O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo: (1) a definição do plano cartesiano e seus quadrantes; (2) como representar pontos no plano através de coordenadas cartesianas; (3) conceitos como eixos, bissetrizes e distância entre pontos. Além disso, apresenta exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
Lista de exercícios geometria analítica (ponto)Renato Barbosa
O documento apresenta um trabalho de geometria analítica com 30 exercícios sobre pontos, distância, alinhamento e triângulos no plano cartesiano. O trabalho deve ser resolvido e entregue até 19 de outubro de 2012 para preparação de uma prova.
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Marcos Azevedo
Este documento apresenta um plano de curso para o primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática. Aborda tópicos como introdução ao estudo do ponto, reta, circunferência e cônicas na geometria analítica, mostrando como representá-los algebraicamente através de coordenadas cartesianas. Também discute conceitos como distância entre pontos, ponto médio de um segmento e baricentro de um triângulo.
O documento discute conceitos básicos de geometria analítica, incluindo sistemas de coordenadas cartesianas, pontos, retas e suas propriedades. Exemplos de cálculo de distância entre pontos, equações de retas e interseção entre retas são apresentados. Dez questões de vestibular sobre esses tópicos são listadas no final.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre elipses para o curso de Cálculo de Várias Variáveis. A lista contém 14 questões sobre elipses, pedindo para determinar suas equações, parâmetros, pontos e características. Além disso, apresenta 4 questões para serem desenvolvidas como trabalho.
Este documento apresenta exercícios sobre elipses, incluindo determinar seus focos, excentricidades, eixos, áreas e pontos de intersecção com outras curvas. O documento contém 8 questões que abordam como calcular propriedades geométricas básicas de elipses dadas suas equações ou elementos constituintes, como centro, vértices e focos.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de geometria analítica no plano cartesiano, incluindo: (1) a definição do plano cartesiano e seus quadrantes; (2) como representar pontos no plano através de coordenadas cartesianas; (3) conceitos como eixos, bissetrizes e distância entre pontos. Além disso, apresenta exemplos e exercícios sobre esses tópicos.
O documento apresenta 25 questões sobre cônicas, principalmente elipses. As questões abordam conceitos como equações de elipses, área de elipses, distância focal, excentricidade, pontos de interseção entre elipses e retas, e locais geométricos definidos por elipses.
Lista de exercícios geometria analítica (ponto)Renato Barbosa
O documento apresenta um trabalho de geometria analítica com 30 exercícios sobre pontos, distância, alinhamento e triângulos no plano cartesiano. O trabalho deve ser resolvido e entregue até 19 de outubro de 2012 para preparação de uma prova.
Geometria analítica anotações de aula 1° semestre 2010Marcos Azevedo
Este documento apresenta um plano de curso para o primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática. Aborda tópicos como introdução ao estudo do ponto, reta, circunferência e cônicas na geometria analítica, mostrando como representá-los algebraicamente através de coordenadas cartesianas. Também discute conceitos como distância entre pontos, ponto médio de um segmento e baricentro de um triângulo.
O documento discute conceitos básicos de geometria analítica, incluindo sistemas de coordenadas cartesianas, pontos, retas e suas propriedades. Exemplos de cálculo de distância entre pontos, equações de retas e interseção entre retas são apresentados. Dez questões de vestibular sobre esses tópicos são listadas no final.
O documento discute tópicos de Geometria Analítica, incluindo coordenadas cartesianas no plano, área de triângulos, condição de alinhamento de pontos, equação geral da reta e outros.
Este documento apresenta uma lista de exercícios sobre elipses para o curso de Cálculo de Várias Variáveis. A lista contém 14 questões sobre elipses, pedindo para determinar suas equações, parâmetros, pontos e características. Além disso, apresenta 4 questões para serem desenvolvidas como trabalho.
O documento resume os principais tópicos de uma aula de geometria analítica, incluindo equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre dois pontos. O professor que ministrou a aula foi Gledson Guimarães.
Alguns exercícios de Geometria Analítica (Posição relativa entre retas e planos) resolvidos.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
1) O documento apresenta fórmulas para calcular o ponto médio e o baricentro de triângulos a partir das coordenadas de seus vértices.
2) Também mostra como calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices.
3) Há um exemplo de exercício que pede para calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sabendo que AD é uma mediana e as coordenadas de A e D.
O documento apresenta 51 questões de geometria analítica sobre coordenadas cartesianas, distâncias entre pontos, triângulos e outros objetos geométricos no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como determinação de pontos, classificação e propriedades de triângulos, equações de retas e circunferências, e cálculo de áreas.
Lista de exercícios geometria analítica - retas e circunferênciasbevenut
1. O documento contém 30 questões sobre geometria analítica envolvendo retas, circunferências e suas propriedades como equações, pontos de interseção, distâncias e ângulos.
2. As questões abordam tópicos como determinação de equações de retas e circunferências, cálculo de distâncias, identificação de propriedades geométricas de figuras planas e resolução de problemas envolvendo esses conceitos.
3. As alternativas de resposta para cada questão variam de letras entre a e e.
Este documento descreve um projeto de ensino sobre geometria analítica no ensino médio. O projeto aborda conceitos como ponto, reta, plano, parábola, elipse e geometria analítica, utilizando recursos tecnológicos como software educativos. O objetivo é contribuir para a aprendizagem dos alunos e aprimoramento dos professores no ensino desta disciplina.
questões de vestibular Circunferência (2009 a 2011)Ataíde Brandão
1. O documento apresenta 25 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências, retas e regiões planas.
2. As questões abordam tópicos como equações de circunferências e retas, pontos de interseção, tangência, áreas de regiões e triângulos.
3. São solicitados cálculos, identificação e representação gráfica de elementos geométricos no plano cartesiano.
Apostila de geometria_analitica_filipeEveraldo Geb
1) O documento discute a geometria analítica, que surgiu da fusão da geometria com a álgebra no século XVII.
2) Fermat e Descartes foram responsáveis por esse avanço científico, trabalhando de forma independente.
3) A geometria analítica permite representar equações geométricas como curvas e superfícies usando pares de números.
1) O documento descreve as principais características geométricas de cônicas como circunferências, elipses, hipérboles e parábolas, incluindo suas equações.
2) São apresentadas as posições relativas entre pontos, retas e circunferências, assim como entre duas circunferências.
3) São definidos os elementos fundamentais de cada cônica, como focos, vértices, eixos e suas equações reduzidas.
1) O documento discute geometria analítica, especificamente cônicas como elipses, hipérboles e parábolas.
2) Inclui exemplos de problemas e suas respostas sobre equações de cônicas.
3) Fornece também dois testes de vestibulares com mais problemas sobre identificação e propriedades de curvas cônicas.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo que a soma das distâncias de um ponto a dois focos é constante e que ondas de luz são refletidas entre os focos.
2) Exemplos mostram como obter a equação de uma elipse colocando os focos no eixo x e determinar coordenadas dos vértices.
3) Exercícios são resolvidos e propostos envolvendo encontrar focos, vértices e equações de elipses.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de retas no espaço, incluindo equações vetoriais, paramétricas e simétricas de retas.
2) Inclui exemplos de como encontrar equações de retas passando por pontos dados e com direções dadas.
3) Também aborda conceitos como retas paralelas, ortogonais, coplanares e sua interseção.
O documento apresenta 13 exercícios resolvidos sobre curvas cônicas, incluindo elipses, parábolas e hipérboles. Os exercícios demonstram vários métodos para traçar estas curvas, tais como utilizando os focos, círculos principais, pontos, retângulos e paralelogramos. O objetivo é fornecer exemplos passo-a-passo para que os leitores possam aprender a desenhar diferentes curvas cônicas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de geometria analítica com coordenadas cartesianas no plano, distância entre pontos, ponto médio de segmentos e condição de alinhamento de três pontos.
2) Os exercícios envolvem cálculos como determinar valores de x e y para que equações sejam válidas, encontrar coordenadas de pontos dados informações sobre distâncias e alinhamentos, e identificar propriedades de triângulos no plano cartesiano.
3) A lista traz as respostas corretas para os exerc
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo planos, retas e pontos no espaço. Os exercícios abordam tópicos como determinação de coordenadas de vértices, equações de planos e retas, distância entre planos, simetria em relação a planos e retas.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria plana e trigonometria. As questões envolvem triângulos, circunferências, retas e áreas de figuras planas, como determinar coordenadas de pontos, equações de circunferências e áreas de triângulos e retângulos.
Este documento fornece instruções e exercícios sobre geometria analítica. Inclui tópicos de ajuda para resolver questões e 38 exercícios sobre pontos, retas, triângulos e paralelogramos. O objetivo é revisar e consolidar conceitos fundamentais de geometria analítica por meio da resolução de exercícios.
O documento apresenta 4 exercícios sobre distância entre pontos no plano cartesiano. O primeiro cálcula a distância entre dois pontos. O segundo determina a abscissa de um ponto equidistante de dois outros pontos. O terceiro encontra os possíveis valores de y para que a distância entre dois pontos seja 10. E o quarto calcula a distância percorrida por um ponto móvel entre dois instantes de tempo.
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta 30 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências e retas tangentes.
2) Muitas questões fornecem equações de circunferências e pedem para identificar informações geométricas como pontos, retas e valores associados.
3) O gabarito no final fornece as respostas corretas para as 30 questões, identificando a alternativa certa para cada uma.
O documento lista 7 tarefas de geometria analítica e álgebra linear. As tarefas incluem provar propriedades de vetores como u + v = w e αv = 0, resolver sistemas de equações lineares e problemas de livro didático, e provar uma propriedade geométrica sobre pontos médios de um triângulo.
1) O documento apresenta 12 questões sobre cônicas (circunferências, parábolas e elipses) e seus sistemas de equações analíticas no plano cartesiano.
2) As questões abordam tópicos como interseção entre curvas, propriedades geométricas como distância entre pontos e centros de figuras, e sistemas de equações e inequações.
3) Há também uma questão sobre a modelagem matemática da iluminação de ruas por meio de elipses.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cônicas com 10 questões sobre parábolas, 20 sobre elipses e hipérboles, e as demais sobre diversos tópicos relacionados a cônicas.
2) São solicitados elementos como equações, vértices, focos, diretrizes, eixos e outros itens geométricos de várias curvas como parábolas, elipses e hipérboles.
3) Há também exercícios sobre lugares geométricos relacionados a distâncias e âng
O documento resume os principais tópicos de uma aula de geometria analítica, incluindo equação da reta, área do triângulo, ponto médio e distância entre dois pontos. O professor que ministrou a aula foi Gledson Guimarães.
Alguns exercícios de Geometria Analítica (Posição relativa entre retas e planos) resolvidos.
Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br
1) O documento apresenta fórmulas para calcular o ponto médio e o baricentro de triângulos a partir das coordenadas de seus vértices.
2) Também mostra como calcular a área de um triângulo a partir das coordenadas de seus vértices.
3) Há um exemplo de exercício que pede para calcular as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sabendo que AD é uma mediana e as coordenadas de A e D.
O documento apresenta 51 questões de geometria analítica sobre coordenadas cartesianas, distâncias entre pontos, triângulos e outros objetos geométricos no plano cartesiano. As questões abordam tópicos como determinação de pontos, classificação e propriedades de triângulos, equações de retas e circunferências, e cálculo de áreas.
Lista de exercícios geometria analítica - retas e circunferênciasbevenut
1. O documento contém 30 questões sobre geometria analítica envolvendo retas, circunferências e suas propriedades como equações, pontos de interseção, distâncias e ângulos.
2. As questões abordam tópicos como determinação de equações de retas e circunferências, cálculo de distâncias, identificação de propriedades geométricas de figuras planas e resolução de problemas envolvendo esses conceitos.
3. As alternativas de resposta para cada questão variam de letras entre a e e.
Este documento descreve um projeto de ensino sobre geometria analítica no ensino médio. O projeto aborda conceitos como ponto, reta, plano, parábola, elipse e geometria analítica, utilizando recursos tecnológicos como software educativos. O objetivo é contribuir para a aprendizagem dos alunos e aprimoramento dos professores no ensino desta disciplina.
questões de vestibular Circunferência (2009 a 2011)Ataíde Brandão
1. O documento apresenta 25 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências, retas e regiões planas.
2. As questões abordam tópicos como equações de circunferências e retas, pontos de interseção, tangência, áreas de regiões e triângulos.
3. São solicitados cálculos, identificação e representação gráfica de elementos geométricos no plano cartesiano.
Apostila de geometria_analitica_filipeEveraldo Geb
1) O documento discute a geometria analítica, que surgiu da fusão da geometria com a álgebra no século XVII.
2) Fermat e Descartes foram responsáveis por esse avanço científico, trabalhando de forma independente.
3) A geometria analítica permite representar equações geométricas como curvas e superfícies usando pares de números.
1) O documento descreve as principais características geométricas de cônicas como circunferências, elipses, hipérboles e parábolas, incluindo suas equações.
2) São apresentadas as posições relativas entre pontos, retas e circunferências, assim como entre duas circunferências.
3) São definidos os elementos fundamentais de cada cônica, como focos, vértices, eixos e suas equações reduzidas.
1) O documento discute geometria analítica, especificamente cônicas como elipses, hipérboles e parábolas.
2) Inclui exemplos de problemas e suas respostas sobre equações de cônicas.
3) Fornece também dois testes de vestibulares com mais problemas sobre identificação e propriedades de curvas cônicas.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo que a soma das distâncias de um ponto a dois focos é constante e que ondas de luz são refletidas entre os focos.
2) Exemplos mostram como obter a equação de uma elipse colocando os focos no eixo x e determinar coordenadas dos vértices.
3) Exercícios são resolvidos e propostos envolvendo encontrar focos, vértices e equações de elipses.
As três frases resumem o documento da seguinte forma:
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de retas no espaço, incluindo equações vetoriais, paramétricas e simétricas de retas.
2) Inclui exemplos de como encontrar equações de retas passando por pontos dados e com direções dadas.
3) Também aborda conceitos como retas paralelas, ortogonais, coplanares e sua interseção.
O documento apresenta 13 exercícios resolvidos sobre curvas cônicas, incluindo elipses, parábolas e hipérboles. Os exercícios demonstram vários métodos para traçar estas curvas, tais como utilizando os focos, círculos principais, pontos, retângulos e paralelogramos. O objetivo é fornecer exemplos passo-a-passo para que os leitores possam aprender a desenhar diferentes curvas cônicas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de geometria analítica com coordenadas cartesianas no plano, distância entre pontos, ponto médio de segmentos e condição de alinhamento de três pontos.
2) Os exercícios envolvem cálculos como determinar valores de x e y para que equações sejam válidas, encontrar coordenadas de pontos dados informações sobre distâncias e alinhamentos, e identificar propriedades de triângulos no plano cartesiano.
3) A lista traz as respostas corretas para os exerc
O documento apresenta 10 exercícios resolvidos sobre geometria analítica envolvendo planos, retas e pontos no espaço. Os exercícios abordam tópicos como determinação de coordenadas de vértices, equações de planos e retas, distância entre planos, simetria em relação a planos e retas.
O documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria plana e trigonometria. As questões envolvem triângulos, circunferências, retas e áreas de figuras planas, como determinar coordenadas de pontos, equações de circunferências e áreas de triângulos e retângulos.
Este documento fornece instruções e exercícios sobre geometria analítica. Inclui tópicos de ajuda para resolver questões e 38 exercícios sobre pontos, retas, triângulos e paralelogramos. O objetivo é revisar e consolidar conceitos fundamentais de geometria analítica por meio da resolução de exercícios.
O documento apresenta 4 exercícios sobre distância entre pontos no plano cartesiano. O primeiro cálcula a distância entre dois pontos. O segundo determina a abscissa de um ponto equidistante de dois outros pontos. O terceiro encontra os possíveis valores de y para que a distância entre dois pontos seja 10. E o quarto calcula a distância percorrida por um ponto móvel entre dois instantes de tempo.
As três frases essenciais do documento são:
1) O documento apresenta 30 questões sobre geometria analítica envolvendo circunferências e retas tangentes.
2) Muitas questões fornecem equações de circunferências e pedem para identificar informações geométricas como pontos, retas e valores associados.
3) O gabarito no final fornece as respostas corretas para as 30 questões, identificando a alternativa certa para cada uma.
O documento lista 7 tarefas de geometria analítica e álgebra linear. As tarefas incluem provar propriedades de vetores como u + v = w e αv = 0, resolver sistemas de equações lineares e problemas de livro didático, e provar uma propriedade geométrica sobre pontos médios de um triângulo.
1) O documento apresenta 12 questões sobre cônicas (circunferências, parábolas e elipses) e seus sistemas de equações analíticas no plano cartesiano.
2) As questões abordam tópicos como interseção entre curvas, propriedades geométricas como distância entre pontos e centros de figuras, e sistemas de equações e inequações.
3) Há também uma questão sobre a modelagem matemática da iluminação de ruas por meio de elipses.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre cônicas com 10 questões sobre parábolas, 20 sobre elipses e hipérboles, e as demais sobre diversos tópicos relacionados a cônicas.
2) São solicitados elementos como equações, vértices, focos, diretrizes, eixos e outros itens geométricos de várias curvas como parábolas, elipses e hipérboles.
3) Há também exercícios sobre lugares geométricos relacionados a distâncias e âng
O documento apresenta 20 questões sobre áreas de figuras planas como trapézios, triângulos, circunferências e outros. As questões envolvem cálculo de áreas dessas figuras a partir de dados numéricos fornecidos sobre suas medidas. O gabarito no final indica as alternativas corretas para cada uma das questões.
O documento contém 28 exercícios sobre curvas e superfícies em coordenadas cartesianas e cilíndricas. Os exercícios incluem identificar equações de curvas e superfícies, esboçar gráficos, e encontrar interseções entre curvas e superfícies. Muitos exercícios envolvem sólidos definidos por combinações de curvas e superfícies.
Este documento contém 15 exercícios sobre retas no plano cartesiano. Os exercícios envolvem conceitos como coeficiente angular de retas, equações de retas, interseção entre retas e curvas, áreas de polígonos formados por retas e triângulos. O gabarito no final indica as alternativas corretas para cada um dos 15 exercícios propostos.
1. O documento apresenta 28 questões sobre circunferências no plano cartesiano. As questões abordam conceitos como equações de circunferências, pontos de interseção entre circunferências e retas, tangência, raio, centro e regiões delimitadas por circunferências.
O documento apresenta os tópicos de um módulo de matemática sobre geometria analítica, incluindo pontos e retas, circunferência, cônicas, números complexos e polinômios. Há também exercícios resolvidos sobre esses assuntos.
Este documento apresenta 12 exercícios de trigonometria do 11o ano que incluem: 1) cálculo de áreas de triângulos e polígonos regulares usando funções trigonométricas; 2) cálculo de horas de nascer e pôr do sol com funções seno; 3) determinação de distâncias em órbitas elípticas; 4) cálculo de áreas de figuras planas usando funções trigonométricas.
1. O documento apresenta 32 questões sobre circunferências, envolvendo cálculo de equações, determinação de centros, raios, pontos de interseção e tangência. As questões abordam conceitos como circunferências inscritas em quadrados e triângulos, retas tangentes e diâmetros.
Este documento contém 20 questões de matemática sobre geometria analítica no plano cartesiano. As questões envolvem conceitos como equações de retas e circunferências, áreas de figuras planas, e propriedades de triângulos e parábolas. O gabarito fornecido apresenta as respostas corretas para cada uma das questões.
Este documento contém 23 exercícios sobre retas no plano cartesiano. Os exercícios envolvem conceitos como equações de retas, interseção entre retas e curvas, coeficiente angular, distância entre pontos e figuras geométricas formadas por retas e seus vértices.
1) O documento descreve as propriedades geométricas e equações de elipses, incluindo seus focos, vértices e relação com reflexão de luz.
2) É apresentada a equação geral de uma elipse no plano cartesiano e como alterar os parâmetros para deslocar o centro ou inverter os eixos.
3) Dois exercícios resolvidos ilustram como encontrar os elementos de elipses dadas por equação e dois exercícios propostos pedem para determinar propriedades de outras elipses.
1) O documento contém 10 questões sobre cônicas como elipses, hipérboles, parábolas e circunferências.
2) As questões abordam conceitos como focos, excentricidade, equações de cônicas, distâncias entre pontos e retas.
3) O gabarito indica as alternativas corretas para cada uma das 10 questões sobre as propriedades geométricas e algébricas de cônicas.
1. O documento apresenta 40 questões sobre funções quadráticas, incluindo identificação de vértices, raízes e valores mínimos e máximos.
2. As questões abordam conceitos como equações de parábolas, identificação de pontos importantes dos gráficos e resolução de problemas envolvendo funções quadráticas.
3. Os tópicos incluem análise de gráficos, cálculo de vértices, raízes e valores extremos de funções quadráticas dadas por suas equações.
Este documento fornece 5 testes de matemática do 11o ano sobre trigonometria, funções trigonométricas e geometria. Inclui os testes, respostas e oferece o material ao aluno.
1) O documento apresenta 20 exercícios de matemática da Fuvest, cobrindo tópicos como geometria plana e espacial, trigonometria, álgebra, progressões aritméticas e probabilidade.
2) Os exercícios envolvem cálculos e resoluções de sistemas de equações, determinação de áreas, volumes, razões, probabilidades e outras grandezas matemáticas.
3) As questões requerem diferentes níveis de raciocínio matemático para chegar às respostas corretas.
O documento contém 38 exercícios de matemática sobre geometria analítica, geometria plana e espacial, números complexos e polinômios. Os alunos devem resolver as questões sem o uso de calculadora.
1. O documento contém 15 exercícios de matemática sobre geometria analítica. Os exercícios envolvem determinar valores possíveis de variáveis, mostrar propriedades geométricas de figuras, obter equações de retas e encontrar pontos satisfazendo certas condições.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de geometria analítica com coordenadas cartesianas no plano, distância entre pontos, ponto médio de segmentos e condição de alinhamento de três pontos.
2) Os exercícios envolvem cálculos como determinar valores de x e y para que equações sejam válidas, encontrar coordenadas de pontos dados informações sobre distâncias e alinhamentos, e identificar propriedades de triângulos no plano cartesiano.
3) A lista traz as respostas corretas para os exerc
1. O documento apresenta questões de matemática do 10o ano sobre geometria, álgebra e funções. 2. Aborda temas como hexágonos regulares, interseção de superfícies, áreas de triângulos, funções e suas propriedades gráficas. 3. Inclui também exercícios sobre representação de regiões planas, esferas, propriedades de funções e interpretação de gráficos.
Semelhante a 554 exercicios geometria_analitica_conicas_gabarito (20)
1. 1 | Projeto Rumo ao ITA – www.rumoaoita.com
Exercícios de Matemática
Geometria Analítica – Cônicas
1) (ITA-2004) Considere todos os números z = x + iy
que têm módulo 2
7
e estão na elipse x2 + 4y2 = 4.
Então, o produto deles é igual a
a)
9
25
b)
16
49
c)
25
81
d)
7
25
e) 4
2) (VUNESP-2010) A figura mostra a representação de
algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem
calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista
de 7 m de largura. Vamos admitir que:
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma
área iluminada na forma de uma elipse de
excentricidade 0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente
abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem
exatamente a largura da rua (calçadas e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas
extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros,
entre dois postes consecutivos deverá ser de
aproximadamente:
Dado: 0,943 0,889 2 e 0,111 0,333
a) 35.
b) 30.
c) 25.
d) 20.
e) 15.
3) (UFC-2005) A elipse F do plano cartesiano xy obtida
da elipse E: x2 + 2y2 - 6x + 4y - 25 = 0 por uma
translação que leva os focos de E em pontos
eqüidistantes da origem e sobre o eixo ox admite uma
equação igual a:
a) 2
2 x
+ y2 = 18
b) 2
2 x
+ 3
2 y
= 6
c) 3
2 x
+ 2
2 y
= 16
d) x2 + 2y2 = 25
e) 2x2 + 3y2 = 49
4) (Unicamp-1993) Dada uma elipse de semi-eixos a e
b, calcule, em termos destes parâmetros, a área do
quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da
elipse.
5) (ITA-2005) A distância focal e a excentricidade da
elipse com centro na origem e que passa pelos pontos
(1, 0) e (0, -2)são, respectivamente,
a) 3 e 2
1
b) 2
1
e 3
c) 2
3
e 2
1
d) 3 e 2
3
e) 2 3 e 2
3
6) (UEL-2002) Um quadrado está inscrito em uma
elipse cujos semi-eixos medem a e b. Sabendo-se que
cada lado do quadrado é paralelo a um dos eixos da
elipse, calcule a área do quadrado.
a) 2 2 2 a b
b)
2 2
2 2
a b
a b
c) 2 2 4 a b
d) 2 2
2 2
a b
4a b
e)
2 2
2 2
4a b
a b
7) (Vunesp-2000) Considere a elipse de equação
1
9
y
25
x 2 2
.
a) Mostre que o ponto P = (3, 5
12
) pertence à elipse e
calcule a distância de P ao eixo das abscissas.
2. 2 | Projeto Rumo ao ITA – www.rumoaoita.com
b) Determine os vértices Q e R da elipse que pertencem
ao eixo das abscissas e calcule a área do triângulo
PQR, onde P = (3, 5
12
).
8) (FGV-2002) No plano cartesiano, a curva de
equações paramétricas x = 2cost e y = 5 sent com t R
é:
a) uma senóide
b) uma cossenóide
c) uma hipérbole
d) uma circunferência
e) uma elipse
9) (ITA-1996) Tangenciando externamente a elipse e1,
tal que e1:9x2 +4y2 -72x -24y +144=0, considere uma
elipse e2, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo
menor de e1 e cujos eixos têm a mesma medida que os
eixos de e1. Sabendo que e2 está inteiramente contida no
primeiro quadrante, o centro de e2 é:
a) (7,3)
b) (8,2)
c) (8,3)
d) (9,3)
e) (9,2)
10) (Fuvest-2001) A elipse x2+ 2
y2
= 4
9
e a reta y = 2x
+ 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e
B.
Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento
AB é:
a) (-2/3, -1/3)
b) (2/3, -7/3)
c) (1/3, -5/3)
d) (-1/3, 1/3)
e) (-1/4, 1/2)
11) (VUNESP-2008) Suponha que um planeta P
descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O,
de modo que, considerando um sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do
sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente
pela equação
100
x2
+
25
y2
= 1, com x e y em milhões de
quilômetros. A figura representa a estrela O, a órbita
descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o
ângulo PÔA mede
4
.
A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela
O, no instante representado na figura, é:
a) 2 5
b) 2 10
c) 5 2
d) 10 2
e) 5 10
12) (UFPB-2006) A planta baixa de um projeto
paisagístico encontra-se ilustrada na figura ao lado. A
região hachurada corresponde à parte gramada e está
limitada: internamente, pela circunferência que passa
pelo ponto (2,0), com centro na origem; e,
externamente, pela elipse centrada na origem, com dois
de seus vértices nos pontos (4,0) e (0,3). A região
hachurada pode ser descrita pelo conjunto:
a) { (x , y) R2 | x2 + y2 4 }
b) { (x , y) R2 | 9x2 + 16y2 144 }
c) { (x , y) R2 | x2 + y2 4 e 9x2 + 16y2 144 }
d) { (x , y) R2 | x2 + y2 4 ou
9x2 + 16y2 144 }
e) { (x , y) R2 | x2 + y2 4 e 9x2 + 16y2 144 }
f) { (x , y) R2 | x2 + y2 4 }
13) (Vunesp-2005) A equação da elipse de focos F1 = (-
2, 0), F2 = (2, 0) e eixo maior igual a 6 é dada por :
3. 3 | Projeto Rumo ao ITA – www.rumoaoita.com
a) 10
2 x
+ 20
2 y
= 1
b) 9
2 x
+ 5
2 y
= 1
c) 9
2 x
+ 15
2 y
= 1
d) 6
2 x
+ 15
2 y
= 1
e) 4
2 x
+ 25
2 y
= 1
14) (Unifesp-2004) A área sombreada na figura,
limitada pela elipse e pela reta indicadas, é:
a) .
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 6.
15) (UFPB-1981) As coordenadas dos focos da cônica,
de equação 1
36
y
25
x2 2
, são:
a) (– 11 , 0) e (– 11 , 0)
b) (0, – 11 ) e (0, – 11 )
c) (0, – 11 ) e (0, 11 )
d) (– 11 , 0) e ( 11 , 0)
e) (0, 11 ) e ( 11 , 0)
16) (Vunesp-2003) A figura representa uma elipse.
A partir dos dados disponíveis, a equação desta elipse é
a)
1
7
y
5
x 2 2
b)
1
16
(y 7)
9
(x 5) 2 2
c) (x-5)2 + (y-7)2 = 1
d)
1
16
(y 7)
9
(x 5) 2 2
e)
1
7
(y 4)
5
(x 3) 2 2
17) (AFA-1998) O lugar geométrico dos pontos do
plano cartesiano que, juntamente com os pontos A(-3,5)
e B(3,5), determina triângulos com perímetro 2p = 16
cm é uma
a) elipse.
b) parábola.
c) hipérbole.
d) circunferência.
18) (AFA-1999) A equação reduzida da cônica,
representada no gráfico abaixo, é
a)
(x ) (y )
4
9
3
16
1
2 2
.
b)
(x ) (y )
5
9
1
16
1
2 2
.
c)
(x ) (y )
1
16
5
9
1
2 2
.
d)
(x ) (y )
1
9
5
16
1
2 2
.
19) (UFC-2002) O número de pontos de interseção das
curvas x2 + y2 = 4 e
1
2
y
15
x
2 2
é igual a:
a) 0
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
20) (Unicamp-1996) Uma elipse que passa pelo ponto
(0,3) tem seus focos nos pontos (-4,0) e (4,0). O ponto
(0,-3) é interior, exterior ou pertence à elipse? Mesma
pergunta para o ponto (
2
5
,
5
13
). Justifique sua resposta.
4. 4 | Projeto Rumo ao ITA – www.rumoaoita.com
21) (Faap-1997) BAILADO RUSSO
(Guilherme de Almeida)
A mão firme e ligeira
puxou com força a fieira:
e o pião
fez uma elipse tonta
no ar e fincou a ponta
no chão.
É o pião com sete listas
de cores imprevistas.
Porém,
nas suas voltas doudas,
não mostra as cores todas
que tem:
- fica todo cinzento,
no ardente movimento...
E até
parece estar parado,
teso, paralisado,
de pé.
Mas gira. Até que, aos poucos,
em torvelins tão loucos
assim,
já tonto, bamboleia,
e bambo, cambaleia...
Enfim,
tomba. E, como uma cobra,
corre mole e desdobra
então,
em hipérboles lentas,
sete cores violentas
no chão.
Mas como o poeta qualifica TONTA a elipse, podemos
interpretar que ela:
a) descreveu um círculo irregular
b) saltou bruscamente para o alto
c) caiu ao contrário
d) saiu em linha reta
e) descreveu uma diagonal ao solo
22) (Cesgranrio-1998) O gráfico que melhor representa
a curva de equação x2 + 16y2 = 16 é:
23) (Unitau-1995) A área de uma elipse de semi-eixos a
e b é dada pela fórmula:
a) S = a2 + b2.
b) S = (a2 + b2).
c) S = a2b2
d) S = a/b.
e) S = ab.
24) (UFPE-1996) Considere dois pontos distintos A e B
de um plano. O lugar geométrico dos pontos P deste
plano tal que a soma das distâncias de P aos pontos A e
B é constante, é uma curva denominada:
a) circunferência.
b) parábola.
c) hipérbole.
d) elipse.
e) reta.
25) (Faap-1997) BAILADO RUSSO
(Guilherme de Almeida)
A mão firme e ligeira
puxou com força a fieira:
e o pião
fez uma elipse tonta
no ar e fincou a ponta
no chão.
É o pião com sete listas
de cores imprevistas.
Porém,
nas suas voltas doudas,
não mostra as cores todas
que tem:
- fica todo cinzento,
no ardente movimento...
E até
parece estar parado,
teso, paralisado,
de pé.
Mas gira. Até que, aos poucos,
em torvelins tão loucos
assim,
já tonto, bamboleia,
e bambo, cambaleia...
Enfim,
tomba. E, como uma cobra,
corre mole e desdobra
então,
em hipérboles lentas,
sete cores violentas
no chão.
"Fez uma elipse tonta no ar... ". Elipse é uma curva:
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a) fechada em que é constante a soma das distâncias de
cada um dos seus pontos a dois pontos fixos, chamados
focos.
b) aberta na qual cada um dos pontos é eqüidistante de
um ponto fixo e de uma reta fixa chamada diretriz.
c) fechada na qual é constante a diferença das distâncias
de cada um dos seus pontos a dois pontos fixos
chamados focos.
d) fechada na qual os pontos se acham todos a igual
distância de um ponto fixo chamado centro.
e) fechada que se afasta cada vez mais do seu ponto de
partida, fazendo certo número de revoluções em volta
desse ponto.
26) (ITA-1998) Considere a hipérbole H e a parábola T,
cujas equações são, respectivamente,
5(x + 3)2 - 4(y - 2)2 = -20 e (y - 3)2 = 4(x - 1)
Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos
quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da
hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância
de P ao vértice da parábola T, é:
a) A elipse de equação
1
3
(y 2)
4
(x 3) 2 2
b) A hipérbole de equação
1
4
(x 3)
5
(y 1) 2 2
c) O par de retas dadas por y = (3x-1)
d) A parábola de equação y2 = 4x+ 4
e) A circunferência centrada em (9, 5) e raio 120
27) (UFC-2007) No plano cartesiano, a hipérbole xy = 1
intersecta uma circunferência em quatro pontos
distintos A, B, C e D. Calcule o produto das abscissas
dos pontos A, B, C e D.
28) (AFA-1999) O valor da excentricidade da cônica
(x ) (y )
5
4
2
9
1
2 2
é
a) 2
b)
13
2
c)
5
2
d) 3
29) (UFSCar-2000) A equação que mais
aproximadamente é representada pela curva ao lado é:
a) xy = 1.
b) x + y - 1 = 0.
c) xy = 0.
d) x2 - y = 0.
e) x - y - 1 = 0.
30) (Mauá-2002) Precisa-se projetar um canal retilíneo
para a ligação entre dois rios situados numa região
plana. Nessa região, a representação matemática do
curso de um dos rios é dada pela equação y = x2 e a do
outro, pela equação y = x-2. Admitindo-se que o canal
possa ser construído em qualquer lugar entre os dois
rios, qual seu menor comprimento possível?
31) (Unicamp-2000) Sejam A e B os pontos de
intersecção da parábola y = x2 com a circunferência de
centro na origem
e raio 2 .
a) Quais as coordenadas dos pontos A e B?
b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e
de B, calcule as medidas possíveis para os
ângulos AP ˆ
B.
32) (FUVEST-2010) A função f : IR → IR tem como
gráfico uma parábola e satisfaz f(x+1) – f(x) = 6x-2,
para todo número real x. Então, o menor valor de f(x)
ocorre quando x é igual a
a)
6
11
b)
6
7
c)
6
5
d) 0
e)
6
5
33) (UNIFESP-2006) A parábola y = x2 - tx + 2 tem
vértice no ponto (xt , yt). O lugar geométrico dos
6. 6 | Projeto Rumo ao ITA – www.rumoaoita.com
vértices da parábola, quando t varia no conjunto dos
números reais, é
a) uma parábola.
b) uma elipse.
c) um ramo de uma hipérbole.
d) uma reta.
e) duas retas concorrentes.
34) (Vunesp-2006) Fixado um sistema de coordenadas
ortogonais em um plano, considere os pontos O(0, 0),
A(0, 2) e a reta r de equação y = -1.
a) Se a distância do ponto Q(x0, 2) ao ponto A é igual à
distância de Q à reta r, obtenha o valor de x0, supondo
x0 > 0.
b) Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos
P(x, y) desse plano, cuja distância até o ponto A é igual
à distância até a reta r.
35) (Vunesp-2004) O conjunto de todos os pontos
P(x,y) do plano, com y 0, para os quais x e y
satisfazem a equação
0
x 1
y
sen
2
é uma
a) família de parábolas.
b) família de circunferências centradas na origem.
c) família de retas.
d) parábola passando pelo ponto Q(0, 1).
e) circunferência centrada na origem.
36) (UNIFESP-2007) A figura mostra um arco
parabólico ACB de altura CM = 16 cm, sobre uma base
AB de 40 cm. M é o ponto médio de AB.
A altura do arco em centímetros, em um ponto da base
que dista 5 cm de M, é
a) 15.
b) 14.
c) 13.
d) 12.
e) 10.
37) (UFC-2007) Encontre as equações das retas
tangentes à parábola y = x2
que passam pelo ponto (0, –
1).
38) (Mack-2006) A reta y = x é tangente à curva y = x2
+ bx, b0. Se m e p são as abscissas dos pontos em que
a curva encontra o eixo Ox, m + p vale
a) -2
b) 3
2
c) 2
1
d) -1
e) 3
2
39) (UFPB-2006) Uma reta tem coeficiente angular m=-
1 e passa pelo vértice da parábola
4x y 6y 5 0 2
.
Sua equação cartesiana é:
a) x y 2 0
b) x y 30
c) x y 1 0
d) 2x y 1 0
e) x y 1 0
f) 3x y 3 0
40) (PUC-PR-2003) Na figura seguinte, temos
representadas as funções definidas por y = x e y = x2.
A região hachurada é definida por:
a) {(x,y) R2 | 0 x 2 e x y x2 }
b) {(x,y) R2 | 0 x 2 e x2 y x}
c) {(x,y) R2 | 0 x 1 e x y x2}
d) {(x,y) R2 | 0 y 2 e
y
x y}
e) {(x,y) R2 | 0 x 1 e x2 y x}
7. 7 | Projeto Rumo ao ITA – www.rumoaoita.com
Gabarito
1) Alternativa: B
2) Alternativa: B
3) Alternativa: A
4) Resp: área =
2 2
2 2
a b
4a b
5) Alternativa: E
(apenas se considerarmos que os eixos da elipse são
paralelos aos eixos coordenados. Caso contrário a elipse
não está definida)
6) Alternativa: D
7) a) Substituindo o ponto (3,
5
12
) na equação da
elipse, obtemos 1 = 1. A distância do ponto P ao eixo
das abscissas é
5
12
.
b) Q = (-5, 0) e R = (5, 0) e a Área pedida é de 12 u2
8) Alternativa: E
9) Alternativa: D
10) Alternativa: D
11) Alternativa: B
12) Alternativa: C
13) Alternativa: B
14) Alternativa: C
15) Alternativa: C
16) Alternativa: B
17) Alternativa: A
18) Alternativa: D
19) Alternativa: C
20) O ponto (0, –3) pertence à elipse, e o ponto (5/2;
13,5) é externo a ela. Isso é facilmente comprovado
obtendo-se a equação da elipse, e substituindo-se os
pontos dados. No primeiro caso, a substituição resulta
em 1, portanto pertence à elipse. No segundo caso, a
substituição resulta em valor maior que 1 portanto é
externo.
21) Alternativa: A
22) Alternativa: C
23) Alternativa: E
24) Alternativa: D
25) Alternativa: A
26) Alternativa: E
27) Pelas relações de Girard entre coeficientes e raízes
de equações polinomiais, segue que seu produto é igual
a 1.
28) Alternativa: B
29) Alternativa: A
30) Resposta:
8
7 2
( 1,24) unidades de comprimento.
31) a) A(1, 1) e B( -1, 1)
b) 45o e 135o
32) Alternativa: C
33) Alternativa: A
34) a) 3
b) y 6
1
( x2
+ 3)
35) Alternativa: A
36) Alternativa: A
37) Resposta: y = 2x – 1 ou y = – 2x – 1.
38) Alternativa: D
39) Alternativa: A
40) Alternativa: E