1. Associação de resistores
É comum nos circuitos elétricos a existência de vários resistores, que encontram-se associados. Os
objetivos de uma associação de resistores podem ser:
 a necessidade de dividir uma corrente;
 a necessidade de dividir uma tensão;
 a necessidade de obter um valor de resistência não disponível comercialmente (ver notas de
aula: Resistores).
Associação em série
Numa associação em série os resistores formam uma seqüência linear, de tal forma a fazer a mesma
corrente elétrica passar por todos os componentes da associação.
Observe o circuito abaixo, que apresenta uma associação em série de resistores.
Aplicando a lei das malhas, obtemos
Pela primeira lei de Ohm, podemos fazer
Então, substituindo na equação anterior,
Mas vimos que numa associação em série é a mesma corrente que passa por todos os resistores,ou
seja,
Isso nos permite colocar a intensidade da corrente em evidência,

2. Isso nos permite colocar a intensidade da corrente em evidência,
onde
que é a resistência equivalente da associação.
Assim, chamamos de resistor equivalente o resistor (teórico) que, sozinho, vale por toda a
associação.
Fatos importantes sobre a associação em série:
 Todos os resistores são atravessados pela mesma corrente. Logo, a intensidade da corrente é
igual para todos.
 A queda de tensão do resistor equivalente é a soma das quedas de tensão de cada resistor da
associação.
 A resistência do resistor equivalente é a soma das resistências de cada resistor da associação.
Ou seja,
Exemplo
Observe o circuito abaixo.

3. Determine:
a. A resistência equivalente do circuito.
b. A intensidade da corrente i fornecida pelo gerador E.
c. A queda de tensão que cada um dos resistores provoca.
Trata-se de uma associação em série de resistores. Então, para resolver o item (a) basta somar as
resistências individuais. Então,
Substituindo todas as resistências pelo resistor equivalente, o circuito acima reduz-se a
Logo, o item (b) pode ser resolvido através da aplicação da primeira lei de Ohm,
Como é uma associação em série, todos os resistores receberão a mesma intensidade de corrente
elétrica. Assim, resolvemos o item (c) usando novamente a primeira lei de Ohm.
Para o primeiro resistor:
Para o segundo resistor:
Para o resistor número 3:
Finalmente, para o último resistor:

4. Associação em paralelo
Numa associação em paralelo os resistores são arranjados de tal forma a terem 2 pontos de contato
entre eles. Isso faz com que todos os membros da associação apresentem a mesma queda de tensão,
e a corrente seja dividida entre eles.
Observe o circuito abaixo, que apresenta uma associação em paralelo de resistores.
Como ambos os resistores estão ligados aos mesmos dois pontos, a queda de tensão é igual para os
dois. Ou seja,
Daí, a equação para resistência equivalente num sistema paralelo será:
Figura 2: Ernst Werner von Siemens (fonte: Wikipedia).

5. 5
2 0 0
R e q
2 0 0
5
R
1
e q

Os fatos importantes para a associação em paralelo são:
 A corrente que passa pelo resistor equivalente é a soma das correntes que atravessam os
resistores individuais.
 A queda de tensão do resistor equivalente é igual às quedas de tensões dos resistores
individuais.
Observe que a última equação acima pode ser escrita como
Exemplo
Observe o circuito abaixo, com três resistores em paralelo.
Determine:
a. A resistência equivalente do circuito.
b. A intensidade da corrente i fornecida pelo gerador E ao circuito.
c. A intensidade da corrente que passa através de cada resistor.
Sendo uma associação em paralelo de resistores, podemos determinar a resistência do resistor
equivalente a partir da soma das condutâncias.
Então,

6. Atalho para o cálculo da resistência equivalente em associações em paralelo
Uma das grandes dificuldades apresentadas pelo vestibular é a imposição de um limite de tempo
relativamente curto para a resolução dos problemas propostos. Assim, a existência de alguns atalhos
pode ser muito bem-vinda, desde que não comprometa o resultado da questão.
Vejamos dois casos especiais em associações em paralelo.
Associação de n resistores iguais em paralelo
Suponha uma associação em que há n resistores, todos com o mesmo valor. Calculemos a
resistência equivalente como proposto acima.
Conclusão: quando houver n resistores iguais associados em paralelo, a resistência equivalente é
obtida tomando-se o valor de um dos resistores e dividindo pelo número de componentes da
associação.
Por exemplo, considere uma associação em paralelo com 5 resistores de 40 Ω cada. A resistência
equivalente será
Associação de 2 resistores diferentes em paralelo
Vamos calcular a resistência equivalente de uma associação em paralelo composta por 2 resistores
de valores diferentes, R1 e R2.
Conclusão: quando houver 2 resistores diferentes associados em paralelo, a resistência equivalente
é obtida tomando-se o produto entre as resistências e dividindo-o pela soma dos referidos valores.
Por exemplo, sejam 2 resistores, um de resistência 6 Ω e outro de resistência 3 Ω, associados em
paralelo. A resistência equivalente será

7. Observação importante!
Duas regrinhas interessantes para lembrar, que ajudam a verificar o resultado obtido.
 Numa associação em série, a resistência equivalente é maior do que a maior resistência
presente no circuito.
 Numa associação em paralelo, a resistência equivalente é menor do que a menor resistência
presente no circuito.
Associação mista
Uma associação mista de resistores nada mais é do que a reunião desses dispositivos através de
ligações em série e em paralelo.
Para a resolução de circuitos deste tipo deve-se tomar o máximo de cuidado com a configuração
apresentada, já que não existe um procedimento padrão para o cálculo das grandezas envolvidas.
Uma maneira de proceder é calculando por etapas, redesenhando o circuito com os resultados
obtidos.
Exemplo
Considere o circuito apresentado abaixo.
Determine sua resistência equivalente.
Observe que os resistores destacados estão em paralelo. Como são dois resistores diferentes,
usemos um dos atalhos apresentados.

8. Assim, podemos substituir os resistores de 30 Ω e 60 Ω por um só de 20 Ω. Eis o novo circuito:
O destaque agora apresenta uma associação em série. Seu equivalente é
Substituindo a associação pelo equivalente, o circuito fica assim:
Resolvendo os dois resistores em paralelo, obtemos

9. Novamente substituindo a associação pelo equivalente, obtemos
Resolvendo a série, chegamos a
e o circuito fica
Finalmente, resolvendo a associação em paralelo, chegamos à resistência equivalente do circuito
completo, que é

10. Outras associações
Existem outras maneiras segundo as quais os resistores podem associar-se além de série e paralelo.
Quando aparecem essas outras associações, o cálculo torna-se um pouco mais difícil, como veremos
a seguir.
Configuração estrela
Dizemos que os resistores estão associados segundo a configuração estrela quando há três
resistores que se dispõem como a figura a seguir.
Figura 3: configuração estrela.
Observe como os resistores foram nomeados segundo o nó periférico ao qual eles se conectam.
Configuração triângulo
Três resistores associados como na figura a seguir formam o que denominamos configuração
triângulo.
Figura 4: configuração triângulo.

11. Novamente os resistores foram nomeados segundo os nós aos quais estão conectados.
Conversão entre configurações
Uma associação em estrela pode ser convertida em uma associação em triângulo e vice-versa, sem
que as características elétricas do circuito se alterem. Isso pode facilitar na resolução de circuitos
complexos.
Conversão de estrela para triângulo
Usando as figuras anteriores como referência, cada resistor da associação em triângulo é obtido
segundo as equações seguintes:
A lógica não é difícil. Peguemos uma das equações para entendê-la.
O destaque representa uma das resistências da associação em triângulo (aquela ligada aos nós 2 e
3).
No numerador vai a soma dos produtos de todos os resistores da estrela, dois a dois.
No denominador vai a resistência da estrela cujo número não está no primeiro membro da equação.

12. Conversão de triângulo para estrela
Para a conversão no sentido inverso, as equações são
Vamos entender a lógica de cada equação.
O primeiro membro é uma das resistências da estrela (aquela ligada ao nó 3).
No numerador vai o produto das resistências do triângulo que têm o número da resistência da estrela
que se está calculando. No exemplo, estamos determinando R3, que tem o número 3. Então fazemos
o produto de R13 e R23, pois ambos têm também o número 3.
No denominador vai a soma de todas as resistências do triângulo.

13. Exemplo
Converta a seguinte associação estrela em associação triângulo.
Apenas para organizar os dados, façamos R1 = 120 Ω (ligado ao nó 1), R2 = 240 Ω (ligado ao nó 2)
e R3 = 360 Ω (ligado ao nó 3). Então,

14. Assim, a associação triângulo equivalente é
Exemplo
Observe o circuito a seguir.
Determine:
a. sua resistência equivalente;
b. a intensidade da corrente fornecida pelo gerador.
respondendo, assim, ao item (a).
Para resolver o item (b), basta aplicar a primeira lei de Ohm ao circuito equivalente, obtendo
RESPOSTA!