integral

1. Cálculo Diferencial Integral 2
Ementa
Derivadas parciais e superiores.
Referências Bibliográficas.
Básicas
Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. - Cálculo A Editora
Makron-Books
Ávila, G. - Introdução à Análise Matemática Editora Edgard
Blucher Ltda.
H. L. Guidorizzi. Um Curso de Cálculo. Vol. 1. Livros Técnicos
e Científ. Ed., 1997.
Complementares
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São
Paulo: McGraw-Hill, c1987.
E. W. Swokowski. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1.
Makron Books do Brasil Editora, São Paulo.
https://sites.google.com/site/calculosoresofe/

2. Problema
Em cada item a seguir, considere a função f e determine uma função
F, tal que
Integral Indefinida
).x(f)x('F =
x2)x(f)a =
Solução: ,x)x(F 2
= pois ).x(fx2)x(F ==′
2
x)x(f)b =
Solução: ,
3
x
)x(F
3
= pois =
′








=′
3
x
)x(F
3
)x(fxx3
3
1 22
==⋅
4
x)x(f)c =
Solução: ,
5
x
)x(F
5
= pois =
′








=′
5
x
)x(F
5
)x(fxx5
5
1 44
==⋅
12
x)x(f)d =
Solução: ,
13
x
)x(F
13
= =
′








=′
13
x
)x(F
13
)x(fxx13
13
1 1212
==⋅pois
n
x)x(f)e =
Solução:
( )
( )1n
x
)x(F
1n
+
=
+ ( )
( )
=
′








+
=′
+
1n
x
)x(F
1n
( )
( ) )x(fxx1n
1n
1 nn
==+⋅
+
pois
-1.neRn, ≠∈

3. x
1
x)x(f)f 1
== −
Solução:
xln)x(F =



<−
>
=
0xse),xln(
0xse),xln(
pois,
( )





<−
−
>
=
0xse,1
x
1
0xse,
x
1
)x('F






<
>
=
0xse,
x
1
0xse,
x
1
)x(f
x
1
)x('F ==
10
x)x(f)g =
Solução:
4
11
x
)x(F
11
+= =
′








+=′ 4
11
x
)x(F
11
)x(fx0x11
11
1 1010
==+⋅, pois
Você pode concluir que existem infinitas funções F(x) cuja derivada é
a função f(x).

4. )x(sen)x(f)h =
Solução: c)xcos()x(F +−= , c constante, pois ).x(sen)x(F =′
)x(sec)x(f)i 2
=
Solução: c)x(tg)x(F += , c constante, pois ).x(sec)x(F 2
=′
x
2)x(f)j =
Solução:
x
2
)2ln(
1
)x(F ⋅= c+ , c constante, pois ( )′
⋅=′ x
2
)2ln(
1
)x(F )2ln(2
)2ln(
1 x
⋅⋅= x
2=
x
5)x(f)l =
Solução:
c5
)5ln(
1
)x(F x
+⋅=
x
a)x(f)m =
Solução:
ca
)aln(
1
)x(F x
+⋅=
, c constante, pois ( )′
⋅=′ x
5
)5ln(
1
)x(F )5ln(5
)5ln(
1 x
⋅⋅= x
5=
, c constante, pois ( )′
⋅=′ x
a
)aln(
1
)x(F )aln(a
)aln(
1 x
⋅⋅= x
a=
x
e)x(f)n = Solução: ce)x(F x
+= , c constante.

5. Definição 1
Uma função F é a primitiva (ou antiderivada) de uma função f, em um
intervalo I, se F’(x) = f(x), para todo x pertencente ao intervalo I.
Observe que se F(x) é uma primitiva da função f(x), então F(x) + c, c
constante,também é uma primitiva da f(x), pois
( ) ).x(f)x(Fc)x(F =′=′+
Assim, você pode concluir que o conjunto das primitivas de uma função f
é infinito.
Pense e responda:Toda primitiva de uma função f é da forma F(x) + c?
Para responder a essa indagação, considere F(x) e G(x) duas primitivas
da função f. E seja H(x) a função definida por:
).x(F)x(G)x(H −=
Você pode determinar a derivada da função H(x) como:
)x(F)x(G)x(H ′−′=′ −= )x(f 0)x(f =
Assim, você pode concluir que H(x) é a função constante.
Daí, c)x(F)x(G =− c)x(F)x(G +=⇒
Logo, você pode concluir que toda primitiva de f é da forma F(x) + c.

6. Definição 2
O conjunto de toda as primitivas de uma função f, em um intervalo I, é
chamado integral indefinida da função f .
{ quetalconstante,c,c)x(F + })x(f)x('F =
Ou seja, o conjunto
é a integral indefinida da função f .
Notação:
∫ dx)x(f
Primitiva de f
Constante de integração
Sinal de integração
Integrando
Exemplo:
∫ xdx2 cx2
+=
{ } ==+ f(x)(x)'Fquetalconstante,c,c)x(F c)x(F +=

7. Calcule as integrais dadas a seguir:
∫ dxx)a 3
c
4
x4
+= ∫ dt)tcos()b csen(t) +=
∫ dx3)c x
c
)3ln(
3x
+= ∫ dxe)d x
cex
+=
∫dx)e cx += ∫ dt)t(eccos)f 2
c(t)gcot +−=
∫ dx
x
1
)g cxnl +=
∫ dx
x
1
)h 2
( )
∫= dxx 2-
( )
( )
c
12-
x 12-
+
+
=
+ ( )
( )
c
1-
x 1-
+= c
x
1
+−=
∫ dx
x-1
1
)i
2
c)xarcsen( +=

8. Propriedades
( )∫ + dx)x(g)x(f.1
∫∫ += dx)x(gdx)x(f
Exemplo:
( )∫ + dx)xcos(2x
∫∫ += dx)xcos(dx2x
21
x
c)x(senc
)2ln(
2
+++=
c)x(sen
)2ln(
2x
++=
( )∫ ⋅ dx)x(fc.2
∫= dx)x(fc
Exemplo:
∫ dx)x(sen5
∫= dx)x(sen5 ( )c)xcos(5 +−= c)xcos(5 +−=
Exemplo:
( )∫ − dxx3x 24
5
x5
=
3
x
3
3
− c+ cx
5
x 3
5
+−=