Este documento apresenta os conceitos básicos de matemática financeira, como juros compostos, fluxo de caixa, taxas de juros e suas aplicações em investimentos e financiamentos. Inclui exemplos numéricos de cálculos envolvendo juros compostos, valor presente e valor futuro.

1. Instituto Nacional de Telecomunicações
Engenharias
M017 – Engenharia Econômica
Prof. Vinícius A. Montgomery de Miranda
Agosto/2023

2. Matemática Financeira
A base para a Engenharia Econômica e
a Análise de Investimentos
2

3. Matemática Financeira
“Não se soma ou subtrai quantias em
dinheiro que não estejam na mesma
data”.
Somar dinheiro em datas diferentes significa desprezar os juros.
3
Não faz sentido, portanto, do ponto de vista da Matemática Financeira dizer que uma TV à vista de R$ 3.500
pode ser paga em 10 prestações iguais R$ 350,00. A menos que não houvesse juros.
Regra de Ouro
Quanto maior o custo do capital
(juros), maiores os incentivos para
poupar e não gastar (consumir).

4. Significado dos Juros
Trabalho
Capital
Terra
Fatores de Produção
considerados em economia
Salário Aluguel
Royalties Lucros
Juros
Administração
Tecnologia
4
Renda = Salários + Juros + Royalties + Lucros + Aluguéis
Os juros geram um prêmio (bônus) para
os que trocam o curto prazo pelo longo, e
geram um revés (ônus) para os que
fazem o contrário.
Capital: capacidade e infraestrutura de produção
Recursos naturais
Mão de obra
Gestão
Conhecimento
+ produção = + renda

5. Juros é aquilo que se paga pelo uso de
dinheiro pertencente a terceiros (custo do
capital) ou como a remuneração de capital
empregado em atividades produtivas
(rentabilidade).
Significado dos Juros
Exemplo: a rentabilidade (TIR) de um projeto é de 14% ao ano e o seu
custo do capital (TMA) é de 12% ao ano. Logo, esse projeto é considerado
economicamente viável, pois, tem a TIR > TMA.
5
Quando uma empresa precisa executar projetos, ela obtém o capital de diferentes
fontes de capital que são classificadas em Capital de Terceiros e Capital Próprio. O
Capital Próprio são os recursos dos sócios (proprietários do negócio). Já o Capital
de Terceiros são os recursos oriundos de empréstimos e financiamentos que geram
uma despesa financeira. Quanto maior o custo do capital (custo do dinheiro), menos
viável é a execução de projetos. Isto é, quando o custo do dinheiro é muito elevado,
as empresas executam menos projetos e, portanto, menos empregos são gerados.
Taxa Selic: 13,75% a.a. (2023)

6. Taxa pura (livre de risco).
Risco de inadimplência.
Impostos.
Custos operacionais.
Intermediação.
Correção monetária - Inflação.
Formação dos Juros
O Brasil é um dos países com maior spread bancário.
Spread = risco + impostos + lucros
Bancos
Poupadores
0,5% a.m.
Tomadores
3,0% a.m.
6
No Brasil, os impostos e custos são elevados e há
pouca concorrência entre instituições financeiras. O
surgimento dos bancos virtuais e a abertura da
economia pode aumentar o nível de concorrência.

7. JUROS: o que se paga pelo custo
do capital
JUROS TEMPO
Se o dinheiro fosse uma mercadoria, os juros
seriam o pagamento para se obter essa mercadoria.
Os juros estão presentes no nosso dia-a-dia: compras a crédito, prestações da casa
própria, descontos de duplicatas, etc.
7
As empresas pagam juros porque precisam de dinheiro, sem demora, para seus projetos.

8. Matemática Financeira
Juros compostos
• J : Juros
• i : Taxa de juros
• n : Número de Períodos
• P : Principal
• F : Valor Futuro
P F1
F2
F3
F = P ( 1 + i ) n
F = P ( 1 + i . n )
Juros Simples
8
Os juros compostos são usados em
operações de financiamento.
Os juros simples são usados em
operações de descontos comerciais.
Um empréstimo de R$ 3.000, por um período de 6 meses, com taxa de juros de 2% a.m.
F = 3.000 (1 + 0,02)6 = R$ 3.378,49 F = 3.000 (1 + 0,02x6) = R$ 3.360,00

9. Matemática Financeira
Exemplo 1
Quais os juros pagos em um financiamento de R$ 100.000,00 a uma
taxa de 20% ao ano por 3 anos? Qual valor deveria ser pago (valor
futuro) para os casos de considerarmos juros simples e juros
compostos?
Solução:
60% 72,8%
100000
110000
120000
130000
140000
150000
160000
170000
180000
0 1 2 3
J. Simples
J. Compostos
9
Fim do ano Juros Simples Juros Compostos
0 R$ 100.000 R$ 100.000
1 R$ 120.000 R$ 120.000
2 R$ 140.000 R$ 144.000
3 R$ 160.000 R$ 172.800
F = P ( 1 + i . n ) F = P ( 1 + i ) n J = F - P
J% = J/P x 100

10. Exercício 1
Na aquisição de um equipamento, no valor de R$ 25.700,00,
uma empresa se comprometeu a liquidar a dívida junto ao
fornecedor no prazo de 6 meses, com uma taxa de juros
mensal de 2,4% ao mês. Qual o valor a ser pago, considerando
os juros compostos? Qual o total pago de juros (valor absoluto
e valor em %)?
Matemática Financeira
F = P ( 1 + i ) n
10
1º Passo: identificar o que foi dado no problema e o que se pede.
P = R$ 25.700 (valor do equipamento hoje).
n = 6 (prazo do financiamento).
i = 2,4% a.m. (taxa de juros do financiamento).
F = ? (valor a ser pago no futuro).
F = P (1+ i)n = 25700x(1,024)6 = R$ 29.630,08
2º Passo: buscar a fórmula correta e substituir valores.
J = F – P = 29.630,08 – 25.700 = R$ 3.930,08
3º Passo: responder
o que se pede.
1) Valor a ser pago
em 6 meses = R$
29.630,08
2) Juros pagos
R$ 3.930,08 ou
15,29%
Na calculadora científica digite: 25700x1.024^6 =
RL% = 3.930,08/25.700 x100

11. Matemática Financeira
Exercício 2
Uma empresa pretende adquirir um equipamento no valor de
R$ 15.500,00 (à vista). Se a mesma optar por financiar o
equipamento, poderá liquidar a dívida em 5 meses, com taxa
de juros de 2,1% a.m. Qual o valor deverá ser pago? Qual o
total pago de juros (valor absoluto e valor em %)?
F = P ( 1 + i ) n
11
Respostas:
F = R$ 17.197,31 e J = R$ 1.697,31 ou J = 10,95%

12. Matemática Financeira
Exercício 3
Um cliente resolveu pagar uma dívida que está atrasada há 8
meses. Se o valor a pagar era de R$ 1.800,00 e a taxa de juros é
de 1,5% ao mês, qual valor ele deveria desembolsar hoje para
se livrar dessa dívida?
F = P ( 1 + i ) n
12
F = P (1+ i)n = 1.800x(1,015)8 =

13. Fluxo de Caixa
0 1 2 3 n
( + )
( - )
entradas (receitas)
saídas
(despesas operacionais, manutenção, etc..)
investimento
valor residual
vida do projeto (tempo)
13
Trata-se da representação gráfica da entrada e saída (fluxo) do caixa
de uma empresa.
O valor residual corresponde à entrada de recursos no caixa da empresa, quando
ativos (equipamentos) são vendidos no final de projetos.
Os fluxos positivos (para cima) representam a entrada de recursos no caixa. Os fluxos negativos
(para baixo) representam a saída de recursos do caixa. O tempo de vida do projeto pode ser dado
em meses ou anos.
Tempo Fluxo de Caixa
0 -R$ 20.500,00
1 12.400,00
R$
2 12.400,00
R$
3 12.400,00
R$
4 12.400,00
R$
5 17.500,00
R$

14. Receita Bruta de Vendas (RBV)
(-) Impostos proporcionais/deduções/devoluções
Receita Líquida de Vendas (RLV)
(-) CMV/CPV
(=) Resultado Operacional Bruto
(-) Despesas Operacionais
Vendas
Administrativas
Outras
(=) Resultado Antes do Financeiro e Impostos
(-) Despesas Financeiras
(=) Resultado Antes do Imposto de Renda
(-) Imposto de Renda/ C.Social (CSSL)
(=) Lucro Líquido
(+) Depreciação
(=) Fluxo de Caixa Operacional
(-) Investimentos
Ativo Fixo
Capital de Giro
(=)Fluxo de Caixa Livre
Fluxo de Caixa Livre
14
DRE – Demonstração do Resultado do Exercício
0
1 2 3 n
Fluxo de Caixa Livre
A DRE permite demonstrar o resultado (que pode
ser lucro ou prejuízo) no exercício (período de
tempo considerado na análise).
Observe que o lucro é diferente do caixa gerado.
Qual a diferença entre eles?

15. RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
P
F
0 n
Relação entre P e F
F = P ( 1 + i ) n
Matemática Financeira
15
De P para F (capitalização)
De F para P (descapitalização ou desconto)
P = presente e F = futuro
Observe que os juros
fazem o valor do fluxo
aumentar com o passar
do tempo. Assim,
descontar um fluxo futuro
para data zero, faz
reduzir o valor do fluxo de
caixa.
Calculadoras
científicas
Tabelas
financeiras
Planilhas
(EXCEL)
Calculadoras
Financeiras

16. Exemplo de aplicação da relação P e F
Um investidor deseja saber qual o valor conseguirá acumular se aplicar R$
2.500,00 por 6 meses em um fundo de investimento que renda 1,2% ao mês.
F = P (1 + i) n
P = 2.500
F = ?
0 1 2 3 4 5 6
i = 1,2%am
F = 2.500 (1 + 0,012) 6 = R$ 2.685,49
Solução pela calculadora científica:
Solução pela HP 12C:
2500 CHS PV 1.2 i 6 n FV
16
Monte o Fluxo de Caixa do problema para melhor compreensão
CHS = change signal (sinal negativo )

17. Exemplo de aplicação da relação F e P
Um investidor deseja saber qual o valor deve aplicar hoje em um fundo de renda
fixa que rende 1,5% ao mês para que em 10 meses tenha acumulado R$
7.500,00.
P = F /(1 + i) n
P = 7.500/(1 + 0,015) 10 = R$ 6.462,50
Solução pela calculadora científica:
Solução pela HP 12C:
7500 CHS FV 1.5 i 10 n PV
P = ?
F = 7.500
0 1 2 10
i = 1,5%am
17
Valor aplicado é sempre o valor presente (P).

18. Exercícios da relação entre P e F
1) Um investidor deseja saber qual o valor deve aplicar hoje em
um fundo multimercado que rende 2,2% ao mês para que em 12
meses tenha acumulado R$ 10.000,00.
Resp. R$ 7.701,75
2) Um investidor deseja saber qual o valor conseguirá acumular
em 20 meses, se depositar R$ 5.000,00 em uma aplicação
financeira que renda 1,2% ao mês.
Resp. R$ 6.347,17
18
3) Um investidor fez uma aplicação de R$ 7.900,00 em um fundo
de investimento que rende 0,9% ao mês, por um período de 25
meses, se a alíquota do Imposto de Renda é de 20%, qual o valor
a ser resgatado? Qual a rentabilidade líquida (em R$ e em %)?
Resp. RB = R$ 1.983,40 RL = R$ 1.586, 72 RL% = 20,09%
Não esqueça de montar o fluxo de caixa
Não esqueça de montar o fluxo de caixa
Valor Resgatado = Valor Investido (P) + Rentabilidade Líquida (R$)
Rentabilidade Bruta = Juros = F - P Rentabilidade Líquida = RB - IR

19. Exercícios da relação entre P e F
5) Deseja-se saber qual o valor deve ser depositado hoje em um
fundo de investimento que rende 1,2% ao mês para que em 38
meses o patrimônio acumulado seja de R$ 12.900,00.
19
4) Um investidor fez uma aplicação de R$ 12.700,00 em um fundo
de investimento que rende 1,1% ao mês, por um período de 30
meses, se a alíquota do Imposto de Renda é de 20%, qual o valor
a ser resgatado? Qual a rentabilidade líquida (em R$ e em %)?
6) Um investidor aplica hoje R$ 11.400 em um fundo de
investimento que rende 0,9% ao mês. Qual o valor a ser
resgatada em 25 meses, considerando a alíquota de IR de 20%?
Resp. RB = R$ 4.933,49 RL = R$ 3.946,80 RL% = 31,08%
Resp. P = R$ 8.198,42
Resp. VR = R$ 13.689,69
7) Se um devedor resolve quitar hoje uma dívida de R$ 14.500,00 que
vence daqui a 6 meses, com juros de 0,8% ao mês, qual o desconto (em
R$ e em %) a que tem direito? Qual valor ele deve pagar hoje?
Resp. D = R$ 676,92  4,67%

20. Relação entre P e A
A A A A A
P
0 n
Matemática Financeira
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
P = A
( 1 + i ) 1
( 1 + i ) i
n
n







20
A = série uniforme de pagamentos

21. Exemplo de aplicação da relação P e A
21
Uma Smart TV 50´ Sony é anunciada por uma loja em 6
prestações (sem entrada) no valor de R$ 332,35 por mês. Qual
deveria ser o valor correspondente à vista dessa TV, sabendo que
os juros cobrados nessas 6 prestações é de 1,2% ao mês?
Solução pela calculadora científica:
P = ?
0
1 2 3 4 5 6
i = 1,2%am
A = R$332,35










i
i
i
A
P n
n
)
1
(
1
)
1
(
332,35[(1+0,012)6 – 1]
[(1+0,012)6 .0,012]
P = P = R$ 1.912,96
Solução pela HP 12C: 332.35 CHS PMT 1.2 i 6 n PV
Na científica digite: 332.35x((1.012^6-1)/(1.012^6x0.012)) =
PMT = payment (pagamento = A )
Guarde essa
sequência de
operadores
matemáticos.

22. Exemplo de aplicação da relação A e P
Um aposentado acumulou em um plano de previdência privada o
valor de R$ 400.000 e deseja saber quanto poderá receber
mensalmente durante 20 anos, se o seu fundo de previdência
rende 1% ao mês.
Solução pela calculadora científica:
P = R$ 400.000
0
1 2 240
i = 1%am
A = ?










i
i
i
P
A n
n
)
1
(
1
)
1
(
/
Solução pela HP 12C: 400000 CHS PV 1 i 240 n PMT
34
,
404
.
4
$
01
,
0
)
01
,
0
1
(
1
)
01
,
0
1
(
/
000
.
400 240
240
R
A 










Na científica digite: 400000/((1.01^240-1)/(1.01^240x0.01))
22
Guarde essa
sequência de
operadores
matemáticos.

23. Exercício da relação A e P
1) Um cliente de um banco acumulou em um plano de previdência
privada o valor de R$ 560.000,00 e deseja saber quanto poderá
receber mensalmente durante 25 anos, se o fundo de previdência
rende 1% ao mês.
Resp. R$ 5.898,06
2) Se o cliente tiver que descontar IR conforme a tabela atual
(2023), qual o valor receberia efetivamente? (A RF não atualiza a
tabela desde 2015).
Base de cálculo em R$ Alíquota% dedução do imposto em R$
até 1.903,98 - -
de 1.903,99 até 2.826,65 7,5% R$ 142,80
de 2.826,66 até 3.751,05 15% R$ 354,80
de 3.751,06 até 4.664,68 22,5% R$ 636,13
acima de 4.664,68 27,5% R$ 869,36.
23
Resp. R$ 5.145,45
Inflação acumulada (IPCA) desde 2015: 59,49%

24. Exercício da relação A e P
3) Um empresa anuncia um Tablet por R$ 989,00 à vista ou em 10
prestações (sem entrada) de R$ 98,90. Se a taxa de juros
embutida no valor à vista for de 1,5% ao mês, qual deveria ser o
valor à vista? E o desconto que o comprador à vista tem direito?
4) Uma loja anuncia um som por 10 prestações de R$ 84,90 (1
entrada + 9 prestações). Sabendo que a taxa de juros cobrada no
financiamento é de 1,2% ao mês, qual é o valor à vista do som?
5) Uma empresa pretende comprar um novo equipamento para
seu processo produtivo e irá financiá-lo em 20 prestações de R$
175,00, além de uma entrada de R$ 750,00 se a taxa de juros
cobrada no financiamento é de 1,4% ao mês, qual é o valor à vista
do equipamento?
24
Resp. VV = R$ 912,07 D = R$ 76,93 D% = 7,78%
Resp. VV = R$ 3.784,34
Resp. V = R$ 805,10

25. A A A A A
F
0 n
Matemática Financeira
RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA
Relação entre F e A
F = A
( 1 + i ) 1
i
n







25

26. Exemplo de aplicação da relação F e A
Um trabalhador deseja saber quanto conseguirá acumular de
patrimônio se depositar mensalmente a quantia de R$ 250,00
durante 30 anos em um plano de previdência que rende em média
1% ao mês.
Solução pela calculadora científica:
Solução pela HP 12C: 250 CHS PMT 1 i 360 n FV







 


i
i
A
F
n
1
)
1
(
F = ?
0
1 2 360
i = 1%am
A = R$ 250,00
03
,
741
.
873
$
01
,
0
1
)
01
,
0
1
(
250
360
R
F 





 


Na científica digite: 250x((1.01^360-1)/(0.01))
26
Patrimônio é o valor futuro a acumular (F).
Guarde essa
sequência de
operadores
matemáticos.

27. Exemplo de aplicação da relação A e F
Um trabalhador deseja saber quanto precisa depositar
mensalmente, durante 20 anos, em um fundo de previdência que
rende em média 1,2% ao mês, para acumular um patrimônio de
R$ 500.000,00.
Solução pela calculadora científica:
Solução pela HP 12C: 500000 CHS FV 1.2 i 240 n PMT





 


i
i
F
A
n
1
)
1
(
/
F = R$ 500.000,00
0
1 2 240
i = 1,2%am
A = ?
38
,
363
$
012
,
0
1
)
012
,
0
1
(
/
000
.
500
240
R
A 





 


27

28. Exercício da relação A e F
1) Deseja-se saber quanto é necessário depositar mensalmente,
durante 25 anos, em um fundo de previdência que rende em
média 1,5% ao mês, para acumular um patrimônio de R$
650.000,00.
Resp. R$ 113,29
2) Um trabalhador deseja saber quanto conseguirá acumular de
patrimônio se depositar mensalmente a quantia de R$ 150,00
durante 30 anos em um plano de previdência que rende em média
1,1% ao mês.
Resp. R$ 686.390,31
28

29. Séries perpétuas ou infinitas
Matemática Financeira
Série usada em mensalidade de clubes, recebimento de
aposentadoria, etc.
P
A
É considerada infinita a série em que não se tem certeza de
qual a data final (data final indefinida).
i
A
P 
29










i
i
i
A
P n
n
)
1
(
1
)
1
(
Nessa fórmula se n
tende ao infinito P = A / i

30. Exemplo de aplicação da série perpétua
Um aposentado que conseguiu acumular em um plano de
previdência privada o valor de R$ 400.000,00 deseja saber qual
será o valor de sua renda vitalícia, sabendo que o fundo rende
0,8% ao mês.
Solução pela calculadora científica:
00
,
200
.
3
$
008
,
0
000
.
400 R
x
A 

P = R$ 400.000
0
1 2
i = 0,8%am
A = ?
A = P x i
i
A
P 
30

31. Exercício da Série Perpétua
1) Um proprietário de imóvel recebeu uma proposta de R$
150.000,00 por uma casa que no momento está sendo alugada
por R$ 800,00. Considerando uma taxa de juros de 0,5% ao mês
e sem considerar a valorização do imóvel ou sua depreciação,
pergunta-se, qual o melhor negócio: vender ou permanecer
alugando?
2) Um aposentado conseguiu acumular R$ 870.000,00 de
patrimônio em um fundo de investimento e deseja saber, qual será
sua renda vitalícia líquida se o fundo rende 0,7% ao mês.
Considerar alíquota de IR de 15%.
3) Para entrar de sócio em um clube, um associado precisa pagar
R$ 5.500,00 à vista e depois mensalidades de R$ 120,00 por mês.
Considerando a taxa de juros de 0,6% ao mês, quanto o sócio
poderia pagar no ato para virar sócio remido?
31
Resp. RV = R$ 5.176,50
Resp. Valor dos alugueis na data presente = R$ 160.000,00
Resp. V = R$ 25.500,00

32. Exercícios de Matemática Financeira
1) Calcular qual o rendimento líquido de uma aplicação
financeira de R$ 2.000,00 em um fundo de renda fixa que
rende 1,7% ao mês, por um prazo de 10 meses. IR = 20%
sobre a rentabilidade. Calcular a rentabilidade total líquida.
Respostas: R$ 293,78 e 14,69%
2) Calcular quanto se resgata de uma aplicação financeira que
rende 20% ao ano, ao se aplicar R$ 1.400,00, por um período
de 6 meses. Não esquecer do IR.
Resposta: R$ 1.506,90.
3) Calcular quanto um investidor deve pagar por um título cujo
valor de face é de R$ 15.000,00 e seu vencimento ocorre em
18 meses, sendo a taxa de juros esperada de 28% ao ano.
Resposta: R$ 10.358,90.
32

33. Exercícios de Matemática Financeira
4) Um som Sony é anunciado em uma loja por R$ 600,00 à
vista, ou em 5 prestações iguais de R$ 120,00 “ sem
juros”. Qual deveria ser o desconto (% e em Reais) que
o comprador deveria exigir se comprasse à vista,
considerando um juro embutido no preço anunciado de
1% ao mês?
5) Se o som for financiado em 10 prestações iguais de R$
70,00 (sem entrada), com juros de 1,5% a.m., qual seria
o valor à vista correspondente a esse financiamento?
6) Qual seria a taxa de juros no financiamento do valor de
R$ 600,00 em 10 prestações?
7) Qual seria o valor à vista se o som de R$ 600,00 fosse
financiado em 9 prestações de R$ 70,00, mais uma
entrada de mesmo valor? Considere o juros de 1,5%
a.m. 33
Resp. D = R$ 17,59 D% = 2,93%
Resp. V = R$ 645,55
Resp. i = 2,91% a.m.
Resp. V = R$ 655,24

34. Exercícios de Matemática Financeira
8) Um investidor está em dúvida se deposita R$ 5.000,00 na
poupança que rende em média 0,6% ao mês ou se
deposita em um fundo de renda fixa que rende em média
1% ao mês e paga 20% sobre o rendimento de Imposto de
Renda. O que é mais vantajoso sabendo que sua aplicação
será por 6 meses? E se a aplicação fosse por 3 anos?
9) Deseja-se saber qual o valor a ser depositado em um fundo
de renda fixa que rende 1,1% ao mês para que em 18
meses se tenha um valor de R$ 3.500,00.
10) Um aposentado está em dúvida se é preferível receber
seus benefícios na forma de renda vitalícia ou por um
período definido de 15 anos, sabendo que a rentabilidade
média de seu patrimônio é de 1% ao mês e que o valor
acumulado é de R$ 200.000,00. Considerar que pagará um
alíquota de IR de 15%.
34

35. F I M
“A leitura é uma força poderosa que ilumina a escuridão. Infelizmente, são poucos
os que têm coragem de andar na contramão do mundo em busca do conhecimento
que transforma a realidade”. Prof. Vinícius Montgomery