Introdução à analise e complexidade de algoritmos

Introdução a Análise e
Complexidade de
Algoritmos
Nécio de Lima Veras

Objetivo
Conhecer aspectos básicos sobre a análise e complexidade
de algoritmos.

Antes de qualquer coisa …
O que é mesmo um algoritmo?

Cormen (2002)
“Qualquer procedimento computacional bem
deﬁnido que toma algum valor ou conjunto de
valores como entrada e produz algum valor ou
conjunto de valores como saída”

Algoritmos
• Razões para estudar:

• Prática:

• Devemos conhecer um conjunto de algoritmos de diferentes
áreas;

• Devemos ser capazes de projetar novos algoritmos e analisar
suas eﬁciências;

• Teóricas:

• O estudo de algoritmos é a “pedra fundamental” da computação;

• Desenvolver habilidades analíticas.

Tipos importantes de
problemas
• Ordenação: reorganizar itens de uma estrutura seguindo
alguma ordem;

• Busca: encontrar um dado valor chave em um dado
conjunto de valores;

• Processamento de textos: buscar uma dada palavra em
um texto; avaliar similaridade entre cadeias de caracteres;
etc;

• Problemas em grafos: planejamento de rotas; caminho
mais curto; ordenação topológica;

Tipos importantes de
problemas
• Problemas combinatoriais: encontrar um objeto
combinatória (permutações, combinações ou
subconjuntos) que satisfaça certas restrições e tenha
certas prioridades (maximizar um valor ou minimizar um
custo);

• Problemas geométricos: envolve objetos geométricos
como pontos, linhas ou polígonos;

• Problemas numéricos: envolve objetos matemáticos de
natureza contínua: resolução de equações e sistemas de
equações; integrais deﬁnidas, etc.

Estratégias de projeto de
algoritmos
• Força bruta (brute force);

• Dividir para conquistar (divide and conquer);

• Diminuir e conquistar (decrease and conquer);

• Transformar e conquistar (transform and conquer);

• Compromisso tempo-espaço (space and time tradeoﬀs);

• Estratégia gulosa (greedy);

• Programação dinâmica (dynamic programming);

• Voltando atrás (bracktracing);

• Ramiﬁcar e limitar (branch and bound);

Análise de algoritmos
• Significa prever os recursos de que ele necessitará.

• Em geral memória, largura de banda de comunicação ou hardware de
computação são as preocupações principais, mas frequentemente é o
tempo de computação que se deseja medir (Cormen, 2012).

• Basicamente temos dois tipos de análise:

• De um algoritmo particular - calcular o custo de um algoritmo
na resolução de um problema específico;

• De uma classe de algoritmos - considerando um problema
específico, determinar o algoritmo de menor custo possível
para resolvê-lo.

Como calcular o custo
de um algoritmo?

Moleza!!!
Calculando a sua complexidade
:)

Complexidade computacional?
• Termo criado por Juris Hartmanis e Richard Stearns (1965)

• Classiﬁcação de problemas de acordo com sua diﬁculdade

• Relação entre: tamanho do problema; o tempo e espaço
necessários para resolvê-lo;

• Fundamental para projetar e analisar algoritmos.

• Leitura complementar: https://pt.wikipedia.org/wiki/Complexidade_computacional

Complexidade de
algoritmos
• Complexidade Espacial:

• Quantidade de recursos utilizados para resolver o
problema

• Complexidade Temporal:

• Quantidade de tempo utilizado, ou número de instruções
necessárias para resolver determinado problema

• Medida de complexidade

• Parâmetro: tamanho do problema

Exemplos
• Ordenar n números

• Multiplicar duas matrizes quadradas n x n (cada uma com
n2 elementos)

“Relação entre: tamanho do problema; o tempo e espaço
necessários para resolvê-lo”

Complexidade de
algoritmos
Espacial Temporal
Recursos (memória)
necessários
• Tempo

• Número de instruções
necessárias

• Perspectivas:

• Pior caso;

• Caso médio;

• Melhor caso.

Complexidade de
algoritmos
Espacial Temporal
Recursos (memória)
necessários
• Tempo

• Número de instruções
necessárias

• Perspectivas:

• Pior caso;

• Caso médio;

• Melhor caso.
Como analisar por essas perspectivas?

Melhor caso
• Menor tempo de execução para uma entrada de tamanho n

• É pouco usado, por ter aplicação em poucos casos

• Exemplo:

• Problema: encontrar um elemento em uma lista de n números

• Complexidade no melhor caso:

• Assume-se que o número estaria logo na topo da lista

T(n) = 1
(função T que determina a complexidade de tempo)

Pior caso
• Maior tempo de execução sobre entradas de tamanho n

• É mais fácil de se obter

• Exemplo:


• Complexidade no pior caso:

• Assume-se que, no pior caso, o número estaria no ﬁnal da
lista

T(n) = n

Caso médio
• Média dos tempos de execução de todas as entradas de tamanho n, ou
baseado em probabilidade de determinada condição ocorrer

• É mais difícil de se determinar

• Exemplo:


• Complexidade no caso médio:

• Para encontrar o i-ésimo número são necessárias i comparações
com probabilidade pi de procurar pelo número. Dado por:

T(n) = 1 . p1 + 2 . p2 + 3 . p3 + … + n . pn

Caso médio
• Desenvolvendo, temos:

Análise dos casos
• Então, determine T(n) quando o tamanho da lista n for:
n
Melhor caso
T(n) = 1
Caso médio
T(n) = (n + 1) / 2
Pior caso
T(n) = n
10
100
10000
1000000

Análise dos casos
• Então, determine T(n) quando o tamanho da lista n for:
n
Melhor caso
T(n) = 1
Caso médio
T(n) = (n + 1) / 2
Pior caso
T(n) = n
10 1 5,5 10
100 1 50,5 100
10000 1 5000,5 10000
1000000 1 500000,5 1000000

Análise dos casos
0
250000
500000
750000
1000000
n= 10 n = 100 n = 10000 n = 1000000
Pior caso Caso médio

Crescimento de funções
• Comportamento assintótico

• Quando n tem valor muito grande (n >> ∞)

• Termos inferiores e constantes multiplicativas
contribuem pouco na comparação e podem ser
descartados

• Exemplo:

• Algoritmo 1: f1(n) = 2n2 + 5n operações

• Algoritmo 2: f2(n) = 500n + 4000 operações

Crescimento de funções
• Comportamento assintótico

• Quando n tem valor muito grande (n >> ∞)

• Termos inferiores e constantes multiplicativas contribuem pouco na
comparação e podem ser descartados

• Exemplo:

• Algoritmo 1: f1(n) = 2n2 + 5n operações

• Algoritmo 2: f2(n) = 500n + 4000 operações

Como crescem f1 e f2 ?
Qual o algoritmo mais eﬁciente?

Notação assintótica
• Define limites para o crescimento assintótico das
funções;

• Preocupação principal:

• A maneira como o tempo de execução de um
algoritmo aumenta com o tamanho da entrada no
limite, à medida que o tamanho da entrada aumenta
indefinidamente (tendendo ao infinito).

A notação Ω (ômega)
• Oferece um limite inferior assintótico

• Deﬁnição: Sejam f e g duas funções com domínio X.
Dizemos que a função f é Ω(g(n)) sse

(∃c ∈ R+)(∃n0 ∈ X)(∀n ≥ n0)(c.|g(n)| ≤ |f(n)|)

Notação Ω
• Então uma função f(n) é Ω(g(n)) se existem duas
constantes positivas c e n0 tais que:

c . g(n) ≤ f(n), para todo n ≥ n0

A notação O (ômicron)
• Oferece um limite superior assintótico

• Deﬁnição: Sejam f e g duas funções de domínio X.
Dizemos que a função f é O(g(n)) sse 
(∃c ∈ R+)(∃ n0 ∈ X)(∀ n ≥ n0) (|f(n)| ≤ c.|g(n)|)

Notação O
• Então uma função f(n) é O(g(n)) se existem duas
constantes positivas c e n0 tais que:

f(n) ≤ c . g(n), para todo n ≥ n0

Exemplos (Notação O)
• 3n + 2 = O(n), pois 3n + 2 ≤ 4n para todo n ≥ 2

• 1000n2 + 100n – 6 = O(n2), pois

• 1000n2 +100n – 6 ≤ 1001n2 para n ≥ 100

• f(n) = amnm+...+a1n+a0 => f(n) = O(nm)

A notação θ (theta)
• Oferece limites assintóticos inferior e superior

• Deﬁnição: Sejam f e g duas funções de domínio X.
Dizemos que a função f é θ(g(n)) sse 
(∃c1, c2 ∈ R+)(∃n0 ∈ X)(∀ n ≥ n0) (c1.|g(n)| ≤ |f(n)| ≤ c2.|g(n)|)

Notação θ
• Então uma função f(n) é θ(g(n)) se existem constantes
positivas c1 e c2 e n0 tais que:

0 ≤ c1 . g(n) ≤ f(n) ≤ c2 . g(n) para todo n ≥ n0

Algumas complexidades conhecidas

Exemplo - soma de vetores
Qual a complexidade no pior caso?

Exemplo - soma de matrizes

Exemplo - multiplicação de matrizes

Torre de Hanoi - implementação

Torre de Hanoi - Análise de complexidade

Importância da análise de complexidade

Referências
• Notas de aula (prof. Valdísio Viana - UECE)

• Notas de aula (prof. José Maria - UFC)

• Algoritmos: Teoria e Prática - Cormen (3a. Edição -
Elsevier)

• Estrutura de dados: algoritmos, análise da complexidade
e implementações em Java e C/C++ - Ana Ascencio e
Graziela Araújo (Pearson)

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