Mais uma questão debatida no forum da PUC-Rio para as olimpíadas de matémática. Dessa vez o teorema de Kuratowski Imagino que o que você queira é gerar, a partir de A_1 = A, por sucessivas aplicações de F ou C, uma sequência de conjuntos A_1, A_2, ..., tal que: i) A_(n+1) = F(A_n) ou A_(n+1) = C(A_n) e ii) a família {A_1, A_2, ...} tenha a maior cardinalidade possível. Eu acho que a maior cardinalidade possível é 8. Confira a discussão completa em: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200504/msg00029.html

1. QUESTÕES PUC-RIO - PROBLEMA DO KURATOWSKI
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Mais uma questão debatida no forum da PUC-Rio para as olimpíadas de
matémática. Dessa vez o teorema de Kuratowski
Introdução

3. Imagino que o que você queira é gerar, a partir de A_1 = A, por sucessivas
aplicações de F ou C, uma sequência de conjuntos A_1, A_2, ...,
tal que:
i) A_(n+1) = F(A_n) ou A_(n+1) = C(A_n)
e
ii) a família {A_1, A_2, ...} tenha a maior cardinalidade possível.
Eu acho que a maior cardinalidade possível é 8.
Minha explicação segue abaixo.

4. Como, para todo X, F(F(X)) = F(X) e C(C(X)) = X, a única chance de obtermos
um conjunto "inédito" é aplicando alternadamente C e F.
Por exemplo, se A_1 = A = União(n em Z) [2n-1,2n], então F(A) = A.

5. Assim, fazemos:
A_2 = C(A_1) = C(A) = União(n em Z) (2n,2n+1) ==>
A_3 = F(A_2) = F(C(A)) = União(n em Z) [2n,2n+1] ==>
A_4 = C(A_3) = C(F(C(A))) = União(n em Z) (2n-1,2n) ==>
A_5 = F(A_4) = F(C(F(C(A)) = União(n em Z) [2n-1,2n] = A_1.
Logo, a partir de A obtivemos uma família de cardinalidade 4.

6. Começando com qualquer A contido em R se, em algum ponto, aplicarmos F e
depois C, obteremos C(F(A)), um subconjunto aberto de R, o qual se expressa
de maneira única como uma reunião no máximo enumerável de intervalos
abertos dois a dois disjuntos.
Se os fechos desses intervalos forem disjuntos dois a dois, então cairemos
numa situação como a do exemplo acima. Logo, a idéia é adiar ao máximo a
aparição de um aberto cujo fecho seja uma união de intervalos fechados
(degenerados ou não) disjuntos dois a dois.

7. Por exemplo, se tivermos:
A_1 = (a,b) união (b,c), com a < b < c, então:
A_2 = F(A_1) = [a,c]
A_3 = C(A_2) = (-inf,a) união (c,+inf)
A_4 = F(A_3) = (-inf,a] união [c,+inf)
A_5 = C(A_4) = (a,c)
A_6 = F(A_5) = [a,c] = A_2 ==>
obtivemos uma família de cardinalidade 5.

8. Esse exemplo mostra que se algum A_k for uma reunião de intervalos abertos
cujos fechos não são disjuntos, teremos A_(k+1) = F(A_k) = união de intervalos
fechados disjuntos (cada dois intervalos abertos cujos fechos se intersectam
se fundirão num único intervalo fechado contendo ambos e, possivelemnte,
mais outros intervalos abertos).
A partir desse ponto, o primeiro exemplo mostra que geraremos apenas mais
três conjuntos inéditos - A_(k+2), A_(k+3) e A_(k+4). Teremos necessariamente
A_(k+5) = A_(k+1).

9. A seguir, partimos de A, uma união de intervalos abertos cujos fechos não
sejam disjuntos e tentamos obter o maior número possível de termos
anteriores a A na sequência.
Por exemplo, quem seria o antecessor de A = (-1,0) união (0,1)?
Como este conjunto é aberto, só pode ter sido obtido como complementar de
algum conjunto B.

10. Naturalmente, B = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf).
B é o fecho de algum C, por exemplo, C = (-inf,-1) união {0} união (1,+inf).
Finalmente, C é o complementar de D = [-1,0) união (0,1].
Não podemos voltar mais, pois D não é fechado e, portanto, não é fecho de
ninguém. D é o complementar de C, o que não adiciona nenhum conjunto
inédito. Logo, a sequência começa com D. Chamando este D de A_1, teremos:

11. A_1 = [-1,0) união (0,1]
A_2 = C(A_1) = (-inf,-1) união {0} união (1,+inf).
A_3 = F(A_2) = (-inf,-1] união {0} união [1,+inf)
A_4 = C(A_3) = (-1,0) união (0,1)
A_5 = F(A_4) = [-1,1]
A_6 = C(A_5) = (-inf,-1) união (1,+inf)
A_7 = F(A_6) = (-inf,-1] união [1,+inf)
A_8 = C(A_7) = (-1,1)
A_9 = F(A_8) = [-1,1] = A_5 ==>
cardinalidade = 8.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200504/msg00029.html