Introdução à Matemática Financeira

Introdução à Matemática
Financeira e Diagramas de Fluxo
de Caixa
Prof.: Alan Eleutério da Silva

Pergunta Inicial
• Se um amigo lhe
pedisse $100,00 para lhe
pagar os mesmos
$100,00 daqui a um ano,
o que você acharia ?

Valor do dinheiro no tempo
• Com certeza, por melhor que fosse seu
amigo, a proposta não seria vista com bons
olhos !!!
• Alguns pontos vêm a mente :
– Será que ele vai me pagar?
– Será que o poder de compra dos $ 100,00 daqui
a um ano será o mesmo?
– Se eu permanecesse com os $100,00 poderia
aplicá-los na poupança e ganhar rendimentos !!

Princípio básico
• Em outras palavras ...
Dinheiro tem um
custo associado
ao tempo

Componentes do custo do DINHEIRO
• Os pontos questionados remetem ao custo do
dinheiro.
• Ao transportar dinheiro no tempo,
existe um custo que pode ser decomposto em :
– Inflação;
– risco de crédito;
– Despesas operacionais;
– taxa real de juros;

FATORES A SEREM CONSIDERADOS, PARA
REMUNERAÇÃO DO CAPITAL
• RISCO: Incerteza quanto ao retorno do Capital
investido;
• DESPESAS: Operacionais, Administrativas, contratuais,
tributárias (CPMF, IOF, I.R., etc.), cartorárias, etc;
• INFLAÇÃO: Desvalorização da moeda ou perda do
poder aquisitivo do Capital emprestado, no período
considerado;
• GANHO (ou lucro): determinado em função das demais
oportunidades existentes no mercado. “Custo de
Oportunidade”.

Regra básica
• Sendo assim, existe uma regra básica da
matemática financeira que deverá ser
sempre respeitada ...
Nunca some valores
em datas diferentes
Atenção !!!

Diagrama de Fluxo de Caixa
• Também denominado DFC
• Consiste em uma representação gráfica
da movimentação de $ no tempo
• Seus elementos principais são :
Escala horizontal : tempo ou período de capitalização
Seta para cima : entrada de caixa
Seta para baixo : saída de caixa

Exemplo de DFC
Valor Presente
n
0
Valor Futuro
Valor Presente
Juros
Período de capitalização
+
Diagrama de Fluxo de Caixa
Operação de Empréstimo

Exercício com DFC
• Represente o DFC de uma compra no
valor de $60,00, a ser paga em três
parcelas sem entrada no valor de $22,00.

Resposta do DFC
• Diagrama de Fluxo de Caixa :
$60
$22

Capitalização Simples
Taxas de Juros: Razão entre os juros recebidos ou
pagos no final um certo período de tempo e o capital
inicialmente aplicado ou tomado: J
PV
i =
Capitalização Simples: Taxa de juros incide
apenas sobre o capital inicial (não há “juros
sobre juros”).

• Cálculo dos Juros:
J= PV x i x n
onde:
J= valor dos juros
PV= valor do capital inicial ou principal (present
value)
i = taxa de juros
n= prazo

Cálculo Montante ou Valor Futuro (future value):
FV = PV + J
FV = PV + PV x i x n  FV = PV (1+ i x n)
Cálculo Atual ou Valor Presente (present value):
FV = PV (1+ i x n)

Capitalização Composta
Capitalização Composta: Taxa de juros incide sobre o
capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o
período anterior (o valor dos juros cresce em função do
tempo).
Mês (t)
Capital no Início do
Mês (PVt)
Juros Correspondentes
ao Mês (Jt)
Montante no
Final do Mês
(FVt)
1 1.000,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,00
2 1.040,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,60
3 1.081,60 1.081,60 x 0,04 = 43,26 1.124,86
4 1.124,86 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,86
5 1.169,86 1.169,86 x 0,04 = 46,79 1.216,65

Capitalização Composta
A partir da fórmula do montante (ou valor futuro)
podemos deduzir a fórmula do principal (ou valor
presente):
FV = PV (1+i)n 
e, ainda: J = FV - PV
J = PV (1+i)n - PV
J = PV [(1+i)n - 1)]
FV
(1+i)n
PV =

Equivalência de Taxas
Fórmula para que pode ser utilizada para qualquer
caso:
iq = (1+it)q/t
-1
onde temos:
iq = taxa para o prazo que eu quero
it = taxa para o prazo que eu tenho
q = prazo que eu quero
t = prazo que eu tenho

Descontos
Embora seja freqüente a confusão entre juros e
descontos, trata-se de dois critérios distintos.
Enquanto que no cálculo dos juros a taxa referente ao
período da operação incide sobre o capital inicial ou
valor presente, no desconto a taxa do período incide
sobre o seu montante ou valor futuro.
Desconto Simples (ou Bancário):
D = FV x d x n
PV = FV - D

Séries de Pagamentos
- Os vencimentos dos termos de uma série de
pagamentos podem ocorrer no final de cada período
(termos vencidos ou postecipados) ou no início
(termos antecipados). Este entendimento é de
fundamental importância.
Classificação das séries de pagamentos:
- Séries de pagamentos iguais com termos vencidos.
- Séries de pagamentos iguais com termos antecipados.
- Séries de pagamentos variáveis com termos vencidos.
- Séries de pagamentos variáveis com termos antecipados.

Séries de Pagamentos Iguais com
Termos Vencidos ou Postecipados
PMT = 100,00 i= 4 n=5 FV=?
0 1 2 3 4 5
100 100 100 100 100
FV?
Obs.: A última parcela é aplicada exatamente no dia em que se
pede o valor futuro (montante) e, portanto, não terá rendimento
algum.

O Fator de Acumulação de Capital é:
representado por FAC (i,n)
Ou seja:
ou FVt = PMT x FAC (i,n)
(1 + i)n
- 1
i
(1 + i)n
- 1
i
FV= PMT x

PMT = 100,00 i= 4 n=5 PV=?
0 1 2 3 4 5
100 100 100 100 100
PV?
Lembrando da dedução da fórmula do principal (ou valor presente):
FV = PV (1+i)n  

O Fator de Valor Atual é:
representado por FVA (i,n)
Ou seja:
ou PVt = PMT x FVA (i,n)
(1 + i)
n
- 1
(1 + i)
n
x i
(1 + i)
n
- 1
(1 + i)
n
x i
PVt= PMT x

Fator de Recuperação de Capital
O FRC é obtido facilmente a partir da fórmula do PV:
Portanto:
(1 + i)
n
- 1
(1 + i)
n
x i
PV= PMT x
(1 + i)n
- 1
(1 + i)n
x i
PV
PMT =
(1 + i)n
x i
(1 + i)n
- 1
PMT = PV x

Termos Antecipados
0 1 2 3 4 5
100 100 100 100
100
FV?
PMT = 100,00 i= 4 n=5 FV=?

Termos Antecipados
Para se encontrar o FV a partir dos PMTs:
ou FVt = PMT x Fator de Acumulação Capital (FAC) (i,n) x (1+i)
(1 + i)n
- 1
i
FV= PMT x x (1 + i)

Termos Antecipados
i 1
(1 + i)
n
- 1 (1 + i)
PMT= FV x x
Para se encontrar o PMT a partir do FV:
ou PMT = FV x FFC (i,n) x
1
(1 + i)

Termos Antecipados
Para se encontrar o PV a partir dos PMTs:
ou PVt = PMT x FVA (i,n) x (1+i)
(1 + i)
n
- 1
(1 + i)
n
x i
PVt= PMT x x (1 + i)

Termos Antecipados
Para se encontrar o PMT a partir do PV:
ou PMT = PV x Fator de Recuperação de Capital (FRC) (i,n) x
1
(1 + i)
(1 + i)n
x i 1
(1 + i)n
- 1 (1 + i)
x
PMT = PV x

Valor Presente Líquido
• É o resultado da diferença entre o valor
dos Fluxos de Caixa trazidos ao período
inicial e o valor do Investimento.

FCL FCL FCL FCL FCL
Io
0 1 2 3 4 5

VPL
FL CX
i
t
n
t
t
=
+
=
 . .
( )
1
0
VPL > 0
A empresa estaria obtendo um retorno maior que o retorno mínimo exigido;
aprovaria o projeto;
VPL = 0
A empresa estaria obtendo um retorno exatamente igual ao retorno mínimo
exigido; seria indiferente em relação ao projeto;
VPL < 0
A empresa estaria obtendo um retorno menor que o retorno mínimo exigido;
reprovaria o projeto.

Taxa Interna de Retorno
• É a taxa de desconto que torna o VPL
dos Fluxos de Caixa igual a zero
É a taxa de retorno do Investimento a ser realizado em
função dos Fluxos de Caixa projetados para o futuro.
FL CX
TIR
t
n
t
t
.
( )
1
0
0
+
=
 =
VPL FL CX = 0

Taxa Interna de Retorno
TIR = Taxa Mínima:
A empresa estaria obtendo uma taxa de retorno
exatamente igual à taxa de retorno mínima exigida;
seria indiferente em relação ao projeto;
TIR < Taxa Mínima:
A empresa estaria obtendo uma taxa de retorno menor
que a taxa de retorno mínima exigida; reprovaria o
projeto.
TIR > Taxa Mínima:
A empresa estaria obtendo uma taxa de retorno maior
que a taxa de retorno mínima exigida; aprovaria o
projeto;

TIR em função de k
Custo de Capital versus VPL
-10.000
-5.000
0
5.000
10.000
15.000
20.000
0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0%
k
VPL
TIR

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