O documento apresenta vários problemas de eletrostática e circuitos elétricos. Inclui determinação de resistências equivalentes em circuitos com resistores em série, paralelo e combinações, cálculo de capacitâncias em capacitores com diferentes dielétricos entre as placas, e problemas envolvendo energia armazenada em capacitores.

1. PROBLEMAS SELECIONADOS DE ELETRICIDADE<br />PROFESSOR HELANDERSON SOUSA<br />Na figura abaixo todas as resistências valem R. Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B<br />Solução:<br />Se considerarmos apenas a parte do circuito a esquerda da linha tracejada na figura abaixo<br />Essa parte corresponde ao mesmo circuito, pois a retirada de apenas uma célula não afetará a resistência equivalente do resistor. Assim teremos:<br />Onde X é a resistência equivalente entre os pontos A e B.<br />Logo:<br />(XR/X + R) +R = X resolvendo para X temos:<br /> X =(R/2)(1 + 5) <br />Cada ramo, do circuito mostrado a seguir, possui resistência R<br />Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B.<br /> HelanDICA!: Simplifique as resistências que estão claramente em série e depois use transformação delta-estrela <br />Na figura abaixo os resistores nas arestas de cada balão valem R, assim como os da estrela de Davi na parte de baixo do circuito. O único resistor do qual o valor da resistancia é diferente de R, é mostrado do lado esquerdo da estrela.<br />Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B.<br />A resistência equivalente entre os pontos A e B da figura é:<br />a) R/3 <br />b) R/2 <br />c) 2R/3 <br />d) 4R/3 <br />e) 2R <br /> <br />Solução: Na figura é fácil ver que os resistores de resistência R estão em curto-circuito e o circuito que nos resta é:<br />Assim teremos RAB = 4R/3<br />Uma armação cúbica de arames onde cada aresta possui resistência R é mostrada na figura abaixo.<br /> <br /> Determine a resistência equivalente ao ligarmos o cubo a um circuito entre os pontos:<br />1 e 7<br />1 e 2<br />1 e 3 <br />Sabendo que todos os resistores possuem a mesma resistência R, determine a resistência equivalente entre os pontos A e B.<br />HelanDICA!: Repare que esse é o mesmo caso do item (a) da questão anterior, o circuito dessa vez está arranjado de uma forma plana.<br />Na figura espacial abaixo, todos resistores possuem a mesma resistência 𝑅. Sabendo que a resistência equivalente entre os pontos 𝐴 e 𝐵 é 5𝑅, determine o valor de N<br /> <br />Solução: Na figura podemos notar que alguns resistores estão entre pontos de mesmo potencial, ou seja ddp = 0, e nesse caso podemos desconsiderar tais resistores<br />Retirando os resistores que tem ddp = 0 podemos redesenhar a figura da seguinte forma:<br />Da figura vemos n + 2 resistores em cada “ramo” como os quatro “ramos” estão em paralelo e a resistência equivalente entre os pontos A e B é dada, podemos escrever:<br />5R = (n + 2)R/4 logo n = 18<br /> <br />(ITA-2001) Sabendo que R3 = R1 /2, para que a resistência equivalente entre os pontos A e B da associação da figura seja igual a 2R2 a razão r = R2 / R1 deve ser:<br /> 3/8 b) 8/3 c) 5/8 d) 8/5 e) 1<br /> A figura abaixo representa um circuito ilimitado composta por resistores de resistência R1 e R2 de valores respectivamente iguais a 4 Ω e 3 Ω. Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B<br />Solução: A parte a direita da linha vermelha na figura abaixo, pó ser considerado o mesmo circuito inicial, visto que a escada de resistores se repete ilimitadamente.<br />E também possui a mesma resistência equivalente que o circuito inicial. Assim podemos redesenhar o circuito da seguinte maneira.<br />Resolvendo o circuito e igualando X, que é a resistência equivalente entre os pontos A e B teremos:<br />(XR2/R2 +X) +R1 = X<br />Resolvendo para X chegamos a:<br />X =R12(1+ 1+4R2R1)<br />Substituindo os valores dados, temos X = 6Ω <br />No arranjo de resistores mostrados abaixo, determine a resistência equivalente entre os pontos A e B se todas as resistências valem 3R<br />Solução: Seguindo o mesmo raciocínio da questão anterior, podemos redesenhar a figura da seguinte forma:<br />Onde X é a resistência equivalente entre os pontos A e B.<br />Resolvendo esse circuito e igualando a X (que é a resistência equivalente AB) achamos que é pedido na questão.<br />OBS: ESSA QUESTÃO ENVOLVE CONHECIMENTOS DE TRENFORMAÇÃO DELTA-ESTRELA, CASO NÃO TENHA INTIMIDADE COM O ASSUNTO PROCURRE VER ANTES.<br />No arranjo infinito de resistores abaixo, todas as resistências valem R.<br />HelanDICA! Segue o mesmo raciocínio da questão anterior<br />Como mostra a figura abaixo, uma malha espacial infinita de resistores foi construída. Na associação, todos os resistores são iguais a 𝑹. Determine a resistência equivalente entre os pontos 𝑨 e 𝑩. <br /> A figura abaixo mostra uma rede de células quadradas ilimitadas, a resistência entre cada nó é sempre R. Determine a resistência entre A e B<br />Na figura abaixo, estão associados N geradores em série, em que suas forças eletromotrizes crescem em progressão geométrica. Sabendo que todos os resistores da figura apresentam a mesma resistência, determine o número de geradores associados para que o potencial no ponto G seja de 1640 Volts. Considere os geradores como ideais.<br />Resolução: <br />Seja K = 1 V + 3 V + 9 V + 27 V + . . . + EN.<br />Os resistores que estão na linha de simetria (acinzentado) são anulados, pois todos os pontos do circuito pertencentes a esta linha possuem o mesmo potencial. <br />Por um lado, temos: <br />K – 0 = UA + UC + UB + UB + UC + UA ∴ UA + UB + UC = K/2 <br />Por outro: <br />K – VG = UA + UC + UB, sendo UA + UB + UC = K/2, tem-se VG = K/2. <br />Portanto, concluímos que o potencial no ponto G é a metade da soma 1 V + 3 V + 9 V + 27 V + . . . + EN. Logo, se VG = 1640 V, K = 3280 V. <br />Temos que determinar quantos termos da P.G. (1, 3, 9, 27 ...) devem ser somados para que a soma dê 3280. Pela soma dos N termos iniciais de uma P.G., temos:<br /> 3280 = 1.(3n-1)3-1 ∴ 𝐍=𝟖<br />Na figura abaixo se mostra uma rede elétrica. Determine a resistência equivalente entre os terminais a e b se todas as resistências são iguais a R.<br />Sabendo que todos os resistores da figura abaixo possuem a mesma resistência 𝑅, determine a resistência equivalente entre os pontos 𝐴 e 𝐵.<br />Achar a resistência equivalente no hexágono abaixo, nas três situações, sendo que cada ramo possui resistência R.<br />Consider the ladder of resistors r, each of resistance shown in Figure. What is the resistance seen between terminals A and C?<br />Solution: By Guide to physics problems<br />Define equivalent resistances R and R’ as shown in Figure S.3.29a. By symmetry, the equivalent resistances attached to points A and C are both R. The total resistance between terminals A and C is the sum of the series Resistance<br />Duas placas paralelas quadradas de lado L, separadas por uma distância d, são inseridas em um grande reservatório contento um dielétrico liquido de constante dielétrica k, conforme mostra a figura abaixo.<br /> <br />Determine a capacitância desse capacitor.<br />Solução: Podemos considerar o arranjo como dois capacitores em paralelo. Assim teremos:<br />Ceq = ekA/2d + eA/2d<br />Ceq = (eA/2d)(k + 1)<br />A figura abaixo mostra dois capacitores com metade do espaço entre suas placas preenchido com um dielétrico de constante dielétrica K1. As áreas e as distâncias de separação dos capacitores são idênticas. Qual deles possui maior capacitância, o mostrado na figura (a) ou o mostrado na figura (b)?<br />Solução:<br />No caso (a) podemos considerar o arranjo como dois capacitores em paralelo, pois tanto a parte com o dielétrico como a sem dielétrico estão sob uma mesma tensão. <br />Assim a capacitância equivalente será dada por<br />Ceq = C1 + C2 onde C1 = K1e0A/2d e C2 = e0A/2d <br />Logo Ceq = (e0A/2d)(K1 + 1)<br />No caso (b) podemos considerar o arranjo como dois capacitores em série, pois o potencia total entre as placas é igual a soma do potencia na parte com dielétrico com o potencial na parte sem o dielétrico.<br />Assim Ceqb = C1.C2/(C1 + C2)<br />Onde C1 = Ke0A/12d e C2 = e0A/12d<br />Substituindo esses valores em Ceqb chegamos a (2e0A/d)(k/k+1)<br />Fazendo Ceqb/ceq = 4k(k+1)2 que é menor que 1 pois k é maior que 1<br />Concluímos que Ceq > Ceqb<br />Um capacitor de placas paralelas apresenta distância de separação entre as placas d. O espaço entre as placas é preenchido com dois dielétricos, um de espessura d/4 e constante dielétrica K1 e o outro com espessura 3d/4 e constante dielétrica k2. Determine a capacitância desse capacitor em função de C0, a capacitância sem dielétricos.<br />Três dielétricos com constantes dielétricas K1, K2 e k3 preenchem partes de um capacitor de placas paralelas com mesmo volume como mostra as figuras abaixo. A área das placas é A e a separação entre elas é d. Calcule a capacitância do sistema em (a) e em (b).<br />Qual dos dois capacitores possui maior capacitância?<br />HelanDICA! Veja a resolução da questão 19<br />Três capacitores estão ligados em paralelo. Cada um deles tem armaduras de área A com espaçamento d entre elas. Qual deve ser a distância entre as armaduras de um único capacitor, cada uma com área também igual a A, de modo que sua capacitância seja igual à da associação em paralelo? (b) Repita o cálculo supondo que a associação seja em série.<br />Considere um capacitor de placas paralelas (preenchido com ar) onde uma das placas é conectada a uma mola com constante de força k e a outra placa é fixa como mostra a figura. Se o capacitor possui carga Q e a área das placas vele A, determine o deslocamento da mola.<br />Solução:<br />F = Q22eA = Kx ↔ x = Q22eAk <br />Considere as figuras (a) e (b) abaixo, onde há um dielétrico de constante dielétrica Z. Determine em qual dos casos haverá maior deslocamento da mola.<br />Determina a capacidade de um circuito ilimitado, formado pela sucessão de capacitores idênticos , cada um com capacidade C, Como mostrado na figura.<br />HelanDICA!: Segue o mesmo raciocínio da escada de resistores.<br />A figura mostra um capacitor variável, que usa o ar como dielétrico, do tipo empregado na sintonia dos aparelhos de rádio. As armaduras são ligadas alternadamente, um grupo delas estando fixo e o outro podendo girar em torno de um eixo. Considere um conjunto de n armaduras de polaridade alternada, cada uma de área A de tal forma que a distância entre as placas de um capacitor é sempre o dobro da distância que separa as placas de seu antecessor, sabemos que a distância entre as duas primeiras placas é d. Determine a capacitância máxima que podemos obter desse capacitor. <br />Solução: Com n placas temos uma associação de n – 1 capacitores em paralelo, assim a capacitância equivalente e dada pela soma das capacitâncias de cada capacitor. Do enunciado, se a distância entre as placas do primeiro capacitor é d temos que entre as placas do segundo é 2d entre as placas do terceiro 22d......entre as placas do <br /> (n -1)esimo 2n-2d.<br />A questão pede a capacitância máxima e sabemos que cada capacitor tem sua capacitância diretamente proporcional a área, logo a capacitância de cada um e consequentemente a capacitância equilavente será máxima quando toda área A estiver a “disposição” do capacitor. Assim podemos escrever:<br />Ceq = Ae/d + Ae/2d + Ae/22d +...+ Ae/2n-2d<br />Ceq = Aed( 1/ + 1/2 + 1 /22+...+1/2n-2)<br />Resolvendo a P.G.,...<br />Ceq =Aed (2 -23-n)<br />A figura mostra dois capacitores em série, com uma seção central rígida, de comprimento b, que pode se mover verticalmente. Determine a capacitância máxima e mínima que podemos obter com esse capacitor.<br />Solução: considere as distâncias arbitrarias c e d entre as placas e as haste rígida, como mostra a figura abaixo.<br />Vemos que a = c + b + d<br />Nesse caso temos dois capacitores em série, logo a capacitância equivalente é dada por:<br />1/Ceq =1/C1 +1/C2 (eq 1)<br />C1 = eA/c e C2 = eA/b<br /> <br />Substituindo esses valores em (eq 1) temos<br />Ceq = Ae/(a –b)<br />Desta forma vemos que a capacitância desse sistema é constante, independente da distância das placas à haste rígida, não havendo assim um valor máximo ou mínimo.<br />Um gás ideal encontra-se inicialmente sob pressão de 1 atmosfera e ocupa o volume de 1 litro em um cilindro de raio 5/π m, cujo embolo mantém a placa p2 de um capacitor afastada 10cm da placa p1. Nessa situação existe uma energia de 171,5 μJ armazenada no capacitor, havendo entre suas placas a tenção de 5 V. Determine o calor da capacitância quando o êmbolo for levantado, reduzindo a pressão isotermicamente para 0,8 atm.<br /> Um capacitor a vácuo é inicialmente conectado a uma bateria de tensão V0 até ser carregado. Em seguida, a bateria é desconectada e um loquinho de porcelana, de constante dielétrica k e espessura b. é introduzido entre as placas do capacitor, paralelamente às mesmas. Se a distância entre as placas do capacitor vale d>b, a tensão elétrica final entre as placas do capacitor vale:<br />V0[1 +bd(k – 1/k)]<br />V0[1 +bd(1 – 1/k)]<br />V0[1 +bd(1/k - 1)]<br />V0[1 +bd(k – 1/k)]<br />V0[1 +bd(k + 1/k)]<br />Solução: O esquema pode ser considerado como três capacitores em série, de tal forma que a voltagem resultante é a soma das voltagens nas duas partes com vácuo e na parte com o dielétrico.<br />Na figura, c e a são as distâncias entre a placas e o dielétrico.<br />Considere<br />Vd =Nova tensão, após introduzido o dielétrico<br />Vb = tensão no dielétrico de espessura b<br />Va = tensão no espaço entre a placa inferior e o dielétrico, separadas por uma distância a<br />Vb = tensão no espaço entre a placa superior e o dielétrico, separadas por uma distância b<br />Podemos escrever:<br /> <br />Vd = Va + Vc + Vb ↔Vb = Ea + (E/k)b + Ec (eq 1)<br />Onde E é o campo elétrico inicial entre as placas, repare que no trecho com dielétrico, o campo elétrico é reduzido em k vezes(k dado na questão)<br />Da figura vemos que<br />a + c + b = d<br />Assim (eq1) pode ser escrita<br />Vd = E(d – b) + (E/k)b = Ed( d – b + b/k)<br />Sabemos que Ed = V0<br />Com um pouco de álgebra temos:<br />Vd = V0[1 +bd(1/k - 1)]<br />