O documento descreve dois problemas de cinemática envolvendo movimento retilíneo uniforme e uniformemente acelerado. O primeiro problema determina a distância entre dois pontos A e B baseado na velocidade de dois carros que viajam entre eles. O segundo problema calcula a aceleração de um carro dado suas posições em dois instantes de tempo.

1. <br />PROFESSOR HELANDERSON SOUSA<br />LISTA 1 CINEMÁTICA (NIVEL BÁSICO)<br />1ª Dois carros partiram simultaneamente de um ponto A em direção a um ponto B com velocidades diferentes, porém constantes. Ao alcançarem o ponto B mudaram imediatamente o sentido do movimento para A. O primeiro carro no caminho de volta a A encontrou o segundo a uma distância L do ponto B, e logo depois de alcançar o ponto A e mudar o sentido do movimento para o ponto B, encontra o segundo carro depois de percorrer a n-ésima parte da distância que separa A e B. Determine a distância entre os pontos A e B.<br />Solução: Temos que achar a distância entre os pontos A e B.<br />Vamos chamas o carro mais rápido de c1 e o outro de c2.<br />Até o primeiro encontro c1 percorre uma distância s + L, onde s é a distância inicial que separa os pontos A e B e c2 percorre uma distância s – L.<br />Para o segundo encontro, c1 e c2 os carros percorrem 2s + 1ns e 2s - 1ns respectivamente.<br />Para o primeiro encontro temos v1= s + Lt1 e v2= s- Lt1<br />Para o segundo encontro temos v1= 2s + 1nst2 e v2= 2s - 1ns t2<br />Assim v1t1= s + L (eq 1)<br /> v2t1 = s- L (eq 2)<br /> v1t2= 2s + 1ns (eq 3)<br /> v2t2 = 2s - 1ns (eq 3) logo notamos que (eq 1)(eq 2) = (eq 3)(eq 3) ou<br />s + L s- L = 2s + 1ns2s - 1ns com um pouco de álgebra simples é fácil chegar a s = 2Ln.<br />2ª (Alonso) Um carro percorre a linha OX com movimento uniformemente acelerado. Nos instantes t1 et2, Suas posições são x1 e x2, respectivamente. Mostrar que a aceleração do carro é a 2(x2t1- x1t)/ t2 t1(t2- t1).<br />Solução: Inicialmente montemos as equações horárias para o carro.<br />x1= vt1 + 12at12 (eq 1) e em t2 temos: x2 = vt2 + 12at2 2 (eq 2)<br />(eq 2) – (eq 1) = x2 - x1 = v(t2 - t1) + 12a(t2 2- t12)<br />Logo v = (x2 - x1) - 12a(t2 2- t12) (t2 - t1) , substituindo esse valor em (eq 1) temos:<br />x1 = (x2 - x1) - 12a(t2 2- t12) (t2 - t1) t1 + 12at12 Isolando a e simplificando a expressão temos<br />2(x2t1- x1t)/ t2 t1(t2- t1) = a<br />3ª (BIT) Dois carros passam por um mesmo ponto com velocidade v1 e o outro com velocidade v2, em movimento retilíneo e acelerações uniformes a1 e a2 respectivamente. Se eles alcançam o ponto final no mesmo instante, mostre que a distância percorrida até esse ponto é dada por 2(v1- v2)( v1a2- v2a1)/(a1-a2)2<br />Solução: Sendo S a distância percorrida por cada carro e t o tempo gasto, podemos montar as funções horárias. <br />Para o primeiro S = v1t + 12a1t2 (eq 1)<br />E para o segundo carro S = v2t + 12a2t2 (eq 2)<br />Fazendo (eq 2) – (eq 1) chegamos a: (v1- v2)t +12(a1-a2)t2 = 0<br />t = 0 não nos interessa, assim temos a outra solução<br /> t = 2(v1- v2)/(a1-a2)<br />Substituindo esse valor de t na função horária de qualquer carro e com um pouquinho de álgebra simples chegamos a:<br />S = 2(v1- v2)( v1a2- v2a1)/(a1-a2)2<br />4ª Um carro, movimento retilíneo uniformemente acelerado, percorre uma distância x1 metros em t1 segundos. Durante os t2 segundos seguintes, ele percorre x2 metros. Calcule a velocidade do carro e a distância percorrida nos t1+ t2 segundos seguintes. <br />Solução: veja as soluções das questões 2 e 3<br />5ª (Alonso) Um corpo, movimento retilíneo uniformemente acelerado, percorre 55 metros em 2 segundos. Durante os 2 segundos seguintes, ele percorre 77 metros. Calcular a velocidade inicial e a aceleração do corpo. Que distância ele percorrida nos 4 segundos seguintes.<br />Solução: Veja a solução da questão 2.<br />Nessa questão x1= 55, x2 = 77 + 55 = 132, t1 = 2 e t2 = 2 + 2 = 4 <br />6ª (IIT) Um carro inicialmente em repouso começa a se mover com aceleração a constante, em seguida começa a parar com aceleração b, até chegar ao repouso. Se t é o tempo gasto desde o inicio do movimento, até o fim, Determine a distância percorrida pelo carro e a velocidade máxima alcançada por ele.<br />Solução: v = at ou t1 = v/a , usando a equação horária temos s = 12at12 = 12av2a2 logo s = v22a para a frenagem temos t2 = v/b logo r = (v + 0)t2/2 logo r = v2/2b.<br /> t = t1+ t2 = v(a +b)/ab portanto v é dado por abt/a+b.<br />7ª(Savchenko) Alguns esportistas correm com mesma velocidade constante v, formando uma coluna de comprimento l, ao encontro da coluna corre o treinador com velocidade u tal que u<v, cada esportista ao encontrar com o treinador inverte o sentido do movimento imediatamente e continua correndo com mesma velocidade v. Que comprimento terá a coluna depois que todos o esportistas tiverem invertido suas velocidades?<br />Solução : Solução: Inicialmente a coluna tem comprimento L e podemos tratar inicialmente separadamente o primeiro e o último esportista, assim a função horária do ultimo soldado é : Su = vt e a do primeiro Sp = L + vt. Quando o primeiro esportista encontra o comandante, muda o sentido da sua velocidade e percorre nesse sentido o mesmo tempo que o treinador demora pra encontrar o último soldado que é T = L/(u+v) alem do mais mudamos o sinal de v na sua função horária, substituindo esse valor na função de cada um Su = vL(u+ v) e<br /> Sp = L - vL(u+ v) a distância entre o dois esportistas das pontas é o que determina o comprimento da fileira , assim o novo comprimento será dado por l = vL(u+ v) – ( L - vL(u+ v)) = 2 vL(u+v) - L =<br /> L(2 V(u+v) - 1) = L(v - vc) (u+v)<br />8ª (Renato Brito) Uma coluna de soldados de 600 m de comprimento marcha ao longo de uma estrada com uma velocidade constante de 4,5 km/h. Na direção da coluna, mas em sentido oposto, aproxima-se um oficial superior caminhando a uma velocidade constante de 3,0 km/h. Quando ele passa ao lado de cada soldado, ordena que estes se movam no sentido oposto. Cada soldado instantaneamente (tão logo recebe sai ordem) inverte o sentido de sua marcha e continua com a mesma velocidade, mas no sentido oposto. Após algum tempo, toda a coluna está se movendo no sentido contrario. Determine o novo comprimento da coluna de soldados.<br />Solução: É o mesmo problema da questão anterior, nesse caso é só substituir o valores dados em: L(v - vc) (VC+v) , Onde L é o comprimento inicial da fileira, v a velocidade inicial e vc a velocidade o do comandante.<br />Assim teremos l = 0,6(4,5-34,5+3)= 120 metros e o tempo para que toda a fileira esteja se movendo no sentido contrario e dado por T = L/(vc+v) = 0,6/7,5 = 0,08 horas ou 4 minutos e 8 segundos<br />9ª Um balão que emite impulsos sonoros de duração T0 vai descendo uniformemente e seu movimento é perpendicular a horizontal. A duração do pulso refletido no solo é ouvido por T segundos pelos tripulantes do balão. Determine a velocidade do balão considerando que a velocidade do som para esta situação seja c.<br />Solução<br />Do enunciado T0 é o tempo que o pulso sonoro é emitido, ou seja, o intervalo de tempo, em que a primeira onda sonora e a ultima passam pelo balão. T é o tempo em que a primeira e a ultima onda sonora refletida passa pelo balão. <br />Logo l = (c - v) T0 = comprimento do pulso sonoro emitido, considerando o movimento relativo entre a onda e o balão.<br />l = (c + v)T = comprimento do pulso sonoro emitido, considerando o movimento relativo entre a onda e o balão.<br />Pois o pulso sonoro não diminui de “tamanho” logo:<br />(c - v) T0 = (c + v)T assim chegamos a v = c (T0 -T)/ (T0 + T)<br />10ª Uma lancha navegando rio a baixo, deixou para trás uma balsa em um ponto A, passado um tempo t a lancha da a volta e encontra a balsa uma distância l do ponto A. Determine a velocidade da corrente sabendo que o motor do barco trabalhou igualmente durante todo o percurso.<br />Solução: Durante um tempo t a lancha navega rio abaixo com velocidade em relação às margens dada por u + v, onde u e v são respectivamente a velocidade do rio e da lancha, percorrendo uma distância (v + u)t. Na volta a lancha agora com velocidade em relação as margens dada por u - v percorre uma distancia<br /> (v – u)t'= (v + u)t – l assim t'=(v + u)t – l(v – u) .<br />t + t' é o tempo que a balsa leva pra percorrer a distância l com mesma velocidade v do rio, ou seja t + (v + u)t – l(v – u) = lv isolando a velocidade do rio, chegamos a v = l2t .<br />11ª Uma partícula se move com uma aceleração que obedece a seguinte lei a = bt + ct2, com c e b constantes. A posição e a velocidade da partícula em t = 0 são x0 e v0 respectivamente. Ache a expressão para a velocidade e para a posição d partícula para um tempo qualquer t.<br />Solução:<br />a = dvdt = bt + ct2 -> dv = bt + ct2 9 (eq 1)<br />Integrando ambos os lados de (eq 1)<br />Temos: dv = (bt + ct2)dt -> v(t) = bt22 + ct33 + k, do enunciado da questão v(0) = v0<br />Assim k = v0 e v(t) = bt22 + ct33 + v0<br />Para achar a posição em função do tempo fazemos x = dvdt = bt22 + ct33 + v0 assim<br /> dv = (bt22 + ct33 + v0)dt e integrando novamente ambos os lados da equação temos: dv = (bt22 + ct33 + v0)dt = x(t) -> x(t) = bt36 + ct412 + v0t + n, do enunciado x(0) = x0<br />assim n = x0 e finalmente chegamos ao resultado x(t) = bt36 + ct412 + v0t + x0<br />12ª Um homem imóvel sobre uma escada rolante leva t1 minuto para ir di subsolo ai térreo de um shopping Center. Nos dias em que a escada rolante está com defeito, o homem sobe essa escada rolante caminhando do subsolo ao térreo em t2 minutos. Quanto tempo o homem gastaria para fazer o mesmo percurso se ele caminhasse sobre a escada rolante funcionando normalmente?<br />Solução: sendo u o vetor velocidade da escada e v o vetor velocidade do homem. Vamos tomar V e U como o módulo das velocidade dos vetores v e u respectivamente.<br />assim podemos escrever para a subida do homem imóvel sobre a escada Ucos@ = l/t1 (eq 1) onde l é o comprimento da escada, já para o homem subindo com a escada parada temos Vcos@ = l/t2 (eq 2). Para o caso em que o homem caminha com velocidade v sobre a escada que tem velocidade v teríamos (U + V)cos@ = l/t3 (eq 3). Somando membro a membro (eq 1) e (eq 2) temos Ucos@ + Vcos@ = l/t1 + l/t2<br />-> (U + V)cos@ = l(t1+ t2t1t2) logo lt3 = l(t1+ t2t1t2) -> t3 = (t1t2) /(t1 + t2)<br />13ª) Um trem leva quatro minutos para ir se movimentar da estão A para a estação B, distante 4 quilômetros uma da outra na primeira parte do trajeto possui aceleração constate a1 e na parte final freia com aceleração a2. Mostre que 1a1 + 1a2 = 2. a1 e a2 são dados em Km/minuto2<br />Solução:<br />O trem percorrerá com aceleração a1 uma distância s1 durante um tempo t1 e em seguida percorrerá com aceleração a2 uma distância s2 durante um tempo t2.<br />Para a primeira parte do movimento, quando ele é acelerado teremos uma velocidade máxima até o ponto onde o trem começará a freia, usando Torricelli, essa velocidade máxima é dada por vmax = 2a1s1. Para o segundo trecho do movimento, podemos tratar vmax como velocidade e a velocidade final será nula, por Torricelli temos vmax = 2a2s2<br />Assim temos que a1s1 = a2s2 (eq 1). Sabemos que s1+ s2 = 4 -> s2 = 4 - s1(eq 2) substituindo (eq 2) em (eq 1) temos s1 = 4a2a1+a2 -> s2 = 4a1a1+a2<br />Para o percurso de movimento acelerado e retardado temos respectivamente:<br />vmax = 0 + a1t1 e 0 = vmax - a2t2->a1t1 = a2t2 Sabendo que t1 + t2 = 4 facilmente chegamos a t1 = 4a2a1+a2 e t2 = 4a1a1+a2 <br />Para a primeira parte do movimento temos s1 = 12a1 t12 -> 4a2a1+a2 = 12a1(4a2a1+a2)2<br />1 = 12a14a2a1+a2 -> 12 = a1a2 a1+a2 Finalmente chegamos a 1a1 + 1a2 = 2<br />14ª Duas barras se cruzam formando um ângulo a e se movem com velocidades v e perpendicularmente a se mesmas. Determine a velocidade do ponto de cruzamento das barras?<br />Solução:<br /> <br />Da figura vemos que a velocidade resultante do ponto de cruzamento é <br />u = vcos(90 –a/2) + vcos(90 –a/2) = 2vsen(a/2)<br />u = 2vsen(a/2)<br />