃𝑀𝑇1
(1 + 𝑖)
+
𝑃𝑀𝑇2
(1 + 𝑖)2
+ ⋯ +
𝑃𝑀𝑇𝑛
(1 + 𝑖) 𝑛
As fórmulas determinam o
valor presente (VP) do
fluxo de caixa.
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 ×
(1 + 𝑖) 𝑛
−1
𝑖
𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 + 𝑃𝑀𝑇 × (1 + 𝑖)1
+ ⋯ + 𝑃𝑀𝑇 × (1 + 𝑖) 𝑛
As fórmulas determinam o
valor futuro (VF) do fluxo
de caixa.
Modelo-padrão
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Exemplo 1:
 Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e
consecutivos de R$ 4.000,00. Para uma taxa de 2,6% a.m., até que preço
compensa adquirir o aparelho a vista?
𝑃𝑉 = 4.000 𝑥
1 − (1 + 0,026)−7
0,026
= 4.000,00 × 6,325294 = 25.301,17
𝑃𝑉 =
4.000
(1,026)
+
4.000
(1,026)2 +
4.000
(1,026)3 +
4.000
(1,026)4 +
4.000
(1,026)5 +
4.000
(1,026)6 +
4.000
(1,026)7 = 25.301,17
Modelo-padrão
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Prof. Victor Biaggi 6
Exemplo 2:
 Um veículo novo está sendo vendido por R$ 4.000,00 de entrada mais 6
pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 3.000,00. Sabendo-se que
a taxa de juros de mercado é de 5,5% a.m., determinar até que preço
compensa comprar esse carro a vista.
𝑃𝑉 = 4.000 + 3.000 𝑥
1 − (1 + 0,055)−6
0,055
= 4.000,00 + 3.000 × 4,995530 = 18.986,59
𝑃𝑉 = 4.000 +
3.000
(1,055)
+
3.000
(1,055)2
+
3.000
(1,055)3
+
3.000
(1,055)4
+
3.000
(1,055)5
+
3.000
(1,055)6
= 18.986,59
Modelo-padrão
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Prof. Victor Biaggi 7
Exemplo 3:
 Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma sequência de 7
depósitos mensais sucessivos, no valor de R$ 800,00 cada, numa conta de
poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1% a.m.
𝐹𝑉 = 800 ×
(1 + 0,021)7−1
0,021
= 800 × 7,456763 = 5.965,41
FV = 800 + 800 × 1,021 1
+ 800 × 1,021 2
+ 800 × 1,021 3
+ 800 × 1,021 4
+
800 × 1,021 5
+ (800 × 1,021 6
= 5.965,41
Antecipado
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0 1 2 3 4
n
PMT PMT PMT PMTPMT
Antecipado
 No fluxo antecipado a série de valores (parcelas) começam a ocorrer antes
do final do primeiro período.
 Podem ocorrer mais de um pagamento antecipado como por exemplo em
contratos de aluguéis onde é exigido o pagamento de dois meses
antecipados.
-1
PMT
Antecipado
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Exemplo 4:
 Admita um fluxo de caixa com antecipação de dois meses mais oito parcelas
iguais mensais de R$ 70,00, com uma taxa de juros de 4% por período.
Determinar o valor presente do referido fluxo:
𝑃𝑉 = 70 𝑥
1 − (1 + 0,04)−8
0,04
+ 70 + (70 × 1,04) = 70 × 6,732745 + 70 + 72,80 = 614,09
Antecipado
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Exemplo 5:
 Admita um fluxo de caixa com antecipação de dois meses mais oito parcelas
iguais mensais de R$ 70,00, com uma taxa de juros de 4% por período.
Determinar o valor futuro do referido fluxo:
𝐹𝑉 = 70 𝑥
(1 + 0,04)8
−1
0,04
+ 70 × (1,04)8
+70 × (1,04)9
= 70 × 9,214226 + 95,80 + 99,63 = 840,43
Diferido (Carência)
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0 1 2 3 4
n
PMT PMT PMT
Carência
 O diferimento indica que os termos da série de pagamentos ou
recebimentos começam a ocorrer após o final do primeiro período.
 A base de comparação para se definir uma carência é o final do primeiro
período.
Diferido (Carência)
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Prof. Victor Biaggi 12
Exemplo 6:
 Admita o seguinte fluxo de caixa diferido por dois períodos, para uma taxa
de 2,2% por período o valor presente será de:
𝑃𝑉1 = 100 𝑥
1 − (1 + 0,022)−7
0,022
= 100 × 6,422524 = 642,25 𝑃𝑉2 =
642,25
(1,022)2
= 614,90
Diferido (Carência)
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Prof. Victor Biaggi 13
Exemplo 7:
 Admita o seguinte fluxo de caixa diferido por dois períodos, para uma taxa
de 2,2% por período o valor futuro será de:
𝐹𝑉 = 100 𝑥
(1 + 0,022)7
−1
0,022
= 100 × 7,479318 = 747,93
Periodicidade
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0 1 4 6 10 n
PMT PMT PMT
 Reflete os intervalos de tempo entre os fluxos de caixa;
 Intervalos sempre iguais o fluxo é periódico (modelo-padrão);
 Intervalos irregulares (diferentes entre si) são considerados não periódicos;
PMT
3 períodos 2 períodos 4 períodos
Periodicidade
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Prof. Victor Biaggi 15
Exemplo 8:
 Admita o seguinte fluxo de caixa não periódico, para uma taxa de 1,9% a.m.,
tem-se:
𝑃𝑉 = 100 +
100
(1,019)3 +
100
(1,019)4 +
100
(1,019)8 +
100
(1,019)15 = 448,68
𝐹𝑉 = 100 + (100 × 1,019 3) + (100 × 1,019 4) + (100 × 1,019 8) + (100 × 1,019 15) = 595,04
Duração
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 A duração do fluxo de caixa por ser finita (modelo-padrão), ou
indeterminada (indefinida), quando o prazo total não é conhecido
previamente;
 No caso de uma série infinita, determina-se unicamente o valor presente.
0 1 2 3 n
PMT PMT PMT PMT
...
Duração
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Exemplo 9:
 Um imóvel esteja rendendo R$ 2.000,00 de aluguel mensalmente. Sendo 2%
a.m. o custo de oportunidade de mercado (ganho da melhor alternativa de
aplicação disponível). Pode-se avaliar preliminarmente que o valor deste
imóvel atinge:
𝑃𝑉 =
𝑃𝑀𝑇
𝑖
𝑃𝑉 =
2.000
0,02
= 100.000
Valores
investoraccouting.com.br
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 São constantes os fluxos de caixa que apresentam o mesmo valor ao longo
do tempo (modelo-padrão);
 São considerados variáveis os fluxos de caixa que apresentam valores
diferentes ao longo do tempo.
0 1 2 3 4
80,00 126,00 194,00 570,00
Duração
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Prof. Victor Biaggi 19
Exemplo 10:
 Admita o seguinte fluxo de caixa com os seguintes valores, ocorrendo
respectivamente ao final dos próximos 6 anos: R$ 80,00, R$ 100,00, R$
150,00, R$ 200,00, R$ 270,00 e R$ 310,00. Para uma taxa de juros de 5%
qual o valor presente do referido fluxo:
𝑃𝑉 =
80
(1,05)1 +
100
(1,05)2 +
150
(1,05)3 +
200
(1,05)4 +
270
(1,05)5 +
310
(1,05)6 = 903,89
Duração
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Exemplo 11:
 Admita o seguinte fluxo de caixa com os seguintes valores, ocorrendo
respectivamente ao final dos próximos 6 anos: R$ 80,00, R$ 100,00, R$
150,00, R$ 200,00, R$ 270,00 e R$ 310,00. Para uma taxa de juros de 4%
qual o valor futuro do referido fluxo:
FV = 80 × 1,05 5 + 100 × 1,05 4 + 150 × 1,05 3 + 200 × 1,05 2 + 270 × 1,05 1 +
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Leitura recomendada
investoraccouting.com.br
Prof. Victor Biaggi 21
 Artigo “Sequência Uniforme de Capitais”
<https://matematicafinanceira.webnode.com.br/sequ%C3%AAncia%20unif
orme%20de%20capitais/>
 Video “Séries Uniformes”
<https://www.youtube.com/watch?v=k1JRa8MHGHg>
Para acesso a mais conteúdos,
acesse:
investoraccouting.com.br
Prof. Victor Biaggi 22
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@ victorbiaggi1
pt.slidesharenet/VictorBiaggi1
www.investoraccouting.com.br

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  • 2. Introdução  Fluxo de Caixa: é representado por uma série de pagamentos e/ou recebimentos que se estima ocorrer em um determinado período de tempo. investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 2  Características:  Período de ocorrência: postecipados, antecipados ou diferidos.  Periodicidade: periódicos ou não periódicos.  Duração: limitados ou indeterminados.  Valores: constantes ou variáveis.
  • 3. Modelo-padrão investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 3 0 1 2 3 4 n O prazo (duração) total do fluxo de caixa é conhecido, sendo finito o número de pagamentos ou recebimentos. PMT PMT PMT PMT Os valores de entradas ou saídas do fluxo de caixa são iguais (constantes) e os intervalos entres as parcelas são idênticos (periódicos). Os pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro período (postecipado).
  • 4. Modelo-padrão investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 4 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 𝑥 1 − (1 + 𝑖)−𝑛 𝑖 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇1 (1 + 𝑖) + 𝑃𝑀𝑇2 (1 + 𝑖)2 + ⋯ + 𝑃𝑀𝑇𝑛 (1 + 𝑖) 𝑛 As fórmulas determinam o valor presente (VP) do fluxo de caixa. 𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 × (1 + 𝑖) 𝑛 −1 𝑖 𝐹𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 + 𝑃𝑀𝑇 × (1 + 𝑖)1 + ⋯ + 𝑃𝑀𝑇 × (1 + 𝑖) 𝑛 As fórmulas determinam o valor futuro (VF) do fluxo de caixa.
  • 5. Modelo-padrão investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 5 Exemplo 1:  Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 4.000,00. Para uma taxa de 2,6% a.m., até que preço compensa adquirir o aparelho a vista? 𝑃𝑉 = 4.000 𝑥 1 − (1 + 0,026)−7 0,026 = 4.000,00 × 6,325294 = 25.301,17 𝑃𝑉 = 4.000 (1,026) + 4.000 (1,026)2 + 4.000 (1,026)3 + 4.000 (1,026)4 + 4.000 (1,026)5 + 4.000 (1,026)6 + 4.000 (1,026)7 = 25.301,17
  • 6. Modelo-padrão investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 6 Exemplo 2:  Um veículo novo está sendo vendido por R$ 4.000,00 de entrada mais 6 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de R$ 3.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5,5% a.m., determinar até que preço compensa comprar esse carro a vista. 𝑃𝑉 = 4.000 + 3.000 𝑥 1 − (1 + 0,055)−6 0,055 = 4.000,00 + 3.000 × 4,995530 = 18.986,59 𝑃𝑉 = 4.000 + 3.000 (1,055) + 3.000 (1,055)2 + 3.000 (1,055)3 + 3.000 (1,055)4 + 3.000 (1,055)5 + 3.000 (1,055)6 = 18.986,59
  • 7. Modelo-padrão investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 7 Exemplo 3:  Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma sequência de 7 depósitos mensais sucessivos, no valor de R$ 800,00 cada, numa conta de poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1% a.m. 𝐹𝑉 = 800 × (1 + 0,021)7−1 0,021 = 800 × 7,456763 = 5.965,41 FV = 800 + 800 × 1,021 1 + 800 × 1,021 2 + 800 × 1,021 3 + 800 × 1,021 4 + 800 × 1,021 5 + (800 × 1,021 6 = 5.965,41
  • 8. Antecipado investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 8 0 1 2 3 4 n PMT PMT PMT PMTPMT Antecipado  No fluxo antecipado a série de valores (parcelas) começam a ocorrer antes do final do primeiro período.  Podem ocorrer mais de um pagamento antecipado como por exemplo em contratos de aluguéis onde é exigido o pagamento de dois meses antecipados. -1 PMT
  • 9. Antecipado investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 9 Exemplo 4:  Admita um fluxo de caixa com antecipação de dois meses mais oito parcelas iguais mensais de R$ 70,00, com uma taxa de juros de 4% por período. Determinar o valor presente do referido fluxo: 𝑃𝑉 = 70 𝑥 1 − (1 + 0,04)−8 0,04 + 70 + (70 × 1,04) = 70 × 6,732745 + 70 + 72,80 = 614,09
  • 10. Antecipado investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 10 Exemplo 5:  Admita um fluxo de caixa com antecipação de dois meses mais oito parcelas iguais mensais de R$ 70,00, com uma taxa de juros de 4% por período. Determinar o valor futuro do referido fluxo: 𝐹𝑉 = 70 𝑥 (1 + 0,04)8 −1 0,04 + 70 × (1,04)8 +70 × (1,04)9 = 70 × 9,214226 + 95,80 + 99,63 = 840,43
  • 11. Diferido (Carência) investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 11 0 1 2 3 4 n PMT PMT PMT Carência  O diferimento indica que os termos da série de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer após o final do primeiro período.  A base de comparação para se definir uma carência é o final do primeiro período.
  • 12. Diferido (Carência) investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 12 Exemplo 6:  Admita o seguinte fluxo de caixa diferido por dois períodos, para uma taxa de 2,2% por período o valor presente será de: 𝑃𝑉1 = 100 𝑥 1 − (1 + 0,022)−7 0,022 = 100 × 6,422524 = 642,25 𝑃𝑉2 = 642,25 (1,022)2 = 614,90
  • 13. Diferido (Carência) investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 13 Exemplo 7:  Admita o seguinte fluxo de caixa diferido por dois períodos, para uma taxa de 2,2% por período o valor futuro será de: 𝐹𝑉 = 100 𝑥 (1 + 0,022)7 −1 0,022 = 100 × 7,479318 = 747,93
  • 14. Periodicidade investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 14 0 1 4 6 10 n PMT PMT PMT  Reflete os intervalos de tempo entre os fluxos de caixa;  Intervalos sempre iguais o fluxo é periódico (modelo-padrão);  Intervalos irregulares (diferentes entre si) são considerados não periódicos; PMT 3 períodos 2 períodos 4 períodos
  • 15. Periodicidade investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 15 Exemplo 8:  Admita o seguinte fluxo de caixa não periódico, para uma taxa de 1,9% a.m., tem-se: 𝑃𝑉 = 100 + 100 (1,019)3 + 100 (1,019)4 + 100 (1,019)8 + 100 (1,019)15 = 448,68 𝐹𝑉 = 100 + (100 × 1,019 3) + (100 × 1,019 4) + (100 × 1,019 8) + (100 × 1,019 15) = 595,04
  • 16. Duração investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 16  A duração do fluxo de caixa por ser finita (modelo-padrão), ou indeterminada (indefinida), quando o prazo total não é conhecido previamente;  No caso de uma série infinita, determina-se unicamente o valor presente. 0 1 2 3 n PMT PMT PMT PMT ...
  • 17. Duração investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 17 Exemplo 9:  Um imóvel esteja rendendo R$ 2.000,00 de aluguel mensalmente. Sendo 2% a.m. o custo de oportunidade de mercado (ganho da melhor alternativa de aplicação disponível). Pode-se avaliar preliminarmente que o valor deste imóvel atinge: 𝑃𝑉 = 𝑃𝑀𝑇 𝑖 𝑃𝑉 = 2.000 0,02 = 100.000
  • 18. Valores investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 18  São constantes os fluxos de caixa que apresentam o mesmo valor ao longo do tempo (modelo-padrão);  São considerados variáveis os fluxos de caixa que apresentam valores diferentes ao longo do tempo. 0 1 2 3 4 80,00 126,00 194,00 570,00
  • 19. Duração investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 19 Exemplo 10:  Admita o seguinte fluxo de caixa com os seguintes valores, ocorrendo respectivamente ao final dos próximos 6 anos: R$ 80,00, R$ 100,00, R$ 150,00, R$ 200,00, R$ 270,00 e R$ 310,00. Para uma taxa de juros de 5% qual o valor presente do referido fluxo: 𝑃𝑉 = 80 (1,05)1 + 100 (1,05)2 + 150 (1,05)3 + 200 (1,05)4 + 270 (1,05)5 + 310 (1,05)6 = 903,89
  • 20. Duração investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 20 Exemplo 11:  Admita o seguinte fluxo de caixa com os seguintes valores, ocorrendo respectivamente ao final dos próximos 6 anos: R$ 80,00, R$ 100,00, R$ 150,00, R$ 200,00, R$ 270,00 e R$ 310,00. Para uma taxa de juros de 4% qual o valor futuro do referido fluxo: FV = 80 × 1,05 5 + 100 × 1,05 4 + 150 × 1,05 3 + 200 × 1,05 2 + 270 × 1,05 1 + 310 = 1.211,30
  • 21. Leitura recomendada investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 21  Artigo “Sequência Uniforme de Capitais” <https://matematicafinanceira.webnode.com.br/sequ%C3%AAncia%20unif orme%20de%20capitais/>  Video “Séries Uniformes” <https://www.youtube.com/watch?v=k1JRa8MHGHg>
  • 22. Para acesso a mais conteúdos, acesse: investoraccouting.com.br Prof. Victor Biaggi 22 @ victorbiaggi @ victorbiaggi1 pt.slidesharenet/VictorBiaggi1 www.investoraccouting.com.br