1. O documento apresenta 25 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências, retas e regiões planas.
2. As questões abordam tópicos como equações de circunferências e retas, pontos de interseção, tangência, áreas de regiões e triângulos.
3. São solicitados cálculos, identificação e representação gráfica de elementos geométricos no plano cartesiano.
O documento fornece informações sobre ângulos, incluindo sua definição, classificação, propriedades e problemas de cálculo envolvendo ângulos. É apresentada a definição formal de ângulo e sua classificação de acordo com a medida, soma e posição. Propriedades como ângulos entre retas paralelas e perpendiculares também são explicadas, assim como problemas de resolução envolvendo ângulos.
Neste documento, são apresentados os seguintes tópicos sobre logaritmos:
1) A definição básica de logaritmo relaciona o expoente de uma potência com o logaritmo de sua base;
2) São mostradas propriedades fundamentais como a aditividade de logaritmos de produtos e a subtratividade de logaritmos de quocientes;
3) É explicado o cálculo de logaritmos utilizando tábuas ou propriedades algébricas.
Exercícios resolvidos de lançamento oblíquoovodomina
(1) O documento apresenta uma série de exercícios sobre lançamento oblíquo que envolvem o cálculo de alturas, velocidades, tempos e alcances de objetos lançados.
(2) São apresentados gráficos e figuras para ilustrar as trajetórias dos objetos lançados e dados numéricos sobre ângulos, velocidades e distâncias.
(3) Os exercícios devem ser resolvidos usando conceitos de cinemática do ponto material como aceleração da gravidade, equações do movimento
Operações de polinômios utilizando o material dourado uma opção bem legal para entender o que é e para que serve e onde encontramos o cálculo algébrico álgebra
(1) O documento apresenta 7 questões sobre plano cartesiano. (2) As questões abordam identificar figuras geométricas, calcular perímetro e área de terreno, localizar pontos no plano e identificar quadrantes. (3) A última questão pede para localizar pontos A, B, C e D no plano cartesiano fornecido.
O documento apresenta uma lista de 53 exercícios de geometria plana sobre ângulos, triângulos e paralelismo de retas. Os exercícios envolvem cálculos de medidas de ângulos, propriedades de figuras planas e relações métricas entre os elementos das figuras.
O documento descreve os principais conceitos relacionados a ângulos em geometria, incluindo os elementos de um ângulo, medidas de ângulos em graus, minutos e segundos, operações com medidas de ângulos, tipos de ângulos e relações entre ângulos.
O documento fornece informações sobre ângulos, incluindo sua definição, classificação, propriedades e problemas de cálculo envolvendo ângulos. É apresentada a definição formal de ângulo e sua classificação de acordo com a medida, soma e posição. Propriedades como ângulos entre retas paralelas e perpendiculares também são explicadas, assim como problemas de resolução envolvendo ângulos.
Neste documento, são apresentados os seguintes tópicos sobre logaritmos:
1) A definição básica de logaritmo relaciona o expoente de uma potência com o logaritmo de sua base;
2) São mostradas propriedades fundamentais como a aditividade de logaritmos de produtos e a subtratividade de logaritmos de quocientes;
3) É explicado o cálculo de logaritmos utilizando tábuas ou propriedades algébricas.
Exercícios resolvidos de lançamento oblíquoovodomina
(1) O documento apresenta uma série de exercícios sobre lançamento oblíquo que envolvem o cálculo de alturas, velocidades, tempos e alcances de objetos lançados.
(2) São apresentados gráficos e figuras para ilustrar as trajetórias dos objetos lançados e dados numéricos sobre ângulos, velocidades e distâncias.
(3) Os exercícios devem ser resolvidos usando conceitos de cinemática do ponto material como aceleração da gravidade, equações do movimento
Operações de polinômios utilizando o material dourado uma opção bem legal para entender o que é e para que serve e onde encontramos o cálculo algébrico álgebra
(1) O documento apresenta 7 questões sobre plano cartesiano. (2) As questões abordam identificar figuras geométricas, calcular perímetro e área de terreno, localizar pontos no plano e identificar quadrantes. (3) A última questão pede para localizar pontos A, B, C e D no plano cartesiano fornecido.
O documento apresenta uma lista de 53 exercícios de geometria plana sobre ângulos, triângulos e paralelismo de retas. Os exercícios envolvem cálculos de medidas de ângulos, propriedades de figuras planas e relações métricas entre os elementos das figuras.
O documento descreve os principais conceitos relacionados a ângulos em geometria, incluindo os elementos de um ângulo, medidas de ângulos em graus, minutos e segundos, operações com medidas de ângulos, tipos de ângulos e relações entre ângulos.
A subtração é a operação matemática inversa da adição. Ela é representada por um número subtraído de outro e produz como resultado a diferença entre eles. A propriedade fundamental da subtração é que a soma do subtrativo com a diferença é igual ao aditivo original.
1) O documento apresenta 7 exercícios sobre funções afins e lineares. Os exercícios 1-5 pedem para representar graficamente funções, determinar raízes/zeros de equações e valores de funções para entradas específicas. Os exercícios 6-7 pedem para analisar propriedades e o gráfico de uma função linear específica, como crescimento, zero, interseção com eixo y e valores de x.
Números inteiros relativos multiplicação e divisãoPatriciaLavos
O documento discute as operações de multiplicação e divisão com números inteiros relativos. Explica as regras dos sinais para a multiplicação e divisão, como sinais iguais resultam em positivo e sinais diferentes resultam em negativo. Fornece exemplos e exercícios para a prática dessas operações.
1) O documento contém exercícios de matemática básica como preenchimento de pirâmides numéricas, extratos bancários e operações algébricas envolvendo adição e subtração de números positivos e negativos.
O documento apresenta exemplos de problemas de contagem que envolvem o princípio multiplicativo e sua resolução. Aborda conceitos como número de possibilidades, combinações e permutações que podem ser resolvidos usando a fórmula do princípio multiplicativo. Fornece também exemplos passo a passo de como aplicar a fórmula para chegar à solução de problemas relacionados a contagem.
A professora Valquiria Rodrigues do Nascimento preparou uma lista de exercícios para seus alunos. A lista inclui exercícios para serem feitos em casa e devolve-los na próxima aula.
Este documento fornece uma introdução sobre raiz quadrada, explicando que se refere ao lado de um quadrado com determinada área. Ele apresenta exemplos de como calcular a raiz quadrada de números e define que apenas números perfeitos quadrados possuem raiz quadrada. Por fim, sugere construir uma tabela com raízes quadradas.
O documento apresenta uma nova forma de entender as operações com números negativos utilizando analogias com dinheiro, dívidas e pagamentos. As regras de soma, subtração, multiplicação e divisão são explicadas relacionando números positivos a valores pagos e negativos a dívidas. A potenciação também é abordada relacionando-a à multiplicação de fatores. O objetivo é facilitar o entendimento conceitual das operações.
O documento resume os principais tópicos de matemática básica, incluindo operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais, exponenciais e sistemas de equações. É dividido em 22 seções que cobrem esses tópicos e fornecem exemplos passo a passo de como resolvê-los.
O documento apresenta exercícios sobre matrizes e determinantes. No primeiro exercício sobre matrizes, pede para calcular 2A + 3B para diferentes matrizes A e B. No segundo exercício, pede para escrever uma matriz A na forma de produto escalar e produto de matrizes. No terceiro, calcula produtos de matrizes e vetores. Sobre determinantes, pede para calcular determinantes, identificar valores que anulam determinantes e usar o teorema de Laplace.
Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau.pptCleiton Melo
1) O documento descreve a vida e obra de Isaac Newton, incluindo seu nascimento na Inglaterra no século XVII e suas descobertas fundamentais em matemática, física e astronomia.
2) A resolução de problemas envolvendo equações de 2o grau é explicada através de exemplos que demonstram como formular a equação a partir do enunciado, resolver a equação e interpretar a solução no contexto original do problema.
3) Sete exemplos ilustram o passo-a-passo para a formulação e resolução de equ
1) O documento discute resolução de equações do 1o grau, incluindo equações com termos, parênteses, frações e múltiplos passos de resolução.
2) Uma equação é resolvida determinando o número que substitui a incógnita para tornar a equação numa igualdade numérica verdadeira.
3) Para resolver equações com parênteses ou frações, os passos incluem simplificar expressões, reduzir termos a um denominador comum e isolar a incógnita.
O documento define conjuntos numéricos e suas propriedades. Descreve os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais e apresenta subconjuntos destes como os números não nulos, não negativos, positivos e negativos. Exemplos ilustram como localizar números nos conjuntos.
O documento discute os conceitos de reflexão regular e difusa da luz, as leis da reflexão e apresenta exercícios sobre reflexão de raios luminosos em espelhos planos.
O documento discute funções logarítmicas, definindo logaritmos, propriedades e exemplos de logaritmos com diferentes bases. Também apresenta gráficos das funções exponencial e logarítmica, equações e desigualdades logarítmicas.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
Este documento discute as regras para potências com bases negativas. Explica que (1) potências com expoentes pares de bases negativas resultam em números positivos, enquanto potências com expoentes ímpares resultam em números negativos, (2) potências com expoente 1 são iguais à base, e potências com expoente 0 são iguais a 1 para bases diferentes de 0. Fornece exemplos para ilustrar essas regras e enfatiza a importância de prestar atenção aos sinais ao trabalhar com potências.
Lista (5) de exercícios adição e subtração 2 parte (gabaritada)Olicio Silva
Este documento contém um conjunto de exercícios de matemática sobre números inteiros. Inclui questões sobre adição, subtração, representação em uma reta numérica e preenchimento de tabelas. O último exercício pede para calcular o saldo final de uma conta bancária depois de um depósito e pagamentos de contas.
1. O documento apresenta uma lista de 50 exercícios de geometria que abordam tópicos como triângulos retângulos, polígonos regulares, relações métricas e ângulos.
2. Os exercícios envolvem cálculos e determinação de medidas utilizando fórmulas trigonométricas e propriedades geométricas.
3. A lista tem como objetivo a revisão de conteúdos de geometria e é destinada a alunos do IFMA.
O documento apresenta 3 exercícios de geometria. O primeiro exercício descreve o custo de uma obra em função do número de meses e pede para determinar a função que representa o gráfico e calcular o custo total para 10 meses. O segundo exercício mostra gráficos de receita e custo de um produto e pede para calcular o lucro para 1350 unidades. O terceiro exercício fala sobre gastos públicos com aposentadoria, educação e saúde e pede para estimar gastos futuros e verificar se os gráficos se interceptarão.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de geometria para o 3o ano com questões sobre circunferências, triângulos e suas propriedades.
2) As questões envolvem cálculo de áreas de triângulos, equações de circunferências circunscritas e inscritas, pontos internos e externos a circunferências e tangência entre circunferências e retas.
3) A lista contém 16 exercícios com diferentes níveis de complexidade sobre os principais conceitos geométricos estudados no 3o ano.
A subtração é a operação matemática inversa da adição. Ela é representada por um número subtraído de outro e produz como resultado a diferença entre eles. A propriedade fundamental da subtração é que a soma do subtrativo com a diferença é igual ao aditivo original.
1) O documento apresenta 7 exercícios sobre funções afins e lineares. Os exercícios 1-5 pedem para representar graficamente funções, determinar raízes/zeros de equações e valores de funções para entradas específicas. Os exercícios 6-7 pedem para analisar propriedades e o gráfico de uma função linear específica, como crescimento, zero, interseção com eixo y e valores de x.
Números inteiros relativos multiplicação e divisãoPatriciaLavos
O documento discute as operações de multiplicação e divisão com números inteiros relativos. Explica as regras dos sinais para a multiplicação e divisão, como sinais iguais resultam em positivo e sinais diferentes resultam em negativo. Fornece exemplos e exercícios para a prática dessas operações.
1) O documento contém exercícios de matemática básica como preenchimento de pirâmides numéricas, extratos bancários e operações algébricas envolvendo adição e subtração de números positivos e negativos.
O documento apresenta exemplos de problemas de contagem que envolvem o princípio multiplicativo e sua resolução. Aborda conceitos como número de possibilidades, combinações e permutações que podem ser resolvidos usando a fórmula do princípio multiplicativo. Fornece também exemplos passo a passo de como aplicar a fórmula para chegar à solução de problemas relacionados a contagem.
A professora Valquiria Rodrigues do Nascimento preparou uma lista de exercícios para seus alunos. A lista inclui exercícios para serem feitos em casa e devolve-los na próxima aula.
Este documento fornece uma introdução sobre raiz quadrada, explicando que se refere ao lado de um quadrado com determinada área. Ele apresenta exemplos de como calcular a raiz quadrada de números e define que apenas números perfeitos quadrados possuem raiz quadrada. Por fim, sugere construir uma tabela com raízes quadradas.
O documento apresenta uma nova forma de entender as operações com números negativos utilizando analogias com dinheiro, dívidas e pagamentos. As regras de soma, subtração, multiplicação e divisão são explicadas relacionando números positivos a valores pagos e negativos a dívidas. A potenciação também é abordada relacionando-a à multiplicação de fatores. O objetivo é facilitar o entendimento conceitual das operações.
O documento resume os principais tópicos de matemática básica, incluindo operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais, exponenciais e sistemas de equações. É dividido em 22 seções que cobrem esses tópicos e fornecem exemplos passo a passo de como resolvê-los.
O documento apresenta exercícios sobre matrizes e determinantes. No primeiro exercício sobre matrizes, pede para calcular 2A + 3B para diferentes matrizes A e B. No segundo exercício, pede para escrever uma matriz A na forma de produto escalar e produto de matrizes. No terceiro, calcula produtos de matrizes e vetores. Sobre determinantes, pede para calcular determinantes, identificar valores que anulam determinantes e usar o teorema de Laplace.
Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau.pptCleiton Melo
1) O documento descreve a vida e obra de Isaac Newton, incluindo seu nascimento na Inglaterra no século XVII e suas descobertas fundamentais em matemática, física e astronomia.
2) A resolução de problemas envolvendo equações de 2o grau é explicada através de exemplos que demonstram como formular a equação a partir do enunciado, resolver a equação e interpretar a solução no contexto original do problema.
3) Sete exemplos ilustram o passo-a-passo para a formulação e resolução de equ
1) O documento discute resolução de equações do 1o grau, incluindo equações com termos, parênteses, frações e múltiplos passos de resolução.
2) Uma equação é resolvida determinando o número que substitui a incógnita para tornar a equação numa igualdade numérica verdadeira.
3) Para resolver equações com parênteses ou frações, os passos incluem simplificar expressões, reduzir termos a um denominador comum e isolar a incógnita.
O documento define conjuntos numéricos e suas propriedades. Descreve os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais e apresenta subconjuntos destes como os números não nulos, não negativos, positivos e negativos. Exemplos ilustram como localizar números nos conjuntos.
O documento discute os conceitos de reflexão regular e difusa da luz, as leis da reflexão e apresenta exercícios sobre reflexão de raios luminosos em espelhos planos.
O documento discute funções logarítmicas, definindo logaritmos, propriedades e exemplos de logaritmos com diferentes bases. Também apresenta gráficos das funções exponencial e logarítmica, equações e desigualdades logarítmicas.
O documento discute equações e funções exponenciais. Primeiro, apresenta propriedades de equações exponenciais e como resolvê-las. Em seguida, discute inequações exponenciais e como determinar seus domínios. Por fim, define funções exponenciais, mostra seus gráficos e domínios, e exemplifica como resolver problemas envolvendo tais funções.
Este documento discute as regras para potências com bases negativas. Explica que (1) potências com expoentes pares de bases negativas resultam em números positivos, enquanto potências com expoentes ímpares resultam em números negativos, (2) potências com expoente 1 são iguais à base, e potências com expoente 0 são iguais a 1 para bases diferentes de 0. Fornece exemplos para ilustrar essas regras e enfatiza a importância de prestar atenção aos sinais ao trabalhar com potências.
Lista (5) de exercícios adição e subtração 2 parte (gabaritada)Olicio Silva
Este documento contém um conjunto de exercícios de matemática sobre números inteiros. Inclui questões sobre adição, subtração, representação em uma reta numérica e preenchimento de tabelas. O último exercício pede para calcular o saldo final de uma conta bancária depois de um depósito e pagamentos de contas.
1. O documento apresenta uma lista de 50 exercícios de geometria que abordam tópicos como triângulos retângulos, polígonos regulares, relações métricas e ângulos.
2. Os exercícios envolvem cálculos e determinação de medidas utilizando fórmulas trigonométricas e propriedades geométricas.
3. A lista tem como objetivo a revisão de conteúdos de geometria e é destinada a alunos do IFMA.
O documento apresenta 3 exercícios de geometria. O primeiro exercício descreve o custo de uma obra em função do número de meses e pede para determinar a função que representa o gráfico e calcular o custo total para 10 meses. O segundo exercício mostra gráficos de receita e custo de um produto e pede para calcular o lucro para 1350 unidades. O terceiro exercício fala sobre gastos públicos com aposentadoria, educação e saúde e pede para estimar gastos futuros e verificar se os gráficos se interceptarão.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de geometria para o 3o ano com questões sobre circunferências, triângulos e suas propriedades.
2) As questões envolvem cálculo de áreas de triângulos, equações de circunferências circunscritas e inscritas, pontos internos e externos a circunferências e tangência entre circunferências e retas.
3) A lista contém 16 exercícios com diferentes níveis de complexidade sobre os principais conceitos geométricos estudados no 3o ano.
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta 30 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências e retas tangentes.
2) Muitas questões fornecem equações de circunferências e pedem para identificar informações geométricas como pontos, retas e valores associados.
3) O gabarito no final fornece as respostas corretas para as 30 questões, identificando a alternativa certa para cada uma.
O documento apresenta uma lista de 10 exercícios de geometria envolvendo cálculos de volumes de figuras geométricas como cubos, paralelepípedos, prisma triangular e hexagonal. Os exercícios pedem para calcular volumes dados as dimensões, determinar o tempo para encher uma piscina dada a vazão de bombeamento de água, e calcular custos de produção de objetos a partir de seus volumes.
1) O documento descreve as principais características geométricas de cônicas como circunferências, elipses, hipérboles e parábolas, incluindo suas equações.
2) São apresentadas as posições relativas entre pontos, retas e circunferências, assim como entre duas circunferências.
3) São definidos os elementos fundamentais de cada cônica, como focos, vértices, eixos e suas equações reduzidas.
1) O documento fornece resumos sobre conceitos e fórmulas relacionadas a circunferências, incluindo definição, equações reduzida e geral, determinação de centro e raio, reconhecimento e existência.
2) São apresentados tópicos de ajuda para resolução de exercícios envolvendo posições relativas entre retas e circunferências, entre duas circunferências, e interseção entre curvas.
3) Exemplos de exercícios de revisão são fornecidos para teste dos conceitos aprendidos
O documento discute porcentagem, definindo-a como uma centésima parte de uma quantidade ou cálculo baseado em 100 unidades. Explica como calcular aumentos, descontos e porcentagens usando proporções simples, e fornece exemplos para ilustrar como fazer esses cálculos.
O documento apresenta os conceitos básicos de porcentagem, incluindo simbologia, cálculos, tipos de problemas e técnicas para resolvê-los. É explicado como calcular problemas simples, com aumento e desconto, além de porcentagens consecutivas. Exemplos ilustram cada tópico para melhor compreensão do leitor.
O documento apresenta 51 questões de geometria analítica sobre coordenadas cartesianas, distâncias entre pontos, triângulos e outros objetos geométricos no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como determinação de pontos, classificação e propriedades de triângulos, equações de retas e circunferências, e cálculo de áreas.
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Marcos Azevedo
Este documento apresenta um plano de curso para o primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática. Aborda tópicos como introdução ao estudo do ponto, reta, circunferência e cônicas na geometria analítica, mostrando como representá-los algebraicamente através de coordenadas cartesianas. Também discute conceitos como distância entre pontos, ponto médio de um segmento e baricentro de um triângulo.
Grupo de Estudos - Aula 1 - PorcentagemAmanda Saito
O documento apresenta os conceitos básicos de porcentagem, incluindo definição, conversão de frações para porcentagem, regra de três e exemplos práticos. Explica que porcentagem é uma fração de 100 que representa uma parte em relação ao todo. Mostra como calcular porcentagens usando a regra de três e como converter frações para porcentagem passando-as primeiro para forma decimal e depois multiplicando por 100.
O documento apresenta exercícios sobre circunferências para alunos do 6o ano. Os exercícios incluem definir termos como circunferência, raio, diâmetro e corda; identificar elementos de uma circunferência; traçar circunferências e arcos usando compasso; e completar medidas de raios e diâmetros de circunferências dados.
1. O documento apresenta 28 questões sobre circunferências no plano cartesiano. As questões abordam conceitos como equações de circunferências, pontos de interseção entre circunferências e retas, tangência, raio, centro e regiões delimitadas por circunferências.
Este documento contém 15 exercícios sobre retas no plano cartesiano. Os exercícios envolvem conceitos como coeficiente angular de retas, equações de retas, interseção entre retas e curvas, áreas de polígonos formados por retas e triângulos. O gabarito no final indica as alternativas corretas para cada um dos 15 exercícios propostos.
1) O documento apresenta 12 questões sobre cônicas (circunferências, parábolas e elipses) e seus sistemas de equações analíticas no plano cartesiano.
2) As questões abordam tópicos como interseção entre curvas, propriedades geométricas como distância entre pontos e centros de figuras, e sistemas de equações e inequações.
3) Há também uma questão sobre a modelagem matemática da iluminação de ruas por meio de elipses.
Lista de exercícios geometria analítica - retas e circunferênciasbevenut
1. O documento contém 30 questões sobre geometria analítica envolvendo retas, circunferências e suas propriedades como equações, pontos de interseção, distâncias e ângulos.
2. As questões abordam tópicos como determinação de equações de retas e circunferências, cálculo de distâncias, identificação de propriedades geométricas de figuras planas e resolução de problemas envolvendo esses conceitos.
3. As alternativas de resposta para cada questão variam de letras entre a e e.
Este documento apresenta 20 exercícios de geometria envolvendo circunferências, como determinar equações de circunferências tangentes ou secantes a retas, pontos de interseção, centros e raios. As respostas são fornecidas no "Gabarito".
1. O documento apresenta 32 questões sobre circunferências, envolvendo cálculo de equações, determinação de centros, raios, pontos de interseção e tangência. As questões abordam conceitos como circunferências inscritas em quadrados e triângulos, retas tangentes e diâmetros.
O documento apresenta os tópicos de um módulo de matemática sobre geometria analítica, incluindo pontos e retas, circunferência, cônicas, números complexos e polinômios. Há também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
O documento contém 28 exercícios sobre curvas e superfícies em coordenadas cartesianas e cilíndricas. Os exercícios incluem identificar equações de curvas e superfícies, esboçar gráficos, e encontrar interseções entre curvas e superfícies. Muitos exercícios envolvem sólidos definidos por combinações de curvas e superfícies.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
O documento contém 38 exercícios de matemática sobre geometria analítica, geometria plana e espacial, números complexos e polinômios. Os alunos devem resolver as questões sem o uso de calculadora.
Este documento apresenta um teste de matemática do 10o ano com questões de escolha múltipla e questões abertas. A primeira parte contém 5 questões de escolha múltipla sobre geometria espacial, equações e conjuntos de pontos. A segunda parte apresenta 4 questões abertas sobre distâncias, coordenadas, conjuntos de pontos e volumes relacionados a figuras geométricas. O teste é avaliado com 200 pontos no total.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cônicas com 10 questões sobre parábolas, 20 sobre elipses e hipérboles, e as demais sobre diversos tópicos relacionados a cônicas.
2) São solicitados elementos como equações, vértices, focos, diretrizes, eixos e outros itens geométricos de várias curvas como parábolas, elipses e hipérboles.
3) Há também exercícios sobre lugares geométricos relacionados a distâncias e âng
Este documento contém 20 questões de matemática sobre geometria analítica no plano cartesiano. As questões envolvem conceitos como equações de retas e circunferências, áreas de figuras planas, e propriedades de triângulos e parábolas. O gabarito fornecido apresenta as respostas corretas para cada uma das questões.
1) O documento contém 10 questões sobre cônicas como elipses, hipérboles, parábolas e circunferências.
2) As questões abordam conceitos como focos, excentricidade, equações de cônicas, distâncias entre pontos e retas.
3) O gabarito indica as alternativas corretas para cada uma das 10 questões sobre as propriedades geométricas e algébricas de cônicas.
1. O documento apresenta as definições e fórmulas fundamentais para geometria analítica, incluindo equações de circunferências, distâncias entre pontos e posições relativas de pontos e retas em relação a circunferências.
2. São listados 10 exercícios para a prova sobre esses conceitos, como determinar pontos de interseção de retas e circunferências e equações de circunferências tangentes a retas.
3. As respostas aos exercícios são fornecidas.
1) O documento apresenta 20 exercícios de matemática da Fuvest, cobrindo tópicos como geometria plana e espacial, trigonometria, álgebra, progressões aritméticas e probabilidade.
2) Os exercícios envolvem cálculos e resoluções de sistemas de equações, determinação de áreas, volumes, razões, probabilidades e outras grandezas matemáticas.
3) As questões requerem diferentes níveis de raciocínio matemático para chegar às respostas corretas.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria plana e trigonometria. As questões envolvem triângulos, circunferências, retas e áreas de figuras planas, como determinar coordenadas de pontos, equações de circunferências e áreas de triângulos e retângulos.
1. O documento apresenta questões de matemática do 10o ano sobre geometria, álgebra e funções. 2. Aborda temas como hexágonos regulares, interseção de superfícies, áreas de triângulos, funções e suas propriedades gráficas. 3. Inclui também exercícios sobre representação de regiões planas, esferas, propriedades de funções e interpretação de gráficos.
1. O documento apresenta 30 questões de geometria analítica sobre sistemas de coordenadas cartesianas, distâncias entre pontos, equações de retas e circunferências, propriedades de triângulos e determinação de pontos e vértices.
Semelhante a questões de vestibular Circunferência (2009 a 2011) (20)
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...
questões de vestibular Circunferência (2009 a 2011)
1. Interbits – SuperPro ® Web
1. (Fuvest 2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x - 2)2 + (y -
2)2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a:
a) 2 2 - 2
b) 2 2 - 1
c) 2 2
d) 2 2 + 2
e) 2 2 + 4
2. (Fuvest 2009) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = (-5, 1) e é
tangente à reta t de equação 4x - 3y - 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção
da reta t com o eixo Ox.
Assim:
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Escreva uma equação para a circunferência C.
c) Calcule a área do triangulo APQ.
3. (Ufc 2009) Considere as seguintes regiões do plano cartesiano xOy:
A = {P(x,y); x2 + y2 - 4x - 4y + 4 ≤ 0} e
B = {P(x,y); 0 ≤ y ≤ x ≤ 4}.
a) Identifique e esboce graficamente a região A.
b) Identifique e esboce graficamente a região B.
c) Calcule a área da região A B.⋂
4. (Ufrj 2009) Os pontos ( - 6, 2), ( 3, - 1), e ( - 5, - 5) pertencem a uma circunferência.
Determine o raio dessa circunferência.
5. (Ufsc 2009) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01) O efeito estufa é a retenção de calor na Terra causada pela concentração de diversos tipos
de gases na atmosfera. Segundo os cientistas, o resultado mais direto do efeito estufa será o
aumento da temperatura do planeta em até 5,8°C ao final de 100 anos. Supondo que nos
próximos 100 anos a temperatura do planeta aumente linearmente em função do tempo, então
daqui a aproximadamente 34,4 anos haverá um acréscimo de 2°C nessa temperatura.
02) A figura a seguir representa parte do mapa de um país, em que o ponto C(6,0) foi o
epicentro de um terremoto cujos efeitos foram sentidos, no máximo, até um raio de 5 km.
(Considere 1 unidade linear do plano cartesiano correspondendo a 1 km.) Com base na figura,
pode-se afirmar que a região afetada pelo terremoto é representada, nesse sistema de eixos,
pela inequação x2 + y2 + 12x + 11 ≤ 0.
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04) Um projétil desloca-se no plano cartesiano e seus deslocamentos, em metros, na horizontal
e na vertical, são descritos, respectivamente, pelas equações:
x t 5
y 3t 6
= +
= +
em que t(t ≥0) representa o tempo em minutos. A distância percorrida pelo projétil entre o ponto
A, para t = 0, e o ponto B, para t = 5 minutos, é de 20 metros.
08) Se, a partir de cada vértice de um cubo de madeira com x (x >2) cm de aresta retirou-se um
cubinho com 1 cm de aresta, então o volume do bloco remanescente, em cm3, após a retirada
dos pequenos cubos, é V = (x2 + 2x +4)(x - 2).
6. (Unicamp 2009) A circunferência de centro em (2, 0) e tangente ao eixo y é interceptada pela
circunferência C, definida pela equação x2 + y2 = 4, e pela semirreta que parte da origem e faz
ângulo de 30° com o eixo-x, conforme a figura a seguir.
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a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Calcule a área da região sombreada.
7. (Fuvest 2010) No plano cartesiano x0y, a reta de equação x + y = 2 é tangente à circunferência
C no ponto (0,2).
Além disso, o ponto (1,0) pertence a C. Então, o raio de C é igual a
a)
3 2
2
b)
5 2
2
c)
7 2
2
d)
9 2
2
e)
11 2
2
8. (Ufrgs 2010) Os pontos de interseção do círculo de equação (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os
eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é
a) 22.
b) 24.
c) 25.
d) 26.
e) 28
9. (Fgv 2010) Dada a circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de
ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e:
a) 10
b) 10,5
c) 11
d) 11,5
e) 1
10. (Ita 2010) Considere as circunferências C1: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4 e C2: (x – 10)2 + (y – 11)2
= 9. Seja r uma reta tangente interna a C1 e C2, isto e, r tangência C1 e C2 e intercepta o
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segmento de reta 1 2O O definido pelos centros O1 de C1 e C2 de C2. Os pontos de tangência
definem um segmento sobre r que mede
a) 5 3 .
b) 4 5.
c) 3 6.
d)
25
.
3
e) 9.
11. (Ita 2010) Determine uma equação da circunferência inscrita no triangulo cujos vértices são A
= (1,1), B = (1,7) e C = (5,4) no plano xOy.
12. (Fgv 2010) A representação gráfica da equação (x + y)2 = x2 + y2 no sistema cartesiano
ortogonal é
a) o conjunto vazio.
b) um par de retas perpendiculares.
c) um ponto.
d) um par de pontos.
e) um círculo.
13. (Fuvest 2010) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão
representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função
8
y
x
=
Nessas condições, determine
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da
função.
b) a área do pentágono OABCD.
14. (Ufc 2010) Em um sistema Cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta y =
x + b é tangente ao círculo de equação x2 + y2 = 1 é:
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a) 2
b) 1
c) 2
d)
1
2
e) 3
15. (G1 - cftsc 2010) Dada a figura abaixo cujas medidas estão expressas em centímetros,
e as proposições:
I – é uma circunferência de diâmetro 2 cm.
II – é uma circunferência de área 4 π cm².
III – é uma circunferência de equação x² + y² = 4.
Considerando as proposições apresentadas, assinale a alternativa correta:
a) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.
b) Apenas as proposições I e II são verdadeiras.
c) Apenas a proposição III é verdadeira.
d) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
e) Apenas a proposição II é verdadeira.
16. (Ufpr 2010) A figura a seguir mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C
sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades.
a) Sabendo que A = (8,4) e que r: 3y + x = 20 é a reta que passa por A e B, calcule a área do
triângulo CAB.
b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na figura acima, no qual a reta r intercepta a
circunferência.
17. (Ufu 2010) No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela equação cartesiana x2 +
y2 = 5 e a reta r descrita pela equação cartesiana y = 2x. Assim, r intersecta S nos pontos A e B.
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Considerando uma nova reta h, descrita pela equação cartesiana y = x + 1, esta reta intersecta S
nos pontos A e C.
a) Determine os pontos A, B e C.
b) Determine a área de triângulo de vértices A, B e C.
18. (Unicamp simulado 2011) No desenho abaixo, que não está em escala, a reta y = 3x é
perpendicular à reta que passa pelo ponto (2,0). O ponto de interseção dessas retas é A. A
equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x é dada por
a)
2 2
1 3 3
x – y – .
5 5 5
+ = ÷ ÷
b)
2 2
3 1 1
x – y – .
5 5 5
+ = ÷ ÷
c)
2 2
1 3 9
x – y – .
5 5 25
+ = ÷ ÷
d)
2 2
3 1 1
x – y – .
5 5 25
+ = ÷ ÷
19. (Uft 2010) Considere as equações das circunferências
C1: x2 – 2x + y2 – 2y = 0
C2: x2 – 4x + y2 – 4y = 0
cujos gráficos estão representados abaixo:
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A área da região hachurada é:
a) 3π unidades de área.
b) π unidades de área.
c) 5π unidades de área.
d) 6π unidades de área.
e)
2
π
unidades de área.
20. (Unemat 2010) Dada uma circunferência de centro C (3; 1) e raio r = 5 e, seja o ponto P (0;a) ,
com a R∈ , é correto afirmar.
a) Se - 3 < a < 5, então P é externo à circunferência.
b) Se - 3 < a < 5, então P é pertence à circunferência.
c) Se a = 5 ou a = -3, então P é interno à circunferência.
d) Se a < -3 ou a > 5, então P é externo à circunferência.
e) Se a < -3 ou a > 5, então P é interno à circunferência.
21. (Uece 2010) No sistema usual de coordenadas cartesianas, a equação da circunferência
inscrita no quadrado representado pela equação | x | +| y | = 1 é
a) 2x2 + 2y2 + 1= 0.
b) x2 + y2 – 1= 0.
c) 2x2 + 2y2 – 1= 0.
d) x2 + y2 – 2 = 0.
22. (Fgv 2011) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo
quadrante, tangencia os eixos x e y.
Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é:
a) ( ) ( )2 2
x y 2 10 x 2 10 y 10 0+ + − + =
b) ( ) ( )2 2
x y 2 8 x 2 8 y 8 0+ + − + =
c) ( ) ( )2 2
x y 2 10 x 2 10 y 10 0+ + + + =
d) ( ) ( )2 2
x y 2 8 x 2 8 y 8 0+ − + + =
e)
2 2
x y 4x 4y 4 0+ − + + =
23. (Fgv 2011) No plano cartesiano, a reta tangente à circunferência de equação x2 + y2 = 8, no
ponto P de coordenadas (2, 2), intercepta a reta de equação y = 2x no ponto:
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a)
7 14
,
16 6
÷
b)
6 12
,
5 5
÷
c)
5 10
,
4 4
÷
d)
4 8
,
3 3
÷
e)
3
,3
2
÷
24. (Ita 2011) Sejam m e n inteiros tais que
m 2
n 3
= − é a equação 36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0
representa uma circunferência de raio r = 1 cm e centro C localizado no segundo quadrante. Se
A e B são os pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em cm2, é
igual a
a)
8 2
3
b)
4 2
3
c)
2 2
3
d)
2 2
9
e)
2
9
25. (Ufjf 2011) No plano cartesiano, seja λ a circunferência de centro C = (3,5) e raio 4 e seja r a
reta de equação y = -x + 6 .
a) Determine todos os valores de x para os quais o ponto P = (x, y) pertence à reta r e está no
interior da circunferência λ .
b) Encontre a equação cartesiana da circunferência 1λ concêntrica à circunferência λ e
tangente à reta r.
26. (Unicamp 2011) Suponha um trecho retilíneo de estrada, com um posto rodoviário no
quilômetro zero. Suponha, também, que uma estação da guarda florestal esteja localizada a 40
km do posto rodoviário, em linha reta, e a 24 km de distância da estrada, conforme a figura a
seguir.
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a) Duas antenas de rádio atendem a região. A área de cobertura da primeira antena, localizada
na estação da guarda florestal, corresponde a um círculo que tangencia a estrada. O alcance
da segunda, instalada no posto rodoviário, atinge, sem ultrapassar, o ponto da estrada que
está mais próximo da estação da guarda florestal. Explicite as duas desigualdades que
definem as regiões circulares cobertas por essas antenas, e esboce essas regiões no gráfico
abaixo, identificando a área coberta simultaneamente pelas duas antenas.
b) Pretende-se substituir as antenas atuais por uma única antena, mais potente, a ser instalada
em um ponto da estrada, de modo que as distâncias dessa antena ao posto rodoviário e à
estação da guarda florestal sejam iguais. Determine em que quilômetro da estrada essa
antena deve ser instalada.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral,
a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os
quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano
cartesiano.
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura,
enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é formada pelos pontos
equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.
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27. (Unicamp 2011) O ponto de interseção das avenidas Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à
região definida por
a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1.
b) (x − 1)2 + (y − 5)2 ≤ 2.
c) x ∈]1, 3[, y ∈]4, 6[.
d) x = 2, y ∈[5, 7].
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
Resposta da questão 2:
a) P (-1,-2)
b) (x + 5)2 + (y - 1)2=25
c) 25/4 u.a.
Resposta da questão 3:
a) Completando os quadrados, obtemos
2 2
2 2
2 2 2
x 4x y 4y 4 0
(x 2) 4 (y 2) 4 4 0
(x 2) (y 2) 2 .
− + − + ≤
− − + − − + ≤
− + − ≤
A região A é um disco centrado em (2, 2) de raio igual a 2.
b) Temos que
0 y 4
0 y x 4 0 x 4
y x
≤ ≤
≤ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
≤
A região B é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 4.
c) Como o centro do disco pertence à reta y x,= segue que a região A B∩ corresponde a um
semicírculo de raio 2. Portanto, sua área é dada por
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2
2 2 u.a.
2
π π× =
Resposta da questão 4:
5.
Resposta da questão 5:
(01) + (08) = 09
Resposta da questão 6:
a) P = (3, 3 ).
b)
4
2 3
3
π
+ ÷
u.a.
Resposta da questão 7:
[B]
Equação da reta r: x + y = 2 mr = -1
Equação da reta s ms = 1 (mr. ms= -1)
y – 2 = 1(x – 0) ⇔ y = x + 2
Logo o centro da circunferência será da forma C(k, k+2)
OT = OP = R
2222
)02()1()22()0( −++−=−++− KKkk = R
2
25
2
5
2
25
2
5
.22kRlogo
2
5
5222
4412
2
2
22
2222
===
−
==
−
=⇔++=
++++−=+
kkkK
kkkkkk
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Resposta da questão 8:
[B]
Com o eixo x( y = 0)
(x - 4)2 + (0 – 3)2 = 25 ⇔ x = 8 ou x = 0 logo os pontos são (0,0) ou (8,0)
Com o eixo y ( x = 0)
(0-4)2 + (y-3)2 = 25 ⇔ y = 0 ou y = 6, logo os pontos são (0,0) e (0,6)
Portanto a área será A = 24
2
8.6
=
Resposta da questão 9:
[A]
x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25 = -30 + 9 + 25
(x – 3)2 + (x -5)2 = 4
Centro C(3,5) e raio R = 4
Logo, o ponto de ordenada máxima será: P(3, 5 + 2) = P( 3,7)
Somando as coordenadas temos: 3 + 7 = 10
Resposta da questão 10:
[A]
C1 : centro (4,3) e raio 2
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C2 : centro (10,11) e raio 3
( ) ( ) 106114-10centrososentredistância
22
=−+=
P1P2 = d
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo vermelho, temos
d2 + 52 = 102 ⇔ d= 35
P
1
P
2
O
1
O
2
5
1 0
d
P
x
y
Resposta da questão 11:
dA,C = dB,C = 5
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos:
(4 - r)2 = r2 + 22 ⇔ 8r = 12 ⇔ r = 2/3
E o centro C(1 + r, 4) = (5/3, 4)
Logo a equação da circunferência será:
( )
2
2
2
3
2
4
3
5
=−+
− yx ⇔ ( )
9
4
4
3
5 2
2
=−+
− yx
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A ( 1 ,1 )
B ( 1 ,7 )
C ( 5 ,4 )
r
4 - r
3
3
2
r
x
y
Resposta da questão 12:
[B]
Desenvolvendo a expressão, temos:
x2 + 2xy + y2 = x2 + y2
2xy = 0
x = 0 ou y = 0 (eixos perpendiculares)
Resposta da questão 13:
a) Equação da circunferência: x2 + y2 = 32
Resolvendo o sistema:
=
=+
x
y
yx
8
922
0899
8 24
2
2
=+−⇔=+ xx
x
x Resolvendo, temos:
122 =⇔= yx
122 =⇔−= yx
221 =⇔= yx
221 =⇔−= yx
Logo A( 22 ,1) ; B(1, 22 ); C(-1, 22 ) e D(- 22 ,1)
A1 = 7
2
)122).(242(
=
−+ (área do trapézio)
A2 = 22
2
1.24
=
A = A1+ A2 ⇔ A = 7 + 22
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Respostas:
( ) ( ) ( ) ( )a) A 2 2; 1 , B 1; 2 2 , C 1; 2 2 e D 2 2; 1
b) 7 2 2
− −
+
Resposta da questão 14:
[C]
x2 + y2 = 1, centro (0,0) e raio 1 e x – y + b = 0 é a equação geral da reta
Utilizando a fórmula da distância de ponto à reta, temos:
Distância do centro a reta é igual à medida do raio
1
11
0.10.1
2222
=
+
++
⇔=
+
++ b
r
ba
cbyax oo
22 ±=⇔=⇔ bb
Considerando somente o b positivo temos b = 2
Resposta da questão 15:
[D]
(Falsa) - o diâmetro é 4cm
(Verdadeira) - A = π.22 = 4π cm2
(Verdadeira) - (x – 0 )2 +( y – 02 = 22
Resposta da questão 16:
a) No ponto B, onde a reta r intercepta o eixo dos x, temos y = 0,
3 . 0 + x = 20, ou seja, x = 20. Logo, B = (20, 0).
Calculando a área do triângulo temos: (observe a figura)
A = 30
2
4.15
= unidades quadradas.
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17. Interbits – SuperPro ® Web
b) Para determinar o ponto D devemos obter a intersecção da reta r com a circunferência.
Resolvendo o sistema:
2 2
x 10x y 0
3y x 20
− + =
+ =
x = 8 e y = 4, que corresponde ao ponto A.
x = 5 e y = 5, que corresponde ao ponto D.
Resposta da questão 17:
Vamos resolver dois sistemas.
=
=+
xy
yx
2
522
Resolvendo, temos x = 1 ⇒ y = 2 A (1, 2)
x = -1 ⇒ y = -2 B(-1,-2)
+=
=+
1
522
xy
yx
Resolvendo temos: x = 1 ⇒ y = 2 A( 1, 2)
x = -2 ⇒ y = -1 C(-2,-1)
D = 6
112
121
121
−=
−−
−−
A = ..3
2
6
2
1
auD =
−
=
Resposta da questão 18:
[C]
A reta decrescente terá coeficiente angular m =
1
3
− , pois é perpendicular à reta crescente de
coeficiente angular 3
Logo, sua equação será:
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18. Interbits – SuperPro ® Web
y – 0 =
1
3
− (x – 2) ⇔ x + 3y – 2 = 0
Determinaremos o ponto A resolvendo o sistema:
=++
=
023
3
yx
xy
onde x =
1
5
e y =
3
5
(raio)
Portanto a equação da circunferência será:
2 2 2
2 2
1 3 3
x – y –
5 5 5
1 3 9
x – y –
5 5 25
+ = ÷ ÷ ÷
+ = ÷ ÷
Resposta da questão 19:
[D]
C1: x2 – 2x + y2 – 2y = 0 centro (1,1) e raio 2
C2: x2 – 4x + y2 – 4y = 0 centro (2,2) e raio 8
A = ( ) ( ) ππ 62.8
22
=−
Resposta da questão 20:
[D]
Equação da circunferência: (x – 3)2 + ( y – 1 )2 = 25
Intersecções com o eixo y .(x = 0 )
(0-3)2 + (y – 1)2 =25 ⇔ y = 5 ou y = -3 (veja a figura)
O ponto P (0,a) pertence ao eixo y. Portanto, a resposta D é a correta;
Se a < -3 ou a > 5, P é externo à circunferência.
Resposta da questão 21:
[C]
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19. Interbits – SuperPro ® Web
1.1 = R.2
R =
2
1
Logo, a equação da circunferência é:
x2 + y 2 =
2
1
2
÷
2x2 + 2y2 – 1 = 0
Resposta da questão 22:
[B]
Seja C( r, r),− com r 0> o centro da circunferência.
Como a diagonal do quadrado de lado r vale r 2, segue que:
4 r 2 r 2 2.= ⇒ =
Assim:
2 2 2
2 2 2 2 2
(x r) (y r) r
(x 2 2) (y 2 2) (2 2) x y 4 2x 4 2y 8 0.
+ + − =
+ + − = ⇒ + + − + =
Mas:
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20. Interbits – SuperPro ® Web
2
4 2 2 2 2 2 2 2 2 8= × = × =
Portanto, a equação pedida é:
2 2
x y 2 8x 2 8y 8 0.+ + − + =
Resposta da questão 23:
[D]
Seja t a reta tangente à circunferência 2 2
x y 8+ = no ponto 0 0P(x , y ).
A equação de t é dada por:
0
0 0
0
x
y y (x x ).
y
− = − −
Para P (2, 2),= temos:
2
(t): y 2 (x 2) (t): y x 4.
2
− = − − ⇔ = − +
Seja Q o ponto de interseção das retas t e (r): y 2x.=
O ponto Q é a solução do sistema formado pelas equações de t e de r :
4
x
y x 4 4 83
2x x 4 Q , .
y 2x 8 3 3
y
3
== − +
⇒ = − + ⇒ ⇒ = ÷
= =
Portanto, o ponto pedido é
4 8
, .
3 3
÷
Resposta da questão 24:
[D]
Dividindo a equação toda por 36, temos:
x2 + y2 +
mx ny 23
0
36 36 36
+ − = e considerando C(a,b) como centro temos:
m -n
a e b
72 72
−
= =
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a2 + b2 – r2 =
23
36
−
2
2 2 2 272 4
m n 13. n n 144.13
36 9
+ = ⇔ + =
Logo, n = 36 e m = -24 ou n = -36 e m = 4
Como o centro está no segundo quadrante concluímos que m = 24 e n = -36
Logo, seu centro será
1 1
C ,
3 2
− ÷
E sua equação será
2 2
21 1
x x 1
3 2
+ + − = ÷ ÷
, fazendo x = 0, temos:
2 2 1
y
3 2
= ± + , logo AB =
3
4
3
Logo, a área será
1 4 2 1 2 2
A . .
2 3 3 9
= =
Resposta da questão 25:
A equação de λ é 2 2 2
(x 3) (y 5) 4 .− + − =
Seja a função F, definida por 2 2
F(x, y) (x 3) (y 5) 16.= − + − −
Um ponto 0 0Q(x , y ) está no interior de λ se 0 0F(x , y ) 0.<
Como P pertence à r, segue que P (x, x 6).= − + Assim, queremos calcular x tal que
F(x, x 6) 0.− + <
2 2
2
F(x, x 6) 0 (x 3) (1 x) 16 0
2 (x 4x 3) 0
2 (x 2 7) (x 2 7) 0
2 7 x 2 7.
− + < ⇔ − + − − <
⇒ × − − <
⇔ × − + × − − <
⇔ − < < +
b) Seja S o ponto em que a reta + − =r : x y 6 0 tangencia a circunferência 1.λ
A equação de λ1 é dada por 2 2 2
(x 3) (y 5) R ,− + − = em que R é o raio e C(3, 5) é o centro.
A distância do ponto C à reta r é igual à distância do ponto C ao ponto S. Mas esta
distância é igual o raio de 1.λ Logo,
CS
2 2
| 3 5 6 |
d R R R 2.
1 1
+ −
= ⇔ = ⇒ =
+
Portanto,
λ − + − = ⇔ − + − =2 2 2 2 2
1 : (x 3) (y 5) ( 2) (x 3) (y 5) 2.
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Resposta da questão 26:
a) Se o posto rodoviário encontra-se na origem do sistema de coordenadas cartesianas, e a
estrada está sobre o eixo das abscissas, temos que o pé da perpendicular baixada do ponto
( , 24)α sobre o eixo das abscissas determina um triângulo retângulo com a origem. Aplicando
o Teorema de Pitágoras, podemos calcular a abscissa do ponto ( , 0):α
2 2 2
40 24 32.= + α ⇒ α =
Daí, segue que a região de alcance da antena situada na estação da guarda florestal é dada
por
2 2 2
(x 32) (y 24) 24 .− + − ≤
Sabendo que o alcance da antena situada no posto rodoviário atinge, sem ultrapassar, o
ponto da estrada que está mais próximo da estação da guarda florestal, temos que esse
ponto é (32,0) e, portanto, a região de alcance da segunda antena é dada por
2 2 2
x y 32 .+ ≤
A área coberta simultaneamente pelas duas antenas está sombreada no gráfico acima.
b) Seja M o ponto médio do segmento de reta que une o Posto Rodoviário à Estação da Guarda
Florestal. Logo,
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32 0 24 0
M , (16,12).
2 2
+ +
= = ÷
O ponto em que a nova antena deverá ser instalada é a interseção da mediatriz do segmento
de reta que une o Posto Rodoviário à Estação da Guarda Florestal com o eixo das abscissas.
O coeficiente angular da reta suporte desse segmento é dado por:
24 0 3
.
32 0 4
−
=
−
Logo, a equação da mediatriz é:
4 4 100
y 12 (x 16) y x .
3 3 3
− = − − ⇔ = − +
Desse modo, a antena deverá ser instalada no ponto de abscissa:
4 100
x 0 x 25km.
3 3
− + = ⇔ =
Resposta da questão 27:
[B]
Sejam A(1,1), B(5, 3) e C(3,1), respectivamente, as coordenadas da catedral, da câmara de
vereadores e da prefeitura.
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O lugar geométrico dos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores é a
mediatriz do segmento de reta BC.
O coeficiente angular da reta suporte do segmento BC é BC
3 1
m 1.
5 3
−
= =
−
suur
Seja M o ponto médio do segmento BC. Então,
5 3 3 1
M , (4, 2).
2 2
+ +
= = ÷
Se sm é o coeficiente angular da mediatriz do segmento BC, então
s sBC
m m 1 m 1.× = − ⇒ = −suur
Desse modo, a equação do lugar geométrico correspondente à Avenida Juscelino Kubitschek é:
s : y 2 ( 1) (x 4) s : y x 6.− = − × − ⇔ = − +
Sendo P o ponto de interseção das avenidas, temos que:
x 2 y 2 6 4 P (2, 4).= ⇒ = − + = ⇒ =
Portanto, como
2 2 2 2
(2 1) (4 5) 1 1 2 2,− + − = + = ≤
segue que o ponto P pertence à região 2 2
(x 1) (y 5) 2.− + − ≤
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