O documento apresenta conceitos básicos de matemática financeira, como taxa de juros, capital, montante, fluxo de caixa e regimes de capitalização e juros. Explica como esses conceitos são usados para quantificar e comparar parâmetros econômico-financeiros de alternativas de investimento.

1. Matemática Financeira
1. INTRODUÇÃO E DEFINIÇÕES BÁSICAS
Qualquer profissional deve estar preparado para tomar decisões econômicas ou
estar em condições, quando solicitado, de fornecer elementos para os agentes que
tomarão estas decisões. Além de atender a características técnicas, a decisão de
seleção e implantação de um determinado projeto ou equipamento deve levar em
conta as conseqüências econômico-financeiras desta implantação. A máxima
eficiência técnica deve ser compatível com a máxima eficiência financeira. Mesmo nos
casos em que tal compatibilidade seja difícil de atingir, os aspectos técnicos e
financeiros devem ser explicitados de forma a que o tomador de decisão possa
selecionar a alternativa mais adequada tendo pleno conhecimento de suas possíveis
conseqüências.
A matemática financeira, entre outras aplicações, fornece as ferramentas para
a quantificação e comparação dos parâmetros econômico-financeiros de diferentes
alternativas de investimento.
Exemplo: O equipamento A tem um menor custo inicial e melhor rendimento
que um equipamento B. Entretanto, o equipamento B tem um menor custo de
manutenção. Qual a melhor alternativa? Que implicações financeiras terá o adiamento
de um investimento na modernização de uma determinada subestação? Várias
alternativas de financiamento estão disponíveis para a compra de uma equipamento.
Qual a melhor delas? É melhor comprar ou alugar um equipamento ou serviço? Estes
são exemplos de questões que o instrumental da matemática financeira nos ajuda a
responder.
Espera-se que ao final do curso os participantes tenham condições de formular
problemas em termos adequados para a aplicação dos conceitos de matemática
financeira a situações típicas de seu trabalho e resolvê-los com a aplicação do
ferramental apresentado no decorrer do curso.
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2. Matemática Financeira
1.1. O PROBLEMA BÁSICO DA MATEMÁTICA
FINANCEIRA
O objetivo básico da Matemática Financeira é:
Estudar a evolução do dinheiro no tempo
Um exemplo nos ajudará a tornar bem clara esta afirmativa básica.
Se perguntarmos a alguém:
“Qual o resultado de R$ 1.000,00 + R$ 1.000,00 + R$ 1000,00 ?”
A resposta imediata será “R$ 3.000,00”.
Continuando o raciocínio:
“Você prefere receber R$ 3.000,00 hoje ou R$ 1.000,00 hoje e o restante em duas
parcelas mensais de R$ 1.000,00?”. A resposta quase unânime seria: “Prefiro receber
R$ 3.000,00 hoje”.
Entretanto, se a pergunta for:
“Você prefere receber R$ 2.780,00 hoje ou R$ 1.000,00 mais duas parcelas mensais
de R$ 1.000,00?”, a resposta dependeria de conceitos de Matemática Financeira.
A consideração da variável tempo introduziu uma complexidade maior numa simples
operação de soma de quantidades. Ao se abrir mão da possibilidade de receber uma
determinada quantia em dinheiro no tempo presente, quando o preço de bens ou
serviços que poderiam ser adquiridos com este dinheiro é conhecido, introduz-se
incertezas que requerem conceitos e operações mais sofisticadas para sua
quantificação. Isto vale tanto para decisões pessoais quanto para decisões de
empresas quando o trato com o dinheiro está envolvido. Este é o campo básico de
aplicação da Matemática Financeira.
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3. Matemática Financeira
1.2. DEFINIÇÕES BÁSICAS
• CAPITAL ( C ) ou VALOR PRESENTE ( VP ) - É a quantidade monetária inicial
envolvida em uma transação.
• MONTANTE ( M ) OU VALOR FUTURO ( VF ) - É a quantidade monetária
resultante de uma transação financeira, sendo, portanto referenciada em uma data
futura. O montante de uma operação é igual ao capital mais o valor do juro.
JCM += (1)
Onde
M =montante
C = capital
J = juros
Exemplo: Numa compra a prazo o preço a prazo de um produto equivale ao
montante, pois é igual ao preço a vista mais os juros cobrados pelo fornecedor (nas
lojas com promoções do tipo “n prestações sem juros” o preço anunciado como preço
à vista é na realidade o montante, pois os juros já estão embutidos neste preço)
• JUROS ( J ) - É a remuneração exigida na utilização de capital de terceiros. Os
juros recebidos representam um rendimento e os juros pagos representam um
custo. Os juros podem ser definidos, portanto, como o aluguel pago pela obtenção
de um dinheiro emprestado ou como o retorno obtido pelo investimento produtivo
do capital. Por exemplo, quando se empresta um capital de R$ 1.000,00 por um
ano e é recebida a quantia de R$ 1.100,00, os juros são a diferença entre o
recebido e o emprestado ( ou seja, R$ 100,00). Os juros, na análise da Matemática
Financeira, são o elemento que nos permite comparar valores datados, ou seja,
transformar um valor de uma data para outra de forma a poder compará-los todos
em uma mesma data tomada como referência.
• TAXA DE JUROS ( i ) - É a razão entre os juros cobráveis ou pagáveis no fim de
um período de tempo e o dinheiro devido no início do período. Usualmente utiliza-
se o conceito taxa de juros quando se paga por um empréstimo e taxa de retorno
quando se recebe pelo capital emprestado.
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4. Matemática Financeira
C
J
i = (2)
onde
i = taxa de juros
J = juros
C= capital
Se J=M-C substituindo na equação 2 tem-se
( )
C
CM
i
−
=
C
C
C
M
i −=
1−=
C
M
i (3)
Aproveitando o exemplo anterior, se foi paga a quantia de R$ 100,00 pelo empréstimo
de R$ 1.000,00 em um ano a taxa de juros é de 100/1.000, ou seja 0,10 ou 10% ao
ano.
Da equação 2 pode-se dizer que
iCJ .= (4)
Substituindo a equação 4 na equação 1 tem-se
CiCM += (5)
Colocando C em evidência
( )iCM += 1 (6)
• FLUXO DE CAIXA - É a movimentação de recursos monetários (entradas e saídas
de caixa) de uma empresa ou de uma transação financeira num determinado
período de tempo. Em termos mais simples, é um recebimento ou pagamento de
uma quantia em dinheiro. Pode ser representado de forma analítica, mostrada na
tabela 1 ou gráfica, representada na figura 1.
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5. Matemática Financeira
Num diagrama de fluxo de caixa (Figura 1) são adotadas as seguintes convenções:
1. O eixo horizontal representa o tempo a partir do instante inicial da operação
analisada até o instante considerado final na operação em questão.
2. Nos diversos pontos que representam instantes ao longo do eixo do tempo, são
traçados:
• Segmentos positivos (para cima) representando dividendos, receitas ou economias
realizadas.
• Segmentos negativos (para baixo) representando despesas, aplicações de dinheiro,
custo de aplicações ou parcelas que foram deixadas de receber.
TABELA 1 - Exemplo de fluxo de caixa (representação analítica)
Instante Entradas Saídas
0 1.000,00
1 4.000,00
2 2.000,00
3 1.000,00
4 4.500,00
Figura 1 - Exemplo de representação gráfica de fluxo de caixa
• REGIME DE CAPITALIZAÇÃO - É a forma assumida pelo crescimento do capital.
O regime pode ser de capitalização simples ou composta. No regime de
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6. Matemática Financeira
capitalização simples o juro incide exclusivamente sobre o capital inicial. O
montante, neste caso, resulta de um processo de crescimento linear do capital. No
regime de capitalização composta, o juro incide sobre o capital inicial bem como
sobre os juros acumulados, obtendo-se um montante que resulta de um
crescimento exponencial do capital. A Tabela 2 mostra a diferença de valores finais
obtidos para uma mesmo capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juros de
4,5 % a. m. ao final dos períodos indicados nos casos de regime de capitalização
simples e composta. A diferença dos valores nos dois regimes pode ser visualizada
no gráfico mostrado na Figura 2.
TABELA 2 - Comparação de regimes de capitalização
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES VERSUS COMPOSTA
VALOR DA
APLICAÇÃO
TAXA DE
JUROS (%
a.m.)
PRAZO DE
APLICAÇÃO
(em meses)
MONTANTE PELO
REGIME DE
CAPITALIZAÇÃO
SIMPLES
MONTANTE PELO
REGIME DE
CAPITALIZAÇÃO
COMPOSTA
R$ 5.000,00 4,50% 1 R$ 5.225,00 R$ 5.225,00
R$ 5.000,00 4,50% 2 R$ 5.450,00 R$ 5.460,13
R$ 5.000,00 4,50% 3 R$ 5.675,00 R$ 5.705,83
R$ 5.000,00 4,50% 4 R$ 5.900,00 R$ 5.962,59
R$ 5.000,00 4,50% 5 R$ 6.125,00 R$ 6.230,91
R$ 5.000,00 4,50% 6 R$ 6.350,00 R$ 6.511,30
C = R$5.000,00 - i = 4,5% a m
5000,00
5500,00
6000,00
6500,00
7000,00
1 2 3 4 5 6
Meses
Montante
Capitalização Simples Capitalização Composta
Figura 2 - Capitalização Simples x Composta
2. REGIME DE JUROS SIMPLES
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7. Matemática Financeira
No regime de juros simples ou juros de cada período são calculados sempre
sobre o mesmo capital. Conseqüentemente, o capital crescerá a uma taxa linear e a
taxa de juros terá um comportamento linear em relação ao tempo. Nesse regime a
taxa de juros pode ser convertida para outro prazo qualquer com base em
multiplicações e divisões, sem alterar seu valor intrínseco, ou seja, mantém a
proporcionalidade existente entre valores realizáveis em diferentes datas. A aplicação
dos juros simples é muito limitada. Tem apenas algum sentido em um contexto não-
inflacionário e no curtíssimo prazo.
2.1. CÁLCULO DO RENDIMENTO A JURO
SIMPLES.
Os juros ganhos por uma aplicação financeira aplicada pelo prazo de um único
período de tempo a que se refere à taxa de juros pode ser calculados da seguinte
forma:
iCJ *= (7)
Dado o comportamento linear dos cálculos no regime de juros simples, se
aplicarmos um capital durante n períodos de tempo a que se refere à taxa de juros, os
juros ganhos podem ser calculados da seguinte forma:
niCJ **= (8)
Sabendo que:
JCM += → CMJ −= (9)
e
ni
J
C
*
=
(10)
7

8. Matemática Financeira
tem-se
ni
J
MJ
*
−=
(11)
ni
niM
J
*1
**
+
=
(12)
2.2. CÁLCULO DO RENDIMENTO A JURO
SIMPLES PARA PERÍODOS NÃO-INTEIROS.
Algumas vezes o período de investimento é somente uma fração do período
expresso na taxa de juros. Nesses casos, em que as unidades de tempo da taxa de
juros e do período de investimento são diferentes, é necessário homogeneíza-las por
meio de um ajuste de taxa.
a) se a taxa de juros for mensal e o prazo de aplicação referir-se a dias
n
i
CJ *
30
* 





= (juro comercial)
(13)
b) se a taxa de juros for anual e o prazo de aplicação referir-se a meses
n
i
CJ *
12
* 





= (juro comercial)
(14)
c) se a taxa de juros for anual e o prazo da aplicação referir-se a dias
8

9. Matemática Financeira
n
i
CJ *
360
* 





= (juro comercial)
(15)
n
i
CJ *
365
* 





= (juro exato)
(16)
2.3. CAPITALIZAÇÃO E DESCONTO A JUROS
SIMPLES: CÁLCULO DO MONTANTE E DO
CAPITAL
O montante ou valor de resgate de uma aplicação é o capital inicialmente
investido acrescido de uma remuneração no período (equação 1).
JCM +=
Substituindo a equação 8 na equação 1 tem-se
)**( niCCM +=
)*1( niCM +=
( )ni
M
C
*1+
=
(17)
Diz-se que dois capitais são equivalentes quando têm o mesmo valor em uma
determinada data de avaliação (data focal). Se mudarmos a data focal; a equivalência
dos capitais não será mantida. Conseqüentemente a juros simples, capitais
equivalentes em determinada época não o serão em outra.
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10. Matemática Financeira
2.4. DETERMINAÇÃO DA DATA DE VENCIMENTO
E PRAZO DAS APLICAÇÕES: CONTAGEM DE DIAS
ENTRE DUAS DATAS.
Para determinação da data de vencimento e prazo das aplicações podemos
usar a Tábua para Contagem de Dias entre Duas Datas. Para tanto, deve-se subtrair,
do número de dias correspondente à data posterior, o número que corresponde à data
anterior, tendo-se o cuidado de, para o caso de anos bissextos, acrescentar i ao
resultado encontrado.
jan fev mar abr maio jun jul ago set out nov dez
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 90 151 212 243 304 365
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11. Matemática Financeira
EXERCÍCIO DE DESCONTO SIMPLES
1. Uma duplicata no valor de R$6800,00 é descontada por um banco gerando um
crédito de R$ 6000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo
banco é de 3,2% am, determinar o prazo de vencimento da duplicata.
2. Uma duplicata com vencimento 15 de dezembro é descontada por $2000,00
em 1 de setembro do mesmo ano a taxa simples de 6% am. Calcular o valor
nominal do titulo e do desconto.
3. Uma empresa descontou em uma banco um borderô de duplicatas à taxa de
desconto de 15%am. Considerando uma taxa de serviço bancário de 2% sobre
o valor nominal das duplicatas, calcular o valor liberado do borderô segundo os
dados apresentados.
Borderô de Duplicatas
Sacado Valor Nominal da Duplicata Prazo(n)
A R$5000,00 10 dias
B R$7000,00 15 dias
C R$4000,00 12 dias
D R$2000,00 20 dias
4. Um banco realiza suas operações de desconto aplicando uma taxa de desconto
de 2%am, porém exige um saldo médio de 30% do valor da operação a título
de reciprocidade bancária. Uma empresa descontou uma nota promissória de
R$100000,00 três meses antes do vencimento. Calcular o valor liberado à
empresa.
5. Quanto receberei por um título de valor nominal igual a R$5600,00 ao
descontá-lo à taxa de 4%am 89 dias antes do vencimento?
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12. Matemática Financeira
3. CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXAS DE
JUROS
3.1. TAXAS PROPORCIONAIS
Duas taxas são proporcionais quando há uma proporção entre suas grandezas
e as durações dos períodos a que se referem. Por exemplo, as taxas de 3% a.m. e
36% a.a. são proporcionais porque 3 é 1/12 de 36 da mesma forma que um mês é
1/12 de um ano.
EXERCÍCIO 3.1 - Dada a taxa de 30% a.t., determinar as
taxas proporcionais mensal, semestral, bimestral e anual.
Solução:
mensal: 0,30/3 = 0,10
semestral: 0,30 . 2 = 0,60
bimestral: 0,10 . 2 = 0,20
anual: 0,30 . 4 = 1,20
3.2. TAXAS EQUIVALENTES
São aquelas que aplicadas a capitais iguais produzem juros iguais
(conseqüentemente montantes iguais) em tempos iguais. No regime de juros simples
as taxas proporcionais são equivalentes. Tal não ocorre com os juros compostos,
como será visto mais adiante.
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13. Matemática Financeira
3.3. TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA
A taxa de juros contratada numa operação financeira chama-se taxa nominal.
Pelo fato de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os
rendimentos ou oneram os pagamentos de juros, a taxa nominal nem sempre é igual
à taxa efetiva, que é a taxa de rendimentos que a operação financeira efetivamente
proporciona. Critérios diferentes para o cálculo de juros também fazem a taxa nominal
diferir da efetiva, como, por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados
sobre um total que na realidade é pago em parcelas. Esses e outros artifícios às vezes
são usados conscientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer os juros parecerem
maiores ou menores conforme a conveniência.
EXERCÍCIO 2 - Um investidor depositou R$ 200.000,00 num
banco, a prazo fixo por dois meses, à taxa de 12% a.m.
Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 30% de
imposto de renda, determinar: ( a ) o valor dos juros; ( b ) o
imposto de renda retido; ( c ) a taxa efetiva mensal de
rendimento.
Solução
( a ) J = C.i.n = 200.000,00 . 0,12 . 2 = 48.000,00
( b ) IR = 0,30 . 48.000,00 = 14.400,00
Resgate efetivo de Juros: 48.000,00 - 14.000,00 = 33.600,00
( c ) Taxa efetiva do rendimento: i = Je / (C . n) = 33.600,00 / (200.000,00 .2) =
8,4%
EXERCÍCIO 3 - Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 8% a.m. de juros
simples que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa efetiva que
o tomador paga por empréstimo de R$ 50.000,00 por três meses?
Solução
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14. Matemática Financeira
J = C . i .n = 50.000,00 . 0,08 . 3 = 12.000,00 (juros retidos na data do empréstimo)
empréstimo efetivo: Ce = 50.000,00 - 12.000,00 = 38.000,00
taxa de juros efetiva: ie = J / (Ce . n) = 12.000,00 / (38.000,00 . 3) = 0,1053 =
10,53%
EXERCÍCIO 4 - Um vendedor oferece uma mercadoria pelo preço de R$ 1.800,00,
esclarecendo que o comprador, se quiser, poderá pagar 5% a.m. a mais sobre o preço
total para pagar em duas vezes, sendo R$ 945,00 no ato da compra e R$ 945,00 após
trinta dias. Qual a taxa mensal efetiva que este vendedor está cobrando?
Solução
parte financiada: 1.800,00 - 945,00 = 855,00
M = C (1 + i . n)
945,00 = 855,00 ( 1 + i . 1)
i = (945,00 / 855,00) - 1 = 0,1053 = 10,53%
A aplicação de juros simples no Brasil, restrita na prática
principalmente em virtude das altas taxas de inflação, tem tido, com a
estabilização da economia, uma tendência de aumento de sua adoção
nas operações comerciais e financeiras.
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