1) O documento apresenta 14 problemas de física resolvidos, envolvendo conceitos como conservação da quantidade de movimento, energia mecânica, circuitos elétricos e capacitores. 2) Os problemas abordam tópicos como movimento de projéteis, sistemas de partículas, oscilações mecânicas, resistores e capacitores em série e paralelo. 3) As soluções utilizam equações como leis de Newton, conservação da energia e leis de Kirchhoff para circuitos elétricos.

1. lefttop<br />PROFESSOR HELANDERSON SOUSA<br />Lista 2 – Assunto: variados<br />Problema 1 <br />Um canhão de 100 Kg dispara um projétil de 2 kg com uma velocidade de 80 m/s formando um ângulo de 60° com a horizontal, apoiada sobre trilhos perfeitamente lisos. Determine a rapidez com que retrocede o canhão.<br />Solução:<br />Considere:<br />V0 = Velocidade inicial do conjunto canhão-bola<br />v = Velocidade do canhão após o disparo<br />V= velocidade do projétil após o disparo<br />M = Massa do canhão<br /> m = Massa do projétil<br />Considerando o sistema canhão-projétil livre de forças externas podemos afirmar que:<br />∑ QINICIAL = ∑ QFINAL<br />(M + n)V0 = Mv + mV<br />V0 = 0 logo Mv = -mV<br />Substituindo os valores dados temos:<br />100v = -2(-80.Cos60°) ↔ v = 80100 = 0,8 m/s<br />Problema 2<br />No sistema mostrado abaixo não existe atrito e é abandonado quando a mola ideal está estirada 10 cm, Calcule a máxima velocidade que adquire cada um dos blocos.<br />Solução:<br />Pela conservação da quantidade de movimento do sistema admitido livre da ação de forças externas teremos<br />mv = 2mv’ ↔ v = 2v’ (eq1)<br />Da conservação da quantidade de movimento, podemos afirmar que<br />kx22 = mv22 + 2m(v')22 ↔ kx22 = mv22 + 2m(v')2 (eq 2)<br />Substituindo (eq 1) em (eq 2) teremos<br />kx22 = 4m(v')22 + 2m(v')2<br />kx22 = 2m(v')2 + m(v')2<br />kx22= 3m(v')2<br />(v')2 = kx26m<br />Substituindo os valores teremos<br />v’ = 2m/s logo v = 4m/s<br />Problema 3<br />Em um plano horizontal liso se encontra dois blocos de massa m1 e m2, unidos por uma mola ideal de rigidez K e comprimento natural l0. A bloco 2 se deslocou uma pequena distância x para esquerda e logo foi solto. Determine a velocidade do centro de massa do sistema no instante em que o bloco 1 se separa da parede.<br />Solução<br />Depois de se soltar o bloco 2 adquire velocidade V2, tendo assim energia cinética.<br />Pela conservação da energia teremos:<br />12m2v22 = 12kx2 -> v2 = x km2<br />Assim a velocidade do centro de massa será:<br />Vcm = 0+m2(x km2)m1+m 2 = x(km2(m1+m2)<br />Problema 4<br />Uma pequena conta de Massa m, escorrega sem atrito ao longo de um arame rígido, com a forma de um arco semicircular com o raio R, que gira em torno de um eixo vertical formando um ângulo θ como mostra a figura abaixo, Determine o período de rotação do arame para essa situação<br />lefttopSolução: Na figura abaixo, analisamos as força que agem conta.<br />Assim podemos escrever:<br />Ncos θ = F onde F é a força centrípeta, logo<br />Nsen θ = mω2r (eq 1) e<br />Ncos θ = mg (eq 2) <br />Fazendo (eq 2)/(eq 1) temos:<br />tg θ = ω2r/g nessa equação ω = 2π/T onde T é o período procurado.<br />Assim tg θ = 4π2rgT2 Nessa equação r é o raio da trajetória da conta e não especificamente o raio do círculo, é fácil ver que r = Rsen θ, substituindo esse valor na equação acima temos<br /> tg θ = 4π2Rsen θgT2 -> cos θ = T2g4π2R -> T2 = 4π2Rcosθg<br />E o período de rotação é finalmente dado por T =2πRcosθg<br />Problema 5<br />Um corpo, suspenso por um fio de comprimento L, se move uniformemente por uma circunferência em um plano horizontal. Determine o período de rotação desse corpo se durante seu movimento o fio forma com a vertical um ângulo a<br />Da figura temos<br />Tsen a = mω2r (eq 1) e Tcos a = mg (eq 2) -> Tg a = ω2r/g (eq 3)<br />Sabendo que ω = 2πT onde T é a frequência procurada.substituindo na (eq 3) temos<br />Tg a = 4π2r/gT2 -> T = 4π2rgTg a , da figura vemos que r = Lsen a, substituindo esse valor na expressão encontrada para o período chegamos a T = 2πLcos ag<br />Problema 6<br />Na figura espacial abaixo, todos resistores possuem a mesma resistência 𝑅. Sabendo que a resistência equivalente entre os pontos 𝐴 e 𝐵 é 5𝑅, determine o valor de N<br /> <br />Solução: Na figura podemos notar que alguns resistores estão entre pontos de mesmo potencial, ou seja ddp = 0, e nesse caso podemos desconsiderar tais resistores<br />Retirando os resistores que tem ddp = 0 podemos redesenhar a figura da seguinte forma:<br />Da figura vemos n + 2 resistores em cada “ramo” como os quatro “ramos” estão em paralelo e a resistência equivalente entre os pontos A e B é dada, podemos escrever:<br />5R = (n + 2)R/4 logo n = 18<br />Problema 8<br />Na figura abaixo, estão associados N geradores em série, em que suas forças eletromotrizes crescem em progressão geométrica. Sabendo que todos os resistores da figura apresentam a mesma resistência, determine o número de geradores associados para que o potencial no ponto G seja de 1640 Volts. Considere os geradores como ideais.<br />Solução: <br />Seja K = 1 V + 3 V + 9 V + 27 V + . . . + EN.<br />Os resistores que estão na linha de simetria (acinzentado) são anulados, pois todos os pontos do circuito pertencentes a esta linha possuem o mesmo potencial. <br />Por um lado, temos: <br />K – 0 = UA + UC + UB + UB + UC + UA ∴ UA + UB + UC = K/2 <br />Por outro: <br />K – VG = UA + UC + UB, sendo UA + UB + UC = K/2, tem-se VG = K/2. <br />Portanto, concluímos que o potencial no ponto G é a metade da soma 1 V + 3 V + 9 V + 27 V + . . . + EN. Logo, se VG = 1640 V, K = 3280 V. <br />Temos que determinar quantos termos da P.G. (1, 3, 9, 27 ...) devem ser somados para que a soma dê 3280. Pela soma dos N termos iniciais de uma P.G., temos:<br /> 3280 = 1.(3n-1)3-1 ∴ 𝐍=𝟖<br />Problema 9<br />A figura mostra dois capacitores em série, com uma seção central rígida, de comprimento b, que pode se mover verticalmente. Determine a capacitância máxima e mínima que podemos obter com esse capacitor.<br />Solução: <br />considere as distâncias arbitrarias c e d entre as placas e as haste rígida, como mostra a figura abaixo.<br />Vemos que a = c + b + d<br />Nesse caso temos dois capacitores em série, logo a capacitância equivalente é dada por:<br />1/Ceq =1/C1 +1/C2 (eq 1)<br />C1 = eA/c e C2 = eA/b<br /> <br />Substituindo esses valores em (eq 1) temos<br />Ceq = Ae/(a –b)<br />Desta forma vemos que a capacitância desse sistema é constante, independente da distância das placas à haste rígida, não havendo assim um valor máximo ou mínimo.<br />Problema 10<br />Um capacitor a vácuo é inicialmente conectado a uma bateria de tensão V0 até ser carregado. Em seguida, a bateria é desconectada e um loquinho de porcelana, de constante dielétrica k e espessura b. é introduzido entre as placas do capacitor, paralelamente às mesmas. Se a distância entre as placas do capacitor vale d>b, a tensão elétrica final entre as placas do capacitor vale:<br />V0[1 +bd(k – 1/k)]<br />V0[1 +bd(1 – 1/k)]<br />V0[1 +bd(1/k - 1)]<br />V0[1 +bd(k – 1/k)]<br />V0[1 +bd(k + 1/k)]<br />Solução: O esquema pode ser considerado como três capacitores em série, de tal forma que a voltagem resultante é a soma das voltagens nas duas partes com vácuo e na parte com o dielétrico.<br />Na figura, c e a são as distâncias entre a placas e o dielétrico.<br />Considere<br />Vd =Nova tensão, após introduzido o dielétrico<br />Vb = tensão no dielétrico de espessura b<br />Va = tensão no espaço entre a placa inferior e o dielétrico, separadas por uma distância a<br />Vb = tensão no espaço entre a placa superior e o dielétrico, separadas por uma distância b<br />Podemos escrever:<br /> <br />Vd = Va + Vc + Vb ↔Vb = Ea + (E/k)b + Ec (eq 1)<br />Onde E é o campo elétrico inicial entre as placas, repare que no trecho com dielétrico, o campo elétrico é reduzido em k vezes(k dado na questão)<br />Da figura vemos que<br />a + c + b = d<br />Assim (eq1) pode ser escrita<br />Vd = E(d – b) + (E/k)b = Ed( d – b + b/k)<br />Sabemos que Ed = V0<br />Com um pouco de álgebra temos:<br />Vd = V0[1 +bd(1/k - 1)]<br /> Problema 11<br />A figura mostra um capacitor variável, que usa o ar como dielétrico, do tipo empregado na sintonia dos aparelhos de rádio. As armaduras são ligadas alternadamente, um grupo delas estando fixo e o outro podendo girar em torno de um eixo. Considere um conjunto de n armaduras de polaridade alternada, cada uma de <br />área A de tal forma que a distância entre as placas de um capacitor é sempre o dobro da distância que separa as placas de seu antecessor, sabemos que a distância entre as duas primeiras placas é d. Determine a capacitância máxima que podemos obter desse capacitor. <br />Solução: Com n placas temos uma associação de n – 1 capacitores em paralelo, assim a capacitância equivalente e dada pela soma das capacitâncias de cada capacitor. Do enunciado, se a distância entre as placas do primeiro capacitor é d temos que entre as placas do segundo é 2d entre as placas do terceiro 22d......entre as placas do <br />(n -1)esimo 2n-2d.<br />A questão pede a capacitância máxima e sabemos que cada capacitor tem sua capacitância diretamente proporcional a área, logo a capacitância de cada um e consequentemente a capacitância equilavente será máxima quando toda área A estiver a “disposição” do capacitor. Assim podemos escrever:<br />Ceq = Ae/d + Ae/2d + Ae/22d +...+ Ae/2n-2d<br />Ceq = Aed( 1/ + 1/2 + 1 /22+...+1/2n-2)<br />Resolvendo a P.G.,...<br />Ceq =Aed (2 -23-n)<br />Problema 12 <br />A figura abaixo representa um circuito ilimitado composta por resistores de resistência R1 e R2 de valores respectivamente iguais a 4 Ω e 3 Ω. Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B<br />Solução: A parte a direita da linha vermelha na figura abaixo, pó ser considerado o mesmo circuito inicial, visto que a escada de resistores se repete ilimitadamente.<br />E também possui a mesma resistência equivalente que o circuito inicial. Assim podemos redesenhar o circuito da seguinte maneira.<br />Resolvendo o circuito e igualando X, que é a resistência equivalente entre os pontos A e B teremos:<br />(XR2/R2 +X) +R1 = X<br />Resolvendo para X chegamos a:<br />X =R12(1+ 1+4R2R1)<br />Substituindo os valores dados, temos X = 6Ω <br />Problema 13<br />No arranjo de resistores mostrados abaixo, determine a resistência equivalente entre os pontos A e B se todas as resistências valem 3R<br />Solução: Seguindo o mesmo raciocínio da questão anterior, podemos redesenhar a figura da seguinte forma:<br />Onde X é a resistência equivalente entre os pontos A e B.<br />Resolvendo esse circuito e igualando a X (que é a resistência equivalente AB) achamos que é pedido na questão.<br />OBS: ESSA QUESTÃO ENVOLVE CONHECIMENTOS DE TRENFORMAÇÃO DELTA-ESTRELA, CASO NÃO TENHA INTIMIDADE COM O ASSUNTO PROCURRE ESTUDA-LO ANTES.<br />Problema 14<br />Na figura abaixo todas as resistências valem R. Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B<br />Solução:<br />Se considerarmos apenas a parte do circuito a esquerda da linha tracejada na figura abaixo<br />Essa parte corresponde ao mesmo circuito, pois a retirada de apenas uma célula não afetará a resistência equivalente do resistor. Assim teremos:<br />Onde X é a resistência equivalente entre os pontos A e B.<br />Logo:<br />(XR/X + R) +R = X resolvendo para X temos:<br /> X =(R/2)(1 + 5) <br />Problema 15<br />Um trem leva quatro minutos para ir se movimentar da estão A para a estação B, distante 4 quilômetros uma da outra na primeira parte do trajeto possui aceleração constate a1 e na parte final freia com aceleração a2. Mostre que 1a1 + 1a2 = 2. a1 e a2 são dados em Km/minuto2<br />Solução:<br />O trem percorrerá com aceleração a1 uma distância s1 durante um tempo t1 e em seguida percorrerá com aceleração a2 uma distância s2 durante um tempo t2.<br />Para a primeira parte do movimento, quando ele é acelerado teremos uma velocidade máxima até o ponto onde o trem começará a freia, usando Torricelli, essa velocidade máxima é dada por vmax = 2a1s1. Para o segundo trecho do movimento, podemos tratar vmax como velocidade e a velocidade final será nula, por Torricelli temos vmax = 2a2s2<br />Assim temos que a1s1 = a2s2 (eq 1). Sabemos que s1+ s2 = 4 -> s2 = 4 - s1(eq 2) substituindo (eq 2) em (eq 1) temos s1 = 4a2a1+a2 -> s2 = 4a1a1+a2<br />Para o percurso de movimento acelerado e retardado temos respectivamente:<br />vmax = 0 + a1t1 e 0 = vmax - a2t2->a1t1 = a2t2 Sabendo que t1 + t2 = 4 facilmente chegamos a t1 = 4a2a1+a2 e t2 = 4a1a1+a2 <br />Para a primeira parte do movimento temos s1 = 12a1 t12 -> 4a2a1+a2 = 12a1(4a2a1+a2)2<br />1 = 12a14a2a1+a2 -> 12 = a1a2 a1+a2 Finalmente chegamos a 1a1 + 1a2 = 2<br />Problema 16 ( Quem é que faz???)<br />Um patinador percorre inicialmente uma distancia L com velocidade constante, em um determinado estante começa a frear com aceleração também constante a. para qual velocidade inicial o tempo de movimento do patinador será mínimo? <br />Problema 17 (Quem é que faz ???)<br />Considere que em cada vértice de um polígono regular de n lados, foi colocado um objeto que está inicialmente com velocidade nula. A partir de certo instante, se movem conjuntamente com velocidade de módulo constante cada qual apontando à posição instantânea do objeto vizinho em movimento, Após quanto tempo estes se encontrarão e qual deverá ser a distância percorrida por cada um.Considere que a distância entre cada vértice e o centro do polígono é L.<br />Problema 18 ( Quem é que faz ???)<br />No arranjo infinito de resistores abaixo, todas as resistências valem R.<br />Determine a resistência AB<br />Dúvidas, colaborações, e sugestões serão muito bem vindas<br />helandersomslavyero@hotmail.com<br />Brevemente serão postadas as soluções dos “Quem é que faz”<br />